4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ Για α γίει ατιληπτή η έοια αυτή, ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, τα υπόλοιπα τω διαιρέσεω τω αεραίω με το αριθμό 5 Από τη ταυτότητα της αλγοριθμιής διαίρεσης γωρίζουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης εός αεραίου με το 5 είαι έας από τους πέτε αεραίους 0,1,,3 αι 4 Έτσι έχουμε 0= 05 + 0 1= 05 + 1 = 05 + 3= 05 + 3 4= 05 + 4 5150 = + 6= 15 + 1 7= 15 + 8= 15 + 3 9= 15 + 4 1= 15 + 4 = 15 + 3 3= 15 + 4= 15 + 1 5= 15 + 0 6= 5 + 4 7= 5 + 3 Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 7,, 3 διαιρούμεοι με 5 αφήου το ίδιο υπόλοιπο Λέμε ότι οι αριθμοί αυτοί είαι ισοϋπόλοιποι με μέτρο 5 Ομοίως, λέμε ότι αι οι αριθμοί 49,, 1, 6 είαι ισοϋπόλοιποι με μέτρο 5, αφού διαιρούμεοι με 5 αφήου το ίδιο υπόλοιπο 4 Γειότερα, έχουμε: ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω m έας θετιός αέραιος Δύο αέραιοι α αι β λέγοται ισοϋπόλοιποι με μέτρο m, ότα διαιρούμεοι με m αφήου το ίδιο υπόλοιπο Για α δηλώσουμε ότι οι α αι β είαι ισοϋπόλοιποι με μέτρο α β(modm) αι διαβάζουμε α ισοϋπόλοιπος του β μότουλο είαι ισοϋπόλοιπος του β μότουλο (mod 5), εώ 8/ 5(mod 5) Α το υπόλοιπο της ευλείδειας διαίρεσης του α με το προφαώς ισχύει m, γράφουμε m Α ο αέραιος α δε m, γράφουμε α / β(mod m ) Έτσι, m είαι υ, τότε

175 α υ(mod m) Από τη ισότητα της ευλείδειας διαίρεσης προύπτει το επόμεο θεώρημα, με το οποίο μπορούμε α διαπιστώσουμε α δυο αριθμοί είαι ισοϋπόλοιποι ΘΕΩΡΗΜΑ 11 α β(mod m ), α αι μόο α m ( α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α α β(mod m ), τότε από τις ευλείδειες διαιρέσεις τω α αι β με το m έχουμε α = m + υ, β = λm + υ Επομέως, α β = ( λ)m, που σημαίει ότι m ( α Ατιστρόφως, α m α β, τότε α β = ρm, δηλαδή α = β + ρm για άποιο αέραιο ρ Α ο β διαιρούμεος με το m δίει πηλίο αι υπόλοιπο υ, τότε β = m + υ, 0 υ < m Επομέως, α = m+ υ + ρm= ( + ρ) m+ υ, που σημαίει ότι ο α διαιρούμεος με m δίει υπόλοιπο επίσης υ Το συμβολισμό α β(mod m ) το εισήγαγε ο Gauss(1777-1855) Όπως εξήγησε ο ίδιος, υιοθέτησε το σύμβολο " ", επειδή η σχέση α β(mod m ) έχει αάλογες ιδιότητες με τη ισότητα Πράγματι, ως άμεσες συέπειες του ορισμού τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ προύπτου οι ιδιότητες: α α(modm ) (ααλαστιή) Α α β(mod m ), τότε β α(mod m ) (συμμετριή) Α α β(mod m ) αι β γ (mod m ), τότε α γ (mod m ) (μεταβατιή) Επίσης, ισχύει το επόμεο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Α α β(mod m ) αι γ δ(mod m ), τότε α + γ β + δ(mod m ) α γ β δ(mod m ) α γ β δ (mod m ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε α β = m αι γ δ = λm, όπου, λ αέραιοι Επομέως: ( α + γ) ( β+ δ) = ( α + ( γ δ) = m+ λm= ( + λ) m, που σημαίει ότι α + γ β+ δ(modm)

176 ( α γ) ( β δ) = ( α ( γ δ) = m λm= ( λ) m, που σημαίει ότι α γ β δ(modm) ( αγ βδ) = αγ βγ+ βγ βδ = ( α γ ( γ δ) β = mγ λmβ = ( γ λ m, που σημαίει ότι αγ βδ (mod m ) Η σχέση α β(mod m ) λέγεται ισοτιμία Ως άμεση συέπεια του θεωρήματος προύπτει ότι: Α α β(modm), τότε α + γ β+ γ(modm) αι α γ β γ(modm) για άθε αέραιο γ Το παραπάω θεώρημα γειεύεται αι για περισσότερες από δύο ισοτιμίες Δηλαδή Α α1 β1(mod m), α β (modm),, α β (modm), τότε α1 + α + + α β1 + β + + β (mod m) Ιδιαίτερα: α1 α α β1 β β (mod m) Α α β(modm), τότε α β (modm) Εώ, με πολλαπλασιασμό τω μελώ μιας ισοτιμίας με το ίδιο αέραιο προύπτει πάλι ισοτιμία, δε ισχύει το ίδιο αι για τη διαίρεση Για παράδειγμα, α διαιρέσουμε τα μέλη της ισοτιμίας 14 8(mod 6) με, δε προύπτει ισοτιμία Πράγματι, 7 / 4(mod 6) Οι ισοτιμίες εμφαίζοται συχά στη αθημεριή μας ζωή Για παράδειγμα, ο ωροδείτης τω ρολογιώ δείχει τη ώρα modulo 1 αι ο χιλιομετριός δείτης τω αυτοιήτω δείχει τα χιλιόμετρα που έχουμε διαύσει modulo 100000 Έτσι, ότα η ώρα είαι 18, το ρολόι δείχει 6, που είαι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 18 με το 1, αι ότα έα αυτοίητο έχει διαύσει συολιά 45000 km, δείχει 45000 km, που είαι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 45000 με το 100000 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 1 Έστω N = α 10 + α 110 + α 10 + + α110+ α 0 η δεαδιή παράστα-ση εός θετιού αέραιου N αι S = α + α 1 + α + + α 1 + α 0 το άθροι-σμα τω ψηφίω του Να αποδειχτού τα ριτήρια διαιρετότητας:

177 (i) 5 N, α αι μόο α 5 α 10+ α (ii) 9 N, α αι μόο α 9 S ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 0 (i) Προφαώς, 5 α 10 + α 10 + α 10 + + α 10 1 1 Επομέως, α 10 + α 10 + α 10 + + α 10 0(mod 5) 1 1 α 10 + α 10 + α 10 + + α 10 + α 10+ α α 10+ α (mod 5) 1 1 1 0 1 0 Δηλαδή, έας αέραιος διαιρείται με 5, α αι μόο α το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με 5 (ii) Έχουμε διαδοχιά: 10 1(mod 9) 10 1 (mod 9), για =0134,,,,,, 10 1(mod 9) α 10 α (mod 9) Επομέως, α 0 α 0(mod 9), α110 α1(mod 9),, α10 α (mod 9) Προσθέτουμε τις ισοτιμίες ατά μέλη αι έχουμε: α 10 + α 10 + α 10 + + α 10+ α α + α + α + + α + α (mod 9), 1 1 δηλαδή N S(mod 9 ) 1 0 1 1 0 Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1999 3 + 1999 ΛΥΣΗ Έχουμε διαδοχιά: 3+ 0(mod 5) 3 (mod 5) 3 ( ) (mod 5) 3 (mod 5) Επομέως, 3 ( ) 0(mod 5), δηλαδή 3 + 0(mod 5) Άρα 53 +, που σημαίει ότι ο αριθμός 3 + λήγει σε 0 ή σε 5 Όμως, ο αριθμός 3 + είαι περιττός ως άθροισμα εός περιττού αι εός άρτιου αι άρα λήγει σε 5

178 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1 Δίοται τα σύολα A = { 33, 17,3,35,41, 0} αι B ={0,1,,3,4,5,6 } Να ατιστοιχίσετε τα στοιχεία α A σε εεία τα στοιχεία β B για τα οποία ισχύει β α(mod7) Ποιες από τις παραάτω προτάσεις είαι αληθείς; (i) 15 + 1 1(mod3), Z, (ii) 15 + 1 4(mod5), Z, (iii) + 5 1(mod4), Z, (i) ( m+ 1) 1(modm), m N 3 Να βρείτε τους διψήφιους θετιούς αέραιους α για τους οποίους ισχύει α 6 (mod11) 4 Να βρείτε τους διψήφιους θετιούς αέραιους α για τους οποίους ισχύει (i) α (mod3) αι α 1(mod4) (ii) α 3(mod4) αι α 4(mod6) 5 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 100 (i) του με το 7, 100 (ii) του 9 με το 8 1998 (ii) του 3 με το 7, 004 (i) του 5 με το 6 6 Να αποδείξετε ότι για άθε N ισχύει (i) 8 ( 5 + 7) (ii) 5 ( 1 3 + 1 + 3 ), (iii) 15 ( 4 1) (i) 1 ( 4 + 1 + 5 ) 7 Να βρείτε (i) το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1998 3 (ii) τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού 3 003 7 B ΟΜΑΔΑΣ 1 Να αποδείξετε ότι ο αέραιος 3α 1, όπου α Z, δε είαι ποτέ τετράγωο αεραίου Να αποδείξετε ότι για άθε θετιό πρώτο p > 5 ισχύει 10 ( p 1) ή 10 ( p 1) 3 Να βρείτε τις τιμές του α Z για τις οποίες ισχύει 5 ( α +α 6) +

179 4 Να βρείτε τις τιμές του x Z για τις οποίες ισχύει x 1(mod) αι x (mod3) 5 Να αποδείξετε ότι για άθε α Z ισχύει 3 5 (i) α α(mod6) (ii) α α(mod10) 6 Έστω α, β Z αι m, n N Να αποδείξετε ότι (i) Α α β(modm) αι n m, τότε α β(modn) (ii) Α nα nβ(modm) αι ( m, n) = 1, τότε α β(modm) 7 Α α, β Z αι m N με β(modm) α, α αποδείξετε ότι ( α, m) = ( β, m) 8 Να αποδείξετε ότι: (i) 39 (53 103 + 53 103 ), (ii) 7 (111 333 111 + 333 ) 9 Να αποδείξετε ότι: (i) Για άθε θετιό αέραιο α ισχύει α 0 ή 1 ή 4(mod5) (ii) Οι αριθμοί 5 + αι 5 + 3 είαι άρρητοι 10 Να αποδείξετε ότι για άθε θετιό πρώτο p > 3 ισχύει p 1 (mod3) αι στη συέχεια α αποδείξετε ότι οι αριθμοί p + αι p 1 + p + p3 είαι σύθετοι για όλους τους θετιούς πρώτους pp, 1, p, p3 που είαι μεγαλύτεροι από το 3 11 Α p, q είαι θετιοί πρώτοι με p >q 5, α αποδείξετε ότι 4 ( p q ) 1 Να βρείτε το ψηφίο τω μοάδω τω αριθμώ 1999 1997 77 77 αι 13 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός + 1 είαι σύθετος 333 333 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να αποδείξετε ότι από διαδοχιούς αεραίους αριβώς έας διαιρείται με το Να βρείτε τους θετιούς αεραίους α, β, γ για τους οποίους ισχύει α + β + 3 10 = = 8 6 γ + 4 3 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα διαδοχιώ περιττώ φυσιώ είαι σύθετος αριθμός

180 4 Έστω α, β δύο θετιοί αέραιοι, με ( α, = 1 Να αποδείξετε ότι (i) ( α + β, α = 1 (ii) 5 (i) Έστω α, β θετιοί αέραιοι Να αποδείξετε ότι Α ( α, = 1, τότε ( α + β, α = 1 ( α + β,[ α, β]) = ( α, (ii) Να βρείτε τους θετιούς αεραίους αι [ α, β] = 360 α β + N, α α β β α α, β για τους οποίους ισχύει α + β = 114 6 Έστω p, q δύο θετιοί πρώτοι, διαφορετιοί μεταξύ τους Να αποδείξετε ότι τα στοιχεία του συόλου S = { p + λq, λ N με 1 q αι 1 λ p } είαι διαφορετιά αά δύο 7 (i) Να αποδείξετε ότι > για άθε θετιό αέραιο 3 (ii) Να βρείτε τις θετιές αέραιες λύσεις της εξίσωσης = x 8 Δίοται οι θετιοί αέραιοι α, Να αποδείξετε ότι (i) Α ο α 1 είαι πρώτος, τότε α = αι ο είαι πρώτος (ii) Α ο α + 1 είαι πρώτος, τότε = αι ο α είαι πρώτος 9 Να αποδείξετε ότι (i) α 0 (mod8) ή α 1 (mod8) ή α 4 (mod8) (ii) Η εξίσωση x + y = 1998 δε έχει αέραιες λύσεις 10 (i) Να αποδείξετε ότι 9 10 1(mod4), 9 10 1(mod5) αι 9 10 1(mod100) 00 (ii) Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του 9 11 (i) Να βρείτε τους θετιούς αέραιους > για τους οποίους ισχύει: ( ) (ii) Να βρείτε τα ορθογώια με αέραια μήη πλευρώ, τω οποίω το εμβαδό αι η περίμετρος είαι αριθμητιά ίσα (iii) Έστω έα σημείο Α εός επιπέδου Για ποιες τιμές του ο χώρος γύρω από το Α μπορεί α αλυφθεί με αοιά -γωα, τα οποία δε έχου οιά εσωτεριά τους σημεία 1 Να βρείτε ο εμβαδό του τετραγώου που μπορεί α χωριστεί σε 5 μιρότερα τετράγωα, από τα οποία τα 4 έχου πλευρά ίση με 1, εώ το έα έχει πλευρά με μήος αέραιο αριθμό διαφορετιό από 1

181 13 Μπορείτε α γράψετε μεριούς αριθμούς, χρησιμοποιώτας αθέα από τα δέα ψηφία 0,1,,, 8, 9 μόο μία φορά, ώστε το άθροισμα τω αριθμώ αυτώ α είαι ίσο με 100 14 Να βρείτε τους α, β Ν, με α > β, σε αθεμιά από τις παραάτω περιπτώσεις (i) α + β =10 αι ( α, β ) =, (ii) αβ =96 αι ( α, β ) =4, (iii) αβ =96 αι [ α, β] = 4 (i) ( α, = 4 αι [ α, β] = 4, () α + β =7( α, β ) αι [ α, β ] =60 15 Α α, β Ν, α αποδείξετε ότι ( α, β ) = ( α, 16 Έστω α, β Ν με ( α, = 1 Α το γιόμεο τω α αι β είαι τετράγωο φυσιού αριθμού, α αποδείξετε ότι αθέας από τους α αι β είαι τετράγωο φυσιού αριθμού ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Σε αθεμιά από τις παραάτω περιπτώσεις α υλώσετε το γράμμα Α, α ο ισχυρισμός είαι αληθής αι το γράμμα Ψ, α ο ισχυρισμός είαι ψευδής, αιτιολογώτας συγχρόως τη απάτησή σας 1 Η παραάτω ισότητα είαι η ταυτότητα της ευλείδειας διαίρεσης του α με το β: (i) 38 = ( 11 )( 3) + 5, α α = 38 αι β = 11 (ii) 38 = ( 3)( 11) + 5, α α = 38 αι β = 3 (iii) 47 = 7 ( 7) +, α α = 47 αι β = 7 (i) Το άθροισμα δύο άρτιω είαι άρτιος (ii) Το άθροισμα δύο περιττώ είαι περιττός (iii) Το άθροισμα 10 περιττώ είαι περιττός (i) Η εξίσωση x( x+ 1) = 1999έχει αέραια λύση () Υπάρχει αέραιος α που α μπορεί α πάρει συγχρόως τις μορφές α = 3 k + 1 αι α = 3 λ+, όπου, λ Z 3 (i) Α α βγ, τότε α β ή α γ (ii) Α βγ α, τότε β α αι γ α (iii) Α α ( β + γ) αι α β, τότε α γ (i) Α α β, τότε α β

18 4 (i) Α 3 α αι 4 α, τότε 1 α (ii) Α 4 α αι 6 α, τότε 4 α 5 (i) Α ( α, = ( α, γ), τότε [ α, β] = [ α, γ] (ii) Α ( α, = ( α, γ), τότε ( α, β, γ) = ( α, 6 Υπάρχου α, β N, ώστε (i) α + β = 100 αι ( α, = 3 (ii) α + β = 100 αι ( α, = 10 7 (i) Ο αριθμός 101 μπορεί α γραφεί ως άθροισμα δύο θετιώ πρώτω (ii) Α 3 ( α + 6β ), τότε 3 α 8 (i) Η εξίσωση x + 4y = 3 έχει αέραιες λύσεις (ii) Η εξίσωση x+ y =6 έχει άπειρες θετιές αέραιες λύσεις 9 (i) Α α β(mod4), τότε α β(mod4) (ii) Α α β(mod3), τότε α β(mod3) (iii) Α α 1 (mod3), τότε α 1(mod3) ή α 1(mod3) Να υλώσετε τη σωστή απάτηση σε αθεμιά από τις παραάτω περιπτώσεις: 1 Α α = 4 6+ x είαι η ταυτότητα της διαίρεσης του α με το 4 αι β = ( x+ 1)6 + 3 είαι η ταυτότητα της διαίρεσης του β με το ( x + 1), τότε A : x=0, B : x= 1, Γ : x=, Δ : x= 3 Α α =3 + υ είαι η ταυτότητα της διαίρεσης του α με το 3 αι ο α είαι άρτιος, τότε A : περιττός αι υ άρτιος B : άρτιος αι υ περιττός Γ :,υ άρτιοι ή,υ περιττοί 3 Α δ = ( 4+ 3, 4 1), τότε A: δ=4, B : δ=, Γ : δ= 1, Δ : Ο δ εξαρτάται από το 4 Α ο αριθμός x 7 x διαιρείται με το 1, τότε A: x=1, B : x= 4, Γ : x= 7, Δ : x= 5 Α ( α, = 3, ( β, γ) = 3 αι ( γ, α) = 3 5, τότε ο ( α, β, γ) είαι

183 A: 3 5, B : 3, Γ :, Δ : 3 6 Α ο είαι περιττός, τότε ο αέραιος A : 9 + 1 0(mod8), B : 9 + 1 0(mod3) Γ : 9 + 1 0(mod10), Δ : 9 + 1 0(mod4)