ΘΕΜΑ 1 ο (6.00 μον.) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

Σχετικά έγγραφα
ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : , 12:00-15:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΑΣΚΗΣΗ 1 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΑΣΚΗΣΗ 6 - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

ΘΕΜΑ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ Παράδοση Παραδοτέα (α) (β) (γ) (δ) Βαθμός Φορτία

ΑΣΚΗΣΗ 2 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

5. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για την ανάλυση πλαισιακών κατασκευών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα. 2 η Πρόοδος. 9:00-10:10 μ.μ. (70 λεπτά) Πέμπτη, 30 Μαρτίου, 2017

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα. ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα. Ανάπτυξη Προγράμματος Ανάλυσης Επίπεδων Δικτυωμάτων

Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

2 Η ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΚΤΙΡΙΑΚΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SAP-2000

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ. Ενδιάμεση Πρόοδος. 6:00-8:00 μ. μ.

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών

Εικόνα Δ.7.1-1: Η απλή μελέτη με τις 4 κολόνες C1:400/400, C2:400/400, C3:800/300 φ=30º, C4:300/600 φ=45º, h=3.0 m, δοκοί 250/500

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων

8. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για την ανάλυση πλαισιακών κατασκευών

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ

2. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για επίλυση δικτυωμάτων

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών

Μέθοδος των Δυνάμεων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ *

9. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών

ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΤΗΣ ΔΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΕΝΙΣΧΥΜΕΝΟΥ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ANSYS

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΤΙΡΙΩΝ ΑΠΌ ΦΕΡΟΥΣΑ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑ ΓΙΑ ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Προσομοίωση κτιρίων από τοιχοποιία με : 1) Πεπερασμένα στοιχεία 2) Γραμμικά στοιχεί

1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων)

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ)

ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Βιομηχανικός χώρος διαστάσεων σε κάτοψη 24mx48m, περιβάλλεται από υποστυλώματα πλευράς 0.5m

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟ ΦΟΡΕΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά Γεωμετρία κάτοψης ορόφων Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων)

ΖΗΤΗΜΑ 1 ο (μονάδες 3.0)

Διδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ 1η εξεταστική περίοδος: 01/07/2009 Διάρκεια εξέτασης: 1 ώρα και 30 λεπτά Ονοματεπώνυμο φοιτητή:... ΑΕΜ:...

Κεφάλαιο 3 Κινητοί ατενείς φορείς με απολύτως στερεά τμήματα

Μέθοδοι των Μετακινήσεων

ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ

Άσκηση 1 η ίνονται οι δύο παρακάτω φορείς, µε αριθµηµένους τους ενεργούς βαθµούς ελευθερίας τους:

Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία. «Στρεπτική ευαισθησία κατασκευών λόγω αλλαγής διατομής υποστυλωμάτων»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4-Φορείς και Φορτία. Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος καθηγήτρια

11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων

Δυναμική ανάλυση μονώροφου πλαισίου

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Καρακίτσιος Παναγιώτης Θέμα Ι Στατική ΙΙΙ users.ntua.gr/pkarak. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό έτος Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

8ο Φοιτητικό Συνέδριο «Επισκευές Κατασκευών 2002», Μάρτιος 2002

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Κεφάλαιο 10 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας

ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών Ι

ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥΣ ΕΓΙΝΕ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2018: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

Διδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ

Κεφάλαιο 10: Δυναμική Ανάλυση Κτιριακών Κατασκευών

ΣYMMIKTEΣ KATAΣKEYEΣ KAI OPIZONTIA ΦOPTIA

Κεφάλαιο 1 Πάγιοι ατενείς φορείς υπό εξωτερικά φορτία και καταναγκασμούς

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΓΕΙΤΟΝΙΚΟΥ ΚΤΙΡΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ. Ενδιάμεση Πρόοδος. 6:00-8:00 μ. μ.

Χ. ΖΕΡΗΣ Απρίλιος

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008

ΑΣΚΗΣΗ 1. συντελεστή συμπεριφοράς q=3. Το κτίριο θεωρείται σπουδαιότητας ΙΙ, και βρίσκεται σε

Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΣΤΟ BIM ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΟΥ holobim και η αυτόματη δημιουργία των διαγώνιων ράβδων των ενεργών τοίχων

Transcript:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : -9-0, :00-:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :...... ΑΡ. ΜΗΤΡ :....... ΕΤΟΣ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΡΟΣΟΧΗ: Το φύλλο των θεμάτων καθώς και όλες οι κόλλες που χρησιμοποιήσατε (συμπεριλαμβανομένων και των πρόχειρων σελίδων) θα παραδίδονται. Η εξέταση είναι με κλειστά βιβλία. Δέσμευση: όλες οι ασκήσεις να επιλυθούν με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Τυπολόγιο: Τα απαραίτητα μητρώα για την επίλυση όλων των ασκήσεων καθώς και οι αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού δίνονται στο τέλος των θεμάτων. ΘΕΜΑ ο (.00 μον.) Δίνεται το εξ οπλισμένου σκυροδέματος μονόροφο τρισδιάστατο πλαίσιο του σχήματος. Ολες οι διαστάσεις είναι σε m. Οι κόμβοι (βάσεις των υποστυλωμάτων Κ ) είναι πλήρως πακτωμένοι. Στον κόμβο επισυνάπτεται το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ. Ο προσανατολισμός των τοπικών συστημάτων xzόλων των υποστυλωμάτων, σε σχέση με το απόλυτο σύστημα ΧΥΖ, είναι όπως στο σχήμα. Οι συνδέσεις των κόμβων 9 είναι μονολιθικού τύπου και δεσμεύονται με οριζόντιο διάφραγμα το οποίο προσομοιώνει τη διαφραγματική λειτουργία λόγω της ύπαρξης τριών πλακών. Ολα τα υποστυλώματα είναι τετραγωνικής διατομής πλευράς 0 cm. Επί πλέον του ιδίου βάρους των στοιχείων (υποστυλωμάτων, δοκών και πλακών), το πλαίσιο φορτίζεται κατά τη διεύθυνση του άξονα Χ με δυνάμεις ίσες με ΚΝ εφαρμοζόμενες στους κόμβους 9, και και οι οποίες αφορούν συνολική σεισμική δύναμη ΚΝ δρώσα κατά τη θετική φορά του εν λόγω άξονα. Η επίλυση του πλαισίου έδωσε τις ακόλουθες μετακινήσεις και στροφές των κόμβων του, αναφορικά με το απόλυτο σύστημα ΧΥΖ, για το συνδυασμό φόρτισης Ιδιο Βάρος + Σεισμός κατά Χ (δηλ. G + EX): α/α κόμβου ux (m) uy (m) uz (m) θx (rad) θυ (rad) θζ (rad) 9?? -. 0 - -0.000 0.0009? 0?? -. 0 - -0.0009-0.0009??? -0.000 9. 0-0.0000? 0.009 -. 0 - -0.000-0.000-0.0009. 0 -?? -.9 0 - -0.0009-0.0000??? -.00 0-0.000 0.000??? -0.0000 0.000. 0 -??? -.0 0-0.000-0.000? Αριθμητικά δεδομένα επίλυσης & παραδοχές: Ε = 0 GPa. Για όλα τα γραμμικά στοιχεία αγνοούνται οι διατμητικές και στρεπτικές παραμορφώσεις, ενώ μειώνονται όλες οι δυσκαμψίες Ε Ι στο 0% των αντίστοιχων ε- λαστικών.

Ζητούνται: (α).00 μον.: Λαμβάνοντας υπ όψη την προαναφερθείσα διαφραγματική λειτουργία και θεωρώντας ως κύριο κόμβο αναφοράς m του διαφράγματος τον κόμβο, να υπολογισθούν οι μετακινήσεις και στροφές των κόμβων του παραπάνω πίνακα οι οποίες σημειώνονται με (?). (β).00 μον.: Να υπολογισθούν στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων xz κάθε υποστυλώματος οι τιμές των δυνάμεων αντίδρασης R (δηλ. των παράλληλων στη διεύθυνση Χ του σεισμού στις βάσεις των υποστυλωμάτων Κ ). Για το σκοπό αυτό να γίνει χρήση του μητρώου δυσκαμψίας Κ για στοιχείο τύπου δοκού στο επίπεδο. (γ).00 μον.: Ποια αριθμητική σχέση συνδέει τις υπολογισθείσες αντιδράσεις στο (β) με τα εξωτερικά επικόμβια φορτία του πλαισίου; (δ).00 μον.: Για το (β) ερώτημα προτείνεται η χρήση του μητρώου δυσκαμψίας Κ για στοιχείο τύπου δοκού στο επίπεδο. Ωστόσο, το δοθέν πλαίσιο είναι χωρικό. Αναφέρατε συνοπτικά τη βασική αρχή η οποία επιτρέπει τη χρήση του εν λόγω μητρώου για το υπολογισμό των αντιδράσεων των βάσεων των υποστυλωμάτων. ΘΕΜΑ ο (.00 μον.) (α).00 μον.: Nα συνταχθεί το μητρώο δυσκαμψίας (δυστένειας) Κ του επιπέδου δικτυώματος του σχήματος στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ. (β).00 μον.: Εφαρμόζοντας τις συνθήκες στήριξης, να διατυπωθούν τα υ- πομητρώα Κff, fs, sf και ss. m x ( i) uθ z u θ u z ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Διαφραγματική λειτουργία πλακών u θ z u z ( i) u θ u u (m) i u ( m ) i u x u θ x u θ z u x u θ x m ( m ) u x ( m) u 0 x u x ( m) ( m) U = T U u 0 x = u 0 0 ( m) u u θz θ z T() i U U( m) Μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού στο επίπεδο Απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ +Y + x j + m +θ i s = sinθ c = cosθ +Χ

EI EI EI EI EI EI c + s cs s c s cs s + EI EI EI EI EI EI cs s + c c cs s + c c EI EI EI EI EI EI s c s c = EI EI EI EI EI EI c + s cs s c s cs s + EI EI EI EI EI EI cs s + c c cs s c c + EI EI EI EI EI EI s c s c Καλή σας Επιτυχία!

ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Οι άγνωστες οριζόντιες μεταθέσεις και στροφές περί κατακόρυφο άξονα μπορούν να υπολογισθούν από τη δοθείσα σχέση (βλ. σχετ. θεωρία στην. των σημειώσεων). ( m) ( m) ( m) u u u u 0 x = x x ux θ z ( m) ( m) ( m) ( m) U = T U u 0 x = u u = u + x u θ z 0 0 ( m) u u ( m) θz θ z u = u θz θ z T() i U U( m) Η σχέση εφαρμόζεται στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ για (m) = (κόμβος ) και (i) = (κόμβοι 9, 0,,,,, ). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα με κόκκινο. α/α κόμβου (i) Χ (i) (m) Υ (i) (m) uχ (i) (m) uυ (i) (m) uζ (i) (m) θχ (i) (rad) θυ (i) (rad) θζ (i) (rad) 9 - - 0.009-0.000 -. 0 - -0.000 0.0009. 0-0 0-0.009 -. 0 - -. 0 - -0.0009-0.0009. 0 - - 0 0.009-0.000-0.000 9. 0-0.0000. 0-0 0 0.009 -. 0 - -0.000-0.000-0.0009. 0-0 0.009 0.000 -.9 0 - -0.0009-0.0000. 0 - - 0.00-0.000 -.00 0-0.000 0.000. 0-0 0.00 -. 0 - -0.0000 0.000. 0 -. 0-0.00 0.000 -.0 0-0.000-0.000. 0 - (β) ερώτημα Το μητρώο δυσκαμψίας σε τοπικό επίπεδο x προκύπτει από το δοθέν για γωνία θ = 0, άρα s = 0 και c =. Ετσι προκύπει: 0 0 0 0 EI EI EI EI 0 0 EI EI EI EI 0 0 = 0 0 0 0 EI EI EI EI 0 0 EI EI EI EI 0 0 Η αντιστοίχιση διευθύνσεων και φορών των αξόνων των τοπικών συστημάτων xz των υποστυλωμάτων k (με k = Κ Κ) με αυτούς του απόλυτου συστήματος ΧΥΖ έχει ως x z ZXY. Ετσι, με δεδομένες τις μηδενικές μετακινήσεις των κόμβων των βάσεων των υποστυλωμάτων (στηρίξεις πλήρως πακτωμένες) και αυτές της κορυφής τους, λαμβανόμενες από τον πίνακα του (α) ερωτήματος, το μητρώο U k κάθε υποστυλώματος k θα έχει την ακόλουθη μορφή. U T T k 0 0 0 uk, uk, uk, 0 0 0 u u θ 0 0 0 kx, k, kz, ukz, uk, X θky, Βάση Κορυφή = = = = T 0 0 0 uz ux θ Y, όπου για k είναι αντίστοιχα i 9 = = = Γνωρίζοντας πλήρως τις μετακινήσεις των άκρων του συνόλου των υποστυλωμάτων, κάθε ένα μπορεί πλέον να επιλύεται ξεχωριστά. Ετσι, οι ζητούμενες αντιδράσεις των βάσεων των υποστυλωμάτων R p p, προ- T k, k, kx

κύπτουν με πολλαπλασιασμό της ης γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα k, Z u X θ Y U k. Ετσι προκύπτει: 0 θ i 0 0 EI R = EI EI EI EI = u + 0 0 u ( X θy ) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την τιμή της δυσκαμψίας ΕΙ με το ήμισι της τιμής της, λόγω της αναφερόμενης μείωσης, προκύπτει τελικά: EI R =, ( u k X + θy ) Αριθμητικά δεδομένα: Ε = 0 0 kpa, I = 0.0 / =. 0 - m, = m. Με τις τιμές αυτές η προκύπτουσα σχέση παίρνει την ακόλουθη τελική μορφή. ( X θy ) R u + k = i = =0, όπου για, είναι αντίστοιχα 9 k Η σχέση αυτή εφαρμόζεται για κάθε υποστύλωμα k ξεχωριστά λαμβάνοντας τις αντίστοιχες τιμές των Y u και θ από τον πίνακα του ερωτήματος (α). Ετσι προκύπτουν οι παρακάτω τιμές των ζητούμενων αντιδράσεων R. α/α υποστυλ. k α/α κόμβου (i) uχ (i) (m) θυ (i) (rad) R (N) 9 0.009 0.0009 -. 0 0.009-0.0009-0.0 0.009 0.0000 -. 0.009-0.0009 -. 0.009-0.0000 -.9 0.00 0.000 -. 0.00. 0 - -. 0.00-0.000 -. k = R = -.000 (γ) ερώτημα Στο (β) ερώτημα υπολογίσθηκαν οι αντιδράσεις των στηρίξεων των υποστυλωμάτων κατά την οριζόντια διεύθυνση Χ. Επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των αντιδράσεων αυτών,, θα πρέπει να είναι ίσο και αντίθετο με το αντίστοιχο αλγεβρικό άθροισμα όλων των εξωτερικών φορτίων της κατασκευής,, για την εν λόγω διεύθυνση Χ, προκειμένου πληρείται η κατά Χ ισορροπία της κατασκευής. Πράγματι είναι k = k = k = k = k = R X PX R = - ΚΝ (βλ. πίνακα ερωτήματος (β)) και P X = = ΚΝ (βλ. σχ. εκφώνησης). (δ) ερώτημα Καθ όσον οι διατομές των υποστυλωμάτων του πλαισίου είναι ορθογωνικές με κεντροβαρικούς-τοπικούς άξονες των διατομών τους τούς οριζόντιους άξονες και z, οι άξονες αυτοί θα είναι ταυτόχρονα και κύριοι. Αρα τα τοπικά κατακόρυφα επίπεδα x και xz είναι ταυτόχρονα και κύρια επίπεδα. Γνωρίζουμε ότι το μητ-

ρώο δυσκαμψίας τρισδιάστατου στοιχείου εκφρασμένου σε κύριους άξονες δεν συσχετίζει τις εντός των κύριων επιπέδων x και xz εντάσεις. Αρα προκειμένου και μόνο για τις εσωτερικές δράσεις Ν-Q-M σε τοπικό κατακόρυφο επίπεδο x μπορεί να χρησιμοποιηθεί το δοθέν μητρώο Κ για στοιχείο τύπου δοκού στο επίπεδο. Ως γνωστόν, το μητρώο αυτό προκύπτει κατόπιν διαγραφής των γραμμών και στηλών του μητρώου του τρισδιάστατου στοιχείου τύπου δοκού (δεν δίδεται) οι οποίες αναφέρονται στις εντάσεις του οριζόντιου κύριου επιπέδου xz.

ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Καθ όσον πρόκειται για δικτύωμα, από το δοθέν μητρώο δυσκαμψίας Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες (στροφικοί βαθμοί ελευθερίας) και τίθεται ΕΙ = 0. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μητρώου Κ για δικτύωμα σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ, όπου οι εναπομείναντες ενεργοί βαθμοί ελευθερίας (,,, ) έχουν επαναριθμηθεί ως (,,, ). m = cs s cs s c cs c cs cs s cs s c cs c cs () Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται αριθμήσεις κόμβων, μελών και βαθμών ελευθερίας στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. Περαιτέρω, για κάθε μέλος σημειώνονται οι γωνίες θ του τοπικού του άξονα x με τον απόλυτο Χ άξονα. Ετσι, προκύπτουν ο ακόλουθος πίνακας με τις τιμές γωνιών, ημιτόνων και συνημιτόνων s και c, αντίστοιχα. α/α i θi si ci si ci si ci π/ = 0 ο / / = 0. / / / π/ = 0 ο / / = 0. / / / π/ = 90 ο 0 0 0 Mε εφαρμογή των παραπάνω τιμών των s, c και s c στη σχέση () προκύπτουν τα παρακάτω μητρώα Κ των τριών μελών στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. = = Η υπέρθεση των παραπάνω μητρώων Κi δίνει το ζητούμενο μητρώο Κ. 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + 0 + ( ) + 0 0 + ( ) + 0 + + ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (β) ερώτημα Ο μοναδικός ελεύθερος κόμβος του πλαισίου είναι ο κεντρικός, στον οποίο συμβάλουν οι τρείς ράδοι. Ο κόμβος αυτός έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, τους και. Ετσι, για το προς επίλυση γενικό σύστημα της μορφής P U P F f ff fs f f = + F Ps sf ss Us Ps κατόπιν εφαρμογής των συνοριακών συνθηκών στήριξης, τα υπομητρώα Κff, Κfs, Κss και Κsf παρουσιάζονται εντός των εγχρώμων πλαισίων στο προκύπτον μητρώο Κ του (α) ερωτήματος ως: Κff πράσινο, Κfs μπλέ, Κss κόκκινο, Κsf καφέ. Μολονότι δεν είναι απαραίτητο, το προκύπτον μητρώο Κ του (α) ερωτήματος ξαναγράφεται αναδιατασσόμενο ff fs πλέον στην κλασσική μορφή. sf ss Επομένως προκύπτουν: 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ff sf 0 = 0 ( ) = 0 0 0 ( ) fs ss 0 0 = 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )