ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Παρουσίαση του μετασχηματισμού Ζ ως εργαλείο μελέτης και επίλυσης Γ.Χ.Α συστημάτων διακριτού χρόνου. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Η χρήση του Μετασχηματισμού Z στην επίλυση Ε.Δ 2. Ορισμός Z Transform 3. Η χρησιμότητα του Μετασχηματισμού Z στην ανάλυση διακριτών ΓΧΑ συστημάτων 4. Παραδείγματα 5. Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ 6. Αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ 7. Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z 8. Τυπολόγιο 9. Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης 10. Ασκήσεις Για Λύση 5

Γενικές έννοιες Όπως τα αναλογικά συστήματα σχεδιάζονται και αναλύονται με την χρήση των Μετασχηματισμών Laplace, έτσι και στην περίπτωση των συστημάτων διακριτού χρόνου χρησιμοποιείται μια αντίστοιχη τεχνική που λέγεται Μετασχηματισμός Z. Όπως ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει τις διαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές ως προς s, ο μετασχηματισμός Z μετατρέπει τις εξισώσεις διαφορών σε αλγεβρικές ως προς z. Και οι δύο μετασχηματισμοί αντιστοιχίζουν στα σημεία μιας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου μια μιγαδική ποσότητα. 6

Η χρήση του Μετασχηματισμού Z στην επίλυση Ε.Δ 7

Πεδίο z Πεδίο χρόνου Πεδίο συχνότητας 8

Ορισμός Z Transform 9

Z-Transform (1) 10

Z-Transform (2) 11

Z-Transform (3) 12

Η χρησιμότητα του Μετασχηματισμού Z στην ανάλυση διακριτών ΓΧΑ συστημάτων. Παρέχει δυνατότητες για: Αποτελεσματικό υπολογισμό της απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος (η συνέλιξη στο πεδίο του διακριτού χρόνου y(n) = x(n)> h(n) υπολογίζεται ως γινόμενο στο πεδίο του μετασχηματισμού Z: Y(z)=X(z)H(z) οπότε y(n) = ΙΖΤ(Y(z)). Ανάλυση της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος (μέσω του υπολογισμού της περιοχής σύγκλισης). Χαρακτηρισμό ενός ΓΧΑ σε σχέση με τη συμπεριφορά του στο πεδίο της συχνότητας (βαθυπερατό φίλτρο, ζωνοπερατό φίλτρο κλπ). 13

z-plane 14

Σύγκριση επιπέδων s και z Το επίπεδο s είναι ορθογώνιο ενώ το επίπεδο z είναι πολικό. Ένα αιτιατό σύστημα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές όταν οι πόλοι του βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. 15

COMPLEX Z - PLANE 16

Απεικόνιση του j άξονα στο πεδίο s στο πεδίο z 17

Απεικόνιση του αριστερού ημιεπιπέδου s στο πεδίο z 18

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (1) 19

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z Για να υπολογίσουμε το άθροισμα, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής σειράς: #1 (3) 21

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z Επομένως ο z-transform της μοναδιαίας βηματικής ακολουθίας είναι #1 (4) 22

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #2 (3) Περιοχή σύγκλισης Η περιοχή σύγκλισης (Region of Convergence - ROC) είναι το εξωτερικό μέρος του κύκλου ακτίνας a. 25

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #3 (3) Περιοχή σύγκλισης Η περιοχή σύγκλισης είναι το εσωτερικό του κύκλου ακτίνας a. 28

Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #4 Άθροισμα εκθετικών ακολουθιών (1) 29

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (1) Γραμμικότητα 32

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (2) Χρονική μετατόπιση 33

Χρονική μετατόπιση Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (3) 34

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (4) Πολλαπλασιασμός με εκθετική ακολουθία 35

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (5) Πολλαπλασιασμός επί n (Παραγώγιση στο πεδίο z) 36

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (6) Αντιστροφή χρόνου 37

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (7) Θεώρημα αρχικής τιμής 38

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (8) Θεώρημα τελικής τιμής 39

Παράδειγμα 40

Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (9) Συνέλιξη ακολουθιών 41

z-transform Βασικών συναρτήσεων (1) 42

z-transform Βασικών συναρτήσεων (2) 43

Αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ δίνεται από τη σχέση: Όπου c είναι μία κλειστή καμπύλη εντός της περιοχής σύγκλισης της που περικλείει την τομή του πραγματικού και του φανταστικού άξονα του μιγαδικού επιπέδου. 44

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (1) Υπάρχουν τρεις μέθοδοι για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού μιας συνάρτησης X(z). α) Η μέθοδος της ανάπτυξης σε δυναμοσειρά. β) Η μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. γ) Η μέθοδος της Μιγαδικής ολοκλήρωσης (με χρήση του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων - residue theorem). 45

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (2) 1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ Με αυτή τη μέθοδο υπολογίζονται δείγματα του αντίστροφου μετασχηματισμού z και όχι η αναλυτική του έκφραση. Διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρανομαστή της συνάρτησης X(z) η X(z) παίρνει τη μορφή μιας σειράς ως προς z. 46

Inverse z Transform Μέθοδος της διαίρεσης Έστω 47

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (3) 2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΣΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΜΕΡΙΚΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Η ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα (partial fractions expantion) είναι μέθοδος ιδιαίτερα χρήσιμη για την ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων, επειδή γίνεται εμφανής η επίδραση οποιασδήποτε χαρακτηριστικής ρίζας ή ιδιοτιμής. Βοηθάει να αναπτύσσεται σε μερικά κλάσματα όχι η συνάρτηση X(z) αλλά η X(z)/z. 48

1.Περίπτωση διακεκριμένων πραγματικών πόλων distrinct real poles 49

Inverse z Transform (1) Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι - ΕΦΑΡΜΟΓΗ 50

Inverse z Transform (2) Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι- ΕΦΑΡΜΟΓΗ 51

Inverse z Transform (3) Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι- ΕΦΑΡΜΟΓΗ 52

2.Περίπτωση μη διακεκριμένων πραγματικών πόλων Πόλοι με βαθμό πολλ/τητας n - multiple real poles. 53

Inverse z Transform (1) Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων πολλαπλοί πόλοι - ΕΦΑΡΜΟΓΗ 54

3.Περίπτωση μιγαδικών πόλων (complex roots) Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται σύμφωνα με τους τύπους (4) ή (6) ο συντελεστής που είναι αριθμητής στη μία από τις μιγαδικές ρίζες. Άρα ο συντελεστής που είναι αριθμητής στον όρο που έχει παρονομαστή τη συζυγή ρίζα της προηγούμενης, θα είναι ο συζυγής του. 57

Inverse z Transform (1) Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων Μιγαδικοί πόλοι 58

Inverse z Transform (2) Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων Μιγαδικοί πόλοι Μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό z χρησιμοποιώντας τους πίνακες ζευγών μετασχηματισμών: 59

Inverse z Transform (3) Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων Μιγαδικοί πόλοι Οι εκθετικοί όροι μπορούν να μετατραπούν σε ένα συνημίτονο (cosine) με τις παρακάτω μετατροπές: 60

Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων Μιγαδικοί πόλοι 61

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (1) 2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Η μέθοδος βασίζεται στην αξιοποίηση της σχέσης του ορισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού Ζ. Η χρήση της εξίσωσης (2) απαιτεί εφαρμογή του θεωρήματος των υπολοίπων (residue theorem) που δίνεται από τη σχέση (τύπος του Cauchy): F z z dz j residues F z z n 1 n 1 ( ) 2 ( ) (7) 62

Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (2) 63

Inverse z-transform με χρήση του MATLAB 64

Τυπολόγιο (1) 65

Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης Z Transform

Άσκηση 1 69

Άσκηση 2 70

Άσκηση 3 (1) 71

Άσκηση 6 (1) Βρείτε και σχεδιάστε το σήμα που αντιστοιχεί στο μετασχηματισμό: 84

Άσκηση 6 (2) Το σήμα x[n] απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα: 85

Άσκηση 7 (1) Βρείτε τον Z-transform των συναρτήσεων: 86

Ασκήσεις Για Λύση Z Transform

Ασκήσεις για λύση (1) 92

Τέλος Ενότητας