6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z

Transcript

1 6-Μαρτ-29 ΗΜΥ 429. Μετασχηματισμός

2 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μετασχηματισμός Μέθοδος εκπροσώπησης, ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου. Ό,τι είναι η μέθοδος Lplce στο συνεχή χρόνο. Εφαρμογές όπως: Ανάλυση και απεικόνιση συστημάτων διακριτού χρόνου για συμπεράσματα βαθμού ευστάθειας και απεικόνιση συχνοτικής απόκρισης Ανάλυση κβαντικών λαθών σε ψηφιακά φίλτρα Υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης συστημάτων διακριτού χρόνου 2

3 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μετασχηματισμός ΜΖ: n X x n n : μιγαδικός αριθμός Για αιτιατά συστήματα, δηλ. όλαταπρακτικάσυστήματα: X n x n n Μετασχηματισμός είναι δυναμοσειρά με άπειρα στοιχεία, άρα μπορεί να μη συγκλίνει για όλες τις τιμές του. 3

4 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Η περιοχή στην οποία συγκλίνει Περιοχή Σύγκλισης ΠΣ. Οι τιμές του X στην ΠΣ είναι διακριτές. Γενικά: Για διακριτές αιτιατές σειρές: ΜΖ συγκλίνει παντού εκτός. Για αιτιατές σειρές με άπειρη διάρκεια: ΜΖ συγκλίνει παντού εκτός του κύκλου με ακτίνα την τιμή του μεγαλύτερου πόλου. Σταθερά αιτιατά συστήματα: ΠΣ πάντοτε εσωκλείει τον μοναδιαίο κύκλο σημαντικό έτσι ώστε το σύστημα να έχει συχνοτική απόκριση. 4

5 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Αντίστροφος Μετασχηματισμός ΑΜΖ: υπολογισμός της διακριτής σειράς από τον ΜΖ. Ιδιαίτερα χρήσιμος σε ΨΕΣ, π.χ. υπολογισμός κρουστικής απόκρισης ψηφιακών φίλτρων. Υποθέτοντας αιτιατή σειρά: X άρα οι συντελεστές είναι οι τιμές της σειράς xn, τις οποίες μπορούμε να πάρουμε απευθείας. Όμως, συνήθως: n x n n x b b X x... b... x

6 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Υπολογισμός ΑΜΖ 3 μέθοδοι υπολογισμού ΑΜΖ: Ανάπτυξη δυναμοσειράς power series expnsion 2 Ανάλυση σε μερικά κλάσματα prtil frction expnsion 3 Μέθοδος υπολοίπου residue method Ανάπτυξη δυναμοσειράς: ανάπτυξη του ΜΖ μιας αιτιατής σειράς σε σειρά με άπειρους όρους - ή μέσω long division: b b X b απλός τρόπος, εύκολος να γίνει σε λογισμικό δεν οδηγεί σε «κλειστή» μορφή λύσης 6

7 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Παράδειγμα: υπολογίστε τον ΑΜΖ από τον ΜΖ ενός αιτιατού ΓΧΑ συστήματος: X απάντηση: x, x 3, x , x ,... Η ίδια μέθοδος μπορεί να γραφτεί και ως: x b x x2 [ b x n / [ b x ] 2 b n i x n / x x n i i 2 ]/ /, n,2,... 7

8 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Ανάλυση σε μερικά κλάσματα: Ο ΜΖ αναπτύσσεται σε άθροισμα απλοποιημένων κλασμάτων Υπολογίζεται ο ΑΜΖ του κάθε κλάσματος Το άθροισμα των επιμέρους ΑΜΖ είναι ο ΑΜΖ «κλειστή» μορφή λύσης, χρήσιμος κυρίως για υπολογισμό συντελεστών ψηφιακών φίλτρων ι Πολύ χρονοβόρα και επιρρεπής σε λάθη, εκτός από πολύ απλές περιπτώσεις. ιι πρέπει να υπολογιστούν οι ρίζες του ΜΖ, κάτι το οποίο δεν είναι εύκολο, κυρίως όταν ο ΜΖ δεν είναι σε παραγοντισμένη μορφή. 8

9 6-Μαρτ Μετασχηματισμός Αν οι πόλοι του X είναι ης τάξεως και ΝΜ: b b b X p C p C B X p C p C B... p C B : C συντελεστές των μερικών κλασμάτων, και b B

10 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Αν Ν<Μ: Β Αν Ν>Μ: διαίρεση του Χ έτσι ώστε Ν Μ Υπολογισμός των συντελεστών C των πόλων p : C X p p Αν το X έχει πολλαπλούς πόλους της μορφής: m D i i p i Τότε: D i m i! d d mi m p m X p

11 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μέθοδος υπολοίπου: ο ΑΜΖυπολογίζεταιως 2πj n x n X C d άθροισμα υπολοίπων του n X σε όλους τους πόλους που περιλαμβάνονται μέσα στην «πορεία» του ολοκληρώματος, C. Το υπόλοιπο του n X στον πόλο p δίνεται από: d Res[ m! d m F, p ] m [ p F ] p όπου F n X, m: τάξη του πόλου στο p

12 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Για συγκεκριμένους πόλους: Res[ F, p ι «κλειστής» μορφής λύση ] n p F p X ιι ευρεία χρήση στην ανάλυση του κβαντικού λάθους πρέπει να υπολογιστούν οι ρίζες του ΜΖ, κάτι το οποίο δεν είναι εύκολο, κυρίως όταν ο ΜΖ δεν είναι σε παραγοντισμένη μορφή. p Σημείωση: για πόλους ης τάξεως: Res[ n F, p ] Res[X, p ] n C 2

13 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Ιδιότητες ΜΖ Γραμμικότητα: ZT x n X ZT 2 2 Αν: και x n X ZT 2 2 Τότε: x n bx n X bx 2 Μεταφορά στο χρόνο: Αν: ZT x n X Τότε: ZT m x n m X 3

14 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 3 Συνέλιξη: y n x n * h n ισοδυναμεί με: Y X H Γνωρίζοντας το X και H, το yn μπορεί να υπολογιστεί μέσω ΑΜΖ του Υ. 4 Διαφοροποίηση: Αν ZT x n X Τότε: nx n dx d ZT Χρήσιμο για ΑΜΖ όταν Χ έχει πόλους πολλαπλής τάξεως 4

15 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 5 Σχέση με Lplce: st Για e, e όπου s d jω, τότε d jω T e dt e jωt dt Άρα e, ω T 2 πf / 2πω / ω f s s όπου ω s : συχνότητα δειγματοληψίας, rd/s Καθώς η συχνότητα αλλάζει από το - στο, ολόκληρος οάξοναςjω απεικονίζεται από το πεδίο s στο μοναδιαίο κύκλο στο πεδίο. 5

16 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Εφαρμογές σε ΨΕΣ Περιγραφή συστημάτων με διαγράμματα «poleero»: π.χ. Φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς ΣΜ H D όπου b b... b D... και α, b : συντελεστές φίλτρου, Μετατροπή TF στη μορφή: H... p... p K K i pi i i 6

17 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 ΗΣΜμπορείνααπεικονιστείστοδιάγραμμα«poleero» Το διάγραμμα διαδραματίζει μεγάλο ρόλο στην ανάλυση και το σχεδιασμό συστημάτων διακριτού χρόνου. Μέσω του διαγράμματος μπορούμε να δούμε τις ιδιότητες του συστήματος, π.χ. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη συχνοτική απόκριση και τη σταθερότητα του συστήματος. Σταθερό σύστημα: όλοι οι πόλοι είναι μέσα στον μοναδιαίο κύκλο ή είναι ίσοι με τις ρίζες που βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο 7

18 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 2 Υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης συστήματος: π.χ. στο σχεδιασμό ψηφιακών φίλτρων η εξέταση του φάσματος συχνότητας είναι απαραίτητη για έλεγχο αν τηρούνται οι προδιαγραφές του φίλτρου. jωt Θέτοντας e : H h n n n e jωt j T όπου e : H jωt e n h n e H ω συχνοτική απόκριση, μιγαδικός jnωt 8

19 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 3 Ανάλυση ευστάθειας συστήματος: ΓΧΑ συστήματα είναι ευσταθή όταν h <, όπου h: κρουστική απόκριση. Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν όλοι οι πόλοι της ΣΜ είναι μέσα στο μοναδιαίο κύκλο. Πόλος πάνω στο μοναδιαίο κύκλο mrginlly stble, εκτός αν συμπίπτει με ρίζα. Θεωρητικά: βρίσκουμε τους πόλους του H Πρακτικά: αν H δεν είναι παραγοντισμένο, τότε ένας τρόπος είναι ο υπολογισμός της κρουστικής απόκρισης μέσω ΑΜΖ. Αν παρατηρηθεί αύξηση τότε το σύστημα δεν είναι ευσταθές. 9

20 6-Μαρτ Μετασχηματισμός 4 Εξισώσεις διαφοράς: n y b n x n y όπου yn: έξοδος, xn:είσοδος, yn-: έξοδος σε προηγούμενα δείγματα, και α & b : συντελεστές συστήματος. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν στο πεδίο : Y b X Y b X Y H Άρα: - Σύστημα IIR

21 6-Μαρτ Μετασχηματισμός Αν οι συντελεστές b είναι μηδέν, τότε: X Y H n x n y - Σύστημα FIR

22 . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 5 Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης: h AZ[ H ],,,... Αν H είναι σε μορφή δυναμοσειράς: H n h n n h h... τότε η κρουστική απόκριση υπολογίζεται απευθείας από τους συντελεστές του ΜΖ. Επίσης αν xnδn, τότε ynhn υπολογισμός της κρουστικής απόκρισης με αυτόν τον τρόπο. 22

23 6-Μαρτ-29 Επόμενη διάλεξη:. Παραθύρωση Τεχνικές εκτίμησης συχνοτικού περιεχομένου 23