3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου αριθμους Α = αριθμου α + β,, Β που = α επαληθευει την (). β + αβ Συντελεστης του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α. Σταθερος ορος λεγεται ο αριθμος β. 3 3. Διερευνηση β Αν α 0 τοτε η () εχει μοναδικη λυση, την: = - α Αν α = 0 και β 0 τοτε η () δεν εχει λυση (αδυνατη) Αν α = 0 = β τοτε η () εχει απειρες λυσεις (αοριστη η ταυτοτητα) Παρατηρηση Αν ο συντελεστης του αγνωστου η o σταθερος ορος εκφραζεται με τη βοηθεια γραμματων, τοτε η εξισωση λεγεται παραμετρικη. Ισοδυναμες λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες. Π α ρ α δ ε ι γ μ α - - 5 -. Να λυθει η εξισωση: + = 3 6 - - 5 - - - 5 - + = 6 + 6 = 6 3( - ) + ( - ) = 5-3 6 3 6 4 3-3 + 4 - = 5-3 + 4-5 = - + 3 + = 4 = =. Να λυθει η εξισωση : λ ( - ) = 4(λ - ) - 3λ + λ ( - ) = 4(λ - ) - 3λ + λ - λ = 4λ - 4-3λ + λ - 4λ + 4 = λ - 3λ + (λ - 4λ + 4) = λ - 3λ + (λ - ) = (λ - )(λ - ) (Ι) Για (λ - ) 0, δηλαδη για λ, η (Ι) εχει την μοναδικη λυση : (λ - )(λ - ) λ - = = (λ - ) λ - Για (λ - ) = 0, δηλαδη για λ =, η (Ι) γινεται : 0 = ( - )( - ) 0 = 0 0 = 0, οποτε η εξισωση ειναι αοριστη. Η Ε ξ ι σ ω σ η v = a α ν λυσεις της εξισωσης ν =α α = 0 αρτιος η περιττος =0 α > 0 αρτιος = ± ν α Hα > Εννοια 0 του διανυσματος περιττος = ν α α < 0 αρτιος αδυνατη α < 0 περιττος =- ν α

EΞΙΣΩΣΕΙΣ M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ ) + + 5 + Να λυθει η εξισωση : + = 3 6 ο Βημα : Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλοιφη παρονομαστων). + + 5 + 6. + 6. = 6. 3.( + ) +.( + ) = 5 + 3 6 ο Βημα : Απαλοιφουμε τις παρενθεσεις ( επιμεριστικη ιδιοτητα). 3 + 3 + 4 + = 5 + 3ο Βημα : Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι). 3 + 4-5 = - 3-4ο Βημα : Κανουμε πραξεις σε καθε μελος. = -4 5ο Βημα : Διαιρουμε με τον συντελεστη του αγνωστου (και το προσημο του). -4 = = - M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς κ λ α σ μ α τ ι κ η ς ) + - Να λυθει η εξισωση : - = + ( + ) ο Βημα : Παραγοντοποιουμε ολους τους παρονομαστες. + - - = ( + ) ( + ) ο Βημα : Βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων. Ε.Κ.Π. = ( + ) 3ο Βημα : Θετουμε περιορισμους, με την προυποθεση οτι Ε.Κ.Π. 0. Πρεπει : ( + ) 0 0 και ( + ) 0, δηλαδη 0 και -. 4ο Βημα : Κανουμε απαλοιφη παρονομαστων και λυνουμε. + - ( + ) - ( + ) = ( + ) ( + ) - ( + ) = - ( + ) ( + ) - ( + ) = - ( + ) = + + = + = 0 = - = - (δεκτη). Στη περιπτωση που η λυση ηταν ιδια με καποια απ'τις τιμες που μηδενιζουν τον παρο - νομαστη (δες περιορισμους), τοτε δεν θα την δεχομαστε.

EΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η ς ) Να λυθει η εξισωση : λ ( - ) = (λ - ) - 3λ + ο Βημα : Με πραξεις, φερνουμε την εξισωση σε μορφη Α. = B, με Α, Β παραγοντο - ποιημενα. λ ( - ) = (λ - ) - 3λ + λ - λ = λ - - 3λ + λ - λ + = λ - 3λ + ( (λ - ) = (λ - )(λ - ) ( Ι) λ - λ + ) = λ - 3λ + ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι διαφορος του μηδενος, B οποτε εχουμε μοναδικη λυση, την : =. A Για (λ - ) 0, δηλαδη για λ, η (Ι) εχει μοναδικη λυση : (λ - )(λ - ) λ - = = (λ - ) λ - 3ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι ισος με μηδεν και βρι - σκουμε ποιες τιμες μηδενιζουν την παραμετρο. Στη συνεχεια, για καθεμια απο τις τιμες αυτες, ελεγχουμε αν η εξισωση ειναι αδυνατη η αοριστη. Για (λ - ) = 0, δηλαδη για λ =, η (Ι) γινεται : 0 = 0, οποτε η εξισωση ειναι αο - ρ ιστη.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 + 3 + 5 - - = - 4 3 ( - 3)( - ) = 0-3 + = 0 Eιναι ΕΚΠ= + 3 + 5 - + 3 + 5 - - = -. -. =. -. 4 3 4 3 6( + 3) - 3( + ) = 4-4(5 - ) 6 + 8-3 - 3 = 4-60 + 4-75 6-3 - 4-4 = -60-8 + 3-5 = -75 = = 3-5 = 0 ( - 3)( - ) = 0-3 = 0 - = 0-3 + = 0 - - + = 0 ( - ) - ( - ) = 0 ( - )( - ) = 0 - = 0 - = 0 = = + + ( + ) + = ( + ) + (5 - ) = 0 = 0 = 3 = Eιναι + + + = + = () + ( + ) ( + ) ( + ) Για να εχει νοημα η (), πρεπει οι παρονομαστες να ειναι διαφοροι του μηδενος. Δηλαδη 0 - + ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) + = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 και, oποτε η () : ( + ) - = 0 ( + + )( + - ) = 0 ( + ) = 0 + = 0 = - (δεκτη, συμφωνα με τους περιορισμους) + = 0 5 - = 0 = = 5 ( + ) + (5 - ) = 0 και και

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 Να λυθει η εξισωση : λ ( - ) - = 3λ + Ειναι λ ( - ) - = 3λ + λ - λ - = 3λ + λ - = λ + 3λ + (λ - ) = (λ + )(λ + ) (λ - )(λ + ) = (λ + )(λ + ) (Ι) Για (λ - )(λ + ) 0, δηλαδη για λ και λ -, η (Ι) εχει τη μοναδικη (λ + ) (λ + ) λ + λυση : = = (λ - ) (λ + ) λ - Εστω η εξισωση : λ( - μ) = 3( - ). Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ, ωστε η εξισωση να αληθευει για καθε. Ειναι λ( - μ) = 3( - ) λ - λμ = 3-6 λ - 3 = λμ - 6 (λ - 3) = λμ - 6 () Προκειμενου η (Ι) να αληθευει για καθε, πρεπει : λ - 3 = 0 λ = 3 λ = 3 λμ - 6 = 0 3μ = 6 μ = λ =- Για (λ - )(λ + ) = 0, δηλαδη για λ = η λ = -, τοτε Αν λ = η (Ι) γινεται : 0. = ( + )( + ) 0. = 6, αδυνατη Αν λ = - η (Ι) γινεται : Ειναι 0. = (- + )(- + ) 0. = 0, ταυτοτητα (απειρες λυσεις). Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση (λ - 4) = 0, να ειναι ταυτοτητα και η εξισωση (μ - 3) = λ + 3 να ειναι αδυνατη. " η εξισωση (λ - 4) = 0 ειναι ταυτοτητα" σημαινει οτι : λ - 4 = 0 λ = 4 λ = " η εξισωση (μ - 3) = λ μ - 3 = 0 λ + 3 0, που αληθευει, για καθε λ + 3 ειναι αδυνατη" σημαινει οτι : μ - 3 = 0 μ = 3 λ =-

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οινοπνευμα 40%, απο λαθος προσθετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα πε - ριεκτικοτητα 58%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου; 40 Αρχικα ο ογκος του ουισκυ ηταν ml και του οινοπνευματος ηταν ml. Μετα την 00 58 αναμειξη ο γκος του ουισκυ εγινε + 300 ml και του οινοπνευματος ( + 300) ml. 00 Επομενως, εξισωνοντας τους ογκους του οινοπνευματος μετα την αναμειξη, προκυ - πτει : 40 58 + 300 = ( + 300) 40 + 30000 = 58 + 7400 8 = 600 00 00 = 700 Δηλαδη, ο αρχικος ογκος του ουσκυ ηταν 700 ml. Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη, γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικου ρευματος σε ωρες (χωρις να λειτουργει). Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης ηλεκτρικου ρευματος) απο - φορτιζεται σε 4 ωρες. Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παρο - χη του ρευματος. Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι; Εστω οι ωρες που θα χρειαστει η μπαταρια να γεμισει, ενω εργαζομαι. Αφου η μπαταρια φορτιζεται σε ωρες, σε μια ωρα θα εχει φορτιστει κατα το και σε ωρες θα εχει φορτιστει κατα. Αφου η μπαταρια αποφορτιζεται σε 4 ωρες, σε μια ωρα θα εχει αποφορτιστει κατα το 4 και σε ωρες θα εχει φορτιστει κατα. 4 Επομενως - = - = = = 4 4 4 4 4 Δηλαδη, η μπαταρια θα φορτιστει πληρως σε 4 ωρες.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 7 ( - 4) = 3 = 64 Ειναι 7 = - 4 = 3 = 7-4 = -3 = = ( - 4) = 3-4 = 3 η η η 7 7 6 = 64-64 = 0 ( - 64) = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 η η η η 6 6 = 64 6 6 = ± 64 = = ± = 0 η 6-64 = 0

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 5 - + 4-4 + = - 5 3 ( + )(5 - ) = 0 - - = 0 Απαλοιφη παρονομαστων και... Αν Α.Β.Γ=0 τοτε: Α=0 η Β=0 η Γ=0 4 + = + 3-3 - 9 ( - + ) + (-6 + 5 - ) = 0 λ - = λ + 4 λ ( - ) = - λ λ ( - ) = 3( - λ) + ( - λ) Αν η εξισωση α ( - ) = ( - α) - ειναι ταυτοτητα, τοτε να δειξετε οτι η εξισωση α - = α( + ) ειναι αδυνατη. Nα λυθουν και διερευνηθουν οι εξισωσεις - + + = λ - λ + λ λ (λ +3) = + λ + 4 + = λ - λ (λ ) Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση λ(λ -) + μ = + 3 να ισχυει για καθε. Απαλοιφη παρονομαστων, περιορισμοι και... Παραγοντοποιηση το πρωτο μελος και... Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α. = Β, κανω διερευνηση και... Η εξισωση: Α. = Β, ειναι : ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0 αδυνατη αν Α = 0 και Β 0 Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α. = Β. Η εξισωση: Α. = Β, ειναι : ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0 αδυνατη αν Α = 0 και Β 0 Η εξισωση: Α. = Β,ισχυει για καθε αν Α = 0 και Β = 0 Να λυθει η εξισωση - - - 4-5 - = - - -3-5 -6 - - + = = +... - - - Αν 4λ-7=-λ+3 να δειξετε οτι η εξισωση (λ-) = λ + ειναι αδυνατη. Η εξισωση: Α. = Β, ειναι αδυνατη αν Α = 0 και Β 0

AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Ενας ποτεμπορος, προκειμενου να νοθεψει, προ - σθετει σε μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οι - νοπνευμα 40%, 300 ml νερο και το ουισκυ αποκτα περιεκτικοτητα 8%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου; Εστω ο αρχικος ογκος του ποτου οποτε +300... Διαλυμενη ουσια ισουται με την περιεκτικοτητα επι την ποσοτητα του διαλυματος. Σε μια δεξαμενη υπαρχουν τρεις βρυσες Α, Β και Γ. Η βρυση Α γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 8 ωρες, η βρυση Β γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 4 ωρες, ενω η βρυση Γ αδειαζει τη δεξαμενη σε 6 ωρες. Αν οι τρεις βρυσες ειναι ανοικτες ταυτοχρονα, σε ποσες ωρες θα γεμισει η δεξαμενη; Σε εναν διψηφιο αριθμο το ψηφιο των μοναδων ειναι αριθμος μεγαλυτερος κατα απο το ψηφιο των δεκαδων. Αν διαιρεσουμε τον διψηφιο αυτον αριθμο με το αθροισμα των ψηφιων δεκαδων και μοναδων βρίσκουμε πηλικο 4 και υπολοιπο 6. Να βρεθει ο διψηφιος αυτος αριθμος Σε μια ταξη Λυκειου διοργανωθηκε πρωταθλημα σκακιου. Την πρωτη μερα εγιναν μονο καποιοι αγωνες στους οποιους οι δυο αντιπαλοι ηταν ενα αγορι και ενα κοριτσι. Στους αγωνες αυτους της πρωτης μερας πηραν μερος τα /3 του αριθμου των κοριτσιων της ταξης και τα 3/4 του αριθμου των αγοριων της τάξης. Αν η ταξη εχει συνολικα 34 παιδια να βρειτε: ποσα αγορια και ποσα κοριτσια εχει η ταξη ποσα παιδια δεν πηραν μερος την πρωτη μερα στους αγώνες. Αν ο Α εκτελει ενα εργο σε α ωρες και ο Β σε β ωρες, τοτε αν συνεργαστουν και εκτελε - σουν το εργο σε ωρες, η εξι - σωση που αποδιδει το προβλη - μα ειναι : + = α β Ενας διψηφιος αριθμος γραφεται : y=0+y Aν τωρα y=+ τοτε... Αν κοριτσια τοτε 34 - τα αγορια. Αρα τη πρωτη μερα πηραν μερος : 3 κοριτσια και (34 - ) 3 4 αγορια και...

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ε ι δ ι α α π ο λ υ τ α ) - - Να λυθει η εξισωση : + = - + -7 3 ο Βημα : Μετατρεπουμε ολα τα απολυτα, ωστε να γινουν ιδια ( εχουμε το δικαιωμα να αλ - λαξουμε τα προσημα ενος απολυτου καθως και να βγαλουμε κοινο παραγοντα). - - + =. - -7 3 ο Βημα : Λυνουμε σαν εξισωση ου βαθμου με αγνωστο το απολυτο. - - 6 + 6 = 6 - -6 7 - +3 - = - - 4 3 - + 3 - - - = - 4-7 - = - 4 - = 6 3ο Βημα : Εχοντας υποψιν οτι, αν : α. f() = θ > 0, τοτε f() = ± θ β. f() = α < 0, τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη, λυνουμε τις δυο εξισωσεις που προκυπτουν η αναφερουμε οτι η εξισωση ειναι αδυνατη. - = 6 = 6 + = 7 - = -6 = -6 + = -5 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ε δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ α α π ο λ υ τ α ) Να λυθει η εξισωση : - + - 4 = ο Βημα : Βρισκουμε τις τιμες που μηδενιζουν καθε απολυτο και σχηματιζουμε πινακα προσημων των απολυτων, για το καθε διαστημα που δημιουργηθηκε. - μηδενιζει για = -4 μηδενιζει για = - + - -- + + -4 --4 --4 +4 ο Βημα : Λυνουμε την εξισωση ξεχωριστα σε καθε διαστημα που δημιουργηθηκε. Για <, η εξισωση γινεται : 4 - + - + 4 = - - = - - 4-3 = - 4 = (απορριπτεται, < ). 3 Για <, η εξισωση γινεται : - - + 4 = - = + - 4 - = - = (απορριπτεται, < ). Για, η εξισωση γινεται : - + - 4 = + = + + 4 3 = 6 = (δεκτη).

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - 4 = 6-4 = 0-4 = -3 3-4 = - 3-4 4 - - 8 + = 3 4 Ειναι - 4 = 6 = 0-4 = 0-4 = 0 = 4-4 = 6 η η - 4 = -6 = - - 4 = -3 ειναι αδυνατη αφου - 3 < 0 3-4 = - 3 3 - = - 3 3 - = - 3 3 - = - 3 η η 3 - = - + 3 3 + = + 3 = 9 = 9 η η 5 = 5 = 3 α = -α - 4 4 - - 8-4 -( - 4) ( - 4) + = + = 3 4 3 4-4 - 4-4 - 4-4 - 4 + = 6. + 6. = 6. 3 4 3-4 +3-4 = 3-4 - 4 = 0-4 = 0 = 4 - = 3 + 5-3 + = Ειναι Aν 3 + 5 < 0 τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη. 5 Aν 3 + 5 > 0, δηλαδη > -, τοτε - = 3 + 5 3 - = 3 + 5 - = 6 - = -3-5 4 = -4 5 5 { = -3 (απορριπτεται αφου - 3 < - ) = - (δεκτη αφου - > - )} 3 3-3 +>0-3 + = - 3 + = - 3 = - 3 = - 3 = - = 4 =

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - = 4-3 - 3 + = 0 Ισχυει : - 0, οποτε η εξισωση : =, αν 0 - = 4-3 - = 4-3 4 = 4 + =-, αν <0 4 =, αν 0 4 = 4 +, αν 0 3 = 4, αν 0 3-4 = 4 +, αν < 0-5 = 4, αν < 0 4 = -, αν < 0 5 = - 3 + = 0-3 + = 0 - - + = 0 ( -) - ( -) = 0 ( -)( -) = 0 - = 0 = - = 0 = = ± = ± Να λυθει η εξισωση : 3 - + - - - 3 = 0 Τα απολυτα μηδενιζουν για =, = και = 3. Οποτε θα εξετασουμε την εξισωση στα διαστηματα : (-,), [, ), [, 3) και [3, + ). Στο : (-,) ειναι : - = - +, - = - +, - 3 = - + 3 και η εξισωση γινεται : 3(- + ) + (- + ) - (- + 3) = 0-3 + 3 - + 4 + - 3 = 0-4 + 4 = 0 = (απορριπτεται αφου (-,)). Στο :[, ) ειναι : - = -, - = - +, - 3 = - + 3 και η εξισωση γινεται : 3( - ) + (- + ) - (- + 3) = 0 3-3 - + 4 + - 3 = 0 - = 0 = (δεκτη αφου [, ) ). Στο :[, 3) ειναι : - = -, - = -, - 3 = - + 3 και η εξισωση γινεται : 5 3( - ) + ( - ) - (- + 3) = 0 3-3 + - 4 + - 3 = 0 6-0 = 0 = 3 5 (απορριπτεται αφου [, 3)). 3 Στο :[3, + ) ειναι : - = -, - = -, - 3 = - 3 και η εξισωση γινεται : 3( - ) + ( - ) - ( - 3) = 0 3-3 + - 4 - + 3 = 0 4-4 = 0 = (απορριπτεται αφου [3, + )). Αρα η εξισωση εχει μια λυση, την =.

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 - = 5 + 7 = 0 - + 3 +3-6 = 0-4 - + = 3 3-6 + 4-6 -3-6 + - = 3 - - - + - = 3 3 + 3 = - + - = - + 3-4 + = 6 - = 6- (3 - ) + - 3-0 = 0 + - - = 5 + - 3 - + - 3 = 0 - - 3 + + - 4 = 3-5 Ισχυει : = θ Αν = θ, θ > 0 τοτε η = -θ = α Αν = α τοτε η = -α Ισχυει : = θ Αν = θ, θ > 0 τοτε η = -θ = α Αν = α τοτε η = -α α = α Bρισκουμε τις τιμες του που μηδενιζουν τα απολυτα και ε - ξεταζουμε την εξισωση στα δι - αστηματα που σχηματιζονται απ'αυτες τις τιμες. Ελεγχουμε αν η λυση που βρισκουμε καθε φορα, ανηκει στο διαστημα που εξεταζουμε την εξισωση.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 Λ υ σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ Εξισωση ου βαθμου μ εναν αγνωστο, ειναι η εξισωση με :α²+β+γ=0 με α,β,γ και α 0. Διακρινουσα της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεγεται η αλγεβρικη παρασταση: Δ=β -4αγ. Λυση της εξισωσης δευτερου βαθμου: Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες ανισες στο τις ρ₁ ₂ = -β ± Δ. α Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα ρ = -β α. Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δεν εχει ριζα στο, δηλαδη ειναι αδυνατη στο. Παρατηρηση. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν: Δ 0.. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ ειναι ετεροσημοι. 3. H εξισωση της μορφης: α 4 +β +γ=0 με α,β,γ και α 0, λεγεται διτετραγωνη και η λυση της γινεται με την αντικατασταση: =y, οποτε α 4 +β +γ=0 αy +βy+γ=0. Α π ο δ ε ι ξ η α + β + γ = 0 Δ=β -4αγ + + = 0 + + - + = 0 β β γ β β - 4αγ + = - + = α 4α α α 4α β γ β β β γ α α α α α α β Δ β Δ -β ± Δ Αν Δ > 0 : + = + = ± = α 4α α α α β Δ + = () α 4α β β β Αν Δ = 0 : + = 0 + = = - α α α Αν Δ < 0 : Η () ειναι αδυνατη στο, οποτε η εξισωση δεν εχει ριζες στο.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 Α θ ρ ο ι σ μ α - Γ ι ν ο μ ε ν ο Ρ ι ζ ω ν Ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ Εστω η εξισωση: α +β+γ=0 με α 0, Δ 0 και ριζες,. To αθροισμα των ριζων, της εξιςωσης: α +β+γ=0 δινεται απο: β S = + = - () α To γινομενο των ριζων, της εξιςωσης: α +β+γ=0 δινεται απο: Ρ =. = γ α () Οι πιο πανω τυποι λεγονται τυποι του Vietta. Συμφωνα με τα πιο πανω η εξισωση: α +β+γ=0 μετασχηματιζεται: () α β γ β γ α + β + γ = 0 + + = 0 - (- ) + = 0 - S + P = 0 α α α α α () Α π ο δ ε ι ξ η Oι ριζες της : α + β + γ = 0 ειναι : = και =. Τοτε S = + -β + Δ -β - Δ α α -β + Δ -β - Δ -β + Δ - β - Δ -β β = + = = = - α α α α α -β + Δ -β - Δ (-β + Δ)(-β - Δ) (-β) - ( Δ) β - Δ Ρ =. =. = = = = α α 4α 4α 4α β - β + 4αγ 4αγ γ = = = 4α 4α α M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ ) Να λυθει η εξισωση : ( - ) - ( + 3) = - ο Βημα : Κανουμε πραξεις και τη φερνουμε στη μορφη : Δ=β -4αγ α + β + γ = 0. ( - ) - ( + 3) = -... - 5 + 6 = 0 με α =,β = -5 και γ = 6. ο Βρισκουμε την διακρινουσα που ειναι ιση με : Δ = β - 4.α.γ. Δ = (-5) - 4 6 = 5-4 = -β ± Δ 3ο Βημα : Βρισκουμε τις ριζες της, με τη βοηθεια του τυπου : =., α 5 + 6 = = -(-5) ± 5 ± = 3 = =, 5-4 = = = Στη περιπτωση που : β Δ = 0, τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα, την : = -. α Δ < 0, τοτε η εξισωση δεν εχει πραγματικες ριζες.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 Σ η μ α ν τ ι κ ο 0. Δυο ριζες πραγματικες και ανισες 0. Δυο ριζες ισες 03. Καμμια πραγματικη ριζα 04. Δυο ριζες ετεροσημες 05. Δυο ριζες ετεροσημες ("θετικη" μεγαλυτερη) 06. Δυο ριζες ετεροσημες ("αρνητικη" μεγαλυτερη) 07. Δυο ριζες θετικες 08. Δυο ριζες θετικες και ανισες 09. Δυο ριζες θετικες και ισες 0. Μια ριζα θετικη και η αλλη μηδεν. Δυο ριζες αρνητικες. Δυο ριζες αρνητικες και ανισες 3. Δυο ριζες αρνητικες και ισες 4. Μια ριζα αρνητικη και η αλλη μηδεν 5. Μια ριζα το μηδεν 6. Δυο ριζες ισες με μηδεν 7. Δυο ριζες αντιστροφες 8. Δυο ριζες αντιθετες 9. Δυο ριζες ομοσημες 0. Δυο ριζες ομοσημες και διαφορετικες. Δυο ριζες ομοσημες και ισες 0. Δ > 0 και α 0 0. Δ = 0 και α 0 03. Δ < 0 04. Ρ < 0 05. Ρ < 0 και S > 0 06. Ρ < 0 και S < 0 07. Δ 0 και Ρ > 0 και S > 0 08. Δ > 0 και Ρ > 0 και S > 0 09. Δ = 0 και S > 0 0. P = 0 και S > 0. Δ 0 και Ρ > 0 και S < 0. Δ > 0 και Ρ > 0 και S < 0 3. Δ = 0 και S < 0 4. P = 0 και S < 0 5. P = 0 6. Δ = 0 και P = 0 7. Δ 0 και P = 8. P < 0 και S = 0 9. Δ 0 και P > 0 0. Δ > 0 και P > 0. Δ = 0 και P > 0

Δινεται η εξισωση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 + ( - λ) - λ = 0 (Ι). Αν η μια ριζα της ειναι το -, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα. Aν η εξισωση (Ι) εχει διπλη ριζα, τοτε να δειξετε οτι ο λ ισουται με τη ριζα αυτη. Αφου το - 3 ειναι ριζα της εξισωσης, τοτε την επαληθευει. Δηλαδη (-3) + ( - λ)(-3) - λ = 0 9-3 + 3λ - λ = 0 λ = 6 λ = 3 Οποτε η (Ι) γινεται : Δ = 4 + = 6 + ( - 3) - 3 = 0 - - 3 = 0 ± 4 3 = = ± = - Oποτε η αλλη ριζα ειναι το 3 και λ = 3. Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : Δ = 0 ( - λ) - 4..(-λ) = 0 - λ + λ + 4λ = 0 λ + λ + = 0 (λ + ) = 0 λ + = 0 λ = -. Επισης -( - λ) - + λ - + (-) - - - = = = = = = -. Αρα ο λ ισουται με τη διπλη ριζα.. Δινεται η εξισωση (λ - ) Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) : + λ + λ - = 0 (Ι). να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. να εχει μια διπλη ριζα, που θα βρειτε. Αφου η (Ι) εχει μονο μια ριζα, τοτε δεν ειναι εξισωση δευτερου βαθμου. Οποτε πρεπει, λ - = 0 λ = Για λ = η (Ι) γινεται : 4 + = 0 = - 4 Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : να μην εχει πραγματικη ριζα. Δ = 0 (λ) - 4.(λ - ).(λ - ) = 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 = 0 λ = 8 λ =. Επισης, η διπλη ριζα ειναι : 4 4 4 -. - - - -λ -λ 3 3 3 3 = = = = = = = 0.(λ - ) λ - 4 4 8. - 4 - - 4 3 3 3 3. - 3 Η εξισωση (Ι), προκειμενου να εχει δυο ριζες πραγματικες ανισες, πρεπει : Δ > 0 (λ) - 4.(λ - ).(λ - ) > 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 > 0 λ > 8 λ >. 3 Η εξισωση (Ι), προκειμενου να μην εχει ριζες πραγματικες, πρεπει : Δ < 0 (λ) - 4.(λ - ).(λ - ) < 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 < 0 λ < 8 λ <. 3 3

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 Δινεται η εξισωση - λ + λ - = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ. 4 3 Αν οι αριθμοι 3, ρ, ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (, ). Δ = (-λ) - 4..(λ - ) = 4λ - 4λ + = (λ - ) 4 λ + (λ - ) λ + λ - 4λ - = = = λ ± (λ - ) =, λ - (λ - ) λ - λ + = = = 4λ - Eπειδη 3,, αποτελουν μηκη πλευρων τριγωνου ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα. Δηλαδη (+) 4λ - 5 4λ - 7 3 - < < 3 + < < 5 < 4λ - < 7 (:4) 6 8 3 3 5 + < 4λ - + < 7 + 6 < 4λ < 8 < λ < < λ <. Αρα λ (,). 4 4 Δινεται η εξισωση + - 6 = 0 με ριζες τις και. Χωρις να λυσετε, να υπολογισετε τις παραστασεις : 3 3 Α = + B = + Γ = ( - ) Δ = + + + Δινεται η εξισωση Να υπολογισετε το λ ωστε : + = 3. + (λ - ) - λ = 0 με ριζες τις και. β γ -6 S = + = - = - = - () Ρ =. = = = -6 () α α () () Α = + = ( + ) -. =(-) - (-6) = + = 3 B = + = ( + )( 3 3 = (-)[3 - (-6)] = -9 (,) Α=3 -. + ) = ( + )[( + ) -. ] = () Α=3 Γ = ( - ) = -. + = ( + ) -. = 3 - (-6) = 5 () + + + ( + ) + 4 Δ = + = = = + + ( + )( + ) ( + ) + + 4 () - + 4 3 3 = = = - (-) + (-6) + 4 - - 6 + 4 4 β λ - γ -λ S = + = - = - = -λ + (3) Ρ =. = = = -λ (4) α α () () + = 3 ( + ) -. = 3 (-λ + ) - (-λ) = 3 λ - 4λ + 4 + 4λ - 3 = 0 λ - 9 = 0 λ = 9 λ = ± 9 λ = ±3

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Δινεται η εξισωση - λ + λ - = 0. Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : Δυο ριζες ετεροσημες. Δυο ριζες αντιστροφες. Ειναι Δυο ριζες θετικες ανισες. Δυο ριζες αντιθετες. β -λ γ λ - α α Η εξισωση εχει δυο ριζες ετεροσημες, αν : Ρ < 0 λ - < 0 λ < Δ = (-λ) - 4..(λ - ) = (λ - ) S = + = - = - = λ Ρ =. = = = λ - Η εξισωση εχει δυο ριζες θετικες ανισες, αν : Δ > 0 (λ - ) > 0 λ λ S > 0 λ > 0 λ > 0 λ (, )U(, + ) λ > Ρ > 0 λ - > 0 λ > Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιστροφες, αν : Δ 0 (λ - ) 0 λ λ = Ρ = λ - = λ = Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιθετες, αν : Δ > 0 (λ - ) > 0 λ λ = 0 S = 0 λ = 0 λ = 0 Δινεται η εξισωση - 3 + λ = 0 με ριζες τις και. Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι διπλασια της αλλης. Για την πιο πανω τιμη του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει ριζες : και. β -3 γ λ Ειναι : + = - = - = 3 (). = = = λ () α α Αν =, τοτε οι () και () γινονται : + = 3 3 = 3 = λ =. = λ = λ. = λ η οποια ειναι δεκτη γιατι, για λ = η διακρινουσα ειναι : Δ = (-3) - 4.. = 9-8 = > 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. Για λ - η εξισωση γινεται : - 3 + = 0 και + = 3, Oποτε, αν ρ = και ρ =, τοτε.. - (ρ + ρ ) + ρ.ρ. =. + ( + ) -. 3 -. 5 ρ + ρ = + = = = = ρ.ρ =. = Αρα η ζητουμενη εξισωση ειναι : = 0 - + = 0-5 + = 0 5

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Αν οι ριζες της εξισωσης - (α - β) - αβ = 0 ειναι αντιθετες και οι ριζες της ε - ξισωσης α + 5 + α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε : να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων α και β. να λυσετε την πρωτη εξισωση, για τις τιμες των α και β που βρηκατε πιο πανω. Αφου οι ριζες της εξισωσης - (α - β) - αβ = 0 ειναι αντιθετες, τοτε : Δ > 0 (α - β) + 4αβ > 0 α - 4αβ + 4β + 4αβ > 0 α + 4β > S = 0 α - β = 0 α = β α = β Αφου οι ριζες της εξισωσης α + 5 + α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε : 5-4α(α - 3αβ) > 0 5-4α.α > 0 5 Δ 0 5-4α > 0 α < α - 3αβ α(α - 3β) 4 Ρ = = = α - 3β = α 0 α = β () α α - 3β = 5 5 5 5 5 5 () - < α < - < β < - < β < 4 4 4 4 8 8 β = (δεκτη), οποτε α =. α - 3β =.β - 3β = β = Για α = και β = η πρωτη εξισωση γινεται : - ( -.) -. = 0 - = 0 = = ±. 4 () : + - = 0 4 3 () : + + + + = 0 Θετουμε = y, οποτε η () γινεται : y + y - = 0 y - y + y - = 0 y(y - ) + 3(y - ) = 0 (y - )(y + 3) = 0 y - = 0 y = Για y = τοτε = = ± y + 3 = 0 y = -3 Για y = -3 τοτε = -3 αδυνατη. Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-,}. Για + = y τοτε ( + ) = y + + = y + = y -. Για 0, διαιρουμε την ( ) με, οποτε προκυπτει : + =y + =y - + + + + = 0 + + + + = 0 y = 0 y = 0 y - + y + = 0 y + y = 0 y(y + ) = 0 y + = 0 y = - 0 Για y = 0 τοτε + = 0 + = 0, αδυνατη Για y = - τοτε - = - - = - + - = 0 ( + ) = 0 + = 0 = -. Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-}.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ () : ( - + ) - 6( - + ) + 5 = 0 () : ( - ) - 8 - +5 = 0 Θετουμε - + = y, οποτε η () γινεται : y - 6y + 5 = 0 y - y - 5y + 5 = 0 y - = 0 y = y(y - ) - 5(y - ) = 0 (y - )(y - 5) = 0 y - 5 = 0 y = 5 = Για y = τοτε - + = - + = 0 ( - ) = 0 Για y = 5 τοτε - + = 5 - - 3 = 0-3 + - 3 = 0 + = 0 ( - 3) + ( - 3) = 0 ( + )( - 3) = 0-3 = 0 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-,, 3}. = - = 3 Θετουμε Eιναι, ( - ) - 8 - +5 = 0 - -8 - +5 = 0 ω - 8ω + 5 = 0 - =ω ω = 3 ω = 5 ω - 3ω - 5ω + 5 = 0 ω(ω - 3) - 5(ω - 3) = 0 (ω - 3)(ω - 5) = 0 - = 3 = 4 Για ω = 3 τοτε - = 3 - = -3 = - Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4, -, 4, 6} - = 5 = 6 Για ω = 5 τοτε - = 5 - = -5 = -4 () : - 3 - - = 0 () : - - - 3 = 0 Για - 0 η () γινεται : - 3( - ) - = 0-3 + 3 - = 0-3 + = 0 - - + = 0 - = 0 = ( - ) - ( - ) = 0 ( - )( - ) = 0 - = 0 = Για - < 0 < η () γινεται : - 3(- + ) - = 0 + 3-3 - = 0 + 3-4 = 0 + 4 - - 4 = 0 + 4 = 0 = -4 ( + 4) - ( + 4) = 0 ( + 4)( - ) = 0 - = 0 = απορριπτεται αφου < Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4,,}. - 3 0 3 - - - 3 = 0-3 = - - 0 ( - 3) = ( - ) - 6 + 9 = - 3 3 3-6 + 9 = - - 7 + 0 = 0 - - 5 + 0 = 0 3 3 3 3 - = 0 = απορριπτεται ( - ) - 5( - ) = 0 ( - )( - 5) = 0-5 = 0 = 5 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {5}.

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δινεται η εξισωση - (λ + 3) + λ + 4 = 0 (Ι). Αν η μια ριζα της ειναι το, να δειξετε οτι ο λ ι - σουται με την αλλη ριζα. Να δειξετε οτι η εξισωση - (α + β + γ) + αβ + βγ + γα = 0 (ΙΙ) εχει δι - πλη ριζα, μονο αν α = β = γ. Να δειξετε οτι η εξισωση α + β + γ = 0 (ΙΙΙ) εχει ριζα τον αριθμο -, μονο αν β = α + γ. Η εξισωση α + β + γ = 0 εχει : δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0. μια διπλη ριζα, αν Δ = 0. καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0. Δινεται η εξισωση (λ - 3λ + ) + (λ - ) + 3 = 0 (Ι). Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) : να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε. να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. να μην εχει πραγματικη ριζα. Δινεται η εξισωση - (λ + ) + λ = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ. Αν οι αριθμοι, ρ, ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (, 3). Δινεται η εξισωση + - 3 = 0 με ριζες τις και. Χωρις να λυσετε, υπολογιστε τις : Α = + B = + Γ = ( - )( - ) Δινεται η εξισωση + (λ + ) - - λ = 0 με ριζες τις και. Να υπολογισετε το λ ωστε : + =. 3 Αν α και β ειναι ριζες της εξισωσης - + + 3 = 0, τοτε να λυθει το συστημα : α β (α - β) + + y = α β + αβ β α 3 3 (α - β ) - ( - α)( - β)y = 4 Η εξισωση α + β + γ = 0 εχει : δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0. μια διπλη ριζα, αν Δ = 0. καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0. Αν α, β, γ ειναι πλευρες τριγω - νου, τοτε : β - γ < α < β + γ α - γ < β < α + γ β - α < γ < β + α Για την εξισωση α + β + γ = 0, το αθροισμα και το γινομενο των ριζων της δινεται απο : β γ S = - και Ρ = α α Ισχυει : + = ( + ) -. 3 3. + ) ± = ( ± )(.

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Δινεται η εξισωση - λ + 3 = 0 με ριζες τις και. Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι τριπλασια της αλλης. Για τις πιο πανω τιμες του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει ριζες : -, -. β γ S = - και Ρ = α α Αν α και β ειναι ριζες εξισω - σης δευτερου βαθμου, τοτε αυ - τη εχει μορφη : - (α + β) + αβ = 0 Δινεται η εξισωση 4 + 4(3λ + ) + 9λ - 36 = 0. Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : Δυο ριζες ετεροσημες. Δυο ριζες αντιστροφες. 4-3α - 4α = 0 4 4 γ + (α γ - β γ ) - α β = 0 4 3 + 5 + 4-5 + = 0 Δυο ριζες oμοσημες. Δυο ριζες αντιθετες. Αν οι ριζες της εξισωσης - (5λ - 6μ) - = 0 ει - ναι αντιθετες και οι ριζες της εξισωσης λ + 3 - λμ + λ = 0 ειναι αντιστροφες, τοτε : να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων λ και μ. να λυσετε τις εξισωσεις, για τις τιμες των λ και μ που βρηκατε. β γ Βρες : Δ, - και και χρησι - α α μοποιησε τον δοσμενο πινακα. β γ Βρες : Δ, - και και χρησι - α α μοποιησε τον δοσμενο πινακα. Για εξισω σεις της μορφης : 0, αντικαθιστουμε = 4 α + β + γ = y Για εξισωσεις της μορφης : 4 3 α + β + γ + β + α = 0 : Διαιρουμε με αντικαθιστουμε : y = + οποτε : + = y - y = - οποτε : + = y +. ( + - 3) + ( + + 4) - 9 = 0 ( - ) = 3 - +4 Αντικαθιστουμε τις ιδιες παρεν - θεσεις η τα ιδια απολυτα με y και λυνουμε τις δευτεροβαθμιες... - - -4 = 0 + - = 7 Λυνουμε σε δυο διαστηματα, λογω του απολυτου. Βαζουμε περιορισμους, λογω του ριζικου.