Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 10: Εφαρμογές των Ράντων Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής περαιτέρω της ράντες μέσω αντίστοιχων εφαρμογώνπαραδειγμάτων. 4

Περιεχόμενα ενότητας Εφαρμογές-παραδείγματα χρήσης ράντων. 5

Εφαρμογές των Ραντών: Ανάλυση επενδύσεων Επέκταση της μεθόδου της ΚΠΑ αποτελεί το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR), δηλαδή της εύρεσης ενός επιτοκίου απόδοσης που αποτελεί ουσιαστικά την απόδοση του επενδυτικού κεφαλαίου στο ορισθέν χρονικό διάστημα. Στο πλαίσιο αυτό ορίζουμε εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) το επιτόκιο που εξισώνει την παρούσα αξία των εισροών (κερδών) μίας επένδυσης με την παρούσα αξία των εκροών (κόστος) της. 6

Εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης Εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) είναι το επιτόκιο που εξισώνει την Καθαρή Παρούσα Αξία (Κ.Π.Α.) μίας επένδυσης με το μηδέν. Μια επένδυση γίνεται αποδεκτή εφ όσον το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) κρίνεται ικανοποιητικό ως απόδοση, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση που το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) είναι μεγαλύτερο από το κόστος κεφαλαίου της επιχείρησης. Κόστος κεφαλαίου είναι το μέσο κόστος των χρηματοδοτικών πηγών της επιχείρησης (δανειακών και ιδίων κεφαλαίων). 7

Τύπος υπολογισμού του IRR Κ 1 (1+i) + Κ 2 (1+i) 2 + + Κ t (1+i) t - C =0 Κ 1 (1+IRR) + Κ 2 (1+IRR) 2 + + Κ t (1+IRR) t - C =0 Όπου Κ 1, Κ 2, Κ t οι εισροές της επένδυσης, C το αντίστοιχο κόστος. i η άγνωστη μεταβλητή που ισοδυναμεί με το IRR. 8

Παράδειγμα 1 (1) 1. Να βρεθεί το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) στις παρακάτω χρηματοροές. Πίνακας 1. Δεδομένα παραδείγματος 9

Παράδειγμα 1 (2) Λύση H εύρεση του εσωτερικού επιτοκίου απόδοσης επιτυγχάνεται με την λύση της παρακάτω εξίσωσης ως προς i = ΙRR. [Κ 1 (1+IRR) + Κ 2 (1+IRR) 2 + + Κ t (1+IRR) t - C =0 => [1000 (1+IRR) + 1000 (1+IRR) 2 + 1000 (1+IRR) 3 + 1000 (1+IRR) 4 1000 (1+IRR) 5-4200 =0 10

Παράδειγμα 1 (3) H εξίσωση είναι πέμπτου βαθμού, ως εκ τούτου θα υποθέσουμε ότι είναι γραμμικής μορφής και θα τη λύσουμε προσεγγιστικά με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής. Τα βήματα που θα ακολουθήσουμε είναι τα εξής: 1. Υπολογίζουμε την παρούσα αξία των εισροών με ένα τυχαίο χαμηλό επιτόκιο 5 %, με στόχο την εύρεση αξίας λίγο πάνω από το κόστος της (εκροές) επένδυσης. 11

Παράδειγμα 1 (4) H παρούσα Αξία για R=1.000 Από τον πίνακα είναι ίση με a 0,055 =4,329. A 0,05 15 =R* a 0,055 =1000*4,329=4.329. H παρούσα αξία των εισροών είναι υψηλότερη από το κόστος της επένδυσης κατά 4.329-4200 = 129. Πίνακας 2. Δεδομένα παραδείγματος 1 12

Παράδειγμα 1 (5) 2. Υπολογίζουμε ξανά την παρούσα αξία των εισροών με ένα τυχαίο υψηλό επιτόκιο 10 %, με στόχο την εύρεση αξίας λίγο κάτω από το κόστος της επένδυσης. Η παρούσα αξία για R=1.000 και από τον πίνακα Β5 είναι ίση με: a 0,105 =3,79 A 0,10 15 =R* a 0,105 =1000*3,79=3.790 13

Παράδειγμα 1 (6) Η παρούσα αξία των εισροών είναι μικρότερη από το κόστος της επένδυσης κατά 4.200-3.790 = 410 Πίνακας 3. Δεδομένα παραδειίγματος 3. H διαφορά μεταξύ των δυο επιτοκίων που χρησιμοποιήσαμε στις παραπάνω προεξοφλήσεις είναι ίση με 0,10 0,05 = 0,05. 14

Παράδειγμα 1 (7) 4. Απώτερος στόχος του προβλήματος είνια η έυρεση του επιτοκίου που θα δώσει παρούσα αξία ίση με το κόστος 4.200. Το επιτόκιο αυτό θα είνια μεταξύ 0,05 και 0,10 και υπολογίζεται ως εξής. Ορίζουμε α) 4.329-4.200=129, β) 4.200-3.790 = 410 Διαφορά των επιτοκίων 0,10-0,05 =0,05 IRR = Επιτόκιο + Διαφορά επιτοκίων * (Διαφορά α / (διαφορά α+διαφορά β)) (Το 1ο τυχαίο επιτόκιο που έδωσε ΠΑ>0) IRR = 0,05+0,05 * 129/129+410= 0,061967 15

Παράδειγμα 1 (8) Το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης που υπολογίσαμε είναι 6,1967%, ενώ η έυρεση του με την χρήση του EXCEL είναι 6,1081%. Η προσέγγιση θα μπορύσε να βελτιωθεί εαν περιορίζαμε τα όρια μέσα στα οποία ανήκει το IRR. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε 8% επιτόκιο στο δεύτερο βήμα αντι 10% η παρούσα αξία θα είναι ίση με Α 0,08 5 =R* a 0,08 5 = 1000*3,99 =3.990. Τα υπολοιπα βήματα επαναλμβάνονται και συνεπώς έχουμε διαφορά μεταξύ των δυο επιτοκίων 0,08-0,05=0,03 Διαφορά α) 4.329-4.200=129, β) 3.990-4.200 = 410 IRR = 0,05 +0,03 *129/(129+210)= 0,061416 16

Παράδειγμα 1 (9) Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση είναι ακόμη καλύτερη καθώς πλησιάσαμε την πραγματική τιμή 6,1081% περισσότερο συγκριτικά με το προηγούμενο αποτέλεσμα 6,1967%. 17

Παράδειγμα 2 2. Μια επένδυση των 40.000 ευρώ παράγει ετησίως 2.000 ευρώ κέρδη (εισροές) στο διηνεκές. Ποιο το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης της επένδυσης? Λύση Το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης υπολογίζεται από το μηδενισμό της εξίσωσης της καθαρής παρούσας αξίας. Η παρούσα αξία των ειρσοών δίνεται από τη σχέση R/i όπου R ο όρος τηςε διηνεκούς ράντας και i το επιτόκιο. Η Κ.Π.Α είναι ίση με Κ.Π.Α = R/i -C Για να υπολογίσουμε το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) απλώς αντικαθιστούμε όπου i με IRR και εξισώνουμε την ΚΠΑ με το μηδέν, δηλαδή, R/IRR C=0 2.000 / IRR-40.000 = 0 IRR = 0,05 ή 5% απόδοση 18

Παράδειγμα 3 3. Επένδυση των 30.000 ευρώ παράγει ΚΈΡΔΗ ΣΤΟ ΔΙΗΝΕΚΈς. Το επόμενο έτος τα κέρδη θα είναι 1.000 (εισροές) ευρώ και έχει προβλεφθεί οτι θα αυξάνονται κατά 5% στο διηνεκές. Ποιο το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης της επένδυσης? Λύση Η ΚΠΑ με σταθερή αύξηση του όρου R είναι ίση με : Κ.Π.Α = R/(i-g) -C Το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης υπολογίζεται μετά από τις απαραίτητες αντικατστάσεις από τον τύπο, R/(IRR-g) C = 0 1000 /(IRR-g) 30.000 = 0 IRR-g =1.000/ 30.000 IRR = 8,333% απόδοση 19

Παράδειγμα 4 (1) 4. Να αποφανθέιτε για την απόδοση των παρακάτω επενδύσεων με βάση τα κριτήρια της Κ.Π.Α και του εσωτερικού επιτοκίου απόδοσης, όταν το επιτόκιο της αγοράς (κόστος κεφαλαίου) είναι 10%. Οι χρηματοροές που δίνονται είναι οι εξής: Πίνακας 4. Δεδομένα παραδείγματος 4 Λύση. To IRR της επένδυσης Α είναι Κ/(1+i) C = 0 800/1+IRR -500 = 0 IRR =1,6-1 = 0,6. Η επένδυση Α είναι ωφέλιμη για την επιχείρηση, αφού IRR =0,6 >0,10 = κόστος κεφαλάιου. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και με μετη εφαρμογή της Κ.Π.Α, δίοτι ΚΠΑ Α =Κ/(1+i) C = 800/1,10-500 = 0 ΚΠΑ Α =227,27 >0 20

Παράδειγμα 4 (2) β) Το IRR της επένδυσης Β είναι: Κ- C/(1+IRR) = 0 600 [350 / (1+IRR)] IRR =350/600-1= -0,417 (λάθος προσέγγιση) Στην περίπτωση που οι εκροές έπονται των εισροών και η ονομαστική αξία των εισροών (600 ευρώ) είναι υψηλότερη από την αντίστοιχη των εκροών (350 ευρώ) τότε η απόδοση υπολογίζεται με βάση των εξίσωση. 21

Παράδειγμα 4 (3) Κ- C/(1+IRR) = 0 600 [350 / (1+IRR)] 1+IRR =600/350 IRR = 0,714 >0,10 Με άλλα λόγια η πένδυση θα συνεχίσει να είναι κερδοφόρα ακόμη και αν το κόστος κεφαλάιου της αυξξθεί από το 10% εως και το 71,4%. Η Κ.Π.Α επιβεβαιώνει την υψηλή αποδοτικότητα της επενδυσης Β, καθώς ΚΠΑ Β =Κ- C/(1+i) = 600-350/1,10 = 281,81>0 22

Παράδειγμα 4 (4) γ) Το IRR της επένδυσης γ είναι Κ- C/(1+IRR) = 0 400 [410 / (1+IRR)] 1+IRR =410/400 IRR = 1,025-1 =0,025 Στην περίπτωση που οι εκροές έπονται των εισροών και η ονομαστική αξία των εισροών (400 ευρώ) είναι μικρότερη από την αντίστοιχη των εκροών (410 ευρώ) τότε μια επένδυση θεωρείται αποδεκτή όταν το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης είνα μικρότερο από το κόστος κεφαλάιου (επιτόκιο). Συνεπώς η επένδυση γ θεωρείτε κερδοφόρα καθώς το IRR =0,025>0 = κόστος κεφαλάιου. Το παραπάνω αποτελέσμα επιβεβαιώνει και από την Κ.Π.Α, καθώς ΚΠΑ Γ =Κ- C/(1+i) = 400-410/1,10 = 27,27>0 23

Παράδειγμα 4 (5) Παρατηρούμε ότι σύμφωνα με το κριτήριο της Κ.Π.Α. επιλέγουμε την επένδυση Β (281,81>227,27>36,37), ενώ με τη χρήση του κριτηρίου IRR δεν μπορούμε να εξάγουμε ασφαλή συμπεράσματα. Η αδυναμία του IRR στην επίλυση της συγκεκριμένης άσκησης αποτελεί ένα από τα βασικά μειονεκτήματα της συγκριτικά με την Κ.Π.Α. Στην επένδυση Β και Γ η ροή των χρηματοροών είναι αντίθετη από την Α, πρώτα έχουμε εισροές και μετά εκροές, γεγονός που καθιστά αδύνατη την εξαγωγή αξιόπιστού αποτελέσματος. 24

Παράδειγμα 4 (6) Συνεπώς συνοψίζοντας: Ασφαλή συμπεράσματα για μια επένδυση με τη μέθοδο IRR μπορούν να εξαχθούν όταν οι εκροές προηγούνται των εισροών. Στην επένδυση Α εξάγουμε αβίαστα το συμπέρασμα ότι η επένδυση είναι αποδοτική, καθώς το IRR της επένδυσης είναι μεγαλύτερο από το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο της αγοράς), δηλαδή 0,6>0,10. 25

Παράδειγμα 4 (7) Όταν οι εκροές προηγούνται των εισροών τότε διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: Η ονομαστική αξία των εισροών είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη των εκροών και τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο Κ C*(1+IRR)=0 Η ονομαστική αξία των εισροών είναι μικρότερη από την αντίστοιχη των εισροών και τότε αποδεχόμαστε την επένδυση που έχει εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης μικρότερο από το κόστος κεφαλαίου της επένδυσης (επιτόκιο της αγοράς). 26

Παράδειγμα 5 (1) 5. Σε ποια περίπτωση θεωρείται αποδεκτή μια επένδυση που προβλεπεται να έχει τις ακόλουθες χρηματοροές Πίνακας 5. Δεδομένα παραδείγματος 5 Λύση Το IRR της επένδυσης είναι ίσο με: 100+ 230/ (1+IRR)-132/ (1+IRR) 2 = 0 Αν θέσουμε όπου 1/ (1+IRR) = Χ τότε 132χ 2 +230χ-100 = 0 27

Παράδειγμα 5 (2) Έχουμε μια δευτεροβάθμια εξίσωση δευτερου βαθμού που οι ρίζες μπορούν να βρεθούν με τη βοήθεια της διακρίνουσας Δ=Β 2-4αγ, δηλαδή Χ 1,2 = b± b2 4aγ 2a = 230± 2302 4 132 ( 100) 2 ( 132) = 230± 52.9002 52.800 264 Χ 1 = 230+ 52.900 52.800 264 Χ 2 = 230 52.900 52.800 264 28

Παράδειγμα 5 (3) Χ 1 = 230+ 100 264 = 0,8333333 Χ 2 = 230 100 264 = 0,90909 Αντικαθστώντας στη σχέση 1/ (1+IRR) =X έχουμε Χ 1 = 1/1+IRR=0,833, ΙRR = 0,2 Επίσης Χ 1 = 1/1+IRR=0,90909, ΙRR = 0,1 29

Παράδειγμα 5 (4) Συνεπώς υπάρχουν τα ακόλουθα δυο επιτόκιαπου μηδενίζουν την εξίσωση του εσωτερικού επιτικίου απόδοσης. IRR 1 = 0,20 και IRR 2 = 0,10 Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη φύση του προβλήματος θα παραστήσουμε γραφικά την εξίσωση της Κ.Π.Α. Επιλέγοντας διάφορα επιτόκια (ως κόστος κεφαλάιου), μεταξύ αυτών και τα δυο επιτόκια που μηδενίζουν την Κ.Π.Α, έχουμε τον διπλανό πίνακα και την αντίστοιχη καμπύλη. Πίνακας 6. Δεδομένα παραδείγματος 5 30

Παράδειγμα 5 (5) Διάγραμμα1. Καμπύλη παραδείγματος 5 Παρατηρούμε ότι η Κ.Π.Α είναι θετική ανάμεσα στα επιτόκια 0,10 και 0,20, συνεπώς στην περίπτωση αυτή η επένδυση γίνεται αποδεκτή όταν το κόστος κεφαλάιου βρίσκεται μεταξύ 0,10 και 0,20. Επομένως, όταν οι εκροές εναλλάσονται από εισροές, τότε η εξίσωση του εσωτερικού επιτοκίου αποόδοσης (ΙRR) έίναι δυνατό να δώσει περισσότερα από ένα επιτόκια, ως εκ τούτου είναι απαραίτητη η διερέυνηση του προβλήματος με την μέθοδο της Κ.Π.Α. 31

Παράδειγμα 6 (1) 6. Μια επιχείρηση αντιμετωπίζει το δίλλημα να επιλέξει μεταξύ των παρακάτω δυο επενδύσεων. Η επιχείρηση καλέιται να λάβει την κατάλληλη αόφαση, δεδομένου οτι δεν αντιμετωπίζει προβλήματα ρευστότητας και διαθεσιμότητας κεφαλαιακών πόρων. Με βάση λοιπόν τα κριτήρια του εσωτερικού επιτοκίου απόδοσης και της καθαρής παρούσας ξαίας να επιλεγεί η καλύτερη επένδυση. Το κόστος κεφαλάιου είναι 10%. Λύση: Πίνακας 7. Δεδομένα παραδείγματος 6 Οι επενδύσεις είναι αμοιβαίως αποκλειόμενες και επομένως θα πρέπει να επιλέξουμε μια από τις δυο. Σύμφωνα με το 1 ο κριτήριο, το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης της επένδυσης Ά είναι, [Κ (1+i)]-C = 0 200 / 1+ IRR 1 100 = 0 200 / 1+IRR 1 =100 32

Παράδειγμα 6 (2) 1+ IRR 1 = 200/100 IRR 1 = 200/100-1 = 2-1=1 ή 100% Η επένδυση Α είναι ωφέλιμη για την επιχείρηση, αφού IRR 1 =100% >10% κόστος κεφαλάιου. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και με την εφαρμογή της Κ.Π.Α, δίοτι Κ.Π.Α = [Κ (1+i)-C = 200/1,10-100 = 81,81>0 Τα αποτελεσματα για την επένδυση Β είναι ανάλογα: = [Κ (1+i)]-C = 0 10.500 / 1+ IRR 2 9.000 IRR 2 = 10.500/9.000 = 0,167 ή 16,7% Επίσης η εφαμρογή του κριτηρίου της καθαρης παρούσας αξίας δείχνει ότι και η δεύτερη εμεπνδυτική πρόταση είναι κερδοφόρα. Κ.Π.Α B = [Κ (1+i)]-C = 10.500 / 1,10 9.000 = 9.545,45-9.000. 33

Παράδειγμα 6 (3) Κ.Π.Α B = 545, 45 >0 Παρόλο που και οι δυο επενδύσεις είναι αποδεκτές, η σχετική επιχείρηση πρέπει να επιλέξει μια από τις δυο, καθώς οι επενδύσεις είναι αμοιβάιως αποκλειόμενες. Σύμφωνα με το κριτήριο του εσωτερικού επιτοκίου απόδοσης, η επένδυση Α έίναι ανώτερη από τη Β, αφου, IRR 1 = 100& >16,7%=IRR 12 Αντίθετα το κριτήριο της καθαρής παρούσας αξίας κατατάσει την δέυτερη επένδυσηυψηλότερα από την πρώτη, Κ.Π.Α B = 545, 45 >81,81= Κ.Π.Α Α 34

Παράδειγμα 6 (4) Η επιλογή της πιο ωφέλιμης για την επιχείρηση επένδυσης θα γίνει με τη μέθοδο της καθαρής παρούσας αξίας, εξετάζει την προσαύξηση της περιουσιακής θέσης της επιχείρησης, σε απόλυτους όρους, από τη ανάληψη της κάθε επένδυσης. Στην άσκηση διαπιστώνουμε μια ακόμη αδυναμία του εσωτερικού επιτοκίου απόδοσης συγκριτικά με το κριτήριο της καθαρής παρούσας αξίας, το IRR αξιολογεί τις επενδυτικές προτάσεις σε σχετικούς όρους ενώ η Κ.Π.Α. λαμβάνει υπόψη τους απόλυτους όρους. 35

Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-0-0. Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-2-4. 36