Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες Ερμιτιανών πινάκων (πραγματικές ιδιοτιμές, καθετότητα ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές) Ιδιότητες μοναδιαίων πινάκων (κάθε ιδιοτιμή έχει μέτρο, χαρακτηρισμός μοναδιαίων με την ιδιότητα X, Y X, Y, χαρακτηρισμός μοναδιαίων με ορθοκανονικότητα γραμμών ή στηλών) Λήμμα του Schur (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Φασματικό θεώρημα (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Ορισμός και ιδιότητες κανονικών πινάκων Θεώρημα διαγωνοποίησης κανονικών πινάκων: Έστω Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες o Α κανονικός o o Υπάρχει μοναδιαίος U με Υπάρχει ορθοκανονική βάση του U U διαγώνιο αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες o Α κανονικός o X o V V X για κάθε X ( ) ( ) για κάθε Συνιστώμενες ασκήσεις:,,4-7, 9-6, 40, 4, 44 Συμβολισμός: V είναι πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος, όπου ή a Να βρεθεί η γωνία των uv,, όπου u(0,5,0), v (,,0) b Έστω uv, τέτοια ώστε u v και η γωνία τους είναι 4 Να βρεθεί το, όπου είναι η γωνία των u v και u v Έστω uv, a Αν uv, 0, τότε u v u v Όταν, η ισότητα αυτή εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα b Αν u v, τότε τα u v, u v είναι κάθετα Όταν, η ισότητα αυτή λέει ότι οι c Έστω uv, 4 διαγώνιοι ενός ρόμβου τέμνοντα κάθετα u v u v u v Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης αυτής όταν a Αν, τότε b Αν, τότε 4 u, v u v u v i u iv i u iv 4 u, v u v u v a Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του b Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του u (,0,), u (0,,0) 5 που περιέχει το διάνυσμα που περιέχει τα διανύσματα u (,0,)

7 5 Να βρεθούν όλα τα διανύσματα του 6 Έστω V ο υπόχωρος του που είναι κάθετα στα (,, ),(,,) 4 που παράγεται από τα διανύσματα v (,,, ), v (,,, ), v (4,7,8, 4) Αφού βρείτε τη διάσταση του V, βρείτε μια ορθοκανονική βάση του V 7 Βρείτε μια ορθοκανονική βάση του χώρου μια ορθοκανονική βάση του V W, όπου V ( x, y, z) x y z 0 και W ( x, y, z) x y z 0 8 Δείξτε ότι για κάθε a,, a ισχύει a a a a a 9 Έστω B, Δείξτε τις ακόλουθες σχέσεις a t t b det( ) det( ) det c d e f ( ) για κάθε ( B) B ( B) B g Αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε 0 Έστω Αν ( x) [ x], ( x) a x ax a0, με ( x) συμβολίζουμε το πολυώνυμο ( x) a x a x a Δείξτε τις ακόλουθες προτάσεις 0 a ( x ) ( x ) b m ( x) m ( x) c Το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του Έστω με Δείξτε ότι ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής diag(0,,0,,, ), όπου το πλήθος των είναι ίσο με το rak Έστω B, μοναδιαίοι πίνακες Δείξτε τις ακόλουθες προτάσεις a Οι, t, είναι μοναδιαίοι bαν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε και το c det είναι ιδιοτιμή του dοι B και B είναι μοναδιαίοι Δείτε ότι κάθε πραγματικός μοναδιαίος πίνακας με ορίζουσα είναι της μορφής cos a si a, 0 a Γεωμετρικά τι παριστάνει ο πίνακας αυτός; si a cos a 4 Να βρεθεί ένας μοναδιαίος πίνακας με πρώτη γραμμή τη 0 0 0 5 Έστω U Γράφουμε U P iq, όπου PQ, Δείτξε ότι ο U είναι μοναδιαίος αν και μόνο αν ο t PQ είναι συμμετρικός και t t P P Q Q I 6 Έστω U ένας μοναδιαίος πίνακας τέτοιος ώστε det( U ) 0 Τότε ο H που ορίζεται από ih ( U I )( U I ) είναι Ερμιτιανός 7 Έστω B, μοναδιαίοι πίνακες τέτοιοι ώστε B B Έστω ότι οι I, B I είναι αντιστρέψιμοι Δείξτε ότι ο t C ( B I )( B B I ) ικανοποιεί C C I

8 Έστω Δείξτε ότι αν ισχύουν οποιεσδήποτε δύο από τις επόμενες προτάσεις, τότε ισχύει και η τρίτη a Ο είναι Ερμιτιανός bο είναι μοναδιαίος c I 9 Έστω ένας μοναδιαίος πίνακας Δείξτε τα εξής a Αν det και περιττός, τότε το είναι ιδιοτιμη του bαν det και άρτιος, τότε το είναι ιδιοτιμη του c Αν det, τότε το είναι ιδιοτιμη του 0 Έστω B, μοναδιαίοι πίνακες τέτοιοι ώστε det det B Τότε det( B) 0 Έστω τέτοιος ώστε Δείξτε τα εξής a Κάθε ιδιοτιμή του είναι της μορφής iμ, μ bο πίνακας είναι αντιστρέψιμος c Ο πίνακας I είναι μοναδιαίος ( ) ( ) ( I )( I ) Έστω, H και S a Δείξτε ότι ο πίνακας H είναι Ερμιτιανός και S S bδείξτε ότι αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του H είναι ιδιοδιάνυσμα του S, τότε ο πίνακας είναι κανονικός Έστω Δείξτε ότι αν X X για κάθε X, τότε ο είναι μοναδιαίος 4 Έστω τέτοιος ώστε X, X 0 για κάθε X Δείξτε ότι 0 προηγούμενο συμπέρασμα αν και X, X 0 για κάθε X ; Αληθεύει το 5 Αποδείξτε την άσκηση 6 χρησιμοποιώντας την άσκηση 64 k 6 Έστω Ερμιτιανός και X Δείξτε ότι αν X 0 για κάποιο k, τότε X 0 7 Έστω Δείξτε ότι αν ο είναι μοναδιαίος, τότε cos( X, Y ) cos( X, Y) για κάθε XY,, όπου (, ) XY είναι η γωνία των XY, Αληθεύει το αντίστροφο; 8 Εξετάστε αν υπάρχει πραγματικός μοναδιαίος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P P να είναι άνω 0 τριγωνικός, όπου Αν υπάρχει, να βρεθεί ένας τέτοιος P 9 Έστω Να βρεθεί ένας μοναδιαίος P τέτοιος ώστε ο P P να είναι διαγώνιος 0 Αποδείξτε ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του i αν και μόνο αν a a Δείξτε ότι ένας είναι κανονικός αν και μόνο αν X X για κάθε x Στη συνέχεια δείξτε ότι αν ο είναι κανονικός, τότε η i γραμμή του έχει το ίδιο μήκος με τη i στήλη του για κάθε i m Να βρεθούν όλοι οι κανονικοί πίνακες τέτοιοι ώστε 0 για κάποιο m Έστω ένας κανονικός πίνακας Δείτε τα εξής a Ερμιτιανός κάθε ιδιοτιμή του είναι πραγματικός αριθμός b μοναδιαίος κάθε ιδιοτιμή του έχει μέτρο 4 k a Αν είναι συμμετρικός τέτοιος ώστε, τότε I I 74

5 b Αν είναι Ερμιτιανός και μοναδιαίος τέτοιος ώστε Tr 0, τότε ο v είναι άρτιος c Αν είναι Ερμιτιανός και μοναδιαίος και έχει τουλάχιστον δυο διακεκριμένες ιδιοτιμές, να βρεθεί το ελάχιστο πολυώνυμο του a Για κάθε, ο ii είναι αντιστρέψιμος b Αν B, είναι συμμετρικοί και ισχύει B B, τότε ο B ii είναι αντιστρέψιμος c Έστω i Κάθε ιδιοτιμή του είναι πραγματικός αριθμός και μη αρνητικός ii det( ) είναι πραγματικός αριθμός και θετικός 6 Έστω κανονικός Τότε V ( ) V ( ) 7 Αν είναι κανονικός, τότε I f ( ) για κάποιο f ( x) [ x] 8 Έστω και B Δείξτε ότι αν B B, τότε ο είναι κανονικός 9 Έστω ένας κανονικός πίνακας Τότε U για κάποιο μοναδιαίο πίνακα U 40 Να βρεθεί ένας συμμετρικός με ιδιοτιμές τις,, τέτοιος ώστε ο ιδιόχωρος V () να 4 παράγεται από τα a Έστω, Είναι ο μοναδικός; 44 τέτοιος ώστε dim V() dim V() και uv, 0 για κάθε u V(), v V() Δείξτε ότι ο είναι συμμετρικός νv t t b Έστω τέτοιος ώστε και το χ ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων όρων στο [ x ] Δείξτε ότι ο είναι συμμετρικός 4 ( I) ( I) 0 4 Έστω ένας συμμετρικός πίνακας που δεν είναι της μορφής ci, c Αν, να βρεθεί το m () x 4 (Το συμπέρασμα στο d είναι γνωστό ως η ανισότητα του Schur)Έστω ( a ij ) και,, οι ιδιοτιμές του Δείξτε τα εξής a ( ) ij i, j Tr a Από το λήμμα του Schur (Λήμμα 44) ξέρουμε ότι υπάρχει μοναδιαίος U τέτοιος ώστε ο B U U είναι άνω τριγωνικός b BB U U και άρα Tr( ) Tr( BB ) 75 c ( ) ij i ij i, j i i j Tr BB b b, όπου B ( b ) ij d i i i, j ij a e Η ανισότητα του Schur είναι ισότητα αν και μόνο αν ο είναι κανονικός 44 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Αν οι B, είναι Ερμιτιανοί, τότε ο Bείναι Ερμιτιανός b Αν οι B, είναι Ερμιτιανοί, τότε ο B είναι Ερμιτιανός c Αν οι B, είναι Ερμιτιανοί και B B, τότε ο B είναι Ερμιτιανός

76 cos si 0 0 si cos 0 0 d Ο πίνακας είναι μοναδιαίος 0 0 cos si 0 0 si cos e Αν B, είναι μοναδιαίοι, τότε κάθε ιδιοτιμή του B έχει μέτρο f Αν ο είναι συμμετρικός και μοναδιαίος και κάθε ιδιοτιμή του είναι θετική, τότε I g Αν ο είναι Ερμιτιανός, τότε ο ( ) είναι διαγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] h Αν ο m είναι Ερμιτιανός και 0 για κάποιο m, τότε 0

77 Απάντηση: a 4 b 6 b Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις6 u v, u v u, u u, v v, u v, v u u, v u, v v 0 c u v u v u v, u v u v, u v u, u u, v v, u v, v u, u u, v v, u v, v u, u v, v u v Γεωμετρική ερμηνεία: το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών Υπόδειξη: Πράξεις όπως στην προηγούμενη άσκηση Προσοχή στη σχέση των u, v, v, u 4 Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θεωρήσουμε μια βάση του που περιέχει το u, για παράδειγμα τη u, u, u, όπου u(,0,0), u (0,,0), και να εφαρμόσουμε σε αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt Ένας άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι κάθε διάνυσμα κάθετο στο u είναι της μορφής ( x, y, x), x, y Επιλέγουμε v (0,,0) και w (,0, ) Τα u, v, w αποτελούν ορθοκανονική βάση του 5 Υπόδειξη: Τα ζητούμενα διανύσματα ( x, y, z ) είναι οι λύσεις του συστήματος x y z x y z 0 6 Απάντηση: dimv Εφαρμόζουμε τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt στη βάση u u v, v του V βρίσκουμε την ορθοκανονικη βάση,, όπου u (,,, ), u u u,7,, 4 7 Υπόδειξη: Επειδή ( x, y, z) V x y z 0 ( x, y, z) ( y z, y, z) y(,,0) z (,0,), όπου yz,, και τα (,,0),(,0) είναι γραμμικά ανεξάρτητα, μια βάση του V είναι η {(,,0),(,0,)} (Μια άλλη βάση του V, πιο οικονομική για τη μέθοδο Gram-Schmidt, είναι η {(,,),(-,0,)}) 8 Υπόδειξη: νισότητα Cauchy-Schwarz στο για u ( a,, a ), v (,,, ) 9 0 b Υπόδειξη: Αν ( x) [ x], τότε ( ) 0 ( ) 0 Θεωρήστε ( x) m ( x) και ( x) m ( x) Υπόδειξη: Δείξτε ότι και άρα ( I ) 0 Υπόδειξη: Πρόταση 47 4 Λύση: ος τρόπος Μια βάση του που περιέχει το ( 0,0, 0) v (0,,0) και (0,0,) v είναι η v, v, v v Πράγματι, το σύνολο,,, όπου v v v είναι γραμμικά ανεξάρτητο (για παράδειγμα, 0 0 0 det 0 0 0 ) και επειδή έχει στοιχεία και dim, το σύνολο αυτό είναι μια βάση 0 0 του Εφαρμόζουμε την ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt στην προηγούμενη βάση Έχουμε

u v (,0, ) 0 0 v, u u v u 0,,0 u v, u v, u u v u u (,0, ) u u 0 0 και συνεπώς μια ορθοκανονική βάση του είναι η u 0 u 0 0, u 0,,0 u, u 0 u 0 0 Από την Πρόταση 47 έπεται ότι ο πίνακας 0 0 0 0 0 0 0 0 () είναι μοναδιαίος ος τρόπος Υπόδειξη Παρατηρούμε ότι κάθε διάνυσμα του κάθετο στο v ( 0,0, 0) είναι της μορφής ( z, y, z), y, z (γιατί;) Επιλέγουμε v (0,,0), v (,0,) Το σύνολο { v, v, v } είναι ορθογώνιο και άρα γραμμικά ανεξάρτητο (Λήμμα 40) Συνεπώς είναι βάση του Το σύνολο v v v {,, } είναι μια ορθοκανινική βάση του Ο πίνακας με γραμμές τα στοιχεία v, v, v v v v v v v () και είναι μοναδιαίος σύμφωνα με την Πρόταση 47 t t t t t t 5 Υπόδειξη: U U I ( P iq )( P iq) I P P Q Q I, P Q Q P 0 6 Υπόδειξη: Πράξεις και άσκηση 69 7 Υπόδειξη: Πράξεις και άσκηση 6 9 8 Υπόδειξη: Και οι τρεις συνεπαγωγές έπονται από τους ορισμούς 9 a Υπόδειξη: Οι ιδιοτιμές στο του είναι της μορφής,,,,,,,,,, m k k όπου i και m περιττός (Πρόταση 7 και Πρόταση 46) Το γινόμενο των ιδιοτιμών ισούται με (Πόρισμα 6) 0 Λύση: Ο B είναι μοναδιαίος (άσκηση 6d) Επειδή είναι πραγματικός, οι ιδιοτιμές του στο είναι της μορφής,,,,,,,,, k, k όπου i και 0 (Πρόταση 7 και Πρόταση 46) Από την υπόθεση έπεται ότι ότι 0 Άρα det( B) 0 a Λύση: Για κάθε det( B I ) 0 X 78 είναι ο det( B ) 0 Συνεπώς από το Πόρισμα 6 έπεται και επομένως πολλαπλασιάζοντας με det B παίρνουμε έχουμε X, X X, X X, X, οπότε αν το X είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή παίρνουμε X, X X, X και άρα ( X 0 ) Άρα i, b Λύση: Από το a έπεται ότι το δεν είναι ιδιοτιμή του και συνεπώς det( I ) 0 b ος τρόπος Από το προηγούμενο ερώτημα και το Θεώρημα 4 έπεται ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του H Από την υπόθεση έχουμε ότι αυτά είναι ιδιοδιανύσματα του S Επειδή H S προκύπτει εύκολα (ελέγξτε το) ότι αυτά είναι

ιδιοδιανύσματα του Δηλαδή ο έχει ιδιοδιανύσματα που αποτελούν ορθοκανονική βάση του Άρα ο είναι κανονικός ος τρόπος (μικρή παραλλαγή του ου τρόπου) Από το προηγούμενο ερώτημα και το Θεώρημα 4 έπεται ότι υπάρχει ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του H Από την υπόθεση έχουμε ότι αυτά είναι ιδιοδιανύσματα του S Άρα HS SH (γιατί;) Συνεπώς, δηλαδή ο είναι κανονικός Υπόδειξη: Αντικαταστήσετε το X με το X Y για να λάβετε X, Y Y, X X, Y Y, X και στη σχέση αυτή αντικαταστήσετε το Y με το iy για να λάβετε i X, Y i Y, X i X, Y i Y, X Από τις δυο σχέσεις έχουμε X, Y X, Y για κάθε XY, και άρα ο είναι μοναδιαίος σύμφωνα με την Πρόταση 44 4 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την τεχνική της προηγούμενης άσκησης Η απάντηση στο δεύτερο 0 σκέλος της άσκησης είναι όχι και ένα σχετικό αντιπαράδειγμα είναι 0 5 Υπόδειξη: Από X X για κάθε X προκύπτει ( I) X, X 0 για κάθε X την άσκηση 4 έχουμε I 0 6 Υπόδειξη: Δείξτε επαγωγικά ότι αν χρησιμοποιώντας τη σχέση m X 0, για κάποιο θετικό ακέραιο m, τότε X 0, X, X X, X X, X Σημείωση: Το συμπέρασμα της άσκησης ισχύει για κάθε διαγωνίσιμο πίνακα, βλ άσκηση 0 7 Απάντηση: Το αντίστροφο δεν αληθεύει και ένα σχετικό αντιπαράδειγμα είναι 0 8 Απάντηση: Υπάρχει, σύμφωνα με το Λήμμα του Schur (Λήμμα 44) Ένα ιδιοδιάνυμσα μήκους του είναι το Επεκτείνοντας αυτό σε ορθοκανονική βάση του βρίσκουμε, για παράδειγμα, τη βάση, Ένας ζητούμενος P είναι ο πίνακας με στήλες τα προηγούμενα διανύσματα 9 Λύση: Οι ιδιοτιμές του είναι οι 4, Βρίσκουμε βάσεις των ιδιόχωρων V(4), V() όπως ξέρουμε από την Ενότητα του μαθήματος Βάση του V (4) : 0 Βάση του V () :, 0 Επειδή ο είναι συμμετρικός, ξέρουμε ότι κάθε στοιχείο του V (4) είναι κάθετο με κάθε στοιχείο του V () (πράγμα που βέβαια επαληθεύεται από τις βάσεις που βρήκαμε) Στη συνέχεια βρίσκουμε 79 Από

μια ορθοκανονική βάση του αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του Α εφαρμόζοντας τη διαδικασία Gram-Schmidt σε κάθε ιδιόχωρο ξεχωριστά: Bρίσκουμε την ορθοκανονική βάση 6,, 6 0 6 Ένας ζητούμενος P είναι ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα της προηγούμενης βάσης 0 Υπόδειξη: Δείξτε με πράξεις ότι αν και μόνο αν a, όπου ο δοσμένος πίνακας Το ζητούμενο έπεται από το Πόρισμα 49 Υπόδειξη: Αν X X για κάθε X, δείξτε ότι ( ) X, X 0 και εφαρμόστε την άσκηση Υπόδειξη: Από τις υποθέσεις έπεται ότι ο είναι διαγωνίσιμος (Θεώρημα 47) και κάθε ιδιοτιμή του ισούται με 0 Άρα 0 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι και στα δυο υποερωτήματα ισχύει το ευθύ (η υπόθεση κανονικός πλεονάζει) Για τις αντίστροφες συνεπαγωγές χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι κάθε κανονικός πίνακας διαγωνοποιείται από μοναδιαίο πίνακα (Θεώρημα 47) 4 a Υπόδειξη: Από τις υποθέσεις έπεται ότι ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής D diag(,,,,, ) Άρα ο είναι όμοιος με τον D Συνεπώς c Απάντηση: m x x ( ) 5 a Λύση: O Ερμιτιανός αφού ( ) Άρα κάθε ιδιοτιμή του I I είναι πραγματικός αριθμός Επομένως det( ii ) 0, δηλαδή ο ii είναι αντιστρέψιμος b Υπόδειξη: Ο B είναι συμμετρικός c Υπόδειξη για το i) Αν X X, X, δείξτε ότι X, X X, X 6 Λύση: Έστω Α κανονικός Ισχυριζόμαστε ότι αν X X, όπου X αυτό έπεται το ζητούμενο γιατί και ο είναι κανονικός) Πράγματι, από ( I)( I) ( I)( I ) I I I I ( ) ( ) Συνεπώς ο I είναι κανονικός Άρα από ( I ) X 0 έπεται ότι την άσκηση Άρα ( I) X 0, τότε X X (Από παίρνουμε ( I) X 0 80 σύμφωνα με 7 Λύση: Έστω,, οι ιδιοτιμές του Υπάρχει πολυώνυμο f( x ) τέτοιο ώστε f ( i ) i, i,, (από παρεμβολή Lagrage, βλ άσκηση 4 από Ασκήσεις) Επειδή ο είναι κανονικός, υπάρχει μοναδιαίος U τέτοιος ώστε U U diag(,, ) Τότε ( U U) U U U U, και f ( ) f ( UU ) Uf ( ) U UU UU 8 Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε,, ισχύει B ( B ) ( B ) και άρα Tr( B ) 0 για κάθε,, Άρα B 0 Επειδή ο B είναι Ερμιτιανός, είναι διαγωνίσιμος και άρα B 0 9 Λύση: Έστω,, οι ιδιοτιμές του Από το Θεώρημα 47 υπάρχει μοναδιαίος P τέτοιος ώστε P P, όπου diag(,, ) Ορίζουμε q,, q ως εξής

i, i 0 qi i, i 0 και θέτουμε Q diag( q,, q ) Τότε ο Q είναι μοναδιαίος και επομένως ο U PQP είναι μοναδιαίος (ως γινόμενο μοναδιαίων) Εύκολα επαληθεύεται ότι U (πώς;) 40 Υπόδειξη: Ο V ( ) είναι κάθετος στον V () (Πόταση 49) και άρα παράγεται από το 0 Επιλέξτε κατάλληλα τρία ιδιοδιανύσματα και εφαρμόστε το συλλογισμό της άσκησης 9β 4 a Υπόδειξη: Από την ορθοκανονικοποίηση Gram-Shmidt έπεται ότι υπάρχει πραγματικός μοναδιαίος t t U με Udiag (,,,,) U Άρα b Υπόδειξη: Από την άσκηση 6a ο είναι Eρμιτιανός 4 Απάντηση: m( x) ( x )( x ) 4 44 Σ, Λ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ, Σ 8