ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I

Άσκηση 1 Ερώτημα (i) HH 0 : μμ 1 = μμ = μμ 3 = μμ 4 = μμ HH 1 : τουλάχιστον ένα από τα μμ ii να είναι διαφορετικό. Έχουμε ότι nn ii = 6, ii = 1,,3,4, και nn = 30. Επομένως YY 0. = 4, YY. = 30, YY 3. = 6, YY 4. = 31, YY. = 37 SSSSSS = YY ii. ii YY.. nn ii nn YY 00 = 169 = 4 + 30 + 0 + 31 + 37 6 SSSSSS = 36,47 169 30 = 988, 9,03 SSSSSS = ( + 8 + 7 + + 6 ) 4 + 30 + 0 + 31 + 37 = 1047 938, 6 SSSSSS = 8, Ανάλυση διασποράς για έναν παράγοντα Πηγή μεταβολής Άθροισμα Βαθμοί Μέση F Τετραγώνων Ελευθερίας μεταβλητότητα Α (θεραπεία) 36,47 MSA=36,47/=7,9 F=7,9/,43=3 Ε (υπόλοιπο) 8, 4 MSE=8,/4=,43 Τ (ολική) 94,97 9 +77 FF = 3 > FF,4,0,0 =,6 Συνεπώς δε δεχόμαστε την HH 0, γεγονός το οποίο σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις θεραπείες δεν είναι ίδια με τις άλλες. Οι εκτιμήσεις είναι aa 1 = ΥΥ 1. ΥΥ.. = 1,8 aa = ΥΥ. ΥΥ.. = 0,6 aa 3 = ΥΥ 3. ΥΥ.. = 1,3 aa 4 = ΥΥ 4. ΥΥ.. = 0,4 aa = ΥΥ. ΥΥ.. = 0, μμ = ΥΥ.. =,6 1

Ερώτημα (ii) Θα χρησιμοποιήσουμε 4 ψευδομεταβλητές και θα προκύψει ο ακόλουθος πίνακας. xx 1 xx xx 3 xx 4 yy xx 1 xx xx 3 xx 4 yy 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 8 0 0 1 0 4 1 0 0 0 7 0 0 1 0 3 1 0 0 0 7 0 0 0 1 7 1 0 0 0 10 0 0 0 1 4 1 0 0 0 8 0 0 0 1 6 0 1 0 0 4 0 0 0 1 6 0 1 0 0 6 0 0 0 1 3 0 1 0 0 6 0 0 0 1 0 1 0 0 3 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 0 0 0 7 0 0 1 0 4 0 0 0 0 7 0 0 1 0 4 0 0 0 0 6 Θεωρούμε το μοντέλο YY = ββ 0 + ββ 1 xx 1 + ββ xx + ββ 3 xx 3 + ββ 4 xx 4 που ισοδυναμεί με τη σχέση YY = xxββ + εε, όπου YY = (, 8, 7, 7, 10, 8, 4, 6,, 6) 30 6 6 6 6 6 6 0 0 0 YY.. YY 169 XX XX = 6 0 6 0 0 6 0 0 6 0 6 0 0 0 6, XX 1. 4,6 1,8 ΥΥ = YY. = 30 YY 3. 6 YY 4. 31, ββ = (XX XX) 1 XX YY = 0,6 1,3 0,4 Συνεπώς, το μοντέλο πρόβλεψης γράφεται ως εξής: YY =,6 + 1,8xx 1 0,6xx 1,3xx 3 0,4xx 4 Αντικαθιστώντας τις τιμές των xx ii βρίσκουμε ότι: YY = 7,4 για τη θεραπεία 1, YY = για τη θεραπεία, YY = 4,3 για τη θεραπεία 3, YY =, για τη θεραπεία 4, YY =,6 για τη θεραπεία

Η μηδενική υπόθεση, δηλαδή οι πέντε θεραπείες να μη διαφέρουν, είναι η HH 0 : ββ 1 = ββ = ββ 3 = ββ 4 = 0 όμως 36,47 FF = = 3 > FF 8,,4;0,0 =,6 4 Επομένως, δε δεχόμαστε τη μηδενική υπόθεση. Ερώτημα (iii) Αρχικά ταξινομούμε τους μέσους με αύξουσα σειρά YY 3. YY. YY 4. YY. YY 1. 4,3, 6, 7, Στη συνέχεια βρίσκουμε τα ελάχιστα σημαντικά εύρη RR = rr 0,0 (,4) =,9 RR 3 = rr 0,0 (3,4) = 3,10 Η τυπική απόκλιση του σφάλματος είναι ss YY ii. = MMMMMM nn =,43 6 = 0,486 RR 4 = rr 0,0 (4,4) = 3,18 RR = rr 0,0 (,4) = 3, και η τυπική απόκλιση κάθε μέσου ss YY. = RR ss = 1,43 ss YY 3. = RR 3 ss = 1,1 ss YY 4. = RR 4 ss = 1, ss YY. = RR ss = 1,8 3 1 7, 4,3 = 3, > 1,8 8 6, = 1, < 1,1 3 6, 4,3 = 1,9 > 1, 4 1 7,, =,3 > 1,1 3 4, 4,3 = 0,9 < 1,1 4 6,, = 1 < 1,43 1 7, =, > 1, 1 7, 6, = 1,3 < 1,43 Άρα YY 3. YY. YY 4. YY. YY 1. 4,3, 6, 7, 3

Με τη μέθοδο του Scheffe θα βρούμε το 9% διάστημα εμπιστοσύνης για το μμ 1 μμ Έχουμε aa = 0,0, ss =,43, kk =, nn = 30 YY 3. YY. YY 4. YY. YY 1. 4,3, 6, 7, Άρα DD(1,) =,43 1 + 1 4,76 =,99 6 6 7, =, <,99 οπότε, ±,99 = ( 0,49,,44) διάστημα που περιέχει το 0. Ερώτημα (iv) Οι διασπορά της κάθε θεραπείας είναι ss 1 = 1 [( 7,) + (8 7,) + (7 7,) + (10 7,) + (8 7,) ] = 3, ss = 1 [(4 ) + 3(6 ) + (3 ) + ( ) ] = 1,6 ss 3 = 1 [(6 4,3) + 3(6 4,3) + ( 4,3) + (3 4,3) ] = 1,068 ss 4 = 1 [(7,) + (4,) + (6,) + (3,) + (,) ] =,438 ss = 1 [(9 6,) + (3 6,) + ( 6,) + (7 6,) + (6 6,) ] = 4,48 Από τα CCCCCChrrrrrr tttttttt θα έχουμε TT = mm 0 (ss 1,, ss ) ss ii ii=1 = 4,48 = 0,34 < 0,06 13,13 Επομένως, δεν μπορούμε να απορρίψουμε την HH 0 : σσ 1 = σσ = σσ 3 = σσ 4 = σσ επειδή, από τον πίνακα CCCCCChrrrrrr, kk = έχουμε FF = nn 0 1 = = FF 1 = FF = FF 3 = FF 4 = FF 4

Άσκηση Ερώτημα (i) Ουσία Εργοστάσιο ΑΑ ΒΒ ΓΓ yy ii.. 1 4, 3.,. 7, 6. 31,.1, 3., 3.3 1.1, 13, 7 3 1.7, 3 4.,.3 6.,. 1, 9 yy.jj. 17,3, 8,3 yy = 70,8 3 SSSSSS = yy.jj. 3 yy 3 3 3 SSSSSS = yy ii.. 3 yy 3 3 ii=1 3 SSSSSSSS = yy iiii. 3 ii=1 yy 3 3 = 17,3 +, + 8,3 6 = 31, + 13,7 +,9 6 SSSSSS SSSSSS = 7, + 10, + 13, +,1 + + 1,7 10,7 = 1,78 3 3 3 SSSSSS = yy iiiiii yy 3 3 ii=1 kk=1 70,8 18 = 10,7 70,8 18 = 6,84 = 4,3 SSSSSS = SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSSSS = 3,98 70,8 18 6,84

Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα FF 00 Εργοστάσιο 6,84 (aa 1) 13,4 Ουσία 10,7 (bb 1),36 Αλληλεπίδραση 13,78 4(aa 1)(bb 1) 3,19 30,34 = MMMMMM MMMMMM 1,1 = MMMMMM MMMMMM 7, = MMMMMMMM MMMMMM Σφάλμα 3,98 9aaaa(nn 1) 0,44 Σύνολο 4,3 17 Επειδή FF,17;0.0 < FF 0AA, FF 0BB, FF 0AAAA, οι κύριες επιδράσεις μεταξύ εργοστασίου και ουσίας είναι σημαντικές. Συνεπώς, είμαστε σε θέση να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. Επιπλέον, FF 4,13;0.0 = 3,0 < FF 0AAAA και, επομένως, υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ εργοστασίου και ουσίας. Ερώτημα (ii) ii = 1,,3 Έχουμε yy iiiiii = mm + ττ ii + ββ jj + (ττττ) iiii + εε iiiiii jj = 1,,3 kk = 1, μμ = yy = Οι εκτιμήσεις των κύριων επιδράσεων είναι και της αλληλεπίδρασης yy 3 3 = 70,8 18 = 3,9 ττ 1 = yy 1.. yy = yy 1.. 3 yy 3 3 = 31, 6 ττ = yy.. yy = 1,6 ττ 3 = yy 3.. yy = 0,41 3,4 = 1,3 ββ 1 = yy.1. yy = yy.1. 3 yy 3 3 = 1,01 ββ = yy.. yy = 0,3 ββ 3 = yy.3. yy = 0,84 ττττ 11 = yy 11. yy 1.. + yy... = 3,7,,9 + 3,9 = 0,4 ττττ 1 = yy 1. yy 1.. + yy... =,1, 4, + 3,9 = 0,4 6

και τέλος, από τον τύπο ττττ 13 = yy 13. yy 1.. + yy... = 6,7, 4,7 + 3,9 = 0,7 ττττ 1 = yy 1. yy.. + yy... =,,3,9 + 3,9 = 1,3 ττττ = yy. yy.. + yy... = 4,7,3 4, + 3,9 = 0, ττττ 3 = yy 3. yy.. + yy... = 1,,3 4,7 + 3,9 = 1, ττττ 31 = yy 31. yy 3.. + yy... =,3 4,3,9 + 3,9 = 0,9 ττττ 3 = yy 3. yy 3.. + yy... = 4,7 4,3 4, + 3,9 = 0,1 ττττ 33 = yy 33. yy 3.. + yy... =,8 4,3 4,7 + 3,9 = 0,7 RR = SSSS MMMMMMMMMM SSSS TTTTTTTTTT που δίνει το συντελεστή του προσδιορισμού και γνωρίζοντας ότι SSSS MMMMMMMMMM = SSSS έρρρρρρρρρρρρρρ ίοοοο + SSSS αααααααααααααα ίδδδδδδδδδδδδ = 0,34 Λαμβάνουμε RR = 0,34 4,3 = 0,93 Δηλαδή το 93% της μεταβλητότητας της υγείας των εργαζομένων εξαρτάται από το εργοστάσιο, την ουσία και την αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των δύο. Ερώτημα (iii) yy 13. = 6,7, yy 3. = 1,, yy 33. =,8 Ταξινομούμε τα παραπάνω και λαμβάνουμε Το τυπικό σφάλμα είναι Τα ελάχιστα σημαντικά εύρη είναι: yy 3. = 1,, yy 33. =,8, yy 13. = 6,7 SS yy 3. = MMMMMM = 0, RR = rr 0.0 (,9)SS yy 3. =,98 0, = 1,49 RR 1 = rr 0.0 (3,9)SS yy 3. = 3,13 0, = 1,7 3 vvvv. 1 = 6,7 1, =,3 > RR 3 vvvv. 1 =,8 1, = 4,30 > RR 3 vvvv. = 6,7,8 = 0,90 < RR Οπότε για τη ΓΓ ουσία οι εργαζόμενοι των εργοστασίων 1, 3 έχουν την ίδια κατάσταση ουσίας. 7

Ερώτημα (iv) Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα FF 00 Εργοστάσιο 6,84 13,4 4,0 Ουσία 10,7,36 1,67 Αλληλεπίδραση 13,78 4 3,19 7, Σφάλμα 3,98 9 9,44 Σύνολο 4,3 17 Παρατηρούμε πως οι τέσσερις πρώτες στήλες είναι ίδιες εκτός από τα F-test για τα οποία ισχύει ότι ο κύριος παράγοντας του εργοστασίου είναι σημαντικός, αλλά αυτός της ουσίας όχι, ενώ η αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο είναι σημαντική. Οι εκτιμήτριες είναι οι εξής σσ = MMMMMM = 0,44 σσ MMMMMM MMMMMMMM ββ = = 0,36 3 σσ aa = MMMMMM MMMMMMMM 3 = 1,70 σσ αααα = MMMMMMMM MMMMMM = 1,37 8

Ερώτημα (v) Για να λύσουμε το πρόβλημα με παλινδρόμηση, θεωρούμε το μοντέλο YY = ββ 0 + ββ 1 ΧΧ 1 + ββ ΧΧ + ββ 3 ΧΧ 3 + ββ 4 ΧΧ 4 + + ββ 8 ΧΧ 8 + εε όπου οι βωβές μεταβλητές XX ii ορίζονται, σύμφωνα με την εξίσωση, με τον παρακάτω τρόπο: Εργοστάσιο ΧΧ 1 ΧΧ 1 1 1 0 3 1 1 Ουσία XX 3 XX 4 Α 1 1 Β 0 Γ 1 1 και XX = XX 1 XX 3, XX 6 = XX 1 XX 4, XX 7 = XX XX 3, XX 8 = XX 3 XX 4 Τότε το μοντέλο γράφεται YY = XXββ + εε, όπου ΧΧ 0, ΧΧ 1, ΧΧ, ΧΧ 3, ΧΧ 4, ΧΧ, ΧΧ 6, ΧΧ 7, ΧΧ 8 4 3, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0, 1 1 1 0 0 0 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6, 1 1 1 1 1 1 1 1 1,1 1 0 1 1 0 0 3 1 0 1 1 0 0, YY = 3,3, XX = 1 0 0 0 0 0 4 1,1 1 0 0 0 0 0 4 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1,7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4, 1 1 1 0 0 0,3 1 1 1 0 0 0 6, 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9

Εύκολα διαπιστώνεται τώρα ότι όλες οι στήλες του Χ είναι ορθογώνιες ανά δύο, επομένως ο πίνακας (XX XX) είναι διαγώνιος με στοιχεία (XX XX) = dddddddd(18, 1, 36, 1, 36, 8, 4, 4, 7) οπότε και Επειδή ακόμη άρα Τέλος βρίσκουμε: (XX XX) 1 = dddddddd 1 18, 1 1, 1 36, 1 1, 1 36, 1 8, 1 4, 1 4, 1 7 XX YY = (141.6,.3, 9.7, 1, 4.8, 1, 3., 17, 3.6) ββ = (XX XX) 1 XX YY = (7.9, 0.4, 0.8, 1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.7, 0.0) ββ ΧΧ ΥΥ = 1118,64 +,1 + 3,76 + 1 + 0,48 + 0,1 + 0,3 11,9 + 0,18 = 114,7 10

Άσκηση 3 (άσκηση 4, σελ. 99-100) Μας ζητείται η ανάλυση διασποράς κατά τρεις παράγοντες. Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους του βιβλίου σελ. 94 έτσι ώστε να βρούμε τα SSSSSS, SSSSSS, SSSSSS, SSSSSSSS, SSSSSSSS, SSSSSSSS, SSSSSSSSSS, SSSSSS, SSSSSS και τελικώς θα προκύψει ο εξής πίνακας ανάλυσης διασποράς για τρεις παράγοντες Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα FF 00 Μαλακό νερό (Α) SSSSSS = 96 48 9,10 Σκληρό νερό (Β) SSSSSS = 6,88 113,44 1, Ποικιλία (Γ) SSSSSS = 688,88 4 344,44 6,3 Αλληλεπιδράσεις ΑΑ ΒΒ SSSSSSSS = 13,33 4 38,33 7,7 ΑΑ ΓΓ SSSSSSΓΓ = 91,9 4 8,14 43,9 ΒΒ ΓΓ SSSSSSΓΓ = 10, 8 37, 7,1 ΑΑ ΒΒ ΓΓ SSSSSSSSΓΓ = 374,81 4 46,8 8,88 Υπόλοιπο 84,66,7 Σύνολο 887,37 80 Οι κύριοι παράγοντες του μαλακού νερού, του σκληρού νερού και της ποικιλίας είναι σημαντικοί καθώς FF,4,0.0 = 3,1. Επίσης οι αλληλεπιδράσεις ης και 3 ης τάξης είναι σημαντικές. Τέλος RR = SSSS MMMMMMMMMM SSSS TTTTTTTTTT = 60,71 887,37 = 0,90 11

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ II

Άσκηση 1 Ερώτημα (i) Ημέρα Παρτίδα 1 3 4 Σύνολο 1 A 8 B 7 D 7 C 7 E 3 3 C 11 E A 7 D 3 B 8 31 3 B 4 A 9 C 10 E 1 D 9 4 D 6 C 11 E 6 B 6 A 10 39 E 4 D B 3 A C 8 Σύνολο 33 31 33 34 13 yy..1 = 39, yy.. = 8, yy..3 = 47, yy..4 = 3, yy.. = 16 Πηγή SSSSSS = 1 ii=1 yy ii.. 1 yy = 9.84 SSSSSS = 1 yy.jj. 1 yy... = 19.44 SSSSTT rr = 1 yy..kk kk=1 SSSSSS = yy iiiiii Άθροισμα Τετραγώνων ii=1 1 yy... = 13.44 kk=1 SSSSSS = 7.9 Βαθμοί Μέσα Ελευθερίας τετράγωνα 1 yy = 00.64 F Παρτίδα 9.84 4 7.46 3.4 Ημέρες 19.44 4 4.86.11 Συστατικό 13.44 4 30.86 9.06 Υπόλοιπο 7.9 1.30 Σύνολο 00.64 4 Παρατηρούμε ότι FF ππππππππ ίδδδδδδ = 3.4 > FF 4,4,0.0 =.78, καθώς επίσης και FF σσσσσσσσσσσσσσσσσσ ύ = 9.06 > FF 4,4,0.0. Άρα οι κύριοι παράγοντες της παρτίδας και του συστατικού είναι σημαντικοί. 1

Ερώτημα (ii) Οι κύριες επιδράσεις του παράγοντα «συστατικό» εκτιμώνται από τον τύπο γγ kk = yy..kk yy yy = yy = 6.1 yy..1 = 33 = 6.6, yy.. = 6., yy..3 = 6.6, yy..4 = 4.4, yy.. = 6.8 γγ 1 = yy..1 yy = 0.48 γγ = 0.08 γγ 3 = 0.48 γγ 4 = 1.7 γγ = 0.68 ss = 1 MMMMMM = 0.68 RR = rr 0.0 (.1) ss =.09 RR 3 = rr 0.0 (3.1) ss =.19 RR 4 = rr 0.0 (4.1) ss =.6 RR = rr 0.0 (.1) ss =.8 γγ 4 = 1.7, γγ = 0.08, γγ 3 = 0.48, γγ 1 = 0.48, γγ = 0.68 4 vvvv =.4 > RR 4 vvvv 1 =. < RR 4 vvvv = 0.6 < RR 4 3 vvvv = 0. < RR 3 1 vvvv = 0. < RR γγ 4 γγ γγ 3 γγ 1 γγ

Άσκηση Ερώτημα (i) Χειριστής Ημέρα 1 3 4 Σύνολο 1 Aα 10 Bβ 10 Cγ 8 Dδ 141 Eε 13 6 Bγ 9 Cδ 11 Dε 131 Eα 11 Aβ 99 46 3 Cε 96 Dα 130 Eβ 108 Aγ 73 Bδ 19 36 4 Dβ 10 Eγ 100 Aδ 111 Bε 116 Cα 100 47 Eδ 13 Aε 110 Bα 111 Cβ 8 Dγ 100 9 Σύνολο 33 7 43 7 60 70 ΥΥ..1. = 49, ΥΥ... = 3, ΥΥ..3. = 47, ΥΥ..4. = 6, ΥΥ... = 7 ΥΥ 1 =, ΥΥ = 17, ΥΥ 3 = 447, ΥΥ 4 = 616, ΥΥ = 8 Πηγή SSSSSS = 1 ii=1 yy ii 1 yy. = 1. SSSSSSSS = 1 yy.jj.. 1 yy. = 167. SSSSSSSSSS = 1 SSSSSSSS = 1 kk=1 mm =1 yy..kk. 1 yy. yy...mm 1 yy. = 1. = 1. SSSSSS = 1 yy iiiiiiii 1 yy. = 6738 ii=1 Άθροισμα Τετραγώνων kk=1 mm SSSSSS = 163. Βαθμοί Μέσα τετράγωνα Ελευθερίας Ημέρα 1. 4 31.8 1.6 Χειριστής 167. 4 41.8.04 Μέθοδος κατ. 87.6 4 714.4 3.01 Μηχανές 344.8 4 86. 41.97 Υπόλοιπο 163. 8 0.4 Σύνολο 6738 4 F Παρατηρούμε πως ο κύριος παράγοντας τόσο των μεθόδων κατασκευής όσο και των μηχανών είναι σημαντικός, διότι ισχύει FF μμ.κκ. = 3.01 > FF 4,4,0.0 =.78 και FF μμμμμμ = 41.97 > FF 4,4,0.0 3

Ερώτημα (ii) Οι κύριες επιδράσεις του παράγοντα «μηχανές» εκτιμώνται από τον τύπο δδ mm = yy mm yy. yy. = 108.8 yy 1 = = 111, yy... = 103.4, yy...3 = 89.4, yy...4 = 13., yy = 117 δδ 1 = yy...1 yy. =. δδ =.4 δδ 3 = 19.4 δδ 4 = 14.4 δδ = 8. ss = 1 MMMMMM =.0 RR = rr 0.0 (.8) ss = 6.8 RR 3 = rr 0.0 (3.8) ss = 6.8 RR 4 = rr 0.0 (4.8) ss = 7.01 RR = rr 0.0 (.8) ss = 7.11 δδ 3 = 19.4, δδ =.4, δδ 1 =., δδ = 8., δδ 4 = 14.4 3 vvvv 4 = 33.8 > RR 3 vvvv = 7.6 > RR 4 3 vvvv 1 = 1.4 > RR 3 3 vvvv = 14 > RR vvvv 4 = 19.8 > RR 4 vvvv = 13.6 > RR 3 vvvv 1 = 7.6 > RR 1 vvvv 4 = 1. > RR 3 1 vvvv = 6 < RR vvvv 4 = 6. < RR δδ 3 δδ δδ 1 δδ δδ 4 4

Άσκηση 3 Ερώτημα (i) Μηχανή Αγωγή (τύπος λαδιού) 1 3 4 Σύνολο 1 1 14 13 4 11 10 1 33 3 11 10 10 31 4 9 10 11 30 Σύνολο (ΒΒ jj ) 3 3 30 36 136 Έχουμε ένα συμμετρικό (4,,) ΒΒΒΒΒΒ σχεδιασμό. 4 4 SSSSSS = yy iiii yy.. ii=1 NN = 36.7 SSSSSS = 1 4 kk BB jj 1 NN GG = 7.3 Υπολογίζουμε τα προσαρμοσμένα αθροίσματα QQ 1 = TT 1 1 kk QQ = TT 1 kk QQ 3 = TT 3 1 kk QQ 4 = TT 4 1 kk 4 4 4 4 aa iiii BB jj aa iiii BB jj aa iiii BB jj aa iiii BB jj SSSSTT rr ππππππππ = kk 4 λλλλ QQ ii ii=1 SSSSSS = SSSSSS SSSSTT rr ππππππππ = 6.7 = 0.7 =.3 = 3.6 = 3.8 SSSSSS =.6 Πηγή Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα SSSSTT Αγωγές (προσ.) rr 3.8 3 vv 1 = 7.9 MMMMMM FF = MMMMMM = 77.1 Μπλοκ 7.3 3 Σφάλμα.6 SSSSSS ww vv bb + 1 = 1.1 Ολική 36.7 11 F

Το FF 0 = 7.1 > FF 3,,0.0 =.41, επομένως ο κύριος παράγοντας τύπος λαδιού είναι σημαντικός. Ερώτημα (ii) Οι intrablock εκτιμήτριες είναι οι ττ 1 = kk λλλλ QQ 1 = 3 6.7 =.1 4 ττ = kk λλλλ QQ = 3 ( 0.7) = 0.6 8 ττ 3 = kk λλλλ QQ 3 = 3 (.3) = 0.86 8 Για το κριτήριο Duncan έχουμε ττ 4 = kk λλλλ QQ 4 = 3 ( 3.6) = 1.3 8 ss = kk λλλλ MMMMMM = 3.6 = 1.44 8 RR = rr 0.0 (.) ss =.4 RR 3 = rr 0.0 (3.) ss =.38 RR 4 = rr 0.0 (4.) ss =.4 ττ 4 = 1.3, ττ 3 = 0.86, ττ = 0.6, ττ 1 =.1 4 vvvv 1 = 3.8 < RR 4 ττ 4 ττ 3 ττ ττ 1 Ερώτημα (iii) Οι interblock εκτιμήτριες είναι οι ττ 1 = ττ = 4 4 aa 1jj yy.jj kkkkyy = rr λλ aa jj yy.jj 3 3 yy = 3 106 9 11.3 3 101 9 11.3 3 = 4.3 = 0.7 6

διότι ττ 3 = 4 ττ 4 = 4 MMSS bbbbbbbbbbbb (aaaaaaaaaaaaaaaa ) = aa 3jj yy.jj 3 3 yy = 3 aa 4jj yy.jj 9 yy = 3 kk 4 ii=1 QQ ii λλλλ 100 101.7 3 101 101.7 3 yy 4.jj + kk bb 1 = 1.7 = 0.7 4 ii=1 yy ii. rr (3.86 + 148.66 171.33) = = 0.40 3 σσ ββ = (MMSS bbbbbbbbbbbb (aaaaaaaaaaaaaaaa ) MMMMMM)(bb 1) 4(3 1) MMSS bbbbbbbbbbbb (aaaaaaaaaaaaaaaa ) MMMMMM = 0 7

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ IΙI & IV

Άσκηση 1 Ερώτημα (i) Μηχανές yy ii. Συνθέσεις 1 3 4 6 7 8 9 1 164 13 160 477 118 104 11 334 3 10 13 141 46 4 137 1 11 383 103 98 109 310 6 10 108 100 38 7 100 9 94 86 8 13 130 11 368 9 119 111 109 339 yy.jj 43 410 363 366 317 347 346 38 34 yy.. = 31 Παρατηρούμε ότι έχουμε έναν PBIB-σχεδιασμό (μερικώς ισορροπημένο μη πλήρη σχεδιασμό κατά μπλοκ) με συνδεόμενες κλάσεις και παραμέτρους: vv = 9, bb = 9, kk = 3 Έχουμε τις κλάσεις 1: {1,,3} : {1,4,6} 3: {1,,7} 4: {3,6,8} : {,6,9} 6: {4,7,8} 7: {3,7,9} 8: {,,8} 9: {,4,9} Δεν υπάρχουν αγωγές (δηλαδή συνθέσεις στην προκειμένη περίπτωση) που να εμφανίζονται μαζί, συνεπώς λλ 1 = 0, ενώ άλλες εμφανίζονται μαζί μόνο μία φορά, οπότε λλ = 1. Κάθε αγωγή έχει nn 1 = πρώτα συνδεόμενες και nn = 6 δεύτερα συνδεόμενες κλάσεις. Η 1 και η 8 είναι πρώτα συνδεόμενες: Η 1 με την 8 και την 9 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις,3,4,,6,7 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Η 8 με την 1 και την 9 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις,3,4,,6,7 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Η 1 και η είναι δεύτερα συνδεόμενες: Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 1

Η 1 με την 8 και την 9 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις,3,4,,6,7 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Η με την 6 και την 7 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις 1,3,4,,8,9 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Άρα προκύπτει ο πίνακας Σύμφωνα με τον τύπο pp jjjj = 0 3 QQ ii = TT ii 1 kk aa iiii BB jj ακολουθούν τα προσαρμοσμένα αθροίσματα 9 ii=1 QQ 1 = 477 1 (43 + 410 + 363) = 7.3 3 QQ = 33.3 QQ 3 = 44.6 QQ 4 = 16.6 QQ = 6 QQ 6 = 36.3 QQ 7 = 66 QQ 8 = 1 QQ 9 = 4 Επίσης ορίζουμε SS 1 (QQ ii ) = SS QQ ss, ss και ii πρώτα συνδεόμενες και υπολογίζουμε SS 1 (QQ 1 ) = QQ 8 + QQ 9 = SS 1 (QQ ) = QQ 6 + QQ 7 = 10.3 SS 1 (QQ 3 ) = QQ 4 + QQ = 10.6 SS 1 (QQ 4 ) = QQ 3 + QQ = 18.6 SS 1 (QQ ) = QQ 3 + QQ 4 = 61. SS 1 (QQ 6 ) = QQ + QQ 7 = 99.3 SS 1 (QQ 7 ) = QQ + QQ 6 = 69.9 SS 1 (QQ 8 ) = QQ 1 + QQ 9 = 79.3 SS 1 (QQ 9 ) = QQ 1 + QQ 8 = 96.3 Στη συνέχεια βρίσκουμε το ΔΔ = 1 kk {(rrrr rr + λλ 1 )(rrrr rr + λλ ) + (λλ 1 λλ ) [rr(kk 1)(pp 1 1 pp 1 ) + λλ pp 1 1 λλ 1 pp 1 ]} = 1 4 {4 + 1} = 3 9 = 6 cc 1 = 1 kkδδ [λλ 1 (rrrr rr + λλ ) + (λλ 1 λλ )(λλ pp 1 1 λλ 1 pp 1 )] = 1 [0 + 0] = 0 18 cc = 1 kkδδ [λλ (rrrr rr + λλ ) + (λλ 1 λλ )(λλ pp 1 1 λλ 1 pp 1 )] = 1 18 6 = 0.33 Σύμφωνα με τον τύπο 1 ττ ii = rr(kk 1) [(kk cc )QQ ii + (cc 1 cc )SS 1 (QQ ii ) Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα

η εκτίμηση των επιδράσεων των αγωγών είναι ττ 1 = ττ = 9.71 ττ 3 = 1.17 ττ 4 = 6.64 1 [(3 0.33) 7,3 + (0 0.33) ] = 3.13 3(3 1) Επομένως, τα μέσα τετράγωνα είναι τα ττ = 1.36 ττ 6 = 11.9 ττ 7 = 6.6 9 SSSSSSSS = ττ ii QQ ii = 6461.41 ii=1 9 SSSSSS = 1 kk yy.jj yy.. = 379 bbbb 9 9 SSSSSS = yy iiii yy.. bbbb = 10460.1 ii=1 Και καταλήγουμε στον πίνακα ANOVA. SSSSSS = SSSSSS SSSSSSSS SSSSSS = 40.10 ττ 8 =.33 ττ 9 = 3.44 Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσα Τετραγώνων Ελευθερίας Τετράγωνα F Αγωγή 6461.41 8 807.6 33.63* Μπλοκ 379 8 Σφάλμα 40.10 10 4.01 Ολική 10460.1 6 Ερώτημα (ii) FF 8,10;0.01 =.06 < FF 0 = 33.63 Οπότε, οι αντιθέσεις είναι σημαντικές για την παραγωγή αυτοκινήτων σε στάθμη σημαντικότητας 1%. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 3

Άσκηση Ερώτημα (i) Έχουμε τον πίνακα Σταθμός εργασίας Σύνολο Σύνολο Πυκνότητα 1 3 4 yy ii.. Αγωγών 11 AA = BB = 9 CC = 0 DD = 14 yy.1. = 11 BB = 6 AA = EE = CC = 3 19 yy.. = 3 33 CC = 1 DD = 9 AA = 0 EE = 7 17 yy.3. = 10 44 DD = 8 EE = 8 BB = 10 AA = 4 30 yy.4. = 4 EE = 7 CC = 6 DD = 11 BB = 10 34 yy.. = 7 Σύνολο yy..nn 4 37 6 38 yy = 1 Θεωρούμε το σχεδιασμό ως έναν ΒΙΒ-σχεδιασμό με νν = bb =, rr = kk = 4 και λλ = 3. Η ολική μεταβολή είναι 4 SSSSSS = yy iiiiii yy NN = 7.7 Ο πίνακας αντιστοίχησης είναι 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 ΑΑ = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Τα μερικά αθροίσματα είναι τα Τα μέσα τετράγωνα είναι τα ii jj kk QQ 1 = 11 1 ( + 19 + 17 + 30) = 11.7 4 QQ = 8 QQ 3 = 13.7 QQ 4 = 1. QQ = SSSSSSSS = kk λλλλ QQ ii = 169.43 ii=1 Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 4

Και έχουμε τον πίνακα ANOVA SSSS ππππππππ όττττττττττ = 1. SSSS σσσσ.εεεεεεεεεε ίαααα = 31.7 SSSSSS = SSSSSS SSSSSSSS SSSS ππππππππ. SSSS σσσσ.εεεεεε. = 3.07 Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσα Τετραγώνων Ελευθερίας Τετράγωνα F Δέντρο 169.43 4 4.36 14.69** Πυκνότητα 1. 4 Στ. Εργασίας 31.7 3 10.8 Σφάλμα 3.07 8.88 Ολική 7.7 19 Ερώτημα (ii) Επειδή FF 4,8;0.0 = 3.84 < FF 0 = 14.69 οι αγωγές είναι σημαντικές σε στάθμη σημαντικότητας %. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα

Άσκηση 1 Ερώτημα (i) Αρχικά, όπως μας ζητείται βρίσκουμε τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων AA = ( (1) + aa bb + aaaa cc + aaaa bbbb + aaaaaa dd + aaaa bbbb + aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.1 BB = ( (1) aa + bb + aaaa cc aaaa + bbbb + aaaaaa dd aaaa + bbbb + aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.10 CC = ( (1) aa bb aaaa + cc + aaaa + bbbb + aaaacc dd aaaa bbbb aaaaaa + cccc + aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.9 DD = ( (1) aa bb aaaa cc aaaa bbbb aaaaaa + dd + aaaa + bbbb + aaaaaa + cccc + aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0. Και στη συνέχεια τις αλληλεπιδράσεις αυτών AAAA = ((1) aa bb + aaaa + cc aaaa bbbb + aaaaaa + dd aaaa bbbb aabbbb + cccc aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.093 AAAA = ((1) aa + bb aaaa cc + aaaa bbbb + aaaaaa + dd aaaa + bbbb aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.009 AAAA = ((1) aa + bb aaaa + cc aaaa + bbbb aaaaaa dd + aaaa bbbb + aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.11 BBBB = ((1) + aa bb aaaa cc aaaa + bbbb + aaaaaa + dd + aaaa bbbb aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.08 BBBB = ((1) + aa bb aaaa + cc + aaaa bbbb aaaaaa dd aaaa + bbbb + aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.10 CCCC = ((1) + aa + bb + aaaa cc aaaa bbbb aaaaaa dd aaaa bbbb aaaaaa + cccc + aaaaaa + bbbbdd + aaaaaaaa)/8nn = 0.031 AAAAAA = ( (1) + aa + bb aaaa + cc aaaa bbbb + aaaaaa dd + aaaa + bbbb aaaaaa + cccc aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.014 AAAAAA = ( (1) + aa + bb aaaa cc + aaaa + bbbb + aaaaaa + dd aaaa bbbb + aaaaaa + cccc aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.3 AAAAAA = ( (1) + aa + bb + aaaa + cc aaaa + bbbb aaaaaa + dd aaaa + bbbb aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.3 BBBBBB = ( (1) aa + bb + aaaa + cc + aaaa bbbb aaaaaa + dd + aaaa bbbb aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.011 AAAAAAAA = ((1) aa bb + aaaa cc + aaaa + bbbb aaaaaa dd + aaaa + bbbb aaaaaa + cccc aaaaaa bbbbbb + aabbbbbb)/8nn = 0.14 Για τα δεδομένα λάβαμε τα αποτελέσματα του αθροίσματος των στηλών Ι και ΙΙ Επανάληψης. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 6

Ερώτημα (ii) Για την πραγματοποίηση της ανάλυσης διασποράς βρίσκουμε τα αθροίσματα τετραγώνων των κύριων επιδράσεων και των αλληλεπιδράσεων των παραγόντων SSSSSS = (CCCCCCCCCCCCCCtt AA ) = 0.38 SSSSSS = (CCCCCCCCCCCCCCtt BB ) = 0.08 16nn 16nn SSSSSS = 0.678 SSSSSS = 0.387 SSSSSSSS = 0.08 SSSSSSSS = 0.0691 SSSSSSSSSS = 0.00168 SSSSSSSS = 0.0968 SSSSSSSSSS = 0.98 SSSSSSSS = 0.08 SSSSSSSSSSSS = 0.168 SSSSSSSS = 0.000677 SSSSSSSSSS = 0.819 SSSSSSSS = 0.01 SSSSSSSSSS = 0.000968 4 SSSSSS = yy iiiih 16 = 8.096 ii=1 h=1 yy SSSSSS = SSSSSS SSSSSS SSSSSSSSSSSS = 78.64 Έπειτα, συντάσσουμε τον πίνακα ANOVA. Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσα Τετραγώνων Ελευθερίας Τετράγωνα F AA 0.38 1 0.38 < 1 BB 0.08 1 0.08 < 1 CC 0.678 1 0.678 < 1 DD 0.387 1 0.387 < 1 AAAA 0.0691 1 0.0691 < 1 AAAA 0.000677 1 0.000677 < 1 AAAA 0.0968 1 0.0968 < 1 BBBB 0.01 1 0.01 < 1 BBBB 0.08 1 0.08 < 1 CCCC 0.08 1 0.08 < 1 AAAAAA 0.00168 1 0.00168 < 1 AAAAAA 0.819 1 0.819 < 1 AAAAAA 0.98 1 0.98 < 1 BBBBBB 0.000968 1 0.000968 < 1 AAAAAAAA 0.968 1 0.968 < 1 ΣΣΣΣάλλλλλλ 78.64 16 4.891 ΟΟΟΟΟΟΟΟή 8.096 31 Παρατηρούμε πως όλα τα F είναι μικρότερα της μονάδας, συνεπώς καμία επίδραση ή αλληλεπίδραση δεν είναι σημαντική Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 7

Ερώτημα (iii) yy = 1.6 + 0.1 xx 1 + 0.10 xx + 0.9 xx 3 + 0. xx 4 + 0.093 xx 1xx + 0.009 xx 1 xx 3 + 0.11 xx 1xx 4 + 0.08 xx xx 3 + 0.10 xx xx 4 + 0.031 xx 3 xx 4 + 0.014 xx 1 xx xx 3 + 0.3 xx 1xx xx 4 + 0.3 xx 1xx 3 xx 4 + 0.011 xx xx 3 xx 4 + 0.14 xx 1xx xx 3 xx 4 Για xx 1 = 1, xx = xx 3 = xx 4 = 1, yy = 0.411 ee 1 = 1.71 + 0.411 =.11 ee = 1.91 + 0.411 =.411 ee 3 = 1.4 + 0.411 = Ομοίως βρίσκουμε και όλα τα άλλα σφάλματα και σχηματίζοντας το διάγραμμα κανονικής πιθανότητας βλέπουμε αν τα υπόλοιπα βρίσκονται κοντά στην ευθεία. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 8