Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Σε πολλά προβλήματα των Πειραματικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών αλλά και σε προβλήματα καθαρών Μαθηματικών, στα οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y y( ), καταλήγουμε από τα δεδομένα σε μια εξίσωση στην οποία εμφανίζονται παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης Παράδειγμα Δοχείο το οποίο περιέχει υγρό θερμοκρασίας 00 0 C τοποθετείται σε δωμάτιο με σταθερή θερμοκρασία 0 0 C Η ταχύτητα ψύξης είναι οποιαδήποτε στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών υγρού και δωματίου (νόμος του Νεύτωνα) Αν η θερμοκρασία του υγρού μετά από 5 min είναι 60 0 C πόση θα είναι μετά από 0 min; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία θ του υγρού είναι, μετά την τοποθέτησή του στο δωμάτιο, συνάρτηση θθ(t) του χρόνου t Η ταχύτητα μεταβολής της θερμοκρασίας δίνεται από την παράγωγο d θ και άρα η dt dθ ταχύτητα ψύξης δίνεται από την ποσότητα Επειδή η ταχύτητα ψύξης είναι dt κάθε χρονική στιγμή ανάλογη της διαφοράς των θερμοκρασιών, έχουμε την εξίσωση
0 Κεφάλαιο dθ aθ ( 0), () dt όπου α R, είναι σταθερή Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζεται η συνάρτηση θ και η παράγωγός της d θ είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση dt θθ(t) Παράδειγμα Σώμα με μάζα m gr είναι συνδεδεμένο με το άκρο ενός κατακορύφου ελατηρίου και το όλο σύστημα περιβάλλεται από μέσο του οποίου η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος Απομακρύνουμε κατακόρυφα το σώμα από τη θέση ισορροπίας του (Σχ ) και το αφήνουμε ελεύθερο Να περιγραφεί η κίνηση του συστήματος Σχ Από τη στιγμή που το σώμα αφήνεται ελεύθερο, το ελατήριο τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας και το όλο σύστημα αρχίζει να ταλαντεύεται Η κίνηση του συστήματος περιγράφεται πλήρως από τη συνάρτηση t (), όπου είναι η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και t είναι ο χρόνος Οι δυνάμεις που καθορίζουν την κίνηση του συστήματος είναι οι παρακάτω δύο (το βάρος του σώματος εξουδετερώνεται από το ελατήριο) : (i) Η δύναμη του ελατηρίου, η οποία τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας Η δύναμη αυτή έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της απομάκρυνσης και μέτρο ανάλογο του μέτρου της απομάκρυνσης, δηλ είναι η δύναμη F β, όπου β R, β > 0
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ii) Η δύναμη αντίστασης του μέσου, η οποία έχει αλγεβρική τιμή αντίθετη της ταχύτητας του σώματος και μέτρο ανάλογο του μέτρου της ταχύτητας, δηλ dt είναι η δύναμη F a, όπου α R, α > 0 dt Η ολική δύναμη F F + F προσδίδει επιτάχυνση d γ στο σώμα και ο νόμος dt του Νεύτωνα F mγ, που ισχύει κάθε χρονική στιγμή t, δίνει την εξίσωση η οποία γράφεται d β a m dt dt, d 0 m + a + β () dt dt Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζονται η άγνωστη συνάρτηση (t) και οι παράγωγοί της και d, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση dt dt () t Παράδειγμα Να βρεθεί καμπύλη κ του επιπέδου Oy της οποίας η κλίση της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο της P(, y) να είναι ίση με το διπλάσιο του γινομένου των συντεταγμένων του Ρ Όπως γνωρίζουμε, μια καμπύλη κ του επιπέδου Oy καθορίζεται στην Αναλυτική Γεωμετρία από την εξίσωσή της Άρα άγνωστη, στο πρόβλημά μας αυτό, είναι η εξίσωση F(, y) 0 της καμπύλης κ ή, ισοδύναμα, η συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την εξίσωση της κ Επειδή η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης κ στο τυχαίο σημείο της P(, y)δίνεται από την παράγωγο dy της συνάρτησης y y( ), έχουμε την ισότητα dy y () Από την εξίσωση (), στην οποία εμφανίζονται η ανεξάρτητη μεταβλητή, η άγνωστη συνάρτηση y και η παράγωγός της dy, είμαστε υποχρεωμένοι να βρούμε τη συνάρτηση y y( ) 4 Ορισμός Μια εξίσωση στην οποία άγνωστη είναι μια συνάρτηση y y( ) και στην οποία εμφανίζονται κάποιες παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης (δηλ μια ή
Κεφάλαιο και περισσότερες από τις συναρτήσεις εξίσωση ή (απλά) διαφορική εξίσωση ( ν) ) λέγεται συνήθης διαφορική y, y,, y 5 Παρατήρηση Η γενική μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (4) όπου ν N 6 Παρατήρηση Σε μια διαφορική εξίσωση εκτός από τις παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης y y( ), οι οποίες είναι βέβαια σε πεπερασμένο πλήθος, είναι δυνατό να εμφανίζεται και η ανεξάρτητη μεταβλητή ή και η άγνωστη συνάρτηση y ή και οι δύο, αλλά αυτό δεν είναι αναγκαίοτο αναγκαίο είναι να εμφανίζεται κάποια παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης 7 Παρατήρηση Δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες οι οποίες είναι ταυτότητες ως προς την άγνωστη συνάρτηση, όπως πχ η ( y) y + y 8 Παρατήρηση Επίσης δεν θεωρούνται διαφορικές εξισώσεις οι ισότητες εκείνες στις οποίες η εμφάνιση των παραγώγων είναι εικονική, όπως πχ η y + y + y 9 Παρατήρηση Σε ότι ακολουθεί, αντί συνήθης διαφορική εξίσωση γράφουμε, για συντομία, ΔΕ 0 Παράδειγμα Οι εξισώσεις (), (), () των Παραδειγμάτων, και, όπως και οι εξισώσεις d y y + y e, 4, d y d y dy + + 4 + 7y 0, (5) (4) dy yy 4y, y y ημ, y συν( ) + είναι όλες Δ Ε (διαφορικές εξισώσεις) Ορισμός Μια συνάρτηση y f ( ), η οποία είναι ορισμένη και η οποία παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι, λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της ΔΕ ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (4) αν μετά την αντικατάσταση των ( ν) y με τα yy,, y,, f f f f ( ν) ( ), ( ), ( ),, ( ) στην (4) αυτή γίνεται ταυτότητα ως προς, δηλ αν
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ( ν) F, f( ), f ( ), f ( ),, f ( ) 0, Ι Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι λύση της ΔΕ Έχουμε f( ) + e, R dy y + + (5) df ( + e ) e και df + f( ) e + + e +, R Επομένως η συνάρτηση y f ( ) είναι λύση της ΔΕ (5) Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι λύση της ΔΕ Έχουμε και f( ) e 6 8, + + + R y y y + 4 (6) f ( ) ( e + + 6+ 8) e + 4+ 6, f ( ) e + 4 f ( ) f ( ) + f( ) e + 4 ( e + 4+ 6) + ( e + + 6+ 8) e e + e + 4 8+ 4 + + 6 4 + Επειδή υπάρχει τιμή του R, πχ η 0, τέτοια ώστε να είναι 4 + 4, η συνάρτηση y f ( ) δεν είναι λύση της ΔΕ (6) 4 Ορισμός Η λύση μιας ΔΕ είναι σε πολλές περιπτώσεις πλεγμένη συνάρτηση Η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα f(, y ) 0 (7) λέγεται λύση ή ολοκλήρωμα της ΔΕ (4), αν παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές και ( ν) μετά την έκφραση των y, y,, y με τα και y και την αντικατάσταση των εκφράσεων αυτών στην (4) αυτή επαληθεύεται από όλα τα και y τα οποία ικανοποιούν την (7)
4 Κεφάλαιο 5 Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y y ( ) η οποία ορίζεται από την ισότητα y + e y + e (8) είναι λύση της ΔΕ dy ( + e y) + e (9) Για να βρούμε την παράγωγο της πλεγμένης συνάρτησης y y( ) που ορίζεται από την ισότητα (8), παραγωγίζουμε τα μέλη της (8) ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε dy y dy + e e ή dy + e y + e Επομένως (8) dy + e y + e ( + e y) ( + e y) ( + e ) + e y y + e + e για όλα τα, y που επαληθεύουν την (8) και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την (8) είναι λύση της ΔΕ (9) 6 Παράδειγμα Να εξεταστεί αν η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) η οποία ορίζεται από την ισότητα 5y y (0) 5 στο διάστημα 0, y + y y () είναι λύση της ΔΕ Παραγωγίζουμε τα μέλη της (0) ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε 0y + 0 yy 6 y 4 yy 0 ή 0y 6 y 5y y y 4 y 0 y y 5 y Επομένως (5y y) 5y y + y 5y y + y + y y 5y y 5y (0) y y y y y, y 5 y (5y yy ) 5y y
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 5 για όλα τα, y που επαληθεύουν τη (0) Κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από τη (0) είναι λύση της ΔΕ () 7 Ορισμός Μια ΔΕ λέγεται διαφορική εξίσωση ν τάξης (ν N ), αν η μεγαλύτερη τάξη των παραγώγων που εμφανίζονται σ αυτήν είναι ν, δηλ αν σ αυτήν εμφανίζεται η ν-οστή παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και δεν εμφανίζεται παράγωγος μεγαλύτερης τάξης 8 Παράδειγμα Οι ΔΕ : dy (i) y (ii) (iii) dy + 0 d y ( ) ( ) (5) (4) () () y + y y + y y y ημ + συν ης ης είναι, αντίστοιχα,, και 5 ης τάξης 9 Παρατήρηση Μια ΔΕ πρώτης τάξης F(, y, y ) 0 () επιδέχεται γεωμετρική ερμηνεία ανάλογη με εκείνη του Παραδείγματος Πιο συγκεκριμένα, στη ΔΕ () καταλήγουμε όταν ζητούμε την καμπύλη κ του επιπέδου Oy που έχει την ιδιότητα : Ο συντελεστής διεύθυνσης λ y, της εφαπτομένης της καμπύλης κ στο τυχαίο σημείο της P(, y) συνδέεται με τις συντεταγμένες του Ρ με τη συγκεκριμένη σχέση F Οι λύσεις της ΔΕ () δίνουν όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν την παραπάνω ιδιότητα 0 Παρατήρηση Το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των ΔΕ είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης ΔΕ Το πρόβλημα αυτό δεν λύθηκε μέχρι σήμερα στη γενική του μορφή, αλλά σε ορισμένες μόνο απλές περιπτώσεις με μερικές από τις οποίες θα ασχοληθούμε κι εμείς στα επόμενα
6 Κεφάλαιο Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι: (i) f( ) ce + ce y 6y + 9y 0 (ii) g ( ) ασυν( ) + βημ( ) y + 4y 0 (iii) h ( ) e ( ασυν+ βημ) y + y + y 0 όπου c, c, α, β είναι αυθαίρετες σταθερές (i) f ( ) ce + c ( e + e ) ce + ce + c e, f ( ) ce + ce + c ( e + e ) 9ce + 6ce + 9c e και f ( ) 6 f ( ) + 9 f( ) 9ce + 6ce + 9c e 6(ce + ce + c e ) + 9( ce + ce ) (9c+ 6c 8c 6c + 9 c) e + (9c 8c + 9 c) e 0 e + 0 e 0, R Επομένως η συνάρτηση y f () είναι λύση της ΔΕ y 6y + 9y 0 (ii) g ( ) a[ ημ( )] + β[ συν( )] aημ( ) + βσυν( ), g ( ) a[ συν( )] + β[ ημ( )] 4 aσυν( ) 4 βημ( ) και g ( ) + 4 g( ) 4 aσυν( ) 4 βημ( ) + 4[ aσυν( ) + βημ( )] ( 4a+ 4 a) συν( ) + ( 4β + 4 β) ημ( ) 0 συν( ) + 0 ημ( ) 0, R Επομένως η συνάρτηση g( ) είναι λύση της ΔΕ y + 4y 0 (iii) Η ισότητα που δίνεται h ( ) e ( aσυν+ βημ) γράφεται eh ( ) aσυν+ βημ () Παραγωγίζοντας τα μέλη της () παίρνουμε [ eh ( )] ( aσυν+ βημ) ή eh ( ) + eh ( ) aημ+ βσυν ()
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 7 Ακόμη, () [ eh ( ) + eh ( )] ( aημ+ βσυν) eh ( ) + eh ( ) + eh ( ) aσυν βημ eh ( ) + eh ( ) + eh ( ) ( aσυν+ βημ) e [ h( ) + h ( ) + h ( )] e h( ) ( e 0) e [ h ( ) + h ( ) + h( )] 0, R h ( ) + h ( ) + h( ) 0, R () Επομένως η συνάρτηση h ( ) είναι λύση της ΔΕ y + y + y 0 Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι: 5 (i) ( ) d y dy f e 5e 7 + y 0 dy (ii) g ( ) ( + ae ) + y e (iii) h ( ) + ae dy 4y 8, + όπου a είναι αυθαίρετο στοιχείο του R (i) f ( ) ( e ) (5 e ) 6e 5 e, f ( ) 8e 5e 5 5 5 και 5 5 5 f ( ) 7 f ( ) + f( ) 8e 5e 7(6e 5 e ) + (e 5 e ) + + + 5 5 5 (8 4 4) e ( 5 75 60) e 0 e 0 e 0 e Επειδή υπάρχει τιμή του R (πχ η 0 ) για την οποία η παράσταση f ( ) 7 f ( ) + f ( ) είναι διάφορη του μηδενός, δηλ επειδή [ f ( ) 7 f ( ) + f( )] [ 0 e ] 0 0, 5 0 0 η συνάρτηση f ( ) δεν είναι λύση της ΔΕ y 7y + y 0 (ii) g ( ) ( + a) e + ( + a)( e ) e ( + a) e και g ( ) + g( ) e ( + a) e + ( + a) e e, R Επομένως για κάθε a R η συνάρτηση g( ) είναι λύση της ΔΕ + y y e
8 Κεφάλαιο (iii) h ( ) + ( ae ) 0 + ae ( ) 4ae και h ( ) + 4 h( ) 4ae + 4 ( + ae ) 4ae + 8 + 4ae 8, R Επομένως για κάθε a R η συνάρτηση h ( ) είναι λύση της ΔΕ y + 4y 8 Άσκηση Να εξεταστεί αν κάθε μια από τις πλεγμένες συναρτήσεις y y( ) που ορίζονται από τις παρακάτω συνθήκες είναι λύση της ΔΕ που γράφεται απέναντι : (i) + y, 0< < yy + + y 0 (ii) y a ln, > 0 yy y + 0, όπου a R (i) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας + y ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε + y + y + ( y + yy ) 0 ή y 6y y Επομένως + y yy + + y y + + y ( + y ) + + y 0, y, y και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα + y στο διάστημα [ 0, ] είναι λύση της ΔΕ yy + + y 0 (ii) Παραγωγίζουμε τα μέλη της ισότητας y a l n ως προς και θεωρούμε το y συνάρτηση του Έτσι έχουμε yy a l n ή yy a l n ή y ( a l n ) y Επομένως yy y + y ( a ln ) y + a l n y + y a l n y Για όλα τα, y που επαληθεύουν την ισότητα y a l n έχουμε yy y + a ln ( a l n) 0 και κατά συνέπεια η πλεγμένη συνάρτηση y y( ) που ορίζεται από την ισότητα y a l n για > 0 είναι λύση της ΔΕ yy y + 0
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Άσκηση 4 Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του ν N τέτοια ώστε η συνάρτηση ν f( ) e να είναι λύση της ΔΕ y y 4y + y 0 ν f ( ) νe, ( ) ν ν f ν e, f ( ) ν e και άρα f ( ) f ( ) 4 f ( ) + f ( ) 0, νe ν νe ν 4νe ν + e ν 0, ( ν ν 4ν+ ) e ν 0, ν ν 4ν+ 0 Αλλά, ν ν 4ν+ ν ( ν ) 4( ν ) ( ν )( ν 4) ( ν )( ν+ )( ν ) και άρα ν ν 4ν+ 0 ( ν )( ν+ )( ν ) 0 ν ή ν ή ν Από τις τιμές αυτές του ν δεκτές είναι μόνο οι ν N και ν N Επομένως υπάρχουν δυο τέτοιες τιμές του νοιν, και ν Άσκηση 5 ν Να βρεθεί για ποιές τιμές του ν N η συνάρτηση y, 0, είναι λύση της ΔΕ y y y 0 Έχουμε ν ν y ν, y ν( ν ) και y y y ν ν ν ν ν( ν ) ν [4 ν( ν ) 6ν 6] ν 5 ν ν (4ν 0ν 6) 4 ν ν 4( ν ) ν+ Επομένως ν y y y 0, 0 4( ν ) ν+ 0, 0 4( ν ) ν+ 0 ν ή ν Από τις τιμές αυτές του ν δεκτή είναι μόνο η ν N, αφού ν N
0 Κεφάλαιο Γενική, μερική και ιδιάζουσα λύση ΔΕ - Πρόβλημα αρχικών και πρόβλημα συνοριακών τιμών - Το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος Παρατήρηση Η πιο απλή μορφή ΔΕ είναι η dy φ ( ), () όπου φ ( ) είναι γνωστή συνάρτηση Στη ΔΕ () δίνεται η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης και ζητείται η συνάρτηση Πρόταση Η λύση της ΔΕ () δίνεται από τον τύπο y φ( ) + c, () όπου c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R Απόδειξη Σύμφωνα με το βασικό Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, για κάθε συνάρτηση y y( ) της οποίας η παράγωγος dy είναι συνεχής σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι έχουμε (στο διάστημα αυτό) dy y ( ) + c, () όπου c είναι η αυθαίρετη σταθερή της ολοκλήρωσης Ο ζητούμενος τύπος () προκύπτει από τον (), αν θέσουμε σ αυτόν όπου dy την ίση με αυτήν συνάρτηση ( ) φ Παρατήρηση Η ΔΕ () δεν έχει μια μόνο λύση αλλά άπειρες, που αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές της αυθαίρετης σταθερής c 4 Παρατήρηση Το σύνολο των λύσεων της ΔΕ () είναι ένα μονοπαραμετρικό σύνολο συναρτήσεων, αφού τα διάφορα στοιχεία του αντιστοιχούν στις τιμές που παίρνει μια παράμετρος (η c R ) 5 Παρατήρηση Θεωρούμε μια εξίσωση της μορφής f(, y, a ) 0, (4) όπου a R είναι μεταβλητή παράμετρος Για μια ορισμένη τιμή του a η εξίσωση (4) ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο Oy Το σύνολο όλων των καμπυλών του επι-
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πέδου, που ορίζονται από την (4) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a, λέγεται στην Αναλυτική Γεωμετρία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών και η εξίσωση (4) λέγεται εξίσωση της οικογένειας 6 Παρατήρηση Με την έννοια της Παρατήρησης 5, οι λύσεις της ΔΕ () αποτελούν μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών του επιπέδου με εξίσωση τη () 7 Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση η λύση της ΔΕ () βρίσκεται με μια ολοκλήρωση των μελών της και εξαρτάται από μια αυθαίρετη σταθερή 8 Παράδειγμα Η ΔΕ dy y + c + c 4 4 έχει λύση Η εξίσωση y + c είναι η εξίσωση της οικογένειας των παραβολών του Σχ Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αυτής είναι οι διάφορες θέσεις που παίρνει μια από τις παραβολές όταν κινείται παράλληλα προς τον άξονα y Oy σαν στερεό σύστημα Σχ 9 Πρόταση Η λύση της ΔΕ ν-τάξης ν d y φ( ), ν N, ν > (5) ν δίνεται από τον τύπο ν ολοκληρώσεις ν ν y [ [ [ φ( ) ] ] ] + c + c + + c + c (6) ν ν, όπου c, c,, cν είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Απόδειξη ν d y Αν στον τύπο () θέσουμε όπου y τη συνάρτηση, τότε παίρνουμε την ισότητα ν ( ) ν ν (5) d y d y ν ν + c φ + c Με νέα εφαρμογή του τύπου () παίρνουμε Οι λέξεις οικογένεια και σύνολο είναι στα Μαθηματικά συνώνυμες
Κεφάλαιο ν d y [ ( ) + ] + [ ( ) ] + + ν φ c c φ c c Μετά από ν τέτοια βήματα φθάνουμε στον τύπο ν ολοκληρώσεις ν ν y [ [ [ φ( ) ] ] ] + c + c + ( ν )! ( ν )! Τέλος, αν στον τύπο (7) θέσουμε τότε παίρνουμε τον τύπο (6) c c c, c,, c ν cν, c ν cν, ( ν )! ( ν )! c + c (7) + ν 0 Παρατήρηση To σύνολο των λύσεων της ΔΕ (5) είναι ένα ν- παραμετρικό σύνολο συναρτήσεων ή, με άλλα λόγια, οι λύσεις της ΔΕ (5) αποτελούν μια ν-παραμετρική οικογένεια καμπυλών του επιπέδου Παρατήρηση Σύμφωνα με την Πρόταση 9, η λύση της ΔΕ (5) βρίσκεται με ν διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της και εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές Παρατήρηση Αν το c είναι αυθαίρετο στοιχείο του R και το a 0 είναι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του R, τότε και τα c c c+ a, c c a, c ac, c4 a είναι αυθαίρετα στοιχεία του R Παράδειγμα Να λυθεί η ΔΕ : d y e Αυτή είναι μια ΔΕ της μορφής (5) Επειδή ν η λύση της βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε και με τη δεύτερη ολοκλήρωση βρίσκουμε ή dy e c e c + + y e + c + c e + c + c ν
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 4 y e + c+ c 4 Ορισμός Κάθε λύση μιας ΔΕ ν-οστης τάξης ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (8) η οποία εξαρτάται από ν ακριβώς αυθαίρετες σταθερές και η οποία δίνεται σε (λυμένη) μορφή y f(, c, c,, c ν ) (9) ή σε πλεγμένη μορφή gycc (,,,,, c ) 0 (0) λέγεται γενική λύση ή γενικό ολοκλήρωμα της ΔΕ (8) 5 Παρατήρηση Από Γεωμετρική άποψη, μια γενική λύση της ΔΕ (8) είναι η εξίσωση μιας ν-παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδουoy Οι διάφορες καμπύλες της οικογένειας αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές των αυθαιρέτων σταθερών c, c,, c ν 6 Ορισμός Κάθε λύση της ΔΕ (8) που προκύπτει από μια γενική της λύση, αν δοθούν συγκεκριμένες τιμές σε όλες τις αυθαίρετες σταθερές, λέγεται μερική λύση ή ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (8) 7 Ορισμός Μια λύση της ΔΕ (8), η οποία δεν εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές και η οποία δεν προκύπτει από κάποια γενική της λύση (εφόσον βέβαια υπάρχει) λέγεται ιδιάζουσα λύση της 8 Ορισμός Για να εκλέξουμε μια μερική λύση της ΔΕ (8), δηλ για να υπολογίσουμε τις τιμές των ν αυθαιρέτων σταθερών που αντιστοιχούν σ αυτήν, πρέπει να μας δοθούν ν ανεξάρτητες μεταξύ τους συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση Οι συνθήκες αυτές έχουν συνήθως τη μορφή ( ν ) y( a) β0, y ( a) β, y ( a) β,, y ( a) β ν, (9) ( ν ) δηλ υποχρεώνουν τις συναρτήσεις yy,, y,, y να πάρουν καθορισμένες τιμές β0, β, β,, βν για καθορισμένη τιμή a της ανεξάρτητης μεταβλητής και λέγονται αρχικές συνθήκες της ΔΕ Το πρόβλημα της εύρεσης μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί αρχικές συνθήκες λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών 9 Ορισμός Υποθέτουμε ότι ζητούμε μια μερική λύση y y( ) της ΔΕ (8) ορισμένη στο κλειστό διάστημα I [ a, β] Αν οι συνθήκες που ικανοποιεί η ζητούμενη μερική λύση υποχρεώνουν κάποιες από τις συναρτήσεις y, y, y,, y ( ν ), ν
4 Κεφάλαιο όπου ν >, να πάρουν καθορισμένες τιμές στο ένα άκρο a του διαστήματος I και οι υπόλοιπες να πάρουν καθορισμένες τιμές στο άλλο άκρο β του I, τότε οι συνθήκες αυτές λέγονται συνοριακές συνθήκες Το πρόβλημα του υπολογισμού μιας μερικής λύσης που ικανοποιεί συνοριακές συνθήκες λέγεται πρόβλημα συνοριακών τιμών 0 Παράδειγμα (Πρόβλημα αρχικών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ y +, (0) η οποία επαληθεύει τη συνθήκη y () (Ισοδύναμη διατύπωση: Να βρεθεί η ολοκληρωτική καμπύλη της ΔΕ (0) η οποία περνά από το σημείο P (, ) του επιπέδου Oy ) Μια γενική λύση της ΔΕ (0) είναι ή y ( + ) + c + + c, δηλ η y + + c () Υπολογίζουμε τώρα την τιμή της αυθαίρετης σταθερής c έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη y( ) Για το σκοπό αυτό, θέτουμε, y στην () και έχουμε + + c ή c 6 Άρα η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση y + + 6 Παράδειγμα (Πρόβλημα συνοριακών τιμών) Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ d dv r 0, () dr dr η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες V( a) V και V( β ) 0 ( V V() r είναι το δυναμικό σε απόσταση r, a r β, από το κοινό κέντρο δυο σφαιρικών αγωγών με ακτίνες a και β και δυναμικά V και 0, αντίστοιχα ) Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της ΔΕ () Με μια ολοκλήρωση (ως προς r ) των μελών της () έχουμε
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 5 dv r 0dr c dr + dv ή r c dr ή dv c ( ) dr r Με νέα ολοκλήρωση των μελών της () έχουμε c c V dr + c + c r r ή c V + c (4) r Η συνάρτηση V V() r που ορίζεται από τη (4) είναι γενική λύση της ΔΕ () Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c και c έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες που δίνονται Για το σκοπό αυτό, θέτουμε r α, V V στη (4) και έχουμε c V + c (5) a Θέτουμε, ακόμη, r β, V 0 στη (4) και έχουμε 0 c β + c (6) Λύνοντας το ως προς c και c σύστημα των (5) και (6) βρίσκουμε Vaβ Va c, c a β a β Τέλος, αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των c, c στη (4) και έχουμε τη ζητούμενη μερική λύση Vaβ Va V() r + a β r a β Ορισμός Μια συνάρτηση ν+ μεταβλητών z f y y y ν (,,,, ), ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R συνθήκη του Lipschitz στην περιοχή D αν ν+, λέμε ότι ικανοποιεί (ως προς ) τη M > 0 : f(, y, y,, y ) f(, y, y,, y ) ν M y y + y y + + y y, ( ν ν για όλα τα σημεία (, y, y,, y ν ) και (, y, y,, y ν ) της περιοχής D Θεώρημα (Ύπαρξης λύσης) Θεωρούμε μια ΔΕ ν τάξης της μορφής ν
6 Κεφάλαιο ν d y ν ( ν ) f(, y, y, y,, y ), (7) όπου f είναι μια συνάρτηση ν+ μεταβλητών ορισμένη σε μια περιοχή D του χώρου R Αν η f είναι συνεχής και ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz στην πε- ν + ριοχή D και αν ( a, β0, β, β,, βν ) είναι ένα εσωτερικό σημείο της D, τότε υπάρχει μία, και μόνο μία, λύση y σ( ) της ΔΕ (7), ορισμένη σε μια περιοχή ( a δ, a+ δ) του σημείου a, που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες ( ν ) σ( a) β0, σ ( a) β, σ ( a) β,, σ ( a) β ν 4 Παρατήρηση Όπως είπαμε στην 0, το κύριο πρόβλημα της Θεωρίας των ΔΕ είναι η εύρεση όλων των λύσεων μιας δοσμένης ΔΕ Το πρόβλημα κατά το οποίο μας δίνεται μια συνάρτηση της μορφής y f(, c, c,, c ν ), (8) όπου ν N και c, c,, cν είναι αυθαίρετες σταθερές και ζητείται μια ΔΕ η οποία να έχει γενική λύση τη συνάρτηση (8), λέγεται αντίστροφο του κυρίου προβλήματος 5 Παρατήρηση Για να επιλύσουμε το αντίστροφο του κυρίου προβλήματος ακολουθούμε την εξής διαδικασία : Παραγωγίζουμε ν φορές τα μέλη της (8) ως προς, θεωρώντας τα c, c,, cν σταθερά Έτσι βρίσκουμε τις ν σε πλήθος εξισώσεις y f (, c, c,, cν ) y f (, c, c,, cν ) ( ν) ( ν) y f (, c, c,, cν ) Κατόπιν απαλείφουμε τα c, c,, cν από τις ν+ εξισώσεις (8) και (9) Η εξίσωση ( ν) F(, y, y, y,, y ) 0, (0) την οποία βρίσκουμε με την απαλοιφή αυτή, είναι η ζητούμενη 6 Ορισμός Η ΔΕ (0) λέγεται ΔΕ της ν παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδου Oy που ορίζεται από τη (8) (9) Υποτίθεται ότι η συνάρτηση αυτή ορίζεται και παραγωγίζεται ν τουλάχιστον φορές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Ι Βρίσκουμε μια άλλη εξίσωση, που προκύπτει από τις (8) και (9) με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, στην οποία δεν εμφανίζονται τα c, c,, c ν
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 7 7 Παρατήρηση Από τις 5 και 6 προκύπτει ότι: Αν η ΔΕ (0) είναι η ΔΕ της ν-παραμετρικής οικογένειας καμπυλών του επιπέδου (8), τότε η συνάρτηση (8) είναι γενική λύση της ΔΕ (0) 8 Παράδειγμα Να βρεθεί η ΔΕ της διπαραμετρικής οικογένειας παραβολών του επιπέδου Oy y a b + () Επειδή η οικογένεια () είναι διπαραμετρική, παραγωγίζουμε δυο φορές τα μέλη της εξίσωσης () ως προς, θεωρώντας τις παραμέτρους a και b σταθερές Έτσι έχουμε y a+ b () και y b () Απαλείφουμε τώρα τις παραμέτρους a και b από τις εξισώσεις (), () και () Θέτουμε την τιμή του b από την () στην () και έχουμε την εξίσωση y a+ y ή a y y Τέλος, θέτοντας b y και a y y στην () παίρνουμε την εξίσωση y ( y y ) + y, η οποία γράφεται y y + y 0 και είναι η ζητούμενη ΔΕ της οικογένειας () 9 Παρατήρηση Σε ότι ακολουθεί, η φράση να λυθεί η Δ Ε θα σημαίνει να βρεθεί μια γενική λύση της ΔΕ
8 Κεφάλαιο 4 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να λυθούν οι ΔΕ: (i) dy ημ (ii) t 0 dt + (i) Σύμφωνα με τον τύπο () έχουμε, y ημ + c συν + c, δηλ y συν + c Η συνάρτηση αυτή είναι γενική λύση της ΔΕ που δόθηκε (ii) Άγνωστη συνάρτηση είναι η t () Η ΔΕ (ii) γράφεται t dt και σύμφωνα με τον τύπο () έχουμε t t dt + c t + c t δηλ t + c Η τελευταία συνάρτηση είναι γενική λύση της ΔΕ (ii) Άσκηση ( ), Να λυθούν οι ΔΕ: d y d y (i) 5 (ii) e dt (i) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y y() t Σύμφωνα με την Πρόταση 9, μια γενική λύση της ΔΕ (i) βρίσκεται με δυο διαδοχικές ολοκληρώσεις των μελών της Με την πρώτη ολοκλήρωση των μελών της έχουμε dy 5dt c dt + dy ή 5t c dt + και με τη δεύτερη ολοκλήρωση παίρνουμε 5 y (5 t + c) dt + c ή y t + ct + c (ii) Άγνωστη συνάρτηση είναι η y y( ) Ολοκληρώνουμε τρεις φορές τα μέλη της (ii) και έχουμε :
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 d y η d y ολοκλήρωση : e+ c ή e + c dy η dy ολοκλήρωση : ( e + c ) + c ή e + c + c η ολοκλήρωση : y ( e + c + c) + c ή y e + c + c+ c c Τέλος, επειδή όταν η c είναι αυθαίρετη σταθερή, τότε και η c είναι επίσης αυθαίρετη σταθερή, η παραπάνω γενική λύση γράφεται y e + c, + c+ c όπου c, c, cείναι αυθαίρετες σταθερές Άσκηση Να λυθούν οι ΔΕ: 4 5 d y (i) συν 4 (ii) t t e + e 5 dt (i) Ολοκληρώνουμε τέσσερις φορές τα μέλη της (i) η ολοκλήρωση : η ολοκλήρωση: η ολοκλήρωση : d y ( ) + συν c ημ + c d y ημ + c + c συν + c + c dy συν + c + c + c ημ + c + c + c 4 η ολοκλήρωση : ή + + + + y ημ c c c c4 4 συν + c + c + c + c4 4 y συν + c + c + c+ c4,
0 Κεφάλαιο c c όπου c, c 6 (ii) Μετά από πέντε διαδοχικές ολοκληρώσεις η συνάρτηση e και άρα e t e e e c t c t c t c t c 4 t t + + + + 4 + 5 t t t + e γίνεται Άσκηση 4 Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών d y ( ), y(0), y (0) 4 Βρίσκουμε πρώτα μια γενική λύση της ΔΕ που δόθηκε Έχουμε dy και ή + c ( ) + c ( ) ( ) + d c ( ) + ( ) + c + c + y + c + c + c + c y τοξημ+ c+ c () Υπολογίζουμε τώρα τις αυθαίρετες σταθερές c, c έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες που δίνονται Θέτουμε στην () 0, y και έχουμε Θέτουμε στην ισότητα τοξημ0+ c 0+ c ή c y + c 0, y 4 και παίρνουμε 4 c Επομένως η ζητούμενη μερική λύση είναι η συνάρτηση y τοξημ+ 4+