Ολοκληρωτικός. Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Συλλογή 6 Ασκήσεων mahmaica -99

ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απντήσεις Έλυσν οι: XRIMAK Βσίλης Κκβάς Γιάννης Κουτσούκος Δημήτρης Κτσίποδς Διονύσης Βουτσάς Θάνος Μάγκος Κώστς Τηλέγρφος Μάκης Χτζόπουλος Μυρτώ Λιάπη Νίκος Αλεξνδρόπουλος Πνγιώτης Γκριμπβιώτης Πνγίωτης Χρονόπουλος Πύλος Στυρόπουλος Περικλής Πντούλς Στάθης Κούτρς Χάρης Γ Λάλς rmr parmnids5 Μέλη του mahmaicagr mahmaica -

Μθημτικά Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R f d, γι κάθε R f Ε Ν δείξετε ότι f, με f, γι κάθε R γι κάθε R, ώστε ν ισχύει: Ε Ν βρείτε τον τύπο της f Ε Ν βρείτε την σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f ότν Ε4 ημ Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g d, R, είνι στθερή f Ε5 Αν,β R, ν δείξετε ότι ισχύει β f f β Πηγή:ΓΜπϊλάκης (εκδόσεις Σββάλς) Λύση: Ε Γνωρίζουμε ότι η f είνι συνεχής στο R κθώς κι γι κάθε R ισχύει f() Έστω οτι η f δεν διτηρεί στθέρο πρόσημο, τότε υπάρχουν, R με τέτοι ώστε f( )f( ) Επειδή η f είνι συνεχής στο R, θ είνι συνεχής κι στο [, ] Επίσης f( )f( ) Επομένως, πό θεώρημ Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ), άτοπο, διότι γι κάθε R ισχύει f() Συνεπώς η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο R Όμως, γι έχουμε f() Τελικά, γι κάθε R f ισχύει Ε Θέτουμε u κι τότε d du Γι έχουμε u κι γι u έχουμε u Οπότε, f() d d du f() f() Η f είνι f(u) u συνεχής στο R, οπότε κι η είνι συνεχής στο R Άρ η συνάρτηση του f(u) u u ολοκληρώμτος du είνι πργωγίσιμη στο R, συνεπώς η f(u) du f(u) είνι πργωγίσιμη στο R Έτσι έχουμε,ότι η f πργωγίσιμη στο R, με f () Οπότε, f () f ()f() f ()f() f() f() (f ()) ( ) f () c,c R Γι έχουμε c, οπότε f(), έχουμε Προτείνει ο XRIMAK f () Επειδή γι κάθε R ισχύει f(), που επληθεύει την ρχική σχέση Ε Ψάχνουμε στο, σύμπτωτη της μορφής y λ β με λ,β R mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός f() lim lim lim lim Επομένως λ Επίσης, lim f() lim lim lim ( ) Άρ β, οπότε η ευθεί y είνι η πλάγι σύμπτωτη της f στο ημ ημ ημ Ε4 g d d d f ημ Επειδή η είνι συνεχής στο R, οι συνρτήσεις των ολοκληρωμάτων ημ d κι ημ d είνι πργωγίσιμες στο R Οπότε η g πργωγίσιμη ημ ημ( ) ημ ημ R στο, με g () ( ) Επειδή γι κάθε R έχουμε g (), πίρνουμε ότι η g είνι στθερή Β τρόπος γι το Ε4 ημ ημ Έστω h() Γι κάθε f() R ισχύει R κι h( ) h() Άρ η h είνι περιττή, οπότε * Είνι: h()d h()d h()d h()d g() * Θέτω u, έχουμε d du Γι έχω u, ενώ γι έχω u οπότε h()d h( u)du h(u)du Επομένως, h()d h()d h()d h()d h()d Ε5 Γι β ισχύει η ισότητ στη σχέση f(β) f() β Γι β (όμοι ν β), θέλουμε ν δείξουμε f(β) f() β Έστω ότι f(β) f() β, τότε έχουμε:, mahmaica -

Μθημτικά Γ Λυκείου Η f συνεχής στο [,β], πργωγίσιμη στο (,β), οπότε πό ΘMT υπάρχει f(β) f() ξ (,β) τέτοιο ώστε f(ξ) β f(β) f() Οπότε f(ξ), δηλδή β άτοπο Συνεπώς f(β) f() f(β) f() β β ξ ξ ξ ξ ξ, ξ ΘΕΜΑ Δίνετι η συνάρτηση f() d Ε Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της Ε Ν μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητ κι ν εξετάσετε ν η γρφική πράστση της f έχει σημεί κμπής Ε Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C f στο σημείο A(,f()) Ε4 Ν ποδείξετε οτι f() γι κάθε Ε5 Αν E το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ της C f, του άξον κι των ευθειών κι 4, ν ποδείξετε οτι E Πηγή: ΙΓρτζιώτης - ΠΜάστκς (εκδόσεις Kέδρος) Λύση: Ε Έστω g() Γι ν ορίζετι η g πρέπει Άρ, A g (,) (, ) κι φού κι (, ) θ είνι κι A f (, ) Ε Η g είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της άρ κι η f θ είνι πργωγίσιμη με f () κι φού η είνι πργωγίσιμη κι η f θ είνι πργωγίσιμη με f (), συνεπώς η f θ είνι κοίλη στο ( ) (, ) κι δεν θ προυσιάζει σημεί κμπής Ε Είνι f() κι f () άρ η ζητούμενη εφπτομένη είνι η ευθεί y ( ) y Ε4 Αφού η f είνι κοίλη, η C f θ βρίσκετι πάντ κάτω πό την εφπτομένη της στο A(,f()), με εξίρεση το σημείο επάφής A, άρ θ ισχύει κι f(), Προτείνει ο Δημήτρης Κτσίποδς mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ε5 Αν E(Ω) είνι το εμβδόν του χωρίου που ψάχνουμε, θ είνι 4 E(Ω) f() d (),όμως πό το (Ε) έχουμε f () Άρ η f θ είνι κι γνησίως ύξουσ στο (, ) Έτσι γι f() f() f() κι Από το (Ε4) έχουμε E(Ω) 4 4 4 f()d f() f() ( ) f()d ( )d 4 4 4 E(Ω) ( )d ( ) (4 ) E(Ω) Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f :[,] R γι την οποί γι κάθε [,] ισχύει f () f() f()d Ε Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο διάστημ [,] Ε Ν ποδείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f ( ) f() f()d Ε Ν ποδείξετε ότι f() f()d c με c R κι f() f() Ε4 Αν η συνάρτηση f προυσιάζει κρόττο στο ξ (,), τότε ν f() ποδείξετε ότι f(ξ) ξ Πηγή: ΙΓρτζιώτης - ΠΜάστκς (εκδόσεις Kέδρος) Λύση: Ε Επειδή η f είνι συνεχής (ως πργωγίσιμη ) στο, κι, συνάρτηση στο f d είνι μι πράγουσ της f στο, ) κι με, η, (δηλδή πργωγίσιμη,f πργωγίσιμες στο, (τυτοτική - δεδομένο) προκύπτει ότι η είνι πργωγίσιμη στο f f f d, (πράξεις με πργωγίσιμες) δηλδή η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο, με f f() f ΘΕΜΑ Προτείνει ο XRIMAK mahmaica -4

Μθημτικά Γ Λυκείου Ε Γι Κι γι ff f d f f d f f d, ff f d f, f f f d f Επειδή η f είνι πργωγίσιμη στο, ώστε: υπάρχει έν τουλάχιστον f f, f f d,, πό ΘMT γι την f στο f f f f f f d Ε Από f f f d f f d f d f f d c Ενώ γι f f f d c,c R : κι γι έχουμε έχουμε f c Επομένως f f c Ε4 Αφού η f προυσιάζει κρόττο σε εσωτερικό σημείο Frma κι πό ξ, f ξ ξ f ξ f f f d γι ξ ξ f ξ ξf ξ f d ξf ξ f d Οπότε έχουμε έχουμε f f d c κι γι ξ έχουμε f(ξ) ξ f()d c ξ ξ ξ,, θ f(ξ) f() Όμως f() c οπότε f(ξ) ξf()d f() f()d Επομένως ξ f(ξ) f() f() ξf(ξ) ξ f(ξ) f(ξ) f() f(ξ)(ξ ) f() f(ξ) ξ ξ ΘΕΜΑ 4 f() ln d Ε Ν εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονί της Ε 4 Ν δείξετε ότι d ln Δίνετι η συνάρτηση Προτείνει η Μυρτώ Λιάπη mahmaica -5

Ολοκληρωτικός Λογισμός φ Ε Ν δείξετε ότι d, R Ε4 Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f, τον κι τις ευθείες, Πηγή: Χ Πτήλς (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) Λύση: f() ln d Ε Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Πρέπει,που ισχύει γι κάθε R, διότι Η συνεχής στο R, οπότε η συνάρτηση του ολοκληρώμτος d είνι πργωγίσιμη στο R, άρ η f πργωγίσιμη στο R ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με f () ( ) f () f () f () Επομένως γι κάθε R έχουμε f (), άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο R Ε Έχουμε f() κι 4 4 4 5 f ln d ln d ln d 4 4 4 4 4 Ακόμ γι κάθε R έχουμε Έχουμε, έχουμε 4 d 4 4 Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο R, f 4 f ln d f() f f() f ln d 4 4 4 mahmaica -6

Μθημτικά Γ Λυκείου 4 d ln Επομένως, 4 d ln Ε Θεωρώ h() η συνάρτηση του ολοκληρώμτος εφ d, η συνεχής στο R, οπότε d είνι πργωγίσιμη στο R, άρ η h πργωγίσιμη στο R με h () (εφ) εφ εφ συν Συνεπώς h () h() c,c R Όμως Γι h() d έχουμε c, άρ εφ h() d π Ε4 Γι η σχέση 4 d μς δίνει Έχουμε ότι γι κάθε [, ) ισχύει f(), οπότε εφ π d 4 E f()d () f()d f() f ()d f() d f() d f() ln( ) f() ln ln d ln π ln ln τμ 4 ΘΕΜΑ 5 Δίνετι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι σύνολο τιμών το R, γι την οποί ισχύει f () ( )d Ε Ν δείξετε ότι η f(), ντιστρέφετι κι ν ορίσετε την Ε N βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f κι τις ευθείες,y, Ε Βρείτε τις σύμπτωτες της C f Ε4 f()d f()d 9 Προτείνει οxrimak f () mahmaica -7

Ολοκληρωτικός Λογισμός Λύση: Ε Έχουμε, f () f () f () f () ( )d [ ] [ f()] [ ] f() Θεωρούμε τη συνάρτηση g(), R Έχουμε g () Οπότε γι κάθε R έχουμε g () Επομένως η g είνι γνησίως ύξουσ στο R, άρ κι, οπότε ντιστρέφετι Επίσης έχουμε g(f()) οπότε f() g () Σημειώση: Επειδή δίνετι το σύνολο τιμών της f, δεν χρειάζετι ν το βρούμε Διφορετικά ντιμετωπίζετι σν τ θέμτ 5 κι 64 f () προκύπτει Γι d () Επειδή γι κάθε R έχουμε,πό () προκύπτει ότι f() Έχουμε f f () f() Θέτουμε όπου το (), R f () κι έχουμε ότι Ε Δείχνουμε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ f ( ) f ( ) Έστω ότι υπάρχουν, R με τέτοι ώστε f( ) f( ) f ( ) f ( ) Οπότε f( ) f( ) άτοπο Άρ γι κάθε, R με ισχύει f( ) f( ) Δηλδή, η f είνι γνησίως ύξουσ στο R Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, γι f() f() f() Το ζητούμενο εμβδόν ισούτι με f()d Θέτοντς f() u ισοδύνμ u u προκύπτει f (u) u κι διφορίζοντς d ( )du u Ότν,τότε u Από τη μονοτονί της συνάρτησης προκύπτει μονδική λύση u u Ότν, τότε u Από τη μονοτονί της συνάρτησης προκύπτει μονδική λύση u Επομένως, u u E f()d u( )du u du udu u u u u u u E u du u τμ Ε Εργάζομι με τη συμμετρί των γρφικών πρστάσεων των την ευθεί y Με χρήση των κνόνων D L Hospial έχουμε lim f () mahmaica -8 f,f lim Άρ, η f δεν έχει σύμπτωτη στο ως προς

Μθημτικά Γ Λυκείου f () lim lim κι lim ( f () ) lim ( ) Άρ η f έχει πλάγι σύμπτωτη στο την ευθεί y Η συμμετρική της ως προς την y είνι η y, άρ η f έχει σύμπτωτη την y Ε4 Θεωρούμε τη συνάρτηση u F(u) f()d Η F είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο (, ) F( ) F() Οπότε, πό ΘΜΤ υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε F(ξ) f(ξ) f()d f()d f(ξ) f()d Άρ σε κάθε διάστημ της μορφής (, ) υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε f(ξ) f()d Οπότε στο (9,) υπάρχει ξ (9,) τέτοιο ώστε f(ξ ) f()d Όμοι, στο (,) υπάρχει ξ (,) 9 τέτοιο ώστε f(ξ ) f()d Από τη μονοτονί της f στ διστήμτ 9 ξ ξ f(ξ ) f(ξ ) Οπότε, f 9,,, έχουμε f()d 9 f()d ΘΕΜΑ 6 Προτείνει ο XRIMAK Έστω η συνάρτηση f(),συνεχής στο R κι πργωγίσιμη στο o Αν g(): R R, συνάρτηση με g() f()d, R, R κι ο μιγδικός z : z i z i,,τότε: Ε Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγδικού, νήκουν στην ευθεί (ε) y Ε Aν η ευθεί ε, είνι πλάγι σύμπτωτη της C f,στο ν f( ) 5 ημ( ) κ βρείτε τον κ R, ν ισχύει lim f( ) f(u)du, Ε Ν ποδείξετε ότι: g() f (), mahmaica -9

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ε4 Ν ποδείξετε οτι η g() είνι πργωγίσιμη στο R Ε5 Αν ο μιγδικός ικνοποιεί τη σχέση z f()d i f()d ν δειχθεί ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε g(ξ) f(ξ) Λύση: Ε Έστω z yi,,y R έχουμε z i z i yi i yi i ( ) (y )i ( ) (y )i ( ) (y ) ( ) (y ) ( ) (y ) ( ) (y ) 4 4 y y 4 4 y y 4y 8 y Συνεπώς οι εικόνες του μιγδικού, νήκουν στην ευθεί (ε) y Ε Επειδή η ευθεί (ε) y είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο f(), έχουμε lim κι lim(f() ) 5ημu 5ημu άρχικά κι lim lim u u u u u u u u u 5ημu Άρ πό κριτήριο πρεμβολής έχουμε lim u u f(u) 5ημu f( ) 5 ημ κ (*) κ u u κ κ lim lim u f( ) f(u) u Οπότε κ κ 8 (*) Θέτω u, έχω ότι limu lim Ε Έχουμε g() f()d, οπότε γι έχουμε g() f()d f() d f() f() du Γι θέτουμε u, οπότε d Γι, έχουμε u Ενώ γι,έχουμε u f(u)du Συνεπώς γι έχουμε g() f()d f(u)du mahmaica -

Μθημτικά Γ Λυκείου Επομένως, f(u)du, g() f(), Ε4 Έχουμε ότι η f(u) είνι συνεχής στο R, οπότε η συνάρτηση του ολοκληρώμτος f(u)du είνι πργωγίσιμη στο R Η πργωγίσιμη στο (,) (, ),άρ η g πργωγίσιμη στο (,) (, ) Επίσης f(u)du f() f(u)du f() g() g() lim lim lim DLH f() f() f () lim f() f(u)du, Επομένως η g πργωγίσιμη στο R με g () f (), Οπότε Όμως Ε5 Έχουμε f()d κι z f()d i f()d i f()d i f()d f()d f()d f()d f()d f()d f()d Η g συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ) Συνεπώς πό ΘMT έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) τέτοιο ώστε g() g() g(ξ) g() g() f()d f()d Δηλδή ξ ξ f(ξ) g(ξ) f(u)du f(u)du f(ξ) f(u)du f(ξ) g(ξ) f(ξ) ξ ξ ξ ξ ξ ΘΕΜΑ 7 Προτείνει ο Γιάννης Στμτογιάννης Έστω συνάρτηση f, δυο φορές πργωγίσιμη στο R με την f συνεχή στους πργμτικούς ριθμούς Αν η συνάρτηση f ικνοποιεί τις συνθήκες f ()f() [f ()] f()f (),f() f () τότε Ε Ν βρείτε τον τύπο της f mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ε Ν ποδείξετε ότι γι ισχύει 4 lnf()d Ε Αν g είνι συνεχής συνάρτηση στο διάστημ το, ν ποδείξετε ότι η g() d f (), με σύνολο τιμών έχει μί μόνο λύση στο, Πηγή: Γ Κομπότης (εκδόσεις Κωστόγιννος) Λύση: Ε Γι έχουμε c c 'Αρ, f f f f f f f f f f f c,c R f f f f f f f f f () c,c R Επειδή f() έχουμε c, άρ f () Από την τελευτί σχέση γι κάθε R προφνώς η f() Συνεπώς θ διτηρεί στθερό πρόσημο * κι φού f(), θ έχουμε f() γι κάθε R Οπότε τελικά έχουμε f() (*) Σε περιπτώση που χρειάζετι ν το ποδείξουμε, δουλεύουμε οπώς στο (Ε) του θέμτος Ε Έστω h() lnf() Τότε γι κάθε R έχουμε 4 h( ) ( ) h() Άρ η g είνι περιττή, οπότε ** Είνι: 4 4 hd ** h()d h()d h()d Θέτω u, έχουμεd du Γι έχω u, ενώ γι έχω u οπότε Επομένως h()d h( u)du h(u)du h()d h()d h()d h()d h()d Ε Η g έχει σύνολο τιμών το [,] οπότε: g() Όμως, f () Άρ, f () mahmaica -,

Μθημτικά Γ Λυκείου g() g() g() d f () f () f () g() d f () Έστω τώρ η συνεχής στο,, συνάρτηση r με Έχουμε r() κι g() r() d f () g() r() d f () Οπότε πό θεώρημ Bolzano, η r έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο (,) g() Όμως η συνάρτηση f () είνι συνεχής στο,,άρ η συνάρτηση g() r είνι πργωγίσιμη με r (), όποτε η r είνι γνησίως f () ύξουσ, συνεπώς έχει μονδική ρίζ στο (,) ΘΕΜΑ 8 Προτείνει ο XRIMAK Έστω η δυο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f, R γι την οποί δίνοντι f (),,, f(),f(),f () Ε Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως μονότονη κι ν βρείτε το σύνολο τιμών της Ε Ν ποδειξετε ότι η ευθεί y εφάπτετι στη γρφική πράστση της συνάρτησης f Ε Ν ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν (,) τέτοιο ώστε f ( ) Ε4 Ν ποδείξετε ότι f() f() f() f(),, f() ( ),, β γ f()d Ε5 Ν ποδείξετε ότι η ευθεί ε : y τέμνει κριβώς σε έν μόνο σημείο τη γρφική πράστση της f Ε6 Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ,, με ξ ξ, τέτοι ώστε f(ξ )f (ξ ) f (ξ ) Πηγή: Γ Μπϊλάκης (εκδόσεις Σββάλς) Λύση: Ε Έχουμε f,,, φού επιπλέον η f είνι συνεχής ως mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός πργωγίσιμη, έχουμε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο, Η f στο κλειστό,,προυσιάζει, ως συνεχής, ελάχιστη τιμή στο o Άρ f f,, με σύνολο Η f λοιπόν είνι γνησίως ύξουσ στο τιμών f, f,f, Ε Η εφπτομένη της C f στο y f f y υπάρχει ξ,,f, έχει εξίσωση Ε Η f είνι συνεχής στο, κι πργωγίσιμη στο (,), πό ΘΜΤ f f τέτοιο ώστε fξ Η f είνι συνεχής στο ξ, κι πργωγίσιμη στο (ξ,), πό ΘΜΤ υπάρχει ξ,, f fξ f o ξ ξ τέτοιο ώστε Ε4 Η f είνι συνεχής στο, κι πργωγίσιμη στο (,),επομένως, κι f f κι ξ, τέτοι ώστε fξ κι εφρμόζετι το ΘΜΤ στ διστήμτ, κι έχουμε ότι υπάρχουν ξ, f f fξ Τότε γι ξ ξ πίρνουμε f f f f f ξ ξ fξ fξ, φού η f είνι γνησίως φθίνουσ στο, β Η σχέση f ισχύει ως ισότητ γι κι Γι, f f f f το (Ε4) έχουμε f γ Από το (Ε4β) έχουμε f f Επιπλέον η f συνεχής κι συνεπώς f d f d d Ε5 Έστω η συνάρτηση h Θεωρούμε τη συνάρτηση s f h f,, Η s συνεχής στο συνεχής κι επιπλέον s κι s mahmaica -4 πό, φού η f Από θεώρημ Bolzano

Μθημτικά Γ Λυκείου υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε, s f h f h Επιπλέον η s γνησίως ύξουσ, φού μονδικό s f Οπότε το Ε6 Η f είνι συνεχής στ διστήμτ, κι,, πργωγίσιμη στ (, ) κι (,),οπότε πό ΘΜΤ υπάρχουν η, κι f f η, τέτοι ώστε fη κι f f fη Τότε fη f η ΘΕΜΑ 9 f η κι Δίνοντι f,g,φ συνεχείς στο R με β, f() h() φ()d φ()d κι h( ) h() f()d, g, φ() κι Ε Ν δειχτεί ότι η h γνησίως ύξουσ γι κι h γνησίως ύξουσ γι,ν δείξετε ότι η h() είνι στο R Ε Ανh Ε Αν f γνησίως ύξουσ κι η g() γνησίως φθίνουσ γι κάθε ν δείξετε ότι: νf β gβ,β, υπάρχει έν μόνο ξ o [, β) Ε4 Ν δειχτεί ότι ν h, ξ g( )d ξ β f(ξ )g(ξ) h h ξ β ξ κι τέτοιο ώστε : β υπάρχει ξ ώστε Λύση: Ε Γι ν ορίζετι η συνάρτηση h πρέπει Προτείνει ο Κώστς Τηλέγρφος β f()d g()d τότε f ξ g ξ o o Πηγή: Τηλέγρφος Κώστς φ()d Έχουμε πως γι mahmaica -5

Ολοκληρωτικός Λογισμός κάθε Rισχύει φ(), οπότε γι έχουμε Ενώ γι έχουμε φ()d φ()d φ()d Τέλος, γι έχουμε φ()d Συνεπώς (,) (, ) Έχουμε πως η φ συνεχής στο R, οπότε οι συνάρτησεις των ολοκληρωμάτων στο R Η h() φ()d φ()d φ()d κι φ()d είνι πργωγίσιμες πργωγίσιμη στο(,) (, ) ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με, φ() φ()d φ() φ()d φ() φ()d φ()d φ()k() h () φ()d φ()d φ()d όπου k() φ()d φ()d, R Έχουμε πως η φ είνι συνεχής στο R, οπότε οι συνάρτησεις των ολοκληρωμάτων φ()d κι με φ()d είνι πργωγίσιμες στο R Άρ η k πργωγίσιμη στο R k () φ()d φ() φ() φ()d, R Εχουμε πό (Ε) ότι k () - + k () κι k () k () - + Από το διπλνό πίνκ, έχουμε ότι ηk προυσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση με τιμή k() k() Ο ε 9 Επομένως γι κάθε (,) (, ) έχουμε k() Άρ γι κάθε (,) (, ) έχουμε h () Οπότε γι κάθε η h είνι γνησίως ύξουσ, ενώ γι κάθε η h είνι γνησίως ύξουσ Ε Αν h(), δείχνουμε πως η h είνι συνεχής στο mahmaica -6

Μθημτικά Γ Λυκείου φ()d φ() DLH Έχουμε limh() lim lim lim φ() φ()d Επομένως η h είνι συνεχής στο Γνωρίζουμε πως η h είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήμτ (,) κι (, ) Αν δείξουμε πως τ σύνολ τιμών τους δεν έχουν κοινά σημεί, τότε η h θ είνι h Γι h() h() Άρ η h έχει στο(,) σύνολο τιμών το A ( lim h(),limh()) ( lim h(),) h Γι h() h() Αρ η h έχει στο (, ) σύνολο τιμών το A (limh(), lim h()) (, lim h()) Επειδή A A έχουμε οτι η η h θ είνι στο R Β Τρόπος : Αφού η h συνεχής στο R κι είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήμτ κι θ είνι κι γνησίως ύξουσ στο R Ε Προσδιορίζουμε κι το πρόσημο της συνάρτησης f Επειδή η f συνεχής στο R κι γι κάθε R ισχύει f(), έχουμε πως η f διτηρεί στθερό πρόσημο * στο R * Αν χρειάζετι ν το ποδείξουμε, δουλεύουμε όπως στο (Ε) του θέμτος Έστω ότι γι κάθε R ισχύει f(), τότε επειδή h() h( ) έχουμε ότι h() h( ),άτοπο Οπότε γι κάθε R f() f()d f()d h( ) h() f() Θεωρούμε s() f() g(), [,β] ισχύει Έχουμε πως η s είνι συνεχής στο [,β], ως πράξεις συνεχών συνρτήσεων Ακόμ s(β) f(β) g(β) Αν f() g(), τότε η ξ ρίζ της s Αν f() g() Τότε έστω πως γι κάθε [,β] ισχύει β β β f() g() f() g() f() g() d f()d g()d άτοπο, επομένως υπάρχει (,β) τέτοιο ώστεf( ) g( ) Η s είνι συνεχής στο[,β], ως πράξεις συνεχών συνρτήσεων οπότε είνι συνεχής κι στο[,β] mahmaica -7

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ακόμ, s(β) f(β) g(β) κι s( ) f( ) g( ), οπότε πό θεώρημ Bolzano έχω ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (,β) τέτοιο ώστε s(ξ ) f(ξ ) g(ξ ) Τελικά, υπάρχει τουλάχιστον έν ξ [,β) τέτοιο ώστε s(ξ ) f(ξ ) g(ξ ) Δείχνουμε πως η s είνι γνησίως μονότονη, άρ το ξ μονδικό Έχουμε πως οι f,g είνι συνεχείς στο R Επίσης η f γνησίως ύξουσ στο (,β) κι η g γνησίως φθίνουσ στο (,β) Έστω, g (,β) με f f( ) f( ) κι g( ) g( ) g( ) g( ) Προσθέτω κτά μέλη κι έχουμε s( ) s( ), δηλδή η s είνι γνησίως ύξουσ στο (,β) Επειδή η s είνι συνεχής στο [,β] έχουμε πως η s είνι γνησίως ύξουσ στο [,β], οπότε το ξ μονδικό Ε4 Επειδή η g είνι συνεχής στο R κι γι κάθε R ισχύει g(), έχουμε πως η g διτηρεί στθερό πρόσημο στο R Θεωρώ m() (β ) g( )d ( )f( )g(), [,β] β Η m είνι συνεχής στο [,β] ως πράξεις συνεχών συνρτήσεων Ακόμ, οπότε, β m() (β ) g( )d (β ) g( )d κι β β β m()m(β) (β ) f(β )g(β) g( )d διότι β g(β) g( )d, φού β g(β), g( )d υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (,β) τέτοιο ώστε ξ m(ξ) (β ξ) g( )d (ξ ξ )f(ξ )g(ξ) ξ g( )g β β β m(β) (β )f(β )g(β) β f(β ) κι ομόσημοι Άρ πό θεώρημ Bolzano ξ ξ g( )g ξ f(ξ )g(ξ) β f(ξ )g(ξ) h h ξ β ξ ξ β ξ mahmaica -8

Μθημτικά Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής στο [,] συνάρτηση f γι την οποί ισχύουν f() γι κάθε [,] κι f( )d Ε Ν ποδείξετε οτι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (,) τέτοιο ώστε f(ξ) ξ Θεωρούμε τη συνάρτηση H() f()d f()d Ε Ν μελετήσετε την H ως προς την μονοτονί Ε Ν ποδείξετε οτι υπάρχει μονδικό (,) τέτοιο ώστε f()d f()d Ε4 Αν το εμβδόν E(Ω) του χωρίου Ω που περικλείετι πο τη γρφική πράστση της f κι τις ευθείες, είνι 4τμ, τότε ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ I H()d Πηγή: ΚΡεκούμης - ΚΛγός (εκδόσεις Μετίχμιο) Λύση: Ε Θέτουμε u u Έχουμε d du Γι έχουμε u κι γι έχουμε u Έτσι το ρχικό ολοκλήρωμ γράφετι u f(u)du uf(u)du Θεωρούμε τη συνάρτηση F() uf(u)du, [,], [,] Η συνάρτηση f() είνι συνεχής στο [,], άρ η συνάρτηση του Προτείνει ο Δημήτρης Κτσίποδς ολοκληρώμτος uf(u)du είνι πργωγίσιμη στο[,] Επομένως η F() είνι πργωγίσιμη στο [,] με F () f() Η F συνεχής στο [,] κι πργωγίσιμη στο (,) Οπότε, πό ΘΜΤ υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (,) ώστε F() F() F(ξ) ξf(ξ) F() F() ξf(ξ) uf(u)du f(ξ) ξ Ε Επειδή η f είνι συνεχής κι f(), η f διτηρεί στθερό πρόσημο *, όμως f(ξ) Οπότε γι κάθε [,] έχουμε f(), ρ ξ H () f() Συνεπώς, η H είνι γνησίως ύξουσ στο [,] mahmaica -9

Ολοκληρωτικός Λογισμός * Αν χρειάζετι ν το ποδείξουμε, δουλεύουμε όπως στο (Ε) του θέμτος Ε Επειδή H()H() κι η συνάρτηση είνι συνεχής, πό θεώρημ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον έν c (,) τέτοιο ώστε H(c) Επιπλέον επειδή η H γνησίως ύξουσ στο [,], έχουμε οτι το c είνι μονδικό Τότε Ε4 c c f()d f()d E 4 f()d 4 H()d () H()d [H()] H ()d H() H() f() f()d ΘΕΜΑ Προτείνει ο XRIMAK Οι συνρτήσεις f,g είνι ορισμένες κι συνεχείς στο διάστημ Δ [, ) Η f είνι κυρτή, με συνεχή πράγωγο κι f() Ακόμ, f()d, g() f() lim f(), Ε Ν ποδείξετε ότι f () Ε Ν βρεθεί η g () Ε Ν μελετηθούν οι f,g ως προς τη μονοτονί Ε4 Ν λυθεί, ως προς, η νίσωση ( ) f()d ( ) f()d στο διάστημ (, ) Πηγή: ΚΡεκούμης - ΚΛγός (εκδόσεις Μετίχμιο) Λύση: Ε Έχουμε ότι η g είνι συνεχής στο o Επιπλέον έχουμε f() lim f() g() Επειδή η f συνεχής, έπετι ότι η συνάρτηση f d Συνεπώς limg g είνι πργωγίσιμη mahmaica -

Μθημτικά Γ Λυκείου Με χρήση D L'Hospial έχουμε, f d f d limg lim lim limf f DLH, φού η f συνεχής f() Συνεπώς limg lim f() g Θέτουμε f f h με f limg f h f f με lim limh f f f f, τότε Ε Έχουμε, f d f d g g f g lim lim lim lim g () f Ε Η f είνι κυρτή στο [, ), συνεπώς η f γνησίως ύξουσ στο [, ) Επιπλέον η f ως γνησίως ύξουσ, έχει μονδική ρίζ την Άρ γι κάθε, έχουμε f f Επιπλέον η f συνεχής στο [, ) Επομένως η f είνι γνησίως ύξουσ στο [, ) Γι η g f d πργωγίσιμη με Θεωρούμε τη συνάρτηση s f f d, Η εξίσωση s έχει προφνή ρίζ την o f f d g Όμως η s είνι πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων, με s f f f f, γι κάθε Συνεπώς η s είνι γνησίως ύξουσ,οπότε έχουμε s s Δηλδή, γι κάθε g ισχύει Επιπλέον η g συνεχής, άρ η g είνι γνησίως ύξουσ στο [, ) Ε4 Γι, έχουμε mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός g g f d f d f d f d Άρ,φού g γνησίως ύξουσ Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f με ημf()d f ()d ημ d R Ε Ν ποδείξετε ότι f() ημ γι κάθε R Ε Ν δείξετε ότι η f() είνι πργωγίσιμη Ε Ν βρείτε τ κρόττ κι τη μονοτονί στο π, π Ε4 8 9 Ν λυθεί η f() f( ) f( ) f( ) στο Ε5 Ν ποδείξετε ότι το εμβδόν μετξύ των C f,y κι των, π, είνι μικρότερο του Ε6 Ν βρεθεί το όριο Ε Ισχύει lim ημ d Λύση: ημf()d f ()d ημ d d f ημ f ημ f ημ Αφού η f ημ, π ημ, του άξον π ημ Πηγή:Τηλέγρφος Κώστς είνι συνεχής ως πράξεις κι σύνθεση συνεχών κι ισχύει f ημ γι ισχύει η ισότητ ημ Ε Είνι f ημ f, Αφού είνι συνεχής στο R θ είνι συνεχής κι στο, οπότε ημ ημ, f lim f lim Άρ, f, Γι ΘΕΜΑ ημ συν ημ f η f είνι πργωγίσιμη με mahmaica - Προτείνει ο Κώστς Τηλέγρφος

Μθημτικά Γ Λυκείου Στο, θ εξετάσουμε την πργωγισιμότητ με τον ορισμό ημ f f ημ lim lim lim DLH ημ συν lim lim Άρ η f είνι πργωγίσιμη κι στο με f συν ημ, f, Ε Το πρόσημο της f,εξρτάτι πό το πρόσημο του ριθμητή g συν ημ, π, π, με προφνή ρίζ το,φού Συνεπώς, η f είνι πργωγίσιμη στο R, με Θεωρώ g συν ημ ημ g συν ημ κι πράγωγο Άρ γι έχουμε g() ενώ γι έχουμε g() Οπότε o πίνκς μονοτονίς της συνεχούς f στο [ π,π] είνι π π + - ημ - + g () - - g() ημ π Γι π, ελάχιστο το f π π Γι [,π] η f είνι γνησίως φθίνουσ Γι f μέγιστο το Γι [ π,] η f είνι γνησίως ύξουσ ημπ Γι π ελάχιστο το f π π Ε4 Οι ριθμοί κι είνι προφνείς ρίζες της εξίσωσης 8 9 f() f( ) f( ) f( ) Γι 9 f f 9 f f 8 8 κι f f Προσθέτουμε κτά μέλη κι έχουμε f 9 f 8 f f Οπότε η εξίσωση είνι δύντη στο (,π] Γι 9 f f 9 f κι 8 f f 8 f Προσθέτουμε κτά μέλη κι έχουμε f 9 f 8 f f π π g() + - + + f () + - f() 9 ΟΕ ΟΜ ΟΕ mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός άρ η εξίσωση μς είνι δύντη στο (,) Συνεπώς η εξίσωση 8 9 f() f( ) f( ) f( ), έχει μονδικές λύσεις τις κι Ε5 Πρόκειτι γι εμβδόν μετξύ τριών συνρτήσεων κι νάμεσ στις, π Οπότε έν σχήμ είνι νγκίο το όποιο θ βσιστεί στ σημεί ημ τομής των yf f(), yε ημ κι της y (άξον των ) ημ δ () yf yε ημ, προφνής ρίζ το κι μονδική φού fστο[ο,π] ημ συν ημ δ () ημ ημ f () ημ f () Άρ η δ () είνι γνησίως φθίνουσ [,π] Άρ το σημείο τομής τους είνι ε Α,f Α,y Α,ημ ημ δ () yf y προφνής ρίζ στο [,π] η π κι μονδική φού η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [,π] Άρ το σημείο τομής τους είνι ε Β π,f π Β,y π Β π, δ () y y ημ προφνής ρίζ στο [,π] το Άρ το σημείο τομής τους είνι ε Γ,y Γ,y Γ, ημ Από τ Α, Β διέρχετι η yf f() Από τ Β, Γ διέρχετι η y Από τ Γ, Α διέρχετι η yε ημ Άρ κάνω σχήμ βσιζόμενος στ σημεί τομής y - y E E, y f f() Γ(,) π/5 π/5 π/5 4π/5 π 6π/5 y (άξoνς ) = = =π, mahmaica -4

Μθημτικά Γ Λυκείου Αν Ω είνι το σχημτιζόμενο χωρίο μετξύ των ', το εμβδόν του EΩ έχουμε, π ε f E Ω E Ω E Ω y y d y y d π π ημ ημ ημ ημd d d Γι κάθε (, π), η f είνι γνησίως φθίνουσ, οπότε f πf f f π f π f f π π π π π C f κι y ημ, τότε γι f π d f d f d (π-)f π f d (π-)f ημπ ημ ημ (π-) d (π-) π Ακόμ έχουμε π ημ d (π-)ημ Προσθέτουμε το ημ κι έχουμε π ημ ημ ημ ημ π π d πημ ημ ημ ημ Με έν κλύτερο σχήμ έχουμε, y - y E E Γ(,), π/5 π/5 π/5 4π/5 π 6π/5 y = = =π y f f(), Ε6 Γι κάθε, π η f είνι φθίνουσ Οπότε γι κάθε, π έχουμε π κι γι κάθε με θ είνι: f() f() f() f() f() f() Επομένως, mahmaica -5

Ολοκληρωτικός Λογισμός f d f d f d f f d f ημ ημ : ημ ημ f d f d ημ ημ Είνι lim, lim,άρ πό κριτήριο πρεμβολής ημ f()d d lim lim Β τρόπος γι το Ε6 Αφού η f είνι συνεχής στο έχουμε ημ d f()d f()d f()d lim lim lim DLH f() f() lim f() ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, f f d Ε Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύει Ε Ν ποδείξετε ότι f R τέτοι ώστε γι κάθε ν ισχύει f lnγι κάθε f ln Ε Ν βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης g f f, f β f f γ f Ε4 Αν β γ, ν ποδείξετε ότι ισχύει: β γβ Λύση: Προτείνει ο XRIMAK β Ε Αφού η f είνι συνεχής στο (, ), η συνάρτηση του ολοκληρώμτος mahmaica -6

Μθημτικά Γ Λυκείου d θ είνι πργωγίσιμη Έτσι πργωγίζουμε τη δοθείσ σχέση κι f f () έχουμε f () f () f () f () ( ) f () f () f () f () ( f()) ( ln) Άρ θ υπάρχει c R, τέτοι ώστε f () f () f() ln c, f() c c, γιτί f() Τελικά f () f() ln () Ε Έστω η k(),r,k (), άρ η k είνι γνησίως ύξουσ στο R, άρ κι Τότε () k(f()) k(ln) f() ln, φού η k είνι Ε Είνι g() f()f( ) ln( ln) Η g πργωγίσιμη στο (, ), ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με ln g (), ln g () ln ln g () ln,g (),g ( ) Οπότε, πό το διπλνό πίνκ, έχουμε ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο (, ],γνησίως φθίνουσ στο [, ) Προυσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση τιμή g( ) 4 με g () + - g() 9 ΟΜ Ε4 Είνι f () κι f () άρ η f είνι κοίλη στο (, ) Η f είνι συνεχής στο [,β], πργωγίσιμη στο (,β), πό ΘΜΤ υπάρχει f(β) f() ξ (,β) τέτοιο ώστε f(ξ ) β Όμοι, η f είνι συνεχής στο [β,γ], πργωγίσιμη στο (β,γ) πό ΘΜΤ θ f(γ) f(β) υπάρχει ξ (β,γ) τέτοιο ώστε f(ξ) γ β mahmaica -7

Ολοκληρωτικός Λογισμός f f(β) f() f(γ) f(β) Αλλά ξ ξ f (ξ ) f (ξ ) β γ β είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ) ( φού η f ΘΕΜΑ 4 Προτείνει ο XRIMAK Ανf :(, ) R, g :R R πργωγίσιμες συνρτήσεις ώστε ν ισχύουν f(g())g(), R κι f (g())g (),R μεg() Ε Ν δείξετε ότι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της g στο σημείο A(,g()) είνι η y g() ln Ε Ν ποδειχθεί ότι f(), (, ) κι ότι είνι κοίλη στο (, ], κι η g κυρτή στο R Ε Ν βρείτε την εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο της με τετμημένη Ε4 Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ των γρφικών πρστάσεων των f,g κι των ευθειών, ln Ε5 Ν δείξετε ότι 6 ln Λύση: Ε Γι έχουμε f(g())g() f() Έχουμε f (g())g () f(g() f(g()) c Οπότε γι έχουμε f(g()) c f() c c Συνεπώς, f(g()) Όμως f(g())g() g() g() Επομένως g () g(), άρg () g() Η εξίσωση της εφπτομένης της C στο A(,g()) είνι η g () g() y g() g ()( ) y g() g()( ) y g() g Ε Έχουμε f( ) Θέτουμε u οπότε u lnu lnu Επομένως f( ) f(u),u u ln Άρ f(),, που επληθεύει τις ρχικές σχέσεις ln ln f (), κι f (), ln f () ln ln mahmaica -8

Μθημτικά Γ Λυκείου ln f () ln ln Επομένως, πό το διπλνό πίνκ, έχουμε ότι η f είνι κοίλη στο (, ] κι κυρτή στο[, ) Επίσης, γι την Έχουμε g(),r g (), R κι g () Συνεπώς η g κυρτή στο R ln ln Ε f(), κι f (), f(),f () Οπότε η εφπτομένη της C f στο σημείο με τετμημένη είνι η y f() f ()( ) y Ε4 Γι κάθε (, ),δείχνουμε πως f() g() Συγκεκριμέν, η εξίσωση της εφπτομένης της Cf στο A(,) είνι η y,ενώ η εξίσωση της εφπτομένης της C στο B(,)είνι η y Από την κυρτότητ των f,g έχουμε g f() g() Οπότε ζητούμενο εμβδόν ισούτι με ln ln y E g() f() d g() f() d ln ln ln ln ln E d d d ln ln E ln ln (ln ) E ln (ln ) τμ f () - + O(,) f() 4 ΣΚ y= ε:= ε:=ln ln y Ε5 Έχουμε E ln (ln) 6 6 ln (ln) 6 ln(ln) ln Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί, γι κάθε R, ισχύει f () ΘΕΜΑ 5 Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς du u Ε Ν ποδειχθεί ότι: f () f() β Ν μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονί κι ν βρεθεί το πρόσημό της γ Ν βρεθεί το σύνολο τιμών της f Ε Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιμη στο R τότε: mahmaica -9

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ν ποδειχθεί ότι η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι ότι η συνάρτηση g() f () f() είνι στθερή β Ν βρεθεί ο τύπος της f Ε Η g(u) (u ) u u έχει Λύση: u g (u) u, ενώ u g (u) u (u ) u Επομένως, πό το διπλνό πίνκ, έχουμε ότι η g είνι γνήσι ύξουσ στο (,] κι γνήσι φθίνουσ στο [, ) g (u) ( u ) u u (u ) u u g (u) - + g(u) ΟΕ 9 Γι πό την ρχική σχέση, προκύπτει g(u), u R νγκί f() Γιτί ν f() τότε f () u f () u du κι ν f() τότε du Αφού f () u du Επιπλέον η είνι κι μονδική της ρίζ της εξίσωσης f(), διότι ν γι κάποιο ισχύει f( ),τότε προκύπτει ότι που είνι άτοπο g(u) Τώρ με u g() g(u) g() g(u) g() g(u) g() f () Γι έχουμε πως du u Αν υποθέσουμε πως υπάρχει o τέτοιο ώστε f( o) θ είχμε πως f ( ) f ( ) άτοπο διότι du du u u u f ( ) f () du γι κάθε u Επιπλέον δεν υπάρχει o τέτοιο ώστε f( o) διότι η εξίσωση f() μονδική ρίζ την Άρ γι κάθε έχουμε πως f() κι όμοι γι έχουμε πως f() Επειδή f(), ολοκληρώνοντς έχουμε mahmaica - έχει

Μθημτικά Γ Λυκείου f () f () f () f () g(u) du du g(u)du f() g(u)du κθώς κι f () f () f () f () g(u) g() du g(u)du g()du g(u)du f()g(), οπότε f () f() g(u)du g()f() f () f() g()f() g(u)du f() f() f() f() f () f() g()f() g() g(u)du () επομένως f() f() f() Επειδή lim, πό κριτήριο πρεμβολής, lim lim g() f() f() Ομοίως γι δείχνουμε ότι lim άρ f () f() Β τρόπος γι το Ε Η g(u) u έχει ( u ) u g (u) u (u ) u Η g είνι γνήσι ύξουσ στο (,] κι γνήσι φθίνουσ στο [, ) Επειδή γι στην ρχική σχέση προκύπτει νγκί f() γιτί ν f() τότε f () u f () du, φού g(u), u R, u f () du κι ν f() τότε u du Η είνι κι μονδική ρίζ της εξίσωσης f(),φού ν γι κάποιο, f( ) προκύπτει, άτοπο f() f() f() Είνι lim lim f () du u Όμως η f είνι συνεχής στο οπότε limf() f() κι ότν τότε κι f(),οπότε θέτουμε f() με κι το όριο γίνετι: lim lim lim f () du u Συνεπώς f () f() DLH άρ f () mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός β Έστω οτι υπάρχουν υπάρχουν ώστε f( ) f( ) τότε f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g(u)du g(u)du g(u)du g(u)du g(u)du f ( ) f ( ) δηλδή άτοπο, οπότε γι κάθε ισχύει f( ) f( ) οπότε η f είνι γνήσι ύξουσ στο R κι φού f(), έχουμε ότι γι κάθε ισχύει f(), ενώ γι κάθε ισχύει f() f() γ Από g() έχουμε f(), Συνεπώς f() Από κριτήριο πρεμβολής lim, οπότε lim f() f() κι ομοίως γι πό f() προκύπτει lim f() άρ το σύνολο τιμών της συνεχούς κι γνησίως ύξουσς f είνι το R Β τρόπος γι το Εγ Γνωρίζουμε ότι γι κάθε R ισχύει f () u du f () Γι φού du άρ f() είνι u κριτήριο πρεμβολής Γι < είνι f() της f είνι το R Ε Επειδή η lim, οπότε f() οπότε προκύπτει φ( ) οπότε η συνάρτηση του ολοκληρώμτος f είνι πργωγίσιμη στο R, οπότε η Επομένως, πργωγίζοντς τη σχέση f () f () f () f () limf() κι f() οπότε πό limf(),άρ το σύνολο τιμών είνι πργωγίσιμη στο R είνι κι συνεχης, d είνι πργωγίσιμη στο RΗ f () f () d είνι πργωγίσιμη στο R d, έχουμε () Επειδή η f είνι πργωγίσιμη στο R,η mahmaica -

Μθημτικά Γ Λυκείου f () είνι πργωγίσιμη στο R,οπότε κι η f πργωγίσιμη στο R, με f () f () f() f() f () Έτσι έχουμε g() f () f(),άρ g() β Είνι τώρ f () f () f () f() ή (f () f()) f () f() οπότε πό γνωστή εφρμογή έχουμε, f () f() c, cr, όμως f() κι f (), οπότε προκύπτει ότι c Άρ f () f() f () f() f() c,c R Όμως f(), οπότε c Έτσι έχουμε f() f() άρ ( f()) ( ) ΘΕΜΑ 6 Δίνετι συνάρτηση f() lnd Ε Ν βρείτε τη συνάρτηση f() Ε N βρείτε τις f '(),f ''() Ε Ν συμπληρωθεί ο πίνκ προσήμων κι δείξτε οτι η f '(),έχει κριβώς δυο ρίζες Ε4 Αν o η μι ρίζ της f '(), ν δείξετε οτι f ()d Ε5 Bρείτε τη μονοτονί της f() κι το σύνολο τιμών της Λύση: Ε Η A() ln έχει πεδίο ορισμού το (, ) στο οποίο είνι κι συνεχής Το (, ) άρ κι το (, ), οπότε το πεδίο ορισμού της f() είνι το (, ) Α τρόπος f() lnd lnd [ln ] f() (ln ln ) ln με Β τρόπος Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς mahmaica -

Ολοκληρωτικός Λογισμός Έχουμε f lnd lnd () Η συνάρτηση, κι συνεπώς η συνάρτηση lnd είνι συνεχής στο lnd είνι πργωγίσιμη Άρ κι η f πργωγίσιμη ως γινόμενο πργωγίσιμων Τότε έχουμε, f f f lnd lnd ln f f ln ln c,c R () Γι στην () f Οπότε γι στην () πίρνουμε c Άρ λμβάνουμε f ln f ln,, Ε Έχουμε f ln κι Ε Γι την f έχουμε: Ενώ f κι f Οπότε, πό το διπλνό πίνκ, έχουμε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ύξουσ στο Στο διάστημ, [, ), f ln f ln κι γνησίως, η εξίσωση f έχει προφνή ρίζ την η οποί είνι κι μονδική σ υτό το διάστημ λόγω της μονοτονίς Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι συνεχής, με σύνολο τιμών το [f, lim f ) [,) Επειδή το νήκει στο πρπάνω σύνολο τιμών, θ υπάρχει o, τέτοιο ώστε f o Επιπλέον το μονδική ρίζ της f στο (, ], φού η o f μονότονη σ υτό το διάστημ mahmaica -4 f () - + f () ΟΕ 9

Μθημτικά Γ Λυκείου f d f f f o o Ε4 o Ε5 Η f έχει κριβώς δύο ρίζες, τις Τότε, γι f f φού η f o o κι o με o είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι o (, ] Γι o f fo, είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι o (, ] f f Τέλος γι φού η f Αφού η f είνι γνησίως ύξουσ στο [, ) κι [, ) Συνεπώς γι τη μονοτονί της f έχουμε ότι είνι: Γνησίως ύξουσ στο σύνολο τιμών A (lim f,f ] (,f ] o o (, o] με Επιπλέον είνι γνησίως φθίνουσ στο o, με σύνολο τιμών A f,f o,f o κι τέλος είνι γνησίως ύξουσ στο [, ) με A [f, lim f ) [, ) σύνολο τιμών Τελικά το σύνολο τιμών της f είνι το f A A A A (,f o ],f o [, ) [, ) ΘΕΜΑ 7 Έστω η δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f :, R f 5f 4f γι κάθε, f κι Ε Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g f ln Προτείνει ο Στάθης Κούτρς γι την οποί ισχύουν: f με είνι στθερή Ε Ν βρείτε τον τύπο της f Ε Ν βρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της f Ε4 Ν δείξετε ότι ν β f β βln lnβ f ββ τότε Ε5 Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f κι τις ευθείες με εξισώσεις : y,, Λύση: Ε Επειδή η g είνι πργωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις πργωγίσιμων mahmaica -5

Ολοκληρωτικός Λογισμός με g () f() f () () Επίσης πό f () 5f () 4f(), θ ισχύει κι f () 5 f () 4f(),,οπότε f () f () f () 4f(),,άρ ( f ()) ( f()), ή ( f () f()),,επομένως f () f() c, Έπειδή f(),f () προκύπτει c άρ f () f(), ή f() f (), Έτσι πό την g () f() f () έχουμε ότι g (), άρ g() c, Ε Αφού g() πό (Ε) είνι c Άρ ln Επομένως f(), f() ln, Ε Επειδή ln limf() lim lim ( ln ), η είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της f, κόμη φού ln lim f() lim lim lim DLH η y είνι οριζόντι σύμπτωτη της f στο ε : y ln f (), ε : y ln Ε Θεωρώντς τη συνάρτηση h(), [, β] Η h είνι πργωγίσιμη στο [,β] (άρ κι συνεχής) με h () f(), σύμφων με τοθμτ ln lnβ h() h(β) β βln lnβ υπάρχει ξ (, β) ώστε h(ξ) ή f(ξ) β β ββ Οπότε, ρκεί πό τη ζητούμενη νισότητ ν δείξουμε ότι f(β) f(ξ) f() ( ln ) ln ln Είνι τώρ f () κι επειδή 4 4 f () ln κι f () η f είνι γνήσι φθίνουσ στο (, ] κι επειδή (,) (, ], έχουμε f ξ β f(β) f(ξ) f() mahmaica -6

Μθημτικά Γ Λυκείου Ε5 Το ζητούμενο εμβδόν είνι το E f() d Επειδή f() ln κι f() ln το εμβδόν θ είνι (Ε4) E f() d f() d f()d f()d E [h()] [h()] h() h() h( ) h() ΘΕΜΑ 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R κάθε,β R Ε Ν ποδείξετε ότι γι κάθε R R με f κι ισχύει β f f f β d γι f f d Ε Ν βρείτε τον τύπο της f Ε Ν ποδείξετε ότι γι κάθε πργωγίσιμη συνάρτηση g : R R η εξίσωση ρίζ f g f g έχει τουλάχιστον μι πργμτική Ε4 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση την οποί κι ν βρείτε Ε Έχουμε f έχει κριβώς μι ρίζ στο R Λύση: f f β f d, οπότε γι β έχουμε f() f() f() d Κι γι, έχουμε β f() f() f() d () f() Ενώ γι έχουμε f(β) f() d Κι γι β, έχουμε f() f() f() d () Από (),() έχουμε ότι γι κάθε R ισχύει β Προτείνει ο Στάθης Κούτρς f() f() d Ε Επειδή η συνάρτηση που ολοκληρώνουμε είνι συνεχής, η f() είνι f() πργωγίσιμη, άρ f () f ()( ) ( ) f() mahmaica -7

Ολοκληρωτικός Λογισμός f() Γι έχουμε c, οπότε f() ( )c Ε f(),που επληθεύει την ρχική σχέση f g f g f g f g g () (f()g() g()) Θεωρώ h() f()g() g(), [,] Η h είνι συνεχής στο [,], πργωγίσιμη στο (,) κι h( ) f( )g( ) g( ) g( ) g( ) κθώς κι h() f()g() g() g() g() Επομένως πό θεώρημ Roll υπάρχει έν τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε h ( ) f g f g έχει μί τουλάχιστον ρίζ Δηλδή η εξίσωση Ε4 Η εξίσωση γράφετι ισοδύνμ Θεωρούμε τη συνάρτηση H(), R Η H πργωγίσιμη στο R, ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με H (),γι κάθε R Επίσης έχουμε H () Επειδή δεν μπορούμε ν βρούμε το πρόσημο της H, προχωρούμε στο πρόσημο της H () H () έχουμε, H () Η () - + H () H () Η () OE 9 Έτσι πό τον πρπάνω πίνκ μονοτονίς, έχουμε ότι η συνάρτηση H () προυσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση o, με τιμή H () H () H () H () ενώ γι κάθε έχουμε H () Άρ η H είνι γνησίως ύξουσ στο R Τέλος H() άρ η εξίσωση έχει μονδική λύση το ΘΕΜΑ 9 Θεωρούμε τις συνρτήσεις f() ln,, h() K() εφ d, Ε Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε Προτείνει ο Γιάννης Κουτσούκος π, κι Ε Ν ποδείξετε ότι K() είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι βρείτε mahmaica -8

Μθημτικά Γ Λυκείου την K () Ε Ν ποδείξετε ότι ορίζετι η συνάρτηση g() (foh)() στο R β Ν υπολογίσετε το εμβδόν E(θ) του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g, τον άξον ' κι τις ευθείες π, εφθ με θ, γ Ν υπολογιστεί το όριο lim E(θ) π θ δ Ν δειχθεί ότι E(θ) (θ ημθ) με Λύση: π θ, Ε Θέλουμε ν δείξουμε πως γι κάθε ισχύει ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση m() ln, Η m πργωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με m (), m () κι m () + - m () m() 9 OΜ Οπότε, πό τον διπλνό πίνκ μονοτονίς, έχουμε ότι η m είνι γνησίως ύξουσ στο (,] κι γνησίως φθίνουσ στο [, ) Προυσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση με τιμή m() Συνεπώς γι κάθε ισχύει m() m() ln ln π Ε Η συνεχής στο (, ), οπότε η συνάρτηση του ολοκληρώμτος π d είνι πργωγίσιμη στο (, ) Η εφ πργωγίσιμη στο π (, ), άρ κι η συνάρτηση εφ d είνι πργωγίσιμη στο d με την εφ Συνεπώς η K πργωγίσιμη στο π (, ), π (, ) με εφ εφ π K () (εφ) εφ εφ, (, ) εφ εφ π Η K πργωγίσιμη στο (, ) 4εφ π K (), (, ) συν ως σύνθεση της ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με mahmaica -9

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ε Έχουμε f() ln, κι h(), R Dh R Γι ν ορίζετι η g() (foh)() πρέπει κι κι R h() D f Συνεπώς η g έχει πεδίο ορισμού το R κι τύπο g() (foh)() f(h()) f( ) ln( ), R β Ψάχνουμε το εφθ E(θ) ln( ) d Γι κάθε R έχουμε πως ln( ) ln ln( ) με το ίσον ν ισχύει μόνο γι, οπότε γι κάθε R ισχύει g() Οπότε εφθ εφθ E(θ) ln( )d () ln( )d εφθ εφθ εφθ ln( ) d ln( ) d εφθ εφθ εφθ εφθ εφθ εφθ εφθ ln( ) d ln( ) d d ln( ) θ εφθln(εφ θ ) εφθ θ εφθ π Αφού, θεωρώντς s(θ) d, θ [, ) Η s πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με s(θ) εφθ εφ θ εφ θ εφ θ Συνεπώς s(θ) θ c,c R Γι θ c, οπότε γ lim E(θ) lim εφθ ln(εφ θ ) εφθ θ π π θ θ θ lim εφθ ln(εφ θ ) π θ εφθ Διότι θ lim εφθ π θ, lim εφθ π θ κι lim ln(εφ θ ) π θ εφθ s(θ) θ d θ mahmaica -4

Μθημτικά Γ Λυκείου π δ Θέλουμε ν δείξουμε πως γι κάθε θ (, ) ισχύει εφθ ln(εφ θ ) εφθ θ (θ ημθ) εφθ ln(εφ θ ) εφθ ημθ ln(εφ θ ) συνθ ln( ) συνθ ln(συν θ) συνθ συν θ ln(συν θ) συνθ ln(συν θ) συνθ Από (Ε),έχουμε ln(συν θ) συν θ ημ θ Οπότε ρκεί ν δείξουμε πώς γι κάθε π π θ (, ) ισχύει ημ θ συνθ Θεωρώ (θ) συνθ ημ θ,θ [, ] Η πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με (θ) ημθ ημθσυνθ ημθ(συνθ ) π Οπότε η είνι γνησίως φθίνουσ στο [, ] Άρ γι κάθε π θ [, ] ισχύει π (θ) () συνθ ημ θ Συνεπώς γι κάθε (, ) έχουμε, συνθ ημ θ Β τρόπος γι το Εδ π Θέλουμε ν δείξουμε πως γι κάθε θ (, ) ισχύει εφθ ln(εφ θ ) εφθ θ (θ ημθ) εφθ ln(εφ θ ) εφθ ημθ ln(εφ θ ) συνθ ln( ) συνθ συν θ ln(συν θ) συνθ ln(συν θ) συνθ ln(συν θ) συνθ ln(συνθ) συνθ ln(συνθ) συνθ ln(συνθ) συνθ ln(συνθ) συνθ που ισχύει λόγω του (Ε) με συνθ κι (,) ΘΕΜΑ 4 Δίνετι συνάρτηση f : R f ισχύει d Προτείνει ο Περικλής Πντούλς R δύο φορές πργωγίσιμη ώστε γι κάθε R ν Ε Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την ντίστροφη της Ε Ν μελετήσετε την f ως προς το που στρέφει τ κοίλ Ε Ν βρείτε τις ρίζες κι το πρόσημο της f γι τις διάφορες τιμές του R Ε4 Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, mahmaica -4

Ολοκληρωτικός Λογισμός τον άξον ' κι τις ευθείες κι f f γι κάθε Πηγή: ΕΤσκουμάγκος ΑΜπλωμένου (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) Ε5 Ν δείξετε ότι Ε Η συνάρτηση του ολοκληρώμτος στο R, η f () g() Λύση: είνι συνεχής στο R, οπότε η συνάρτηση g()d είνι πργωγίσιμη στο R,η f είνι πργωγίσιμη g()d είνι πργωγίσιμη στο R Η πργωγίσιμη στο R f () Πργωγίζουμε κτά μέλη την σχέση d f ( ) f () Οπότε, f ()( ) f () f () Επομένως η f είνι γνησίως ύξουσ στο R, άρ κι, οπότε ντιστρέφετι f () Έχουμε f () f () d f() Θεωρώ h(), R Η h πργωγίσιμη στο R με h () Επομένως η hείνι γνησίως ύξουσ στο R άρ κι, οπότε ντιστρέφετι lim h() lim Βρίσκουμέ το συνολο τιμών της: Έχουμε κι lim h() lim Επομένως η h έχει σύνολο τιμών το R Συνεπώς ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση h η οποί έχει πεδίο ορισμού το R Έχουμε h(f()) f() h () Οπότε η f έχει σύνολο τιμών το R Ακόμ έχουμε ότι h(f()) f () h(), R f () Ε Έχουμε Οπότε η f είνι κοίλη στο R f () f () f () f ()( ) f () f () f () Ε Έχουμε πως f(), διότι γι f () έχουμε ( ) d () Όμως επειδή γι κάθε R έχουμε γι ν ισχύει η () πρέπει f() Επίσης, επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο R έχουμε ότι η μονδική λύση της εξίσωσης f() Επιπλέον γι κάθε f f() f() Κθώς γι κάθε f() f() f mahmaica -4

Μθημτικά Γ Λυκείου Το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη κι είνι E άρ, E f()d Α τρόπος Ψάχνουμε το εμβδόν E f()d Γνωρίζουμε ότι οι γρφικές πρστάσεις των f κι f είνι συμμετρικές ως προς την y άρ τ σημεί A(,f()), B(,f( )) είνι συμμετρικά με τ σημεί A (,f ()) A (,), B (,f ()) B (, ) ντίστοιχ Ακόμη το εμβδόν συμμετρίς είνι ίσο με το E f()d λόγω C f, τον άξον ' κι τις ευθείες f() d Επιπλέον γι κάθε f() f() ε:y=+ Α (,) y Α(,) f B (,+) E f () d d E τμ M(+,+) B(+,) = Β τρόπος u Θέτουμε f() u f (u) u, τότε Γι u ενώ γι u Συνεπώς το ζητούμενο εμβδόν ισούτι με u d ( )du u u u u u E f()d u( )du u( )du u τμ Ε5 Γι στο διάστημ, επειδή f πργωγίσιμη, πό ΘΜΤ f f υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε fξ Επειδή η f είνι κοίλη, έχουμε οτι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R Άρ, f f ξ f fξ f f f Όμως γι κάθε έχουμε f, mahmaica -4

Ολοκληρωτικός Λογισμός Επειδή f f κι f έχουμε f f f f f Δίνοντι οι συνρτήσεις γίνετι f() κι, οπότε η σχέση f f g() + ln ( -) - - - + d + - + + + f () + - - + Ε Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f Ε Ν δείξετε ότι υπάρχουν κριβώς δύο ρίζες, της εξίσωσης f(),οι οποίες νήκουν στ διστήμτ, ln, Ε Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της g Ε4 Ν βρείτε το σημείο κμπής της g κι Ε5 Ν δείξετε ότι η g είνι γνησίως φθίνουσ στο πεδίο ορισμού της κι ότι γι κάθε,β D με β ισχύει Ε Είνι lnβ g ( ) d β ln Πηγή: Χ Πτήλς (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) Λύση: f() με f () κι f () ln f () ln Η f είνι γνήσιως ύξουσ στο [ln, ) f () ln η f είνι γνήσιως φθίνουσ στο (,ln] Έτσι, σχημτίζουμε τον διπλνό πίνκ, πό τον οποίο βλέπουμε ότι προυσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση ln, με τιμή f(ln) ln Ακόμ, Διότι ΘΕΜΑ 4 lim ( ) κι lim ( ) l m[ ( )] DLH lim lim, DLH οπότε lim ( ) Έχουμε f i f (,ln] [f(ln), lim f()) [ ln, ) κι f f [ln, [f(ln), lim f()) [ ln, ) Επομένως το σύνολο τιμών της f, είνι το [ ln, ) Προτείνει ο Πνγιώτης - Γκριμπβιώτης - f() 9 Τε 9 ln f () - + f() ΟΕ 9 mahmaica -44

Μθημτικά Γ Λυκείου Ε Έχουμε f() κι f( ), φού Η f είνι συνεχής στο [, ] κι f()f( ) Από θεώρημ Bolzano υπάρχει (, ) ώστε f( ) Η ρίζ είνι μονδική γιτί στο (,ln] η συνάρτηση f είνι γνήσι φθίνουσ κι (, ) (,ln], φού ln ln ln ln, που ισχύει γιτί Επίσης είνι f(ln) ln ( ln) (ln ln) γιτί κι f() 4 γιτί οπότε ισχύει f(ln)f(), πό θεώρημ Bolzano υπάρχει (ln,) ώστε f( ) Η ρίζ είνι μονδική, γιτί στο [ln, ) η συνάρτηση f είνι γνήσι ύξουσ ln ( ) Ε Επειδή είνι g() d κι f() f() γι (, ) (, ) (, ), ισχύει ln Πρέπει κι γι ν ισχύει ln ή,φού, ρίζες της εξίσωσης f() Επομένως, το πεδίο ορισμού της g είνι το A (, ) Ε4 Η f είνι συνεχής στο (, ) κι η ( ) είνι συνεχής ( ) στο (, ), οπότε η συνάρτηση d είνι πργωγίσιμη στο f() (, ) Ακόμ, η ln πργωγίσιμη στο (, ) Επομένως η g είνι πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων με ln ln ( ln ) ( ln ) ln g (), κόμη f(ln) ( ln) ln ( )( ln) ( )( ln) 6( ln ) g () ( ln ) ( ln ) 6( ln) g () (, ) ln 6( ln) g () ln mahmaica -45

Ολοκληρωτικός Λογισμός Σχημτίζουμε το διπλνό πίνκ κι έχουμε ότι η g στρέφει τ κοίλ άνω στο (,] κι τ κοίλ g () + - κάτω στο [, ) g() ΣΚ 4 ( ) Έχουμε g() d Επειδή g () κι η g λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν του (, ), η g έχει σημείο κμπής το σημείο B(,) Ε5 Η προς πόδειξη σχέση γράφετι ( )(g(β) g()) (β )( ) Επειδή τώρ g () κι g (),η g είνι γνήσιως ύξουσ στο (,] Επειδή η g (), η g είνι γνήσιως φθίνουσ στο [, ) Από το διπλνό πίνκ έχουμε ότι η g προυσιάζει g () + - ολικό μέγιστο γι με τιμή g (), g () 9 ΟΜ άρ γι κάθε (, ) ισχύει g (), επομένως η g είνι γνήσι φθίνουσ στο (, ) Η g είνι συνεχής στο [, β] (, ),πργωγίσιμη (,β), οπότε πό ΘΜΤ, g(β) g() υπάρχει ξ (, β) ώστε g(ξ) Επειδή g(ξ) g () θ ισχύει β κι g(β) g() ( )(g(β) g()) (β )( ),που είνι το β ζητούμενο ΘΕΜΑ 4 Προτείνει ο Δημήτρης Κτσίποδς Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f :R R γι την οποί ισχύουν f() f( )d με R κι f()d Ε Ν βρείτε την πράγωγο της f κι τη γωνί ω που σχημτίζει η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο f() Ε Ν βρείτε το όριο lim ( ) Ε Ν δείξετε ότι lim f( ) Πηγή: Εισήγηση του Γ Κωτσάκη, Βέροι 8/4/ Λύση: Ε Γι u έχουμε ότι du d mahmaica -46

Μθημτικά Γ Λυκείου Γι u, ενώ γι u,οπότε η γίνετι f() f(u)( du) f(u)du Η f είνι πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγίσιμων με f () f(u)du f( ) Επομένως f () f() Ακόμ, f() f(u)du, άρ f () f() f( )d Η γωνί που σχημτίζει η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο π είνι ω 4 f() f() f() Ε Είνι lim lim, ( ) ( ) f() f() γιτί lim f () κι lim ( ) Ε Έχουμε Οπότε f( ) f(u)du g() f( ) f(u)du Έχουμε, Θέτουμε, ότν έχουμε ότι Οπότε lim f(u)du lim f(u)du Όμως η f είνι συνεχής στο R, άρ η συνάρτηση lim g() lim f(u)du f(u)du είνι πργωγίσιμη στο R Η είνι πργωγίσιμη στο R Οπότε η g είνι πργωγίσιμη στο R, άρ κι συνεχής Οπότε, lim f(u)du f(u)du f(u)du ( ) (*)Ενδιφέρον προυσιάζει η άσκηση ότν δεν γνωρίζουμε την πργωγισιμότητ της συνάρτησης f Ας δούμε τροποποιημένο το πρώτο ερώτημ της άσκησης κθώς κι τη λύση του Τροποποιημένο ερώτημ: Έστω η συνάρτηση f : R f() f( )d με R κι R γι την οποί ισχύουν f()d Ν βρείτε τη γωνί ω που σχημτίζει η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο Λύση: mahmaica -47

Ολοκληρωτικός Λογισμός Γι u έχουμε ότι du d Γι u, ενώ γι u,οπότε η f() f(u)( du) f(u)du f(u)du f(u)du f() f() lim lim lim DLH lim f(u)du f( ) f() f() f( )d Επομένως f () f() Ακόμ, f() f(u)du, άρ f () Η γωνί που σχημτίζει η εφπτομένη της f στο είνι π ω 4 γίνετι ΘΕΜΑ 4 Προτείνει ο Περικλής Πντούλς Έστω ο μιγδικός z i κι η συνεχής συνάρτηση f : R R που είνι γνησίως z i f z i f z i z i γι κάθε R ύξουσ, ώστε: Ε Ν δείξετε ότι z i z i Ε Ν δείξετε ότι ο z είνι πργμτικός Ε Ν λύσετε την νίσωση f Ε4 Ν δείξετε ότι f d Ε5 Ν δείξετε ότι η εξίσωση f d f λύση έχει τουλάχιστον μι Λύση: Πηγή: Γ Μπϊλάκης (εκδόσεις Σββάλς) Ε Αν z i R, z i β R τότε θ ισχύει f() βf( ) β, R,,β R Βάζοντς όπου το έχουμε f( ) βf() β, R, οπότε θ ισχύει κι f( ) βf() f() βf( ) (β )f() (β )f( ), R Αν β, έχουμε ότι f() f( ), R Γι δίνει f() f() άτοπο, γιτί η f γνήσι ύξουσ, άρ νγκί β δηλδή z i z i Ε Από z i z i η εικόν του z σημείο της μεσοκθέτου του AB με mahmaica -48

Μθημτικά Γ Λυκείου A(,),B(, ) άρ σημείο του άρ πργμτικός Ε Αφού z i z i κι λόγω z i,πό την ρχική θ ισχύει f() f( ), R Γι θ ισχύει ότι f f f οπότε η νίσωση f() f() f διότι η f γνήσι ύξουσ Ε4 Ισχύει f()d f( )d f() f( ) f() f( ) d d Θέτουμε u, οπότε d du Επίσης γι έχουμε u, ενώ γι έχουμε u, τότε Επομένως η f()d f( )d γίνετι f( )d f(u)du f(u)du f()d f()d Ε5 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() f()d f(), [, ] Η h συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών συνρτήσεων κι επιπλέον h() f()d f() κι h f()d f Οπότε πό θεώρημ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον έν ξ h(ξ) f()d ξf(ξ) Άρ η εξίσωση f()d f() έχει μι τουλάχιστον λύση ξ (, ) τέτοιο ώστε ΘΕΜΑ 44 Προτείνει οxrimak Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f : (, ) R γι την οποί γι κάθε ισχύει f() d f() Ν βρείτε: mahmaica -49

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ε Τον τύπο της f Ε Την εφπτομένη (ε) της C που διέρχετι πο την ρχή των f ξόνων Ε Το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πο τη C f τον άξον κι την εφπτομένη (ε) Ε4 Ν υπολογίσετε το όριο Ε5 Ν υπολογίσετε το όριο f() lim d f() lim Λύση: d f() Ε Έχουμε, f d f f d f f d f Η f πργωγίσιμη, άρ κι συνεχής, συνεπώς η συνάρτηση f d είνι πργωγίσιμη στο (, ) Πργωγίζοντς κτά μέλη τη σχέση έχουμε, f d f f f f f έχουμε f f ln Οπότε γι, f ln c,,c R () Γι, πό την ρχική σχέση λμβάνουμε Άρ γι, πό την (),βρίσκουμε c f Συνεπώς έχουμε f ln, Που επληθεύει την ρχική σχέση Ε Η εφπτομένη της f A o,f έχει o εξίσωση y f o f o o y ln o o ε o Θέλουμε ν διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, άρ O,ε lno o o o Η εφπτομένη της C f η οποί διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, είνι η εφπτομένη στο σημείο A, ln, κι έχει εξίσωση y ή g Έχουμε f ln,, κόμ f, κι f, mahmaica -5 C στο τυχίο σημείο της

Μθημτικά Γ Λυκείου Επειδή γι κάθε ισχύει f (), έχουμε πως η συνάρτηση f είνι κοίλη στο (, ) Οπότε η γρφική πράστση της f βρίσκετι πάντ κάτω πό την εξίσωση της εφπτομένης, με εξίρεση το σημείο y επφήςτο ζητούμενο εμβδόν μπορεί ν χωριστεί σε δύο επιμέρους εμβδά Στο χωρίου που περικλείετι πό τον άξον ', την ευθεί κι την y εφπτομένη, κθώς κι στο χωρίο που περικλείετι πό την εξίσωση της f ln εφπτομένης της γρφική πράστση της ε:= f στο σημείο (,), τη γρφική ε:= πράστση της f κι την ευθεί ε:= Έτσι έχουμε, E g d g f d d ln d ln τμ Ε Έστω T() f() ln,, T () ln, όποτε γι κάθε,π Γι κάθε, κι γι κάθε με T() T() T( ) T( ) T() T()(*) που είνι πργωγίσιμη με ηt είνι γνησίως φθίνουσ θ είνι: T d Td Td T Td T T d Td ln ln ln ln Από () έχουμε f() d f() Είνι T d ln d ln ln f() lim, lim άρ πό κριτήριο πρεμβολής θ είνι lim f() d f() (*) Αν οι συνρτήσεις f,g είνι συνεχείς στο [,β] κι γι κάθε [,β] mahmaica -5

Ολοκληρωτικός Λογισμός β ισχύει f() g() έχουμε f() g() f() g() d β f() g()d Ε4 Από Ε έχουμε Td d ln ln ln f() ln Είνι lim, lim ln ln, πό κριτήριο πρεμβολής θ είνι: lim β d f() ΘΕΜΑ 45 Έστω οι πργμτικές συνρτήσεις f,g ορισμένες κι συνεχείς στο R με f ()d g()d γι κάθε R {,} f ()d g() γι κάθε R Ε Ν δείξετε ότι Ε Ν δείξετε ότι Ε Ν δείξετε ότι με g() g( ) κι f()d f()d γι κάθε R, f()d f κι f Ε4 Αν η f πργωγίσιμη, ν δείξετε ότι η εξίσωση f() f()d f()f () έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, Ε5 Ν δείξετε ότι η εξίσωση f()d f() έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, Ε6 Αν η f πργωγίσιμη, ν δείξετε ότι η εξίσωση f() f () έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, Προτείνει ο Κώστς Τηλέγρφος Ε7 Ν βρείτε το εμβδόν που περικλείετι μετξύ της γρφικής πράστσης της g() με τον άξον πό μέχρι Πηγή:Τηλέγρφος Κώστς Λύση: Ε Επειδή g συνεχής κι γι κάθε R ισχύει g(), πό συνέπει του θεωρήμτος Bolzano, η g θ διτηρεί στθερό πρόσημο στο R Όμως, γι ισχύει g() g() θ είνι g(), R mahmaica -5

Μθημτικά Γ Λυκείου Τώρ ν F() f()d κι G() f()d, θ ισχύει σύμφων με την υπόθεση F() G() g()d, Αν υπάρχει R {,} ώστε F( ) G( ) τότε το g()d άτοπο G( ) Αν υπάρχει R {,} ώστε F( ) G( ) επειδή g(),r θ ισχύει ότι F( ) g()d G( ) F( ),άτοπο, άρ θ ισχύει F() G(), R {,} Ε Επειδή τώρ ισχύει F() G(), R {,} κι οι G() f()d είνι πργωγίσιμες στο R, άρ κι συνεχείς, θ ισχύει limf() limg(), δηλδή ότι F() G() f()d κι κόμη Οπότε νγκί, Ε Αν limf() limg(), δηλδή ότι f()d h() f()d f()d F() G() f()d λόγω των (Ε), (Ε) θ ισχύει ότι F() f()d, h(), R Αφού h() h(), θ προυσιάζει κρόττ στ, κι φού είνι πργωγίσιμη με h () f(), πό θεώρημ Frma, θ είνι h () h () άρ f() f() Ε4 f() f()d f()f () f()g() f()f () f()g() f()f () G ()G() f()f () (G () f ()) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση H() G () f (), [,] υτή είνι πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγίσιμων,με H () G()G () f()f () H () f()g() f()f () Ακόμ, H() H() Άρ σύμφων με το θεώρημ Roll, η H () θ έχει ρίζ στο(,) δηλδή f()g() f()f () f() f()d f()f () Ε5 f()d f() G() f() mahmaica -5

() G() G () G() Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρώντς τώρ τη συνάρτηση K() G(), [,] που είνι πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγίσιμων με K () G() G () f()d f() κι K() K(),σύμφων με το θεώρημ Roll, η εξίσωση K () f()d f() θ έχει ρίζ στο (,) Ε6 f() f () f() f () ( ) f() f () f() Θεωρώντς την συνάρτηση () f(), [,] είνι πργωγίσιμη με () f() f () με () (), άρ πό θεώρημ Roll, η εξίσωση () f() f (), θ έχει ρίζ στο (,), ισοδύνμ f() f () Ε7 Το ζητούμενο εμβδόν, φού g(),r θ είνι E g()d [ g( )]d d g( )d E 4 g( )d Γι u είνι du d Ότν u, u Το g( )d γίνετι g(u)( du) g(u)du E Άρ E 4 E E 4 E τμ ΘΕΜΑ 46 Προτείνει ο Κώστς Τηλέγρφος Έστω η πργμτική συνάρτηση f ορισμένη κι συνεχής στο R με f() d γι κάθε R Ε Ν δείξετε ότι η συνάρτηση () f()d πργωγίζετι Ε Ν δείξετε ότι f κι f - Ε Ν βρείτε την πράγωγο της () στο κι ν δείξετε ότι f() Ε4 Αν η συνάρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη, ν δείξετε ότι έχει έν τουλάχιστον πιθνό σημείο κμπής Πηγή:Τηλέγρφος Κώστς mahmaica -54 Λύση: