Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν στην ανάλυση µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ συνόλων πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών, µε ανάλογο τρόπο στην γραµµική άλγεβρα µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων. Τις συναρτήσεις που διατηρούν την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων τις ονοµάζουµε γραµµικές απεικονίσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε τις βασικές ιδιότητες των γραµµικών απεικονίσεων και θα δούµε πως περιγράφονται µε την άλγεβρα των πινάκων. Στην µελέτη των γραµµικών απεικονίσεων οι πίνακες παίζουν κυρίαρχο ρόλο αφού, κάθε πίνακας ορίζει µια γραµµική απεικόνιση αλλά και κάθε γραµµική απεικόνιση µπορεί να παρασταθεί µε ένα πίνακα. Αρχικά δίνουµε τον ορισµό µιας γραµµικής απεικόνισης, κατόπιν ορίζουµε δύο σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα µιας γραµµικής απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς ένα απεικονίσεις, ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές απεικονίσεις.στη συνέχεια προσεγγίζουµε τον πυρήνα και την εικόνα µε την βοήθεια γραµµικών συστηµάτων και δίνουµε το σηµαντικότερο αποτέλεσµα αυτού του κεφαλαίου που είναι η αντιστοιχία (ισοµορφία) µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων και πινάκων. Τέλος, χαρακτηρίζουµε τους ισοδύναµους και τους όµοιους πίνακες. 1 Συγγραφέας: Γιώργος Σαραφόπουλος

Σελίδα από 9 8.1 Ορισµοί και παραδείγµατα...5 Εισαγωγικό παράδειγµα...6 8.1.1 Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης)...6 8.1. Παραδείγµατα...7 Παράδειγµα 1...7 Παράδειγµα...7 Παράδειγµα 3...7 Παράδειγµα 4...8 Παράδειγµα 5...9 Παράδειγµα 6...10 Παράδειγµα 7...10 Παράδειγµα 8...10 8.1.3 Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας)...11 8.1.4 Παράδειγµα...11 Εισαγωγικά παραδείγµατα...1 8.1.5 Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων)...14 8.1.6 Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης)...14 8.1.7 Ορισµός (ισοµορφισµού)...15 Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού...15 8.1.8 Θεώρηµα...16 8.1.9 Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών απεικονίσεων)...17 Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση)...18 8.1.10 Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης πάνω σε βάση )...19 8.1.11 Παραδείγµατα...0 Παράδειγµα 1...0 Παράδειγµα...1 8.1.1 Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων... 8.1.13 Παραδείγµατα...4 Παράδειγµα 1...4 Παράδειγµα...4 Παράδειγµα 3...5

Σελίδα 3 από 9 Παράδειγµα 4...6 Παράδειγµα 5...7 Παράδειγµα 6...8 Ασκήσεις 8.1...8 Απαντήσεις Υποδείξεις 8.1...9 8. Πυρήνας και εικόνα...30 8..1 Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας)...30 8.. Παραδείγµατα...30 Παράδειγµα 1...30 Παράδειγµα...31 Παράδειγµα 3...31 Παράδειγµα 4...33 8..3 Θεώρηµα ( οµή πυρήνα και εικόνας)...35 8..4 Θεώρηµα...36 8..5 Θεώρηµα ( της διάστασης)...37 8..6 Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισοµορφισµού)...39 8..7 Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισόµορφων διανυσµατικών χώρων)...40 8..8 Παραδείγµατα...41 Παράδειγµα 1...41 Παράδειγµα...4 Παράδειγµα 3...44 Ασκήσεις 8...44 Απαντήσεις Υποδείξεις 8...46 8.3 Γραµµικές Απεικονίσεις και Γραµµικά Συστήµατα...47 8.3.1 Θεώρηµα ( Πυρήνας και εικόνα της γραµµικής απεικόνισης L )...47 8.3. Θεώρηµα ( ιάσταση του χώρου λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος)...47 Εισαγωγικό παράδειγµα...48 8.3.3 Θεώρηµα ( Σύνολο λύσεων γραµµικού συστήµατος)...48 Παράδειγµα...49 8.3.9 Παραδείγµατα...50 Παράδειγµα 1...50 Παράδειγµα...51 Παράδειγµα 3...5

Σελίδα 4 από 9 Ασκήσεις 8.3...53 Απαντήσεις Υποδείξεις 8.3...54 8.4 Πίνακες και Γραµµικές Απεικονίσεις...55 8.4.1 Θεώρηµα ( Ύπαρξης πίνακα )...55 8.4. Ορισµός (Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς τις συνήθεις βάσεις)...56 8.4.3 Παράδειγµα...57 8.4.4 Εισαγωγικό παράδειγµα...57 8.4.5 Παρατηρήσεις...59 8.4.6 Ορισµός ( Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς διατεταγµένες βάσεις).60 8.4.7 Θεώρηµα (Συντεταγµένες εικόνας)...60 8.4.8 Παράδειγµα...6 8.4.9 Ορισµός (Πίνακας γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διατεταγµένη βάση)...64 8.4.10 Παράδειγµα...64 8.4.11 Θεώρηµα (Πίνακας ταυτοτικής απεικόνισης)...65 8.4.1 Θεώρηµα (Ισοµορφία διανυσµατικού χώρου γραµµικών απεικονίσεων και διανυσµατικού χώρου πινάκων)...66 8.4.13 Παράδειγµα...67 8.4.14 Θεώρηµα ( Πίνακας σύνθεσης)...68 8.4.15 Πόρισµα (Πίνακας αντίστροφης)...69 Πίνακας αλλαγής βάσης ή πίνακας µετάβασης....70 Εισαγωγικό παράδειγµα...70 8.4.16 Ορισµός (Πίνακας αλλαγής βάσης)...71 8.4.17 Παράδειγµα...7 8.4.18 Θεώρηµα (Συντεταγµένες διανύσµατος ως προς διαφορετικές διατεταγµένες βάσεις)...73 8.4.19 Θεώρηµα (Αντίστροφος πίνακα αλλαγής βάσης)...74 8.4.0 Παραδείγµατα...74 Παράδειγµα 1...74 Παράδειγµα...76 Ασκήσεις 8.4...78 Απαντήσεις Υποδείξεις 8.4...79 8.5 Ισοδύναµοι και όµοιοι πίνακες...81 Εισαγωγικό παράδειγµα...81

Σελίδα 5 από 9 8.5.1 Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικής απεικόνισης ως προς διαφορετικές διατετεγµένες βάσεις)...84 8.5. Ορισµός (Ισοδύναµοι πίνακες)...84 8.5.3 Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διαφορετικές διατετεγµένες βάσεις)...85 8.5.4 Ορισµός ( Όµοιοι πίνακες)...85 8.5.5 Παραδείγµατα...85 Παράδειγµα 1...85 Παράδειγµα...86 Παράδειγµα 3...87 Παράδειγµα 4...88 Παράδειγµα 5...89 8.5.6 Θεώρηµα...90 8.5.7 Πόρισµα...91 Χαρακτηρισµός ισοδύναµων πινάκων...91 Χαρακτηρισµός όµοιων πινάκων...91 Ασκήσεις 8.5...91 Απαντήσεις Υποδείξεις...9

Σελίδα 6 από 9 8.1 Ορισµοί και παραδείγµατα Σε προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε την έννοια της απεικόνισης µεταξύ δύο συνόλων. Στην παράγραφο αυτή θα εισαγάγουµε µια ειδική µορφή απεικονίσεων µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων, τις γραµµικές απεικονίσεις Μπορούµε να πούµε ότι µια απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων είναι γραµµική αν διατηρεί την δοµή του διανυσµατικού χώρου, δηλαδή αν µετασχηµατίζει το άθροισµα δύο διανυσµάτων σε άθροισµα των εικόνων τους και το βαθµωτό πολλαπλάσιο ενός διανύσµατος στο ίδιο βαθµωτό πολλαπλάσιο της εικόνας του. Ας δούµε όµως πρώτα ένα παράδειγµα. Εισαγωγικό παράδειγµα Θεωρούµε την απεικόνιση (συνάρτηση) f:, µε τύπο f (x) = ax (όπου a ένας πραγµατικός αριθµός). Παρατηρούµε ότι x,y f (x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay= f(x) + f(y) και λ, x f ( λx) = a( λx) = λ(ax) = λf(x) ηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: x,y, f (x+ y) = f(x) + f(y) και λ, x, f ( λx) = λ f(x) Μια απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων, για την οποία ισχύουν οι προηγούµενες ιδιότητες θα την λέµε γραµµική απεικόνιση. 8.1.1 Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης) Έστω V,W δύο F-διανυσµατικοί χώροι (F = ή F = ). Μια απεικόνιση L:V και W θα λέγεται γραµµική απεικόνιση αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1) Για κάθε ζεύγος διανυσµάτων u, του V ισχύει L( u + ) = L( u ) + L( ) ) Για κάθε βαθµωτό µέγεθος λ και για κάθε διάνυσµα u του V ισχύει Παρατηρήσεις: L( λu ) = λl( u ) α) Οι προηγούµενες συνθήκες 1) και ) του ορισµού ισοδυναµούν µε τη συνθήκη u, V, λ, µ F L( λ u + µ ) = λ L( u ) + µ L( )

Σελίδα 7 από 9 β) Στην περίπτωση που V = W, µια γραµµική απεικόνιση L:V V λέγεται και γραµµικός µετασχηµατισµός 8.1. Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Η ταυτοτική απεικόνιση γραµµική. Πράγµατι, V 1 V :V V µε τύπο 1(u) u V =, για κάθε u V είναι u, V, λ, µ F V 1( λ u+ µ ) = λ u+ µ = λ 1(u) + µ 1() V Παράδειγµα Η µηδενική απεικόνιση ϑ :V W µε τύπο ϑ (u) = 0W, για κάθε u V, είναι γραµµική. Πράγµατι, u, V, λ, µ F ϑ( λ u+ µ ) = 0 και W λϑ + µϑ = λ + µ = (u) () 0W 0W 0 W Παράδειγµα 3 ίνεται ο 3 πίνακας Αν σε κάθε διάνυσµα X 1 1 = 1 1 0 1 x = του αντιστοιχίσουµε το διάνυσµα y x + y X = x y y 3 δηµιουργούµε µια απεικόνιση µε πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το. Την απεικόνιση αυτή θα την συµβολίσουµε µε L. ηλαδή, µε τύπο 3 L : Θα γράφουµε τα διανύσµατα του F ως πίνακες µε µία στήλη.

Σελίδα 8 από 9 L(X) = X Θα δείξουµε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραµµική. 1 ος τρόπος: Αν x x X =,Y = y y στοιχεία του και λ έχουµε: και ος τρόπος: Αν x x y y x y x y x+ x ( + ) = = + = + y+ y L X Y L x x y y x y x y y y y + y x x = L + L y y + + + + + λx+ λy x+ y λx L( λx) = L = λx λy λ x y λl( X λ y = = λ y y X,Y και λ, επειδή η απεικόνιση L : 3 ορίζεται µε πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α L : 3, X X λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασµού πινάκων προκύπτει: και Εποµένως η L ( X Y ) ( X Y ) X Y L ( X ) L (Y ) είναι γραµµική. L + = + = + = + L( λ X) = ( λx) = λ(x) = λl(x) ) Παράδειγµα 4 Το προηγούµενο παράδειγµα γενικεύεται για κάθε πίνακα Α τύπου m µε στοιχεία από το F. ηλαδή αν µας δοθεί ένας πίνακας τύπου m µε στοιχεία από το F, µπορούµε να δηµιουργήσουµε µε πολλαπλασιασµό ( από τα αριστερά) µε τον µια γραµµική απεικόνιση µε τον τύπο L :F F m

Σελίδα 9 από 9 L(X) = X X = x x x. όπου ( ) 1 Παράδειγµα 5 a b Αν X 4 4 = διάνυσµα του, θα δείξουµε ότι η απεικόνιση f: 3 µε τύπο c d a+ b f (X) = b c a+ d είναι γραµµική. Πράγµατι, επειδή a a+ b 1 1 0 0 1 1 0 0 b f (X) = b c a 0 b 1 c 1 d 0 0 1 1 0 = + + + = = X c a d 1 0 0 1 1 0 0 1 + d όπου 1 1 0 0 = 0 1 1 0 1 0 0 1 Η απεικόνιση f δηµιουργείται µε πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α και όπως δείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα είναι γραµµική. Παρατήρηση: Στο προηγούµενο παράδειγµα είδαµε ότι µπορούµε να εκφράσουµε µια γραµµική 4 3 απεικόνιση από το στο µε τη βοήθεια κάποιου πίνακα τύπου 3 4έτσι ώστε, η εικόνα ενός διανύσµατος να προκύπτει µε πολλαπλασιασµό του διανύσµατος µε αυτόν τον πίνακα. Αργότερα θα δούµε ότι το ίδιο ισχύει και σε γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ τυχαίων διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης.

Σελίδα 10 από 9 Παράδειγµα 6 Η απεικόνιση f:, x x δεν είναι γραµµική, αφού f (x+ y) = (x+ y) = x + y + xy= f(x) + f(y) + xy f(x) + f(y) Παράδειγµα 7 Έστω Α το σύνολο των συναρτήσεων f: που έχουν παραγώγους κάθε τάξης. Το σύνολο αυτό µε τις συνήθεις πράξεις των συναρτήσεων αποτελεί διανυσµατικό χώρο. Μπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση µε την σχέση D: D( f ) = f όπου f είναι η παράγωγος της f. [Για παράδειγµα, η εικόνα D( f ) της συνάρτησης f (x) 3 = x είναι η συνάρτηση f (x) = 3x, η εικόνα D( g ) της συνάρτησης g( x ) = si x είναι η συνάρτηση g(x) = cosx κ.λ.π. ] Είναι εύκολο να δείξουµε, στηριζόµενοι στις ιδιότητες της παραγώγου, ότι η απεικόνιση Πράγµατι, D είναι γραµµική. ( f,g ),D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f ) + D(g) λ λ λ λ λ (, f ),D( f ) = ( f ) = f = D( f ) Παράδειγµα 8 Αν [ x] είναι ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές βαθµού το πολύ, ορίζουµε την απεικόνιση [ ] [ ] f : x x, p( x ) p( 0 ) + xp( x ) + 1 Θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της f. [ x] p(x),q(x) και λ έχουµε:

Σελίδα 11 από 9 f [p(x) + q(x)] = f[(p+ q)(x)] = (p+ q)(0) + x(p+ q)(x) = p( 0 ) + q( 0 ) + x[ p( x ) + q( x )] = p(0) + q(0) + xp(x) + xq(x) = f[p(x)] + f[q(x)] f [ λ p( x )] = f [( λp )( x )] = ( λp )(0 ) + x( λp )( x ) = λp(0 ) + λxp( x ) = λ[p(0) + xp(x)] = λf[p(x)] Άρα η f είναι γραµµική. Θα δούµε τώρα µια πρόταση µε την βοήθεια της οποίας µπορούµε να δείξουµε ότι µια απεικόνιση δεν είναι γραµµική. 8.1.3 Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας) Αν η απεικόνιση f :V (1) f (0 V ) = 0W W () ( u V ) f ( u) = f(u) Απόδειξη είναι γραµµική τότε (1) Έχουµε f (0 V ) = f(0f0 V ) = 0F f(0 V ) = 0W () Θα χρησιµοποιήσουµε την προηγούµενη ιδιότητα. Για κάθε u V V (1) f (u) + f( u) = f [u + ( u)] = f(0 ) = 0. Προσθέτοντας f (u) και στα δύο µέλη προκύπτει το ζητούµενο. W 8.1.4 Παράδειγµα Θα εξετάσουµε αν η απεικόνιση x + 1 f:,x x είναι γραµµική. Παρατηρούµε ότι 1 0 f(0) = 0 0 εποµένως η f δεν είναι γραµµική.

Σελίδα 1 από 9 Θα εξετάσουµε τώρα την γραµµικότητα της σύνθεσης δύο γραµµικών απεικονίσεων και της αντίστροφης απεικόνισης (όταν υπάρχει). Εισαγωγικά παραδείγµατα Έστω 3 f:,g: οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους x x + y x x y f y =,g = y z y x z Η σύνθεση 3 g f : ορίζεται ως εξής: x x + y x+ y ( y z) (g f )(X) = g[ f(x)] = g[ f y ] = g[ ] = y z x y z + x x+ z 1 0 1 = = y = X x+ y 1 1 0 z g f : L 3 Εποµένως η σύνθεση είναι της µορφής, µε 1 0 1 = 1 1 0 και εποµένως είναι µια γραµµική απεικόνιση. Παρατηρήσεις: 1) Παρατηρούµε ότι οι γραµµικές απεικονίσεις f,g είναι της µορφής f = L,g = L όπου και η g f = L, αφού 1 1 0 1 1 =, = 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = = = 1 0 0 1 1 1 1 0 ) Αυτό ισχύει για κάθε ζεύγος γραµµικών απεικονίσεων που είναι της µορφής f = L,g= L για τις οποίες ορίζεται η σύνθεση g f. (g f )(X) = g[ f(x)] = g(x) = (X) = ()X ηλαδή η σύνθεση είναι της µορφής g f = L.

Σελίδα 13 από 9 Γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι ένα προς ένα και επί (βλ. Κεφάλαιο1). Θα δείξουµε ότι η γραµµική απεικόνιση g: µε τύπο x x y g = y x είναι αντιστρέψιµη και θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της αντίστροφης. 1 ος τρόπος: Παρατηρούµε ότι, αν x1 x X =,Y = τότε y y 1 x y x y y = y = = x1 x x1 = x 1 1 1 g( X ) g(y ) X Y ηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα. Θα δείξουµε τώρα ότι η g( X ) = Y να έχει λύση ως προς X. g( X ) Y g είναι επί. Αρκεί για δεδοµένο x y x x y = x x = y = Y, η εξίσωση 1 1 1 1 1 = = x1 y x1 = y y1 = y x Εποµένως η απεικόνιση είναι επί και κατά συνέπεια υπάρχει η αντίστροφή της, που όπως φαίνεται από την σχέση ( ) είναι 1 g : ( ) µε τύπο όπου 1 1 x y 0 1 x g (X ) = g = = = DX y x+ y 1 1 y 0 1 D = 1 1 είναι δηλαδή της µορφής πίνακας D είναι ο αντίστροφος του ). 1 g = L D και άρα είναι γραµµική. ( Παρατηρούµε ότι ο ος τρόπος:

Σελίδα 14 από 9 Επειδή g = L έχουµε g( X ) = g(y ) X = Y, ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος (ορίζουσα διάφορη του µηδενός) άρα η προηγούµενη σχέση γράφεται Εποµένως η απεικόνιση είναι 1-1. Από την σχέση g( X ) = Y 1 1 X Y = X = Y X = Y προκύπτει Άρα η 1 X = Y X = Y g είναι επί και εποµένως αντιστρέψιµη, µε αντίστροφη την 1 g :, 1 1 g (X ) = X Οι επόµενες προτάσεις γενικεύουν τις προηγούµενες παρατηρήσεις µας. 8.1.5 Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων) Αν f :U V και g:v Wείναι γραµµικές τότε και η σύνθεσή τους g f :U W Απόδειξη είναι γραµµική. Έστω u,u U και a, b F. Από τον ορισµό της σύνθεσης και την γραµµικότητα 1 των f και g προκύπτει g γραµµικη ορισµος f γραµµικη ( g f )( au + bu ) = g[ f ( au + bu )] = g[ af ( u ) + bf ( u )] 1 1 1 = ag[ f ( u )] + bg[ f ( u )] = a( g f )( u ) + b( g f )( u ) 1 1 Άρα η g f :U W είναι γραµµική. 8.1.6 Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης) Αν η γραµµική απεικόνιση f :V W είναι αντιστρέψιµη τότε και η αντίστροφη 1 f :W V είναι γραµµική. Απόδειξη Έστω w,w 1 W, γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι ένα προς ένα και επί. Εποµένως υπάρχουν µοναδικά διανύσµατα u,u 1 ώστε w1 = f(u 1),w = f(u ) 1 1 1. Θα δείξουµε ότι f (w1+ w ) = f (w 1) + f (w ) V έτσι

Σελίδα 15 από 9 f γραµµικη 1 1 1 1+ = 1 + = 1+ f (w w ) f [ f(u ) f(u )] f [ f(u u )] ορισµος = ( f f )(u + u ) = (1 )(u + u ) = u + u = f (w ) + f (w ) 1 1 1 1 V 1 1 1 Θα δείξουµε τώρα ότι αν a F,w W, 1 1 f (aw) = af (w) w= f(u ) 1 1 1 1 f (aw) = f [af(u)] = f [ f(au)] = ( f f )(au) = = = 1 (1 V )(au) au af (w) Άρα η 1 f :W V είναι γραµµική. 8.1.7 Ορισµός (ισοµορφισµού) Μια γραµµική απεικόνιση f :V W για την οποία υπάρχει η αντίστροφη λέγεται ισοµορφισµός, οι δε χώροι V,W λέγονται ισόµορφοι. Στην περίπτωση που οι διανυσµατικοί χώροι V,W είναι ισόµορφοι, γράφουµε V W. Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού. Θα δείξουµε ότι για κάθε επιλογή βάσης σε ένα διανυσµατικό χώρο πεπερασµένης διάστασης, υπάρχει ισοµορφισµός µεταξύ αυτού του χώρου και του Γνωρίζουµε ότι αν {,..., } 1 F = µια διατεταγµένη βάση. του διανυσµατικού χώρου V, τότε για κάθε διάνυσµα V υπάρχουν µοναδικοί αριθµοί x 1,...,x ( οι συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την συγκεκριµένη βάση ) έτσι ώστε ηµιουργείται έτσι ένα στοιχείο του = x1 1+... + x F το ( 1 ) x... x που το λέµε διάνυσµα συντεταγµένων του ως προς την βάση και το συµβολίζουµε µε [ ]. ηλαδή Για παράδειγµα, αν dimv 3 και [ ] x1 x x = = 3 + 3 τότε = 1 [ ] = 3 1

Σελίδα 16 από 9 Θα δείξουµε ότι µε την επιλογή της διαταταγµένης βάσης {,..., } = ο χώρος 1 V γίνεται ισόµορφος µε τον χώρο F 8.1.8 Θεώρηµα Η απεικόνιση: :V F, [ ] Απόδειξη Φ είναι ένας ισοµορφισµός. Θα δείξουµε αρχικά ότι είναι γραµµική. Έστω u, V, λ F. Αν = x1 1+... + xκαι u = y1 1+... + y, τότε και Οπότε και + u = = ( x1+ y 1) 1+... + ( x + y ) λ = ( λx ) +... + ( λx ) 1 1 ( ) Φ (+ u) = x + y x + y... x + y 1 1 ( ) ( = x x... x + y y... y 1 1 = Φ () + Φ (u) ( ) Φ ( λ ) = λx λx... λx 1 = λ ( x x... x ) = λφ () 1 Η απεικόνιση είναι 1-1 διότι διαφορετικά διανύσµατα έχουν διαφορετικές συντεταγµένες ως προς τη δεδοµένη βάση. Ακόµη είναι και επί διότι αν ( ) x... x F 1 Φ ( ) = ( x... x ) 1 Παραδείγµατα υπάρχει το διάνυσµα = x1 1+... + x V έτσι ώστε. Εποµένως είναι ένας ισοµορφισµός. 1) Στον διανυσµατικό χώρο [x] των πολυωνύµων βαθµού το πολύ, θεωρούµε ) τη διατεταγµένη βάση { 1,x,x } =. Κάθε στοιχείο p(x) = a+ bx+ cx του [x] απεικονίζεται, µέσω της Φ : [x] στο διάνυσµα 3 ( ) [p(x)] = a b c

Σελίδα 17 από 9 και ισχύει [x] 3. ) Στον διανυσµατικό χώρο M ( ) των πινάκων τύπου, θεωρούµε τη διατεταγµένη βάση { E,E,E,E} Κάθε στοιχείο του =, όπου 1 3 4 1 0 0 1 0 0 0 0 E 1 =,E =,E 3 =,E4 = 0 0 0 0 1 0 0 1 a b = M c d ( ) που γράφεται µε νοναδικό τρόπο = ae + be + ce + de 1 3 4 απεικονίζεται, µέσω της Φ :M ( ) στο διάνυσµα 4 και ισχύει M( ). ( ) [] = a b c d Θα αποδείξουµε τώρα µια πρόταση, σύµφωνα µε την οποία, η ισότητα δύο γραµµικών απεικονίσεων πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων συνεπάγεται την ισότητά τους σε κάθε στοιχείο του διανυσµατικού χώρου. ηλαδή, αν δύο γραµµικές απεικονίσεις παίρνουν τις ίδιες τιµές πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων τότε είναι ίσες. 8.1.9 Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών απεικονίσεων) Υποθέτουµε ότι { 1,...,} είναι ένα σύνολο γεννητόρων του V. Αν f :V W και g:v Wγραµµικές απεικονίσεις έτσι ώστε f ( i ) = g( i ), i = 1,...,, τότε f () = g(), V. ηλαδή f = g. Απόδειξη Επειδή το σύνολο{ 1,...,} παράγει τον V, αν V υπάρχουν βαθµωτά µεγέθη x 1,x,...,xέτσι ώστε = x11+ x +... + x 4. Εποµένως f ( ) = f ( λ + λ +... + λ ) = λ f ( ) + λ f ( ) +... + λ f ( ) 1 1 1 1 = λ g( ) + λ g( ) +... + λ g( ) = g( λ + λ +... + λ ) 1 1 1 1 = g( ) Επειδή f() = g(), Vέπεται ότι f = g

Σελίδα 18 από 9 Θα εξετάσουµε τώρα το πρόβληµα δηµιουργίας µιας γραµµικής απεικόνισης, αν γνωρίζουµε µια αντιστοιχία που ορίζεται πάνω στα στοιχεία µιας βάσης. Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση) 1) Τα διανύσµατα είναι γεννήτορες του 1 0 1 e 1 =,e =,u = 0 1 1. Αν ορίσουµε µια αντιστοιχία f :{ e,e,u} { e,e,u}, µε f (e 1) = e,f(e ) = e,f(u) = u 1 1 είναι προφανές ότι η f δεν είναι συνάρτηση. ηλαδή, µια τυχαία αντιστοιχία οριζόµενη πάνω σε γεννήτορες δεν οδηγεί αναγκαστικά σε συνάρτηση. ) Ας υποθέσουµε τώρα, ότι ορίζουµε την αντιστοιχία f :{ e,e,u} { e,e,u} τέτοιο τρόπο ώστε να είναι συνάρτηση. Για παράδειγµα, έστω ότι 5 3 f(e 1) =,f(e ) =,f(u) = 3 1 µε 1 1 Υποθέτουµε επίσης ότι η προηγούµενη συνάρτηση επεκτείνεται σε µια συνάρτηση f:. Η απεικόνιση f δεν είναι γραµµική, αφού 3 5 3 f(e1+ e ) = f(u) =,f(e 1) + f(e ) = + = 3 1 4 ηλαδή, η συνάρτηση f ορισµένη πάνω σε γεννήτορες δεν επεκτάθηκε σε γραµµική συνάρτηση. 3) Αν ορίσουµε τώρα την συνάρτηση f πάνω στη βάση f :{ e,e } { e,e }, µε 1 1 5 f(e 1) =,f(e ) = 3 1 µπορούµε να την επεκτείνουµε σε µια γραµµική συνάρτηση f:. Πράγµατι, αν x X =, ορίζουµε y 5 x+ 5y f(x ) = xf(e 1) + yf(e ) = x + y = 3 1 3x+ y

Σελίδα 19 από 9 που είναι γραµµική. Η γραµµική απεικόνιση f είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση µε την ιδιότητα 5 f(e 1) =,f(e ) = 3 1 διότι, αν g: είναι µια γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε g(e) = f(e),g(e) = f(e) 1 1 τότε οι f,g ταυτίζονται πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων και από το προηγούµενο θεώρηµα προκύπτει ότι είναι ίσες. 8.1.10 Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης πάνω σε βάση ) Έστω {,..., } = µια βάση του διανυσµατικού χώρου V. Αν w,w,...,w είναι 1 στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου W, τότε υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση f:v Απόδειξη Wέτσι ώστε i i f ( ) = w, ( i = 1,..., ). 1 Αρχικά θα δείξουµε την ύπαρξη µιας γραµµικής απεικόνισης που ικανοποιεί τις υποθέσεις. Έστω V, τότε υπάρχουν µοναδικά βαθµωτά µεγέθη x 1,x,...,xέτσι ώστε = x1 1+... + x. Θέτουµε ορίζουµε έτσι µια απεικόνιση f :V Πράγµατι, αν και αν λ F w = y1 1+... + y f () = x1w1+ xw +... + xw W έχουµε και θα δείξουµε ότι είναι γραµµική. f(+ w) = (x + y )w + (x + y )w +... + (x + y )w 1 1 1 = (x w + x w +... + x w ) + ( y w + y w +... + y w ) 1 1 1 1 = f() + f(w) f ( λ) = ( λx )w + ( λx )w +... + ( λx )w 1 1 ( ) = λ x w + x w +... + x w = λ f() 1 1 Η γραµµική απεικόνιση f εξ ορισµού ικανοποιεί την συνθήκη f ( i ) = wi, ( i = 1,..., ). Θα δείξουµε τώρα ότι είναι µοναδική.

Σελίδα 0 από 9 Αν υπάρχει και µια δεύτερη γραµµική απεικόνιση g:v Wέτσι ώστε g( ) = w, i i τότε f ( ) = g( ), (i = 1,...,), δηλαδή οι γραµµικές απεικονίσεις f και i i g ταυτίζονται σε ένα σύνολο γεννητόρων και εποµένως θα είναι ίσες 8.1.9). (Θεώρηµα 8.1.11 Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω η µοναδική γραµµική απεικόνιση (βλ. προηγούµενο θεώρηµα) 3 4 f: έτσι ώστε 1 3 ( ) f(e ) = 1 0 4 ( ) f (e ) = 0 1 3 ( ) f(e ) = 0 0 0 0 3 όπου e,e,e η συνήθης βάση του. 1 3 Να βρεθεί ο τύπο της. Λύση 3 Αν X = ( x y z) τυχαίο διάνυσµα του τότε, επειδή προκύπτει και επειδή η f x 1 0 0 z 0 0 1 X = y = x 0 + y 1 + z 0 = xe1+ ye + ze 3 f (X) = f(xe1+ ye + ze 3 ) είναι γραµµική η προηγούµενη σχέση γράφεται f (X ) = f(xe + ye + ze ) = xf(e ) + yf(e ) + zf(e ) 1 3 1 3 1 0 x+ y 0 0 x = x + y + z = = X 0 1 0 y 4 3 0 4x 3y όπου

Σελίδα 1 από 9 1 0 0 0 = 0 1 0 4 3 0 Παράδειγµα Έστω ( ) ( ) ( u = 1 1 0,u = 1 0 1,u = 0 1 1) 1 3 επειδή η ορίζουσά τους είναι διάφορη του µηδενός τα διανύσµατα αυτά αποτελούν 3 µια βάση του. ίνεται η µοναδική γραµµική απεικόνιση 3 f: τέτοια ώστε ( ) ( ) ( f (u ) = 1,f(u ) = 0 0,f(u ) = 1 1 3 ) Να βρεθεί ο τύπος της f. Λύση: Αν X τυχαίο διάνυσµα του 3 f (X) = f(au1+ bu + cu 3 ) = af(u 1) + bf(u ) + cf(u 3 ) Αρκεί εποµένως να βρούµε τις συντεταγµένες των διανύσµατος X ως προς τη βάση u,u,u 1 3. Αν X = ( x y z) οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος X ως προς την συνήθη βάση, τότε θα αναζητήσουµε τους µοναδικούς πραγµατικούς αριθµούς ώστε ηλαδή Οδηγούµαστε έτσι στην επίλυση, ως προς X = au1+ bu + cu3 x 1 1 0 y = a 1 + b 0 + c 1 z 0 1 1 a,b,c,του συστήµατος a+ b= x a + c = y b + c = z Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι a,b,c έτσι

Σελίδα από 9 και µε γραµµοπράξεις προκύπτει Άρα 1 1 0 x 1 0 1 y 0 1 1 z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x + y z x y+ z x + y+ z x + y z a = x y+ z b = x + y+ z c = Άρα, αν X = ( x y z) τυχαίο διάνυσµα του 3 όπου f(x ) = af(u ) + bf(u ) + cf(u ) 1 3 x+ y z 1 x y+ z 0 x+ y+ z = + + 0 1 1 3 1 1 3 1 x y z x + + = = y X 1 3 1 1 3 1 = x y z + z 1 3 1 = 1 3 1 8.1.1 Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων Αν 3 3 f:,g: είναι οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους

Σελίδα 3 από 9 τότε µπορούµε να ορίσουµε: x x + y 1 1 0 f y = f(x ) = X, =, y z 0 1 1 z x x y 1 1 0 g y = g(x ) = X, = x + z 1 z 0 1 f + g : 3 α) το άθροισµά τους ως εξής: που είναι της µορφής = + ). x+ y x y (f + g)(x) = f(x) + g(x) = + y z x+ z x x 0 0 0 0 = = y = X, = x y 1 1 0 + 1 1 0 z L, και εποµένως είναι γραµµική. (Παρατηρούµε ότι β) το βαθµωτό πολλαπλάσιο λ f,( λ ) της f ως εξής: x+ y λx+ λy ( λf )(X ) = λ f(x ) = λ = y z λy λz x λ λ 0 λ λ 0 = y = X,= 0 λ λ 0 λ z λ L που είναι της µορφής και άρα είναι µια γραµµική απεικόνιση ( παρατηρούµε ότι = λ ). 3 Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το σύνολο L(, ) των γραµµικών απεικονίσεων µε 3 πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το, µε τις προηγούµενες πράξεις πρόσθεσης και βαθµωτού πολλαπλασιασµού ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα που ορίζουν ένα διανυσµατικό χώρο. (Προφανώς το µηδενικό στοιχείο είναι η µηδενική απεικόνιση). Ας γενικεύσουµε. Συµβολίζουµε µε L(V,W ) το σύνολο των γραµµικών απεικονίσεων του V στον W, στο σύνολο αυτό θα ορίσουµε µια πράξη πρόσθεσης και µια πράξη βαθµωτού πολλαπλασιασµού έτσι ώστε να του δώσουµε δοµή διανυσµατικού χώρου. Αν f :V W και g:v Wδύο γραµµικές απεικονίσεις και λ F άθροισµα και τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό ως εξής:, ορίζουµε το

Σελίδα 4 από 9 (1)f + g:v W,u f(u) + g(u) () λ f :V W,u λf(u) Θα δείξουµε ότι οι δύο αυτές απεικονίσεις είναι γραµµικές. Για το άθροισµα έχουµε: Άρα η f u, V, λ F, ( f + g)(u+ ) = f(u+ ) + g(u+ ) = f(u) + f() + g(u) + g() = (f+ g)(u) + (f+ g)() ( f + g)( λu) = f( λu) + g( λu) = λf(u) + λg(u) + g είναι γραµµική. = λ[ f(u) + g(u)] = λ( f + g)(u) Για τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό που ορίστηκε από την σχέση () η απόδειξη γίνεται µε όµοιο τρόπο. Είναι εύκολο να δούµε ότι υπάρχει µηδενικό στοιχείο, είναι η µηδενική απεικόνιση ϑ :V W,u 0 W Κάθε γραµµική απεικόνιση f έχει αντίθετη την f = ( 1)f και ικανοποιούνται όλα τα αξιώµατα που ορίζουν ένα διανυσµατικό χώρο. 8.1.13 Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική. 3 ( ) ( + ) f :, x y x y x y y Λύση Ο τύπος της f γράφεται x + y 1 1 1 1 x x f (X) = f = x y 1 1 X, 1 1 y = = = y y 0 1 0 1 δηλαδή η απεικόνιση είναι της µορφής f = L και εποµένως είναι γραµµική. Παράδειγµα Έστω M ( ) ο διανυσµατικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων και X M ( ). Ορίζουµε την απεικόνιση

Σελίδα 5 από 9 να δείξετε ότι είναι γραµµική. Λύση f :M ( ) M ( ), X + X Θα δούµε αν ισχύουν οι δύο ιδιότητες της γραµµικότητας Αν, M ( ), τότε f (+ ) = (+ )X + X(+ ) = (X + X) + (X + X) = f() + f() και για a f (a) = (a)x + X(a) = a(x + X) = af() εποµένως η f είναι γραµµική. Παράδειγµα 3 Έστω f: η γραµµική απεικόνιση για την οποία ισχύει 1 0 1 f( ) =,f( ) = 3 1 4 Να βρείτε τον τύπο της. Λύση Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα 1 0, 1 αποτελούν βάση του πεδίου ορισµού. Θα προσπαθήσουµε να γράψουµε κάθε διάνυσµα του ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων αυτής της βάσης. Από την σχέση προκύπτει Εποµένως x 1 0 = a + b y 1 x a a= x = y a+ b b= x+ y

Σελίδα 6 από 9 x 1 0 1 0 f ( ) = f [ x + ( x+ y) ] = xf( ) + ( x+ y)f( ) y 1 1 1 y 0 1 x = x + ( x+ y) = = 3 4 5x+ 4y 5 4 y 0 1 x = X, =,X = 5 4 y Παρατήρηση (βλ. και επόµενο παράδειγµα): Ο πίνακας 0 1 = 5 4 είναι αντιστρέψιµος, άρα και η απεικόνιση f έχει αντίστροφη την 1 f : µε τύπο x 4 1 1 1 1 1 f f (X ) X X = = = y 5 5 0 4 1 4 1 x x y = 5 5 = 5 5 y 1 0 x Παράδειγµα 4 Έστω η γραµµική απεικόνιση f: µε τύπο x x+ y f( ) = y x y Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε τον τύπο της 1 f. Λύση Αν θέσουµε X x =, η απεικόνιση γράφεται y x x+ y 1 1 x f(x ) = f( ) = = y x y 1 1 y 1 1 = X, = 1 1

Σελίδα 7 από 9 Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος έχουµε 1 1 f (X ) f(y ) X Y X Y X δηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα. = = = =Y Ακόµη, αν Y0 η εξίσωση f (X) = Y0 γράφεται ισοδύναµα X = Y X = Y 1 0 0 έχει δηλαδή λύση ως προς X, άρα η f είναι επί και κατά συνέπεια αντιστρέψιµη. Η αντίστροφη 1 f : έχει τύπο x 1 1 1 = = = y 1 1 1 1 1 1 x y + x = = 1 1 y 1 1 x y 1 1 1 f f (X ) X X Παράδειγµα 5 Έστω οι γραµµικές απεικονίσεις 3 3 f:,g: µε τύπους x x x x z f( y ),g( = y ) = y z + y z z Να βρεθούν οι απεικονίσεις f + g,f,3f 5g. Λύση Αν θέσουµε X = ( x y z), τότε ος τρόπος: x x z 3x z (f + g)(x) = f(x) = g(x) = + = y+ z y y+ z x 4x (f )(X ) = f(x ) = = y + z y + z x x z (3f 5g)(X) = 3f(X) 5g(X) = 3 5 y+ z y 6x 5x 5z x 5z = = 3y+ 3z 5y y+ 3z

Σελίδα 8 από 9 (f + g)(x) = f(x) + g(x) = X+ X = (+ )X 3 0 1 = X, = + = 0 1 (f )(X ) = f(x ) = (X ) = ()X 4 0 0 = DX,D = = 0 (3f 5g)(X) = 3f(X) 5g(X) = 3X 5X = (3 5)X 1 0 5 = EX,E = 3 5 = 0 3 Παράδειγµα 6 Έστω οι απεικονίσεις 3 f:,g: µε τύπους x x x y f( y ) =,g( ) = y+ z y x z Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι απεικονίσεις f g,g f. Λύση f g g f 3 Η δεν ορίζεται. Για την, έχουµε: µε τύπο g f : ος τρόπος Επειδή x y+ z (g f )(X) = g( f(x)) = g( ) = y+ z x 0 0 0 1 f(x ) = X, =,g(x ) = X,= 0 1 1 1 0 ( g f )( X ) = g( f ( X )) = g( X ) = X 0 1 1 = X, = = 0 0 Ασκήσεις 8.1 f: 3 3 1) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω απεικονίσεις είναι γραµµικές: ( ) = ( ) (1) ( ) f x y z y z 0

Σελίδα 9 από 9 ( ) = ( ) () ( ) f x y z z y x ( ) = ( ) (3) ( ) f x y z x z 0 ( ) = ( ) (4) ( ) f x y z x 1 z 0 ( ) = ( + ) (5) ( ) f x y z x y z 0 ( ) = ( + ) (6) ( ) f x y z x y 3z x z x y ) ίνεται ένας τετραγωνικός µη µηδενικός πίνακας M ( ). Να εξετάσετε αν οι παρακάτω απεικονίσεις :M ( ) M ( ) είναι γραµµικές. (1) ( X ) = X X () ( X ) = X X 3) Να εξετάσετε αν η παρακάτω απεικόνιση είναι γραµµική ] µε τύπο ( ) f : [x] [x + 1 f p( x ) = 1+ xp( x ) 4) Έστω I: [x] η απεικόνιση που ορίζεται από τη σχέση να δείξετε ότι είναι γραµµική. ( ) I p( x ) = p( x )dx, 0 1 Απαντήσεις Υποδείξεις 8.1 1) (1), (), (5), (6) Είναι γραµµικές [χρησιµοποιήστε τον ορισµό 8.1.1, βλ. παράδειγµα 8.1.13 1)].(3), (4) δεν είναι γραµµικές (χρησιµοποιήστε το θεώρηµα 8.1.3, βλ. παράδειγµα 8.1.4) ) (1) Είναι γραµµική, βλ παράδειγµα 8.1.13 ). () εν είναι γραµµική, (βλ. Θεώρηµα 8.1.3) 3) εν είναι γραµµική, βλ. Θεώρηµα 8.1.3 4) Είναι γραµµική (χρησιµοποιήστε ιδιότητες του ολοκληρώµατος).

Σελίδα 30 από 9 8. Πυρήνας και εικόνα Θα ορίσουµε δύο σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα µιας γραµµικής απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς ένα απεικονίσεις, ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές απεικονίσεις. 8..1 Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας) 1) Ο πυρήνας Kerf µιας γραµµικής απεικόνισης f :V W είναι το σύνολο των διανυσµάτων του V που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του W. ηλαδή { } Kerf = V, f ( ) = 0 V. ) Υπενθυµίζουµε ότι η εικόνα Im f µιας απεικόνισης αποτελείται από τα διανύσµατα w W τα οποία έχουν πρότυπο, δηλαδή τα στοιχεία του πεδίου τιµών για τα οποία υπάρχει V έτσι ώστε w= f(). Im f = { w W, V,w= f() } W W 8.. Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω η γραµµική απεικόνιση ( ) f :, x y 3x y Θα αναζητήσουµε : α) Τα διανύσµατα που αποτελούν τον πυρήνα Kerf της f. ηλαδή, τα διανύσµατα X = ( x y) του που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του. Επειδή 3x y = 0 y = x 3 τα διανύσµατα του πυρήνα είναι το σύνολο ( x y ) y = x = x x,x = x 1,x 3 3 3 Παρατηρούµε ότι ο πυρήνας της του που παράγεται από το διάνυσµα 1 3 συγγραµµικό του όπως το διάνυσµα ( 3 ) f είναι ο µονοδιάστατος διανυσµατικός υπόχωρος και φυσικά και από κάθε

Σελίδα 31 από 9 β) Τα διανύσµατα του πεδίου τιµών που ανήκουν στην εικόνα Im f. ηλαδή, τα διανύσµατα του πεδίου τιµών τα οποία έχουν πρότυπα. Εποµένως, αναζητούµε τους πραγµατικούς αριθµούς που γράφονται στην µορφή 3x y,( x,y ). Επειδή κάθε πραγµατικός αριθµός z γράφεται z z z = 3 συµπεραίνουµε ότι 3 η εικόνα της f είναι το. (Παρατηρήστε ότι το άθροισµα των διαστάσεων του πυρήνα και της εικόνας µας δίνουν την διάσταση του πεδίου ορισµού της γραµµικής απεικόνισης). Παράδειγµα Έστω D: η γραµµική απεικόνιση του παραδείγµατος 7 της 8.1.. Ο πυρήνας της D είναι: { } { } { } KerD = f D( f ) = 0 = f f = 0 = c c =, διότι, αν µια παραγωγίσιµη στο συνάρτηση έχει µηδενική παράγωγο τότε η συνάρτηση είναι σταθερή. Η εικόνα της D είναι { } { } Im f = D(f),f = f,f δηλαδή µια συνάρτηση g του Α ανήκει στην εικόνα της απεικόνισης αν, και µόνο αν µπορεί να γραφεί σαν παράγωγο µιας άλλης συνάρτησης f του Α ( g = f ). Εποµένως, πρόκειται για τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχει παράγουσα ( ή αρχική). Από την Ανάλυση γνωρίζουµε ότι κάθε συνεχής στο συνάρτηση έχει παράγουσα και εποµένως το πεδίο τιµών είναι το Α. Η απεικόνιση είναι επί του Α. Παράδειγµα 3 ίνεται η γραµµική απεικόνιση 3 f: µε τύπο x + y x f = x y y y