Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή j =, και U ( x ) > U ( x ) για κάποιον καταναλωτή j. j j j j - Δηλαδή: Δεν υπάρχει άλλη κατανομή x η οποία ωφελεί κάποιον καταναλωτή χωρίς ταυτόχρονα να ζημιώνει κάποιον άλλον. - Δεν υπάρχει δυνατότητα μετακίνησης από την κατανομή x κατά τρόπο ώστε να ωφελούνται όλα τα άτομα στην οικονομία. - Δεν υπάρχει δυνατότητα μετακίνησης από την κατανομή x κατά τρόπο ώστε να ωφεληθεί κάποιος καταναλωτής χωρίς ταυτόχρονα να ζημιωθεί κάποιος άλλος. - Οποιαδήποτε μετακίνηση η οποία ωφελεί κάποιον καταναλωτή πρέπει αναγκαστικά να ζημιώνει κάποιον άλλον. 1

- Δηλαδή: Δεν υπάρχει δυνατότητα να γίνουν αμοιβαία επωφελείς συναλλαγές μεταξύ των καταναλωτών (όλαταοφέληαπότις συναλλαγές έχουν εξαντληθεί). Διαγραμματική Απεικόνιση Άριστων κατά Pareto Κατανομών Α Β 1 Ο Β X Y ΙC ΙC e Ο Α Α 1 Β

-H κατανομή (σημείο) Υ δεν είναι άριστη κατά Pareto, διότι οποιοδήποτε σημείο εντός της γραμμοσκιασμένης περιοχής βελτιώνει την ευημερία τόσο του Α όσο και του Β σε σχέση με την κατανομή Υ. - Η κατανομή x είναι άριστη κατά Pareto, διότι δεν υπάρχει δυνατότητα μετακίνησης από το σημείο x κατά τρόπο ώστε να ωφελούνται ταυτόχρονα και οι δύο καταναλωτές Α, Β. - Σε κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή που βρίσκεται στο εσωτερικό του κουτιού του Edgeworth, οι καμπύλες αδιαφορίας (IC, IC ) των καταναλωτών Α και Β πρέπει να εφάπτονται: Κλίση IC U/ U / = Κλίση IC MRS = = MRS = / / 1 1 - Δηλαδή: Σε κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή, o οριακός λόγος υποκατάστασης πρέπει να είναι ο ίδιος για όλους τους καταναλωτές. 3

Σύνολο Pareto και Καμπύλη Ανταλλαγών Α Β 1 Ο Β F D C e o U Σύνολο Pareto o U Ο Α U Α 1 - Ορισμός. Το σύνολο όλων των άριστων κατά Pareto κατανομών (δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επαφής μεταξύ των καμπυλών αδιαφορίας των καταναλωτών Α και Β) ονομάζεται σύνολο Pareto (Pareto Set). Β 4

- Παρατήρηση: Τα σημεία O, O είναι άριστα κατά Pareto (δηλαδή ανήκουν στο σύνολο Pareto). Εξήγηση: Οποιαδήποτε μετακίνηση από το σημείο O (O ) ηοποία ωφελεί τον καταναλωτή Α () πρέπει αναγκαστικά να ζημιώνει τον Β (). - Ορισμός. Το τμήμα CD του συνόλου Pareto, όπου και οι δύο καταναλωτές ωφελούνται σε σχέση με το σημείο (e) των αρχικών περιουσιών τους, ονομάζεται καμπύλη ανταλλαγών (contract curve). - Αν τα άτομα Α, Β καταναλώσουν απλώς τις αρχικές περιουσίες o τους, τότε η χρησιμότητα του Α θα είναι U και η χρησιμότητα του Β o θα είναι. U O καταναλωτής Α θα αποδεχτεί ηθελημένα μόνο εκείνες τις συναλλαγές που του αποφέρουν χρησιμότητα μεγαλύτερη από (δηλαδή μόνο εκείνες τις άριστες κατά Pareto κατανομές που βρίσκονται δεξιά του σημείου C πάνω στο σύνολο Pareto). o U 5

O καταναλωτής θα αποδεχτεί ηθελημένα μόνο εκείνες τις συναλλαγές που του αποφέρουν χρησιμότητα μεγαλύτερη από (δηλαδή μόνο εκείνες τις άριστες κατά Pareto κατανομές που βρίσκονται αριστερά του σημείου D πάνω στο σύνολο Pareto). - Άρα: Το σύνολο των άριστων κατά Pareto κατανομών που μπορούν να προκύψουν από ηθελημένες συναλλαγές μεταξύ των καταναλωτών είναι μόνο το τμήμα CD του συνόλου Pareto, δηλαδή η καμπύλη ανταλλαγών. - Για να βρούμε μια άριστη κατά Pareto κατανομή, υποθέτουμε ότι η χρησιμότητα του καταναλωτή Β παραμένει σταθερή στο επίπεδο U και βρίσκουμε το σημείο επί της καμπύλης αδιαφορίας U που μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα του Α (δηλαδή το σημείο επαφής F στο διάγραμμα) => Το σημείο F είναι μια άριστη κατά Pareto κατανομή. - Δηλαδή: Μεγιστοποιούμε τη χρησιμότητα του καταναλωτή Α υπό τον περιορισμό ότι η χρησιμότητα του Β είναι (τουλάχιστον) ίση με U. o U 6

- Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για όλα τα δυνατά επίπεδα χρησιμότητας U και παίρνουμε όλες τις άριστες κατά Pareto κατανομές (δηλαδή το σύνολο Pareto). Μαθηματική Διατύπωση του Προβλήματος Αριστοποίησης κατά Pareto - Για να υπολογίσουμε αλγεβρικά τις άριστες κατά Pareto κατανομές στην οικονομία, λύνουμε το ακόλουθο πρόβλημα: max U (, ) {,,, } 1 1 1 st.. U (, ) U (1) 1 + e 1 1 1 + e,,, 0 1 1 (α) (β) Περιορισμοί των Πόρων (PP) (Pareto Efficiency Problem) 7

- Δηλαδή, μεγιστοποιούμε τη χρησιμότητα του καταναλωτή Α υπό τους περιορισμούς ότι: Η χρησιμότητα του καταναλωτή Β είναι τουλάχιστον ίση με κάποιο στόχο χρησιμότητας (περιορισμός 1). U Η συνολική ποσότητα που καταναλώνεται από κάθε αγαθό δεν μπορεί να υπερβαίνει τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα αυτού του αγαθού στην οικονομία (περιορισμοί α καιβ). - Οι περιορισμοί (α) και (β) ονομάζονται περιορισμοί των πόρων (Resource Constraints) και εξασφαλίζουν ότι η λύση του προβλήματος Pareto είναι μια εφικτή κατανομή. - Για να λύσουμε το πρόβλημα (PP), γράφουμε τη συνάρτηση Lagrange και τις συνθήκες 1 ης τάξης (FOCs): 8

L = U (, ) + λ[ U (, ) U ] + μ ( e ) + μ ( e ) FOCs : 1 1 1 1 1 1 = μ 0, = 0 1 1 1 1 1 = μ 0, = 0 = λ μ 0, = 0 1 1 1 1 1 = λ μ 0, = 0 = U( 1, ) U 0, λ = 0 λ λ = e1 1 1 0, μ1 = 0 μ μ μ 1 1 = e 0, μ = 0 μ 9

Υπόθεση:,,, > 0. Τότε: 1 1 > 0 = μ = 0 μ = > 0 + = e (3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > 0 = μ = 0 μ = > 0 + = e (4) μ1 / 1 Επίσης: = = MRS (5) μ / - Άρα: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, οι περιορισμοί των πόρων πρέπει να ισχύουν με ισότητα (δηλαδή πρέπει να καταναλώνεται ολόκληρη η διαθέσιμη ποσότητα κάθε αγαθού). - Μια άριστη κατά Pareto κατανομή πρέπει να είναι μη σπάταλη. > 0 = λ μ = 0 μ = λ (6) 1 1 1 1 1 1 μ / 1 1 (6) λ = = > 0 U( 1, ) = U (7) / 1 / 1

- Άρα: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, πρέπει να επιτυγχάνεται ακριβώς ο στόχος χρησιμότητας. U > 0 = λ μ = 0 μ = λ (8) μ / 1 1 πό (6), (8) = = MRS (9) μ / μ / / 1 1 1 Από (5), (9) = = MRS = = MRS (10) μ / / (Συνθήκη Αριστοποίησης κατά Pareto) - Άρα: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, o οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών 1 και πρέπει να είναι ο ίδιος για τους καταναλωτές Α και Β. - Σε κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή, οι καμπύλες αδιαφορίας των καταναλωτών Α και Β πρέπει να εφάπτονται. 11

- Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ανταγωνιστική ισορροπία ο οριακός λόγος υποκατάστασης πρέπει επίσης να είναι ο ίδιος για τους καταναλωτές Α, Β και ισούται με το λόγο των τιμών των δύο αγαθών (βλ. Lecture Notes Week 11, σελ. 1): p U / U / = MRS = = MRS = p U U 1 1 1 / / - Δηλαδή: κάθε ανταγωνιστική ισορροπία ικανοποιεί τη συνθήκη αριστοποίησης κατά Pareto (τη συνθήκη 10). 1 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας (First Fundamental Theorem of Welfare Economics - FWT). Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto. - Μια πιο επίσημη διατύπωση του FWT είναι η εξής: Αν ( p*, x*) είναι μια ανταγωνιστική ισορροπία, τότε η κατανομή ισορροπίας x* είναι άριστη κατά Pareto. 1

Α Β 1 Ο Β Σύνολο Pareto Ε D C U* U* e o U o U Γραμμή Εισοδηματικού Περιορισμού (κλίση = - p 1 / p ) Ο Α Β Α 1 - Η ανταγωνιστική ισορροπία (σημείο Ε) ανήκει στο σύνολο Pareto. 13

Απόδειξη 1 ου Θεωρήματος Ευημερίας. - Έστω ότι η κατανομή ισορροπίας δεν είναι άριστη κατά Pareto. x* = ( x, x ) = ((, ),(, )) * * * * * * 1 1 - Τότε, υπάρχει μια άλλη μη σπάταλη κατανομή x = ( x τέτοια ώστε οι Α και Β προτιμούν, x ) = (( 1, ),( 1, )) την κατανομή x από την κατανομή x*: * * * * U (, ) > U (, ) και U (, ) > U (, ) (11) 1 1 1 1 1+ 1 = e 1+ e 1 (1) + = e + e (13) - Με βάση τον ορισμό της ανταγωνιστικής ισορροπίας, οα μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό επιλέγοντας τον καταναλωτικό συνδυασμό x * = ( *, * ). 1 - Άρα, αν ο συνδυασμός x = ( 1, ) αποδίδει στον Α μεγαλύτερη * * * χρησιμότητα από το συνδυασμό ισορροπίας x = ( 1, ), τότε πρέπει το κόστος του συνδυασμού x να είναι μεγαλύτερο από το εισόδημα του Α: 14

p 1 1+ p > M = pe 1 1+ pe (14) - Όμοια, αν ο συνδυασμός x = ( 1, ) αποδίδει στον Β μεγαλύτερη * * * χρησιμότητα από το συνδυασμό ισορροπίας x = ( 1, ), τότε πρέπει το κόστος του συνδυασμού x να είναι μεγαλύτερο από το εισόδημα του Β: p + p > M = pe + pe 1 1 1 1 (15) - Αθροίζουμε τις σχέσεις (1), (13) και παίρνουμε: p ( + ) + p ( + ) > p ( e + e ) + p ( e + e ) (16) 1 1 1 1 1 1 - Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (1), (13) στην (16) και παίρνουμε: (1) (16) p ( e + e ) + p ( e + e ) > p ( e + e ) + p ( e + e ) : Αντίφαση (13) 1 1 1 1 1 1 - Άρα, ηαρχικήυπόθεση(ότι η κατανομή ισορροπίας x* δεν είναι άριστη κατά Pareto) πρέπει να απορριφθεί ως εσφαλμένη. Η κατανομή ισορροπίας x* είναι άριστη κατά Pareto. 15

- Παρατήρηση: Σε ισορροπία, η χρησιμότητα των καταναλωτών πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη χρησιμότητα που θα είχαν αν * o * κατανάλωναν απλώς τις αρχικές περιουσίες τους: U U, U U => Η ανταγωνιστική ισορροπία πρέπει να βρίσκεται πάνω στην καμπύλη ανταλλαγών CD. o Παρατηρήσεις για το 1 ο Θεώρημα Ευημερίας (1) Το 1ο Θεώρημα Ευημερίας (FWT) υποδεικνύει την ανταγωνιστική αγορά ως ένα γενικό μηχανισμό κατανομής των πόρων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίτευξη άριστων κατά Pareto αποτελεσμάτων στην οικονομία. - Το FWT είναι η επίσημη διατύπωση της θέσης του dam Smith για το αόρατο χέρι της αγοράς. - Αφού κάθε ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, η μόνη δικαιολογία που υπάρχει για παρέμβαση στην οικονομία είναι η επίτευξη αναδιανεμητικών σκοπών. 16

() Το FWT εξασφαλίζει την αποτελεσματικότητα (κατά Pareto) της ανταγωνιστικής ισορροπίας αλλά δεν εξασφαλίζει την ίση ( δίκαιη ) διανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ των ατόμων. - Παράδειγμα: Έστω ότι το σημείο των αρχικών περιουσιών των καταναλωτών είναι το Ο Α (δηλαδή ο Β κατέχει αρχικά ολόκληρη τη διαθέσιμη ποσότητα των αγαθών 1 και ). Τότε, η ανταγωνιστική ισορροπία θα είναι πάλι η κατανομή Ο Α (δηλαδή δε θα γίνουν καθόλου συναλλαγές στην αγορά), ηοποία είναι μεν άριστη κατά Pareto αλλά συνεπάγεται μια άνιση διανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ των καταναλωτών. - Γενικά: Αν η αρχική κατανομή των περιουσιών ευνοεί τον έναν από τους δύο καταναλωτές, τότε και η τελική κατανομή ισορροπίας θα ευνοεί επίσης τον ίδιο καταναλωτή. 17

- Εξήγηση: Κάθε καταναλωτής αποδέχεται ηθελημένα μόνο εκείνες τις συναλλαγές στην αγορά που του αποφέρουν χρησιμότητα μεγαλύτερη από τη χρησιμότητα που θα έχει αν καταναλώσει απλώς την αρχική περιουσία του (δηλαδή η κατανομή της ανταγωνιστικής ισορροπίας πρέπει να ανήκει στην καμπύλη ανταλλαγών CD). Η ανταγωνιστική ισορροπία αναπαράγει τις ανισότητες που χαρακτηρίζουν την αρχική κατανομή των περιουσιών μεταξύ των καταναλωτών. Η επίτευξη μιας λιγότερο άνισης διανομής των οικονομικών οφελών προϋποθέτει κάποιου είδους παρέμβαση στην αγορά (π.χ. με τη χρήση ενός συστήματος φόρων και μεταβιβάσεων) για την εκπλήρωση των επιθυμητών αναδιανεμητικών στόχων. 18

(3) Το FWT ισχύει υπό τις εξής υποθέσεις: (i) Οι αγορές είναι πλήρεις (κάθε τωρινό ή μελλοντικό αγαθό που αντιστοιχεί σε κάθε πιθανή κατάσταση του κόσμου αποτελεί αντικείμενο συναλλαγής σε μια αγορά). (ii) Όλες οι αγορές είναι τέλεια ανταγωνιστικές (οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις θεωρούν δεδομένες τις τιμές όλων των αγαθών). - Αν υπάρχει ατελής ανταγωνισμός (δηλαδή αν κάποιοι οικονομικοί παράγοντες κατέχουν δύναμη στην αγορά και οι αποφάσεις τους επηρεάζουν τις τιμές), τότε η ισορροπία δεν είναι άριστη κατά Pareto. (iii) Δενυπάρχουνεξωτερικέςεπιδράσεις(externalities) και δημόσια αγαθά στην οικονομία. - Αν υπάρχουν εξωτερικές επιδράσεις ή / και δημόσια αγαθά, τότε η ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι άριστη κατά Pareto. (iv) Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις έχουν τέλεια πληροφόρηση. - Αν υπάρχει ατελής ή ασυμμετρική πληροφόρηση στην αγορά, τότε η ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι άριστη κατά Pareto.

- Παράδειγμα (συνέχεια). Υποθέτουμε μια ανταλλακτική οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές: Α, Β. Δύο αγαθά: 1,. - Οι καταναλωτές περιγράφονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας και τις περιουσίες τους: 1/ 1/ U( 1, ) = 1, e = ( e 1, e) = (1,0) 1/ 1/ U (, ) =, e = ( e 1, e) = (0,1) 1 1 - Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία στη συγκεκριμένη οικονομία (βλ. Lecture Notes Week 11, σελ. 3 30): * * ( p1, p) = (1,1) * * 1 1 * * 1 1 ( 1, ) = (, ), ( 1, ) = (, ) U U = * * (, ) (1,1) (Τιμές Ισορροπίας) (Χρησιμότητες Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) 0

- Υπολογίζουμε όλες τις άριστες κατά Pareto κατανομές στην οικονομία, λύνοντας το ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης: max U (, ) = {,,, } 1 1 1/ 1/ 1 1 st.. U (, ) = U 1/ 1/ 1 1 + e = 1 1 1 1 + e = 1,,, 0 1 1 (PP) (Πρόβλημα Αριστοποίησης κατά Pareto) - Βοηθητικό βήμα: Βρίσκουμε το διάστημα των τιμών που μπορεί να πάρει η παράμετρος U. Η ελάχιστη τιμή της min U είναι: U = 0 (για Β =Β = 0) Τότε: U = (για = = 1) max 1 Α 1 [Σημείο O του συνόλου Pareto] 1

Η μέγιστη τιμή της max U είναι: U = (για Β =Β = 1) Τότε: U = 0 (για = = 0) max 1 Α 1 [Σημείο O Α του συνόλου Pareto] - Άρα: 0. Λύνουμε τώρα το πρόβλημα (PP) κατάταγνωστά: U L = + λ( U ) + μ (1 ) + μ (1 ) FOCs : 1/ 1/ 1/ 1/ 1 1 1 1 1 = μ 0, = 0 1/ 1/ 1 1 1 1 1 = μ 0, = 0 1/ 1/ 1 = λ μ 0, = 0 1/ 1/ 1 1 1 1 1 = λ μ 0, = 0 1/ 1/ 1

1/ 1/ = 1 U 0, λ = 0 λ λ = 1 0, μ = 0 μ μ 1 1 1 1 μ1 = 1 0, μ = 0 μ - ΗλύσητωνFOCs είναι: U 1 = = 1 U 1 = =, με 0 U (17) (Άριστες κατά Pareto Κατανομές) - Παρατήρηση: Οι συνθήκες ης τάξης για μεγιστοποίηση ικανοποιούνται, διότι οι συναρτήσεις χρησιμότητας είναι κοίλες και οι περιορισμοί των πόρων είναι επίσης κοίλες (γραμμικές) συναρτήσεις.

- Το σύνολο Pareto (το σύνολο όλων των άριστων κατά Pareto κατανομών στην οικονομία) παριστάνεται από την εξίσωση Α =Α 1, δηλαδή από την ευθεία Ο Α Ο Β στο κουτί του Edgeworth. Α Β 1 1 1/ Ο Β Σύνολο Pareto ( = 1 ) 1/ E 1/ Γραμμή Εισοδηματικού Περιορισμού ( Α +Α = 1) 1 Ο Α 1/ 1 e Α 1 Β 4

- Ορισμός. Το όριο ή σύνορο Pareto (Pareto Frontier) παριστάνει τους διαφορετικούς συνδυασμούς χρησιμοτήτων U,U που αντιστοιχούν στις άριστες κατά Pareto κατανομές. - ΓιαναυπολογίσουμετοόριοPareto, αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες 1, Α στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή Α και παίρνουμε: (17) 1/ 1/ U U = 1 = (1 ) U = U, 0 U (Όριο Pareto) U Όριο Pareto (U = U ) 1 Ε 0 1 U 5

- Πρόταση. Μια εφικτή κατανομή x = ( x, x) = (( 1, ),( 1, )) είναι άριστη κατά Pareto αν και μόνο αν ο συνδυασμός χρησιμοτήτων U ( 1, ), U ( 1, ) ανήκει στο όριο Pareto. Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας - Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto (δηλαδή ότι ισχύει το 1 ο Θεώρημα Ευημερίας). 1 ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι οι χρησιμότητες ισορροπίας * * ( U ικανοποιούν την εξίσωση του ορίου Pareto (δηλαδή, U ) = (1,1) ότι η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στο όριο Pareto): * - Για U = U = 1, η άριστη κατά Pareto (μέγιστη) τιμή της U είναι : U U U * = = 1 = 1 =, πράγματι. - Άρα, οι χρησιμότητες ισορροπίας (σημείο Ε στο διάγραμμα της σελ. 5) ανήκουν στο όριο Pareto. => H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. 6

ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι οι ποσότητες ισορροπίας * * * * ( 1, ), ( 1, ) είναι άριστες κατά Pareto (δηλαδή ότι η κατανομή ισορροπίας ανήκει στο σύνολο Pareto): * - Για U = U = 1, οι άριστες κατά Pareto ποσότητες είναι : U * i 1 = 1 = 1/ = 1, πράγματι. U * i = 1 = 1/ =, πράγματι. U * i 1 = = 1/ = 1, πράγματι. U * i = = 1/ =, πράγματι. - Άρα, η κατανομή ισορροπίας (σημείο Ε στο κουτί του Edgeworth της σελ. 4) ανήκει στο σύνολο Pareto. => H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. 7