_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) + κ + λ είναι διάφορο του µηδενικού.. Να προσδιοριστεί ο α R ώστε το πολυώνυµο P () = 9 - + 8 7 να παίρνει τη µορφή α ( + ) - + ( - ) ( + + 9).. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης ( 6 + 11 ) : ( ). β) Αν P() = 6 + 11+λ να βρείτε το λ R, ώστε η διαίρεση P() : ( ) να έχει υπόλοιπο 0. 5. Να βρεθεί πολυώνυµο Κ () τέτοιο ώστε το τετράγωνό του να ισούται µε το: P () = + - - +. 6. Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυµο P () = (κ - 1) 5 + (κ + ) + κ δεν έχει ρίζα το 1. 7. Αν το πολυώνυµο P () = + (α - 1) + α έχει ρίζα το - 1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ () = + + (α - 1). Το αντίστροφο ισχύει; 8. Να βρεθεί πολυώνυµο P () για το οποίο ισχύει: ( + 1) P () = 5 + + - - - 9. ίνεται το πολυώνυµο Ρ () = + + 5. Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός α αν ισχύει: Ρ (α - 1) = 1. 10. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) ( 5 - + - 9) : ( - 1) β) ( - 7 + - 15) : ( + 5) γ) ( - α + α ) : ( - α) δ) [7 - (9α + 7α ) + 9α ] : ( - α) 11. Το πολυώνυµο Ρ() αν διαιρεθεί µε το ( ) δίνει πηλίκο και υπόλοιπο τον πραγµατικό αριθµό υ. α) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης β) Αν Ρ(1) = 10, να βρείτε το υ γ) Αν υ = 10, να βρείτε το P(). 1. Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς κ, λ ώστε αν το πολυώνυµο Ρ () = + 1 διαιρεθεί µε το πολυώνυµο + κ + λ να αφήνει υπόλοιπο 0. 1. Το πολυώνυµο P() = ( λ 1) ( λ 1) + λ +λ+ 1είναι ου βαθµού. α) Να δείξετε ότι λ = 1 β) Να βρείτε το P(). γ) Να βρείτε τις ρίζες του P().
_ 1. Αν το πολυώνυµο f () = + α + β + διαιρείται ακριβώς µε το - και εάν επιπλέον f (1) = 8, να προσδιοριστούν τα α, β. 15. ίνεται το πολυώνυµο Ρ () = + α - 1 + β. Αν το Ρ () διαιρείται µε το - - 6, να προσδιορίσετε τα α, β R. 16. ίνεται το πολυώνυµο Ρ () = λ + (λ - λ + 1) - (λ + 1). είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ () : ( + ) είναι ανεξάρτητο του λ. 17. ίνεται το πολυώνυµο P() = 1 + 8 +α +β, όπου α, β σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. Αν το πολυώνυµο Ρ() διαιρούµενο µε ( + 1) αφήνει υπόλοιπο 16 + Ρ(1) και διαιρούµενο µε ( 1) αφήνει υπόλοιπο 16 Ρ( 1), τότε: α) να αποδείξετε ότι Ρ(1) = 0 και Ρ( 1) = 16 β) να αποδείξετε ότι α = και β =. γ) να αποδείξετε ότι: Ρ() Ρ(5) Ρ(6) Ρ(7) 0 18. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυµο Ρ () έχει παράγοντα το - 5, τότε το πολυώνυµο P ( - ) έχει παράγοντα το -. 19. Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: α) ( - + 5-6) : ( - ) β) ( 5 - + 6 + ) : ( + 1) γ) [6 - (α + 6α ) + α ] : ( - α), α R δ) ( 6-5 + - ) : ( - 1) ε) ( 5 1 - + λ - ) : (λ + 1), λ R* λ 0. Να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ ώστε το πολυώνυµο P () = - κ + (λ - 1) + 5 να έχει για παράγοντα το ( - 1) ( + ). 1. Να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε το πολυώνυµο P () = - - ( + α) + β + 10 να έχει για παράγοντα το ( - ).. Το πολυώνυµο P () διαιρούµενο µε - αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούµενο µε + αφήνει υπόλοιπο 5Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ () µε το ( - ) ( + ).. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ακέραιες λύσεις των εξισώσεων: α) - 8 + 7 = 0 β) - 5 + 6 + - = 0 γ) ( - ) + + = 0 δ) ( - 1) ( + ) - ( + ) = 0 ε) - - 7 + 8 + 1 = 0. ίνεται το πολυώνυµο P() = +α 11+ 0µε α R για το οποίο γνωρίζουµε ότι έχει ρίζα το 5. α) Να υπολογίσετε την τιµή του α. β) Για α = να λύσετε την εξίσωση P() = 0.
_ 5. ίνεται το πολυώνυµο P() = +α 11+ 0 µε α Rγια το οποίο γνωρίζουµε ότι η τιµή του για = 1 είναι 16. α) Να υπολογίσετε την τιµή του α. β) Αν α = και το είναι ρίζα της εξίσωσης P() = 0, να προσδιορίσετε τις άλλες ρίζες της εξίσωσης. 6. ίνονται τα πολυώνυµα P() = ( α + ) + + 1και Q() = α + + 1, όπου α θετικός πραγµατικός αριθµός. α) Να βρείτε το α ώστε τα πολυώνυµα Ρ() και Q() να είναι ίσα. β) Αν α = 1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση P() = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 7. Αν κ ακέραιος αριθµός να δειχθεί ότι η εξίσωση: 5 ν + 9κ - 1 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 8. ίνεται το πολυώνυµο P() = + 1. α) Να δικαιολογήσετε γιατί το διώνυµο είναι παράγοντας του P(). β) Να λύσετε την εξίσωση P() = 0. 9. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) - - + > 0 β) + 5 9 γ) - - 9 + 9-0 δ) - + 6 0. ίνεται το πολυώνυµο P() = +β +γ +δµε β, γ, δ R το οποίο έχει ρίζες τους αριθµούς 0,1 και. α) Να δείξετε ότι β =, γ = και δ = 0 β) Να λύσετε την ανίσωση P() < 0. 1. ίνεται η εξίσωση 5 - α + β + - 1 = 0. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε η εξίσωση να έχει το ανώτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών.. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6-9 + 8 = 0 β) ( + - ) 6-9 ( + - ) + 8 = 0 γ) ( + ) 8 - ( + ) - = 0-1 δ) ( ) - 5 ( - 1 ) + 6 = 0. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) - 1 + + + 1 = -1 β) + - - =. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) + - - < 1 β) + 1 - - 1-1
_ 5. ίνεται το πολυώνυµο P() = +α +β +. Αν το Ρ() έχει παράγοντα το + 1 και Ρ() = 18,τότε: α) Να αποδείξετε ότι α = 1 και β = β) Να λύσετε την εξίσωση: Ρ() = 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση: P() 0 6. ίνεται το πολυώνυµο P() = +α 5+β µε α, β R. α) Αν το πολυώνυµο P() έχει ρίζα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσής του µε το είναι ίσο µε, να βρείτε τα α, β R. β) Αν α = και β = 6, να λύσετε την εξίσωση P() = 0. 7. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = +α 5+ 6 διέρχεται από το σηµείο Μ(,0). α) να αποδείξετε ότι α = 1. β) να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες και y y. 8. Έστω Ρ() πολυώνυµο τρίτου βαθµού το οποίο διαιρείται µε το πολυώνυµο τέτοιο, ώστε Ρ (1) = 0 και P() = 8. α) Να αποδείξετε ότι P() = + β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 8 γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ() > + και είναι 9. Μια εταιρεία κατασκευάζει κουτιά σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις cm, cm και 5cm. Ένας νέος πελάτης ζήτησε από την εταιρεία να κατασκευάσει κουτιά µε όγκο 10 cm, δηλαδή διπλάσιο από εκείνον που κατασκευάζει. Η εταιρεία αποφάσισε να κατασκευάσει τα κουτιά που ζήτησε ο πελάτης της, αυξάνοντας τις διαστάσεις του αρχικού κουτιού κατά σταθερό ακέραιο µήκος. α) Να αποδείξετε ότι το θα είναι λύση της εξίσωσης + 1 + 7 60= 0. (Ο όγκος V ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις α, β, γ δίνεται από τον τύπο: V = α β γ). β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο λύνοντας την εξίσωση που δίνεται στο πρώτο ερώτηµα
_ 0. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε εµβαδό Ε = 0 cm του οποίου η υποτείνουσα είναι κατά 1cm µεγαλύτερη από τη µία κάθετη πλευρά. Αν ονοµάσουµε το µήκος αυτής της κάθετης πλευράς και y το µήκος της άλλης κάθετης (σε cm), τότε: 60 α) Να δείξετε ότι οι αριθµοί, y ικανοποιούν τις σχέσεις: y= και (+ 1) = + y. β) Να δείξετε ότι ο αριθµός ικανοποιεί την εξίσωση: + 600= 0. γ) Αν γνωρίζετε ότι το µήκος της πλευράς είναι αριθµός ακέραιος και µικρότερος του 15, να βρείτε την τιµή του καθώς και τα µήκη των άλλων πλευρών του τριγώνου. δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει άλλο ορθογώνιο τρίγωνο (µε διαφορετικά µήκη πλευρών από αυτά που προσδιορίσατε στο ερώτηµα γ)) το οποίο ικανοποιεί τα αρχικά δεδοµένα του προβλήµατος. 1. ίνεται η συνάρτηση f () = + 5+. α) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα β) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται τµήµα της γραφικής 1 παράστασης της συνάρτησης f () = +γ +δ, R και γ, δ πραγµατικές σταθερές. α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να αποδείξετε ότι γ = 1 και δ = 0 β) Θεωρώντας τώρα δεδοµένο ότι 1 f () =, R : i. Να αποδείξετε ότι f ( ) = f (), για κάθε R. ii. Να µεταφέρετε στην κόλα σας το σχήµα και να συµπληρώσετε τη γραφική παράσταση της f για < 0. iii. Να επαληθεύσετε ότι f (1) = και, στη συνέχεια, να λύσετε τις εξισώσεις f () = και f () = 1. ίνεται το πολυώνυµο P() = ( κ 1) + ( κ+ 1) + ( κ 1) κ +λ, κ, λ R. α) Να υπολογίσετε τις τιµές των κ και λ αν το πολυώνυµο Ρ() είναι ου βαθµού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το 1 είναι ίσο µε. β) Για κ = 1 και λ = i. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του πολυωνύµου Ρ() µε το 1. ii. Να λύσετε την εξίσωση Ρ() + = 1. Ρ() iii. Να λύσετε την ανίσωση 1 ( 1) (+ )
_. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (ηµ - 1) + 6 (ηµ - 1) - 7 = 0 β) ηµ + 5ηµ + 5ηµ + = 0 γ) συν - 5συν + 5συν - = 0 5. ίνεται το πολυώνυµο P() = +α +β + µε α, β R. α) Αν το πολυώνυµο P() έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του µε το + 1 είναι ίσο µε 6, να βρείτε τα α, β R β) Αν α = 5 και β = 1, να λύσετε την εξίσωση P() = 0. γ) Να λύσετε την εξίσωση συν ( ω ) + 5 ηµ ( ω ) +συνω = 0 6. ίνεται το πολυώνυµο P() = +α α α, µε α R. α) Να κάνετε τη διαίρεση P() : ( α) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. β) Να βρείτε τις τιµές του α για τις οποίες το ( α) διαιρεί το Ρ(). γ) Αν α = 1, τότε: i. Να λύσετε την ανίσωση Ρ() 0. ii. Να λύσετε την ανίσωση (+ 1) Ρ() 0 7. ίνεται το πολυώνυµο P() = +κ + +λ µε κ, λ R. α) Να βρείτε τις τιµές των κ, λ R, όταν το πολυώνυµο P() έχει ρίζα το 1 και παράγοντα το + β) Για κ = 7 και λ = 6 να λυθεί η εξίσωση P() = 0 Ρ() γ) Για κ = 7 και λ = 6 να λυθεί η ανίσωση 0 5 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) - = 5 β) - 5 - = 1 γ) - + 1 = δ) 5 - = 5 - ε) - + 5 = 9. ίνεται το πολυώνυµο P() =α +β 7+α+ 5, για το οποίο γνωρίζουµε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσής του µε το είναι ίσο µε 6 και ότι έχει ρίζα το 1. α) Να βρείτε τις τιµές των α και β. β) Για α = 1 και β = 0, να λύσετε: i. την ανίσωση Ρ() 0. ii. την εξίσωση Ρ () = 1 50. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) - < + 1 β) + 1 < 1 -