ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015

Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 11 Μονοτονία-Ακρότατα-Συµµετρίες Συνάρτησης 111 112 113 114 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 12 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καµπύλης 121 122 ΘΕΩΡΙΑ 15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 17 2 Βιβλιογραφία 19 5 5 8 10 13 15 Βιβλιογραφία 19 21 22 Βιβλία 19 Βιβλία 19 Ιστοσελίδες 19 Ιστοσελίδες 19

Μονοτονία-Ακρότατα-Συµµετρίες Συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καµπύλης ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 11 111 Μονοτονία-Ακρότατα-Συµµετρίες Συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 11 Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 µε x1 < x2 ισχύει : f (x1 ) < f (x2 ) Για παράδειγµα, παρατηρούµε ότι στο διάστηµα [4,16] η γραφική παράσταση της ϑερµοκρασίας ανέρχεται Σχήµα 11: Γνησίως αύξουσα Ερώτηση 12 Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα ; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 µε x1 < x2 ισχύει : f (x1 ) > f (x2 )

Για παράδειγµα, παρατηρούµε επιπλέον ότι στο διάστηµα [16,24] η γραφική παράσταση της ϑερµοκρασίας κατέρχεται Σχήµα 12: Γνησίως ϕθίνουσα Ερώτηση 13 Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ; Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα λέγεται γνησίως µονότονη στο Ερώτηση 14 Πότε µια συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο σε ένα σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο A, λέµε ότι παρουσιάζει στο x 0 A (ολικό) ελάχιστο όταν : f(x 0 ) f(x) για κάθε x A Το x 0 A λέγεται ϑέση ελαχίστου, ενώ το f(x 0 ) ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης ϕ και το συµβολίζουµε µε minf(x) Σχήµα 13: Ακρότατα Ερώτηση 15 Πότε µια συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο σε ένα σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο A, λέµε ότι παρουσιάζει στο x 0 A (ολικό) µέγιστο όταν : f(x 0 ) f(x) για κάθε x A Το x 0 A λέγεται ϑέση µεγίστου, ενώ το f(x 0 ) ολικό µέγιστο ή απλώς µέγιστο της συνάρτησης f και το συµβολίζουµε µε maxf(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

Ερώτηση 16 Τι ονοµάζουµε ακρότατα µιας συνάρτησης ; Το ολικό µέγιστο και το ολικό ελάχιστο µιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής Ερώτηση 17 Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α λέγεται άρτια ; Τι ισχύει για την γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α ϑα λέγεται άρτια, όταν για κάθε x A ισχύει : x A και f( x) = f(x) Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα y y Σχήµα 14: Άρτια συνάρτηση Ερώτηση 18 Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού A λέγεται περιττή ; Τι ισχύει για την γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο A, ϑα λέγεται περιττή, όταν για κάθε x A ισχύει : x A και f( x) = f(x) Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων Σχήµα 15: Περιττή συνάρτηση Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

112 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν επιλέγοντας την κατάλληλη ένδειξη Σ για το σωστό Λ για το λάθος : 1 Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη- Σ Λ µα, τότε για κάθε x 1, x 2, ισχύει η ισοδυναµία : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) 2 Αν ισχύει ότι f(x) M για κάθε x A, τότε η f έχει Σ Λ µέγιστο το M 3 Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα Σ Λ, τότε, για κάθε x 1, x 2, ισχύει η ισοδυ- ναµία : f(x 1 ) < f(x 2 ) x 1 > x 2 4 Αν ισχύει ότι f(x) f(x 0 ) για κάθε x A, τότε η f Σ Λ παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0, µε τιµή f(x 0 ) 5 Αν µια συνάρτηση έχει γραφική παράσταση συµµετρική Σ Λ ως προς τον άξονα y y, τότε είναι περιττή 6 Αν για µία συνάρτηση f ισχύει ότι f( x) = f(x) Σ Λ για κάθε x A, τότε αυτή είναι άρτια, ενώ αν ισχύει f( x) = f(x) για κάθε x A, τότε αυτή είναι περιττή 7 Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : A Σ Λ R έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων, τότε η συνάρτηση αυτή είναι περιττή 8 Αν η f : A R, µε 0 R είναι περιττή, τότε η γρα- Σ Λ ϕική παράσταση της f διέρχεται υποχρεωτικά από το σηµείο 0(0, 0) 9 Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε αν α < β ισχύει f(α) < f(β) 10 Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε αν α β ισχύει f(α) f(β) 11 Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε αν f(α) < f(β) ισχύει α < β 12 Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε f(α) = f(β) α = β 13 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ισχύει f(1) > Σ Λ f(2) 14 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ισχύει f( 2) > Σ Λ f(2) 15 Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R ισχύει f(10) > Σ Λ 16 f( 2 20 ) Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R ισχύει f(1) > f( Σ Λ 3) 17 Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, σε διαφορετικά x αντιστοιχούν Σ Λ ίδια y 18 Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, σε αντίθετα x αντιστοιχούν Σ Λ ίδια y 19 Σε µία περιττή συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το ισχύει πάντοτε f(0) = 0 Σ Λ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

20 Μία συνάρτηση που είναι άρτια, δεν µπορεί να είναι γνησίως µονότονη Σ Λ 21 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα, τότε Σ Λ f(2006) > f(2007) 22 Αν x 1 < x 2 και f(x 1 ) f(x 2 ) < 0, τότε η συνάρτηση ϕ είναι γνησίως αύξουσα Σ Λ 23 Αν x 1 < x 2 και για την συνάρτηση f(x) ισχύουν : Σ Λ f(x) > 0 και f(x 1) < 1, τότε η συνάρτηση f είναι f(x 2 ) γνησίως ϕθίνουσα 24 Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα 25 Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα 26 Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε αν η f είναι γνησίως µονότονη τότε είναι γνησίως ϕθίνουσα 27 Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα ισχύει f(10) < 0 28 Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα ισχύει f( 2) > 6 29 Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι f(1) < Σ Λ f(5) < f(2) τότε η f δεν είναι γνησίως µονότονη 30 Αν για κάθε x A ισχύει f(x) f(x 0 ) τότε η f Σ Λ παρουσιάζει µέγιστο στο x 0 31 Αν η συνάρτηση f : A R είναι περιττή τότε f(x) + Σ Λ f( x) = 0, για κάθε x A 32 Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει Σ Λ άξονα συµµετρίας τον y y τότε είναι περιττή 33 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε η f δεν Σ Λ είναι άρτια 34 Αν η µέγιστη τιµή µιας συνάρτησης f είναι ίση µε 1, Σ Λ τότε η εξίσωση f(x) = 2 είναι αδύνατη 35 Η συνάρτηση f : [ 1, 2] Rµε f(x) = 3x 2 είναι Σ Λ άρτια 36 Αν µία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f δεν είναι Σ Λ γνησίως µονότονη 37 Αν µία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f είναι πε- ϱιττή Σ Λ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

113 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 11 Εύρεση είδους µονοτονίας µιας συνάρτησης Για να ϐρούµε τη µονοτονία µιας συνάρτησης f σ ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, παίρνουµε δύο τυχαία σηµεία x 1, x 2 1ος τρόπος Υποθέτουµε x 1 < x 2 και κατασκευαστικά ϐρίσκουµε την σχέση των f(x 1 ) και f(x 2 ) 2ος τρόπος Υποθέτουµε x 1 < x 2 και ϐρίσκουµε το πρόσηµο της διαφοράς f(x 1 ) f(x 2 ) Αν f(x 1 ) f(x 2 ) < 0 f(x 1 ) < f(x 2 ) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Αν f(x 1 ) f(x 2 ) > 0 f(x 1 ) > f(x 2 ) τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα Θέµα 11 Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση f(x) = x 2 5x στο διάστηµα = (, 0) Λύση 11 Εστω x 1, x 2 R και x 1 < x 2 Εχουµε : x 1 < x 2 x 2 1 > x2 2 (σχέση 1) x 1 < x 2 5x 1 > 5x 2 (σχέση 2) Αν προσθέσουµε κατά µέλη τις ανισώσεις (σχέση 1 και 2) έχουµε : x 2 1 5x 1 > x 2 2 5x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ), άρα η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο = (, 0) Θέµα 12 Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση f(x) = 1 x Λύση 12 Εστω x 1 < x 2 τότε f(x 1 ) f(x 2 ) = 1 x 1 1 x 2 = x 2 x 1 x 1 x 2 Επειδή x 2 x 1 > 0 διακρίνουµε τις περιπτώσεις : Αν x 1, x 2 < 0 x 1 x 2 > 0 οπότε f(x 1 ) f(x 2 ) > 0 Άρα f γνησίως ϕθίνουσα στο (, 0) Αν x 1, x 2 > 0 x 1 x 2 > 0 οπότε f(x 1 ) f(x 2 ) > 0 Άρα f γνησίως ϕθίνουσα στο (0, + ) Άρα f γνησίως ϕθίνουσα σε καθένα από τα διαστήµατα (, 0) και (0, + ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

Μεθοδολογία 12 Εύρεση ακρότατων Για να µελετήσω ως προς τα ακρότατα µία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A, ξεκινάω από µια προφανή ανισότητα και κατασκευάζω από δεξιά ή αριστερά τον τύπο της f ώστε τελικά να καταλήξω σε ανισότητα της µορφής : f(x) f(x 0 ) ή f(x) f(x 0 ) Τότε στο x 0 έχω ελάχιστο ή µέγιστο αντίστοιχα για την f Θέµα 13 Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2 x 1 + 5 Λύση 13 Η f έχει πεδίο ορισµού το A = R Για κάθε x R έχουµε : x 1 0 2 x 1 0 2 x 1 + 5 5 f(x) 5 = f(1) Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1, το f(1) = 5 Θέµα 14 Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x 2 + 1 Λύση 14 Η f έχει πεδίο ορισµού το A = R Για κάθε x R έχουµε : x 2 0 x 2 + 1 1 f(x) 1 = f(0) Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0, το f(0) = 1 Θέµα 15 Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x + 2) 2 1 Λύση 15 Η f έχει πεδίο ορισµού το A = R Για κάθε x R έχουµε : (x + 2) 2 0 (x + 2) 2 1 1 f(x) 1 = f( 2) Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 2, το f( 2) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

Μεθοδολογία 13 Αρτια - Περιττή συνάρτηση Για να εξετάσω αν µία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A, είναι άρτια ή περιττή εξετάζω δύο πράγµατα : i Αν για κάθε x A είναι και x A ( ηλαδή αν το A είναι σύνολο συµµετρικό ως προς το Ο) ii Σχηµατίζω το f( x) και κατόπιν µε πράξεις καταλήγω να έχω : f( x) = f(x) (οπότε η f είναι άρτια) ή f( x) = f(x) (οπότε η f είναι περιττή) Θέµα 16 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = 2x 6 + x 2 είναι άρτια ή περιττή Λύση 16 Η f έχει πεδίο ορισµού A = R Για κάθε x A είναι : x A f( x) = 2( x) 6 + x 2 = 2x 6 + x 2 = f(x) Άρα η f είναι άρτια Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = 2x 5 x 3 + x είναι άρτια ή περιττή Λύση : Η f έχει πεδίο ορισµού A = R Για κάθε x A είναι : x A f( x) = 2( x) 5 ( x) 3 + ( x) = 2x 5 + x 3 x = (2x 5 x 3 + x) = f(x) Άρα η f είναι περιττή Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12

114 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 Να εξετάσετε ως προς τη µονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i f(x) = 3x 4 ii g(x) = 2x + 5 iii h(x) = 5 + 4x iv φ(x) = 1 3x 2 Να ϐρείτε τις τιµές του λ R ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα στο R στις παρακάτω περιπτώσεις : i f(x) = (λ 1)x + 4 ii f(x) = (λ 2 9)x 5 iii f(x) = ( λ 3)x 1 iv f(x) = (4 λ )x 10 v f(x) = (λ 2 5λ + 6)x + 2 vi f(x) = ( λ 2 + 3λ 2)x 7 3 ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = (1 λ)x + 3x 1 και g(x) = (4 λ 2 )x + 2λ 3 Να ϐρείτε τις τιµές του λ, αν i Η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα, ii Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα 4 Να εξετάσετε ως προς τη µονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i f(x) = x 3 1 ii g(x) = x 3 + 5 iii h(x) = x 2 + 1 iv φ(x) = (x 1) 2 + 1, x 1 5 Εστω f, g : R R γνησίως µονότονες Να λύσετε την ανίσωση : i f(x 2 ) > f(x + 6), αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα, ii g(x 2 + x) g(2x + 12), αν η g είναι γνησίως αύξουσα 6 ίνεται η συνάρτηση f(x) = 5 4 x i Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού A f ii Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο A f iii Να ϐρείτε σε ποία σηµεία η C f τέµνει τους άξονες x x και y y iv Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2 7 Εστω f : R R µια γνησίως µονότονη συνάρτηση, µε f(2014) < f(2004) i Να ϐρείτε το είδος της µονοτονίας της f ii Να λύσετε την ανίσωση f(3x 2) > f(8 2x) 8 Εστω f : R R µια γνησίως µονότονη συνάρτηση, µε τα σηµεία A(2, 1) και B(3, 5) να ανήκουν στην C f i Να ϐρείτε το είδος της µονοτονίας της f ii Να λύσετε την ανίσωση f( x 3) 1 9 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x + 4, µε πεδίο ορισµού το A = (0, + ), x παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 = 2 10 Να αποδείξετε ότι : i Η συνάρτηση f(x) = 3 x 2 παρουσιάζει στο x 0 = 2 µέγιστο, ii Η συνάρτηση f(x) = 2x x 2 + 1 παρουσιάζει στο x 1 = 1 µέγιστο και στο x 2 = 1 ελάχιστο, iii Η συνάρτηση f(x) = x 6 2x 3 + 3 παρουσιάζει στο x 0 = 1 ελάχιστο 11 Να ϐρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : i f(x) = 2x 4 1 ii f(x) = 2(x 1) 2 + 1 12 Να ϐρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : i f(x) = 2 + x 2 ii g(x) = 5 x 4 iii h(x) = 1 (x 3) 2 iv φ(x) = x 2 + 4 13 Εστω µια συνάρτηση f : A R, η οποία είναι άρτια και παρουσιάζει στο x 0 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

ακρότατο Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει και στο x 0 το ίδιο είδος ακροτάτου Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

12 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καµπύλης 121 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 19 Εστω µια συνάρτηση φ(x) Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) + c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) + c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα πάνω(σχήµα α ) Σχήµα 16: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα πάνω Ερώτηση 110 Εστω µια συνάρτηση φ(x) Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα κάτω (Σχήµα ϐ ) Σχήµα 17: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα κάτω Ερώτηση 111 Εστω µια συνάρτηση φ(x) Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x c), µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε : όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα δεξιά (Σχήµα γ ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

Σχήµα 18: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα αριστερά Ερώτηση 112 Εστω µια συνάρτηση φ(x) Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x + c), µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ϕ, µε : f(x) = φ(x + c), όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα αριστερά (Σχήµα δ ) Σχήµα 19: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα δεξιά Ερώτηση 113 Εστω µια συνάρτηση φ(x) Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c 2, µε c 1, c 2 > 0; Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουµε για να παραστήσουµε γραφικά τις συναρτήσεις της µορ- ϕής : f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c 2, µε c 1, c 2 > 0 ηλαδή, αξιοποιούµε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη µετατόπιση καµπύλης Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

122 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1 Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : f(x) = x, g(x) = x + 3, h(x) = x 3 2 Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x + 2, φ(x) = x 2 3 Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : f(x) = x, g(x) = x 1 + 2, h(x) = x + 3 4, φ(x) = x 1 + 3 4 Να ϐρείτε ποιες µεταφορές έχουν γίνει στη συνάρτηση f, ώστε να προκύψει η συνάρτηση g, στις παρακάτω περιπτώσεις : i g(x) = f(x 1) + 2 ii g(x) = f(x + 2) + 3 iii g(x) = f(x 2) 4 iv g(x) = f(x + 3) 5 5 Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 2 µονάδες δεξιά, στις παρακάτω περιπτώσεις : i f(x) = 3x 4 ii f(x) = 2x + 6 iii f(x) = x 2 1 iv f(x) = x + 2 x 1 v f(x) = x 1 vi f(x) = 2 x + 1 6 Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 3 µονάδες αριστερά, στις παρακάτω περιπτώσεις : i f(x) = 2x + 3 ii f(x) = 2x 2 9 iii f(x) = 2x + 3 iv f(x) = x 2 + 1 3x 2 v f(x) = x 2 + 3 vi f(x) = x 3 9x 2 + 27x 27 7 Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 5 µονάδες, προς τα πάνω, στις παρακάτω περιπτώσεις : i f(x) = x 2 + 4x ii f(x) = x 2 + 1 4 iii f(x) = x 3 + x 2 + 1 iv f(x) = x + 3 x 1 v f(x) = x 5 vi f(x) = 6 5x2 x 2 1 8 Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 5 µονάδες, προς τα κάτω, στις παρακάτω περιπτώσεις : i f(x) = x 2 + 6 ii f(x) = x 2 + 2 + 2 iii f(x) = 2x 1 1 x v f(x) = 5 x + 4 x + 1 iv f(x) = x2 + 4x + 6 x + 1 vi f(x) = x 2 6x + 13 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2 Βιβλιογραφία 21 Βιβλία 1 2 3 4 5 6 7 8 22 Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες 1 2 3 4 wwwmathematicagr wwwmathstekigr wwwstudy4mathscom wwwstudy4examsgr