SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται κατά µήκος τριών ευθειών κάθετων ανά δύο δηλαδή το Oxy είναι ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Επίσης η θέση του P µπορεί να καθοριστεί µε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες (u u u. Τα δύο συστήµατα συντεταγµένων συνδέονται µε τρεις (συνεχώς διαφορίσιµες εξισώσεις µετασχηµατισµού x x(u u u y y(u u u (u u u Η Ιακωβιανή του µετασχηµατισµού (που είναι µια ορίζουσα x/ u x/ u x/ u ( xy y/ u y/ u y/ u ( u u u / u / u / u υποτίθεται διάφορη του µηδενός ώστε να είναι αντιστρεπτές οι εξισώσεις µετασχηµατισµού. Το σύστηµα συντεταγµένων u u u παραµένει καρτεσιανό (γενικά όµως πλαγιογώνιο και όχι ορθογώνιο αν και µόνο αν οι εξισώσεις µετασχηµατισµού είναι γραµµικές. Αν διατηρηθούν σταθερές οι u και u και µεταβληθεί µόνο η u το σηµείο P που ορίζεται από το διάνυσµα xi yj k γράφει µια καµπύλη που καλείται συντεταγµένη καµπύλη u από το P. Όµοια ορίζονται οι συντεταγµένες καµπύλες u και u από το P και γενικότερα από κάθε σηµείο. Αν διατηρηθεί σταθερή µόνο η u και µεταβληθούν οι u και u το σηµείο P γράφει µια δισδιάστατη επιφάνεια η οποία καλείται συντεταγµένη επιφάνεια u. Όµοια ορίζονται οι συντεταγµένες επιφάνειες u και u.
SECTION Τα διανύσµατα /u /u /u εφάπτονται στις συντεταγµένες καµπύλες u u u. Αν είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που εφάπτονται σε αυτές τις καµπύλες τότε όπου u u u u u u είναι οι συντελεστές κλίµακας. Αν τα είναι ανά δύο κάθετα (δηλαδή αν i j δ ij το καµπυλόγραµµο σύστηµα συντεταγµένων καλείται ορθογώνιο. ιαφορικά µεγέθη Σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες το στοιχειώδες διάνυσµα είναι d u du u du du du du du u Αν οι συντεταγµένες είναι ορθογώνιες όπως υποτίθεται σε όλα τα επόµενα το στοιχειώδες µήκος είναι ds d d du du du Το στοιχείο όγκου είναι dv ( du ( du ( du du du du u u u du du du xy ( ( u u u du du du Μετασχηµατισµός ολοκληρωµάτων Η αλλαγή συντεταγµένων µετασχηµατίζει τα ολοκληρώµατα σύµφωνα µε τον τύπο R ( xy ( x y dxdyd G( u u u du du du ( u u u R όπου R' η περιοχή στην οποία απεικονίζεται η R και G(u u u η τιµή της (x y που προκύπτει από το µετασχηµατισµό.
SECTION 4. Κλίση Απόκλιση Περιστροφή Στα παρακάτω Φ είναι µια βαθµωτή συνάρτηση και A A A A µια διανυσµατική συνάρτηση των ορθογώνιων καµπυλόγραµµων συντεταγµένων u u u. Κλίση του gd u u u Απόκλιση του A diva A u ( A u ( A u ( A Περιστροφή του A cula A u u u A A A u A ( ( A u u A u A ( ( ( ( A u A u Παράγωγος κατά κατεύθυνση ( A A A A u u u Λαπλασιανή του u u u u u Από την ίδια σχέση προκύπτει ο διαρµονικός τελεστής 4 Φ ( Φ u
4 SECTION 4. ιάφορα Συστήµατα Συντεταγµένων Κυλινδρικές συντεταγµένες (ρ φ x ρcosφ y ρsinφ µε ρ 0 0 φ < π < <. φ ρ d dρ ρdφ φ d ds dρ ρ dφ d dv ρdρdφd f f A ( A A ( A f A A ( A A A ( A u A f f f ( A A A A f f Σφαιρικές συντεταγµένες ( θ φ x sinθcosφ y sinθsinφ cosθ µε 0 0 θ π 0 φ < π. θ φ sinθ d d dθ θ sinθdφ φ ds d dθ sin θdφ dv sinθddθdφ
SECTION 5 u u sinu f A ( A sin u ( A sin u ( A sinu u f A ( A sin u ( A sinu u f A ( A sin u ( u sinu f A A u ( A A A A f sinu ( f ( u sin sinu u u sin u Παραβολικές κυλινδρικές συντεταγµένες (u υ x!(u υ y uυ u y ( u y u y f f Οι τοµές των συντεταγµένων επιφανειών µε τυχόν επίπεδο σταθ. είναι δύο οικογένειες συνεστιακών παραβολών. Οι εξισώσεις αυτών των οικογενειών είναι x!(y /υ υ και x!(y /u u από τις οποίες παίρνουµε τις δύο οικογένειες του Σχ. 4-4 δίνοντας τιµές στα u και υ. Παραβολικές συντεταγµένες (u υ φ x uυcosφ y uυsinφ!(u υ όπου u 0 υ 0 0 φ < π u y uυ ( ( y y y y y uu ( u u u ( u y u y f
6 SECTION Οι συντεταγµένες επιφάνειες προκύπτουν µε περιστροφή των παραβολών του Σχ. 4-4 γύρω από τον άξονα x που µετά ονοµάζεται. Τοµή των συντεταγµένων επιφανειών µε τυχόν επίπεδο που περνάει από τον άξονα των δίνει το Σχ. 4-5. Ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγµένες (u υ x cosucosυ y sinusinυ u 0 0 υ < π < < sin u sin y ( (sin u sin y u y Οι τοµές των συντεταγµένων επιφανειών µε τυχόν επίπεδο σταθ. είναι συνεστιακές ελλείψεις και παραβολές. Οι εξισώσεις αυτών των οικογενειών είναι x y και x y cos u sin u cos y sin y από τις οποίες προκύπτουν οι καµπύλες του Σχ. 4-6 για διάφορες τιµές των u και υ. Γεωειδείς σφαιροειδείς συντεταγµένες (ξ η φ x cosξcosηcosφ y cosξcosηsinφ sinξsinη ξ 0 π/ η π/ 0 φ < π sin j sin cosξ cosη (sin j sin cos j j ( cos j j cos (sin j sin cos cos jcos f ύο οικογένειες συντεταγµένων επιφανειών προκύπτουν µε περιστροφή του Σχ. 4-6 γύρω από τον άξονα y που µετά ονοµάζεται. Η τρίτη οικογένεια συντεταγµένων επιφανειών αποτελείται από επίπεδα που περιέχουν αυτόν τον άξονα. Σε ένα επίπεδο που περιέχει το νέο άξονα οι συντεταγµένες καµπύλες (Σχ. 4-6 δίνονται από τις εξισώσεις [ρ (x y / απόσταση από τον άξονα ] cos j sin j και cos sin για διάφορες τιµές των ξ και η.
SECTION 7 Ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγµένες (ξ η φ x sinξsinηcosφ y sinξsinηsinφ cosξcosη ξ 0 0 η π 0 φ < π sin j sin sinξ sinη (sin j sin j ( sin j j (sin j sin sin sin sin jsin f ύο οικογένειες συντεταγµένων επιφανειών προκύπτουν µε περιστροφή του Σχ. 4-6 γύρω από τον άξονα x που µετά ονοµάζεται. Η τρίτη οικογένεια συντεταγµένων επιφανειών αποτελείται από επίπεδα που περιέχουν αυτόν τον άξονα. Σε ένα επίπεδο που περιέχει το νέο άξονα οι συντεταγµένες καµπύλες (Σχ. 4-8 δίνονται από τις εξισώσεις [ρ (x y / απόσταση από τον άξονα ] sin j cos j και cos sin για διάφορες τιµές των ξ και η. ιπολικές κυλινδρικές συντεταγµένες (u υ x sin y cosy cosu y sinu cos y cosu όπου 0 u < π < υ < < < cos y cosu ( (cos y cos u u y Επειδή x y u ( cot και ( x cot y y sin u sin y οι τοµές των κυλινδρικών συντεταγµένων επιφανειών u σταθ. και υ σταθ. είναι κύκλοι όπως στο Σχ. 4-9.
8 SECTION Τοροειδείς συντεταγµένες (u υ φ sin ycosf x cos y cosu sin ysin f y cos y cosu sinu cos y cosu cos y cosu sin y cos y cosu (cos y cos u u cos y cosu u (cos y cos u sin y ( sin y (cos y cos ( u y cos y cosu y sin y f Οι συντεταγµένες επιφάνειες προκύπτουν µε περιστροφή του Σχ. 4-9 γύρω από τον άξονα y που µετά ονοµάζεται. Οι συντεταγµένες επιφάνειες u σταθ. υ σταθ. και φ σταθ. δίνονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις [ρ (x y / απόσταση από τον άξονα ] ρ ( cotu /sin u ρ ρcotυ και tnφ y/x για διάφορες τιµές των u υ και φ. Κωνικές συντεταγµένες (λ µ ν lmn b b x y l ( m ( n l ( m ( n b b b b l ( m n ( ( b l ( m n m m ( n ( b n Συνεστιακές ελλειψοειδείς συντεταγµένες (λ µ ν x y c b b c l l l l < < < x y c m b m c m < m < b < x y b c c < b < n < n n n
SECTION 9 x y ( l( m( n ( b ( c ( b l( b m( b n ( b ( b c ( c l( c m( c n ( c ( c b ( m l( n l 4( l( b l( c l ( n m( l m 4( m( b m( c m ( l n( m n 4( n( b n( c n Συνεστιακές παραβολοειδείς συντεταγµένες (λ µ ν x y b b l < l l l < x y b b m < m < m m x y n b n n < n < ( l( m( n x b ( b l( b m( b n y b l m n b
0 SECTION ( m l( n l 4( l( b l ( n m( l m 4( m( b m ( l n( m n 6( n( b n