1 2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΘΕΩΡΙ 1. Ηµίτονο οξείας γνίας : Έστ ένα ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε ηµίτονο της γνίας και συµβολίζουµε µε ηµ, το λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. ηλαδή ηµ = 2. Συνηµίτονο οξείας γνίας : Έστ ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε συνηµίτονο της γνίας και συµβολίζουµε µε συν, το λόγο της προσκείµενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. ηλαδή συν = 3. Περιορισµοί : Επειδή σε κάθε ορθογώνιο τρίγνο κάθε µία από τις κάθετες πλευρές είναι µικρότερη από την υποτείνουσα, ισχύει ότι 4. ασικός τύπος : εφ = ηµ συν 0 < < 1 και 0 < <1 άρα 0 < ηµ < 1 και 0 < συν < 1 για κάθε οξεία γνία ΣΧΟΛΙ 1. Παρατήρηση : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγνο γνρίζοντας µία οξεία γνία του και µία πλευρά του µπορούµε να υπολογίσουµε την άλλη οξεία γνία και τις άλλες πλευρές του τριγώνου 2. ασική σχέση : ν και φ είναι οι οξείες γνίες ορθογνίου, τριγώνου τότε ηµ = συνφ και συν = ηµφ. Οι ισότητες αυτές ισχύουν για κάθε ζευγάρι συµπληρµατικών γνιών.
2 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. ν οι γνίες και φ είναι οξείες γνίες ορθογνίου τριγώνου να βρείτε ποιες από τις παρακάτ σχέσεις είναι σστές α) ηµ ηµφ > 0 β) ηµ ηµφ < 0 γ) ηµ + ηµφ = 0 δ) εφ συν > 1 ε) 0 < ηµ + συν < 2 1 στ) ηµ εφ < 1 α) Σστή αφού ηµ> 0 και ηµφ > 0 β) Λάθος Θερία 3 γ) Λάθος δ) Είναι εφ συν = ηµ συν = ηµ < 1, η σχέση είναι Λάθος συν ε) Είναι 0 < ηµ < 1 και 0 < συν < 1 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε ότι 0 < ηµ + συν < 2 Οπότε η σχέση είναι Σστή 1 στ) Είναι ηµ εφ = ηµ 1 = συν < 1, οπότε η σχέση είναι Σστή ηµ συν 2. Να επιλέξτε την σστή απάντηση στον πίνακα µε βάση το διπλανό του σχήµα ηµ συν ηµθ συνθ 12 16 12 16 20 20 16 12 3 4 3 4 4 3 4 3 4 4 12 12 16 16 16 20 12 20 ηµ = = 12 20 συν = = 16 20 = 4 ηµθ = = 16 20 = 4 συνθ = = 12 20 συνεπώς σστό το συνεπώς σστό το συνεπώς σστό το συνεπώς σστό το 16 A 12 20 θ B
3 3. ν είναι οξεία γνία ορθογνίου τριγώνου και ισχύουν ηµ = να βρείτε πόσο είναι η εφ. εφ = ηµ συν = = 12 12 Θερία 4 και συν = 12 4. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτ τιµές δεν µπορεί να εκφράζουν το ηµίτονο ή το συνηµίτονο κάποιας οξείας γνίας ; 6 10, 1 2, 4, 1 2, 0,12, 1,3, 10, 4 3 Το 1 2 αφού 1 2 < 0 Το αφού 4 4 > 1 Το 1,3 αφού 1,3 > 1. ν για µία οξεία γνία είναι ηµ =, να υπολογίσετε το συν και την εφ. Κατασκευάζουµε ορθογώνιο τρίγνο µε υποτείνουσα = και κάθετη πλευρά = πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε 2 = 2 2 = = 2 2 = = 169 2 = = 144 Άρα = 12 Εποµένς συν = = 12 και εφ = = 12
4 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε οξεία γνία ισχύουν α) 3ηµ > 2 β) 6 + 3 συν < 9 γ) 7ηµ + 4συν < 11 δ) 2ηµ + 3συν + < 10 α) Είναι 0 < ηµ < 1 άρα 0 > 3ηµ > 3 > 3ηµ > 3 + > 3ηµ > 2 3ηµ > 2 β) ρκεί 6 + 3 συν < 9 3συν < 3 συν < 1 που ισχύει γ) 0 < ηµ < 1 άρα 0 < 7ηµ < 7 (1) 0 < συν < 1 άρα 0 < 4συν < 4 (2) Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά µέλη βρίσκουµε δ) 0 < ηµ < 1 άρα 0 < 2ηµ < 2 (1) 0 < συν < 1 άρα 0 < 3συν < 3 (2) 0 < 7ηµ + 4συν < 11 οπότε 7ηµ + 4συν < 11 Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά µέλη βρίσκουµε 0 < 2ηµ + 3συν < οπότε < 2ηµ + 3συν + < 10
7. Με την βοήθεια του διπλανού σχήµατος, να βρείτε τα µήκη τν πλευρών του τριγώνου. Πυθαγόρειο θεώρηµα στο : 2 = 2 2 = = 100 64 = = 36 Άρα = 6, οπότε στο τρίγνο είναι ηµ = = 6 10 Στο τρίγνο είναι ηµ = άρα 10 = 6 10 = 6 οπότε = 10 Πυθαγόρειο στο : 2 = 2 + 2 και λόγ της (1) 2 = 6 2 + 36 100 2 2 36 100 2 = 36 64 100 2 = 36 2 = 36 100 64 Τότε η (1) δίνει = 6 7, = 4, 10 εποµένς = 6 10 = 7, (1). ν οξυγώνιο τρίγνο, να αποδείξτε ότι το εµβαδόν του Ε δίνεται από τους τύπους Ε = 1 2 β γ ηµ = 1 2 α β ηµ = 1 2 α γ ηµ Το εµβαδόν Ε του τριγώνου είναι ίσο µε Ε = 1 2 = 1 2 β (1) γ β πό το ορθογώνιο τρίγνο έχουµε ηµ = άρα α ηµ = γ = γηµ Τότε η (1) γίνεται Ε = 1 2 β γηµ Οµοίς οι άλλες σχέσεις
6 9. Στα διπλανά σχήµατα να βρείτε τα x και y Στο τρίγνο ηµ ο = συν ο = AB Στο ΡΚΛ τρίγνο άρα 0,40 = x x = 9,4 y άρα 0,299 = 9,4 y = 4,9 x o συν20 ο = ΚΛ ΡΛ άρα 0,9397 = x x =,3 και ηµ20 ο = y άρα 0,3420 = y x,3 y = 1, y y Ρ K x 20 o Λ. 10. Στο διπλανό ισοσκελές τρίγνο είναι = = 10m και = 12m α) Το συν είναι 6, 3, 4, 12, 3 επιλέξτε το σστό 2 β) Να υπολογίσετε το ηµ και την εφ α) Στο ισοσκελές τρίγνο το ύψος στη βάση είναι και διάµεσος, άρα = = 6m Πυθαγόρειο στο : 2 = 2 2 = = 100 36 = = 64 οπότε = συν = = 6 10 = 3 β) ηµ = = 10 = 4 και εφ = = 6 = 4 3
7 11. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγνο να βρείτε την υποτείνουσα και το εµβαδόν χρίς τη χρήση του Πυθαγορείου θερήµατος. B συν32 ο = ηµ32 ο = άρα Ε = 2 άρα 0,40 = = 4,99 2 0,299 = 9,43 οπότε = 9,43 οπότε = 4,99 = 19,96 τετραγνικές µονάδες A 32 o 12. Του διπλανού τριγώνου να βρείτε τις πλευρές και το εµβαδόν. συν ο = άρα 0,299 = 3 οπότε =,66 εφ ο = άρα 1,6003 = οπότε = 4, 3 Πυθαγόρειο στο : 2 = 2 2 = = 2 4, 2 = = 64 23,04 = 40,96 Άρα = 40,96 = 6,4 = + = 3 + 6,4 = 9, 4 9,4 4, Ε = = =,6 τετραγνικές µονάδες 2 2