Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς

Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θ ω μ ά ς Μιγαδικοί αριθμοί Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς

Προαπαιτούμενες γνώσεις Θ ω μ ά ς Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς

Προαπαιτούμενες γνώσεις Βασικές TAYTOΤΗΤΕΣ ΣΤΟ R έννοιες ( α + β ) = α + αβ + β ( α β ) = α αβ + β 3 ( α β ) ( α + β ) = α β 4 ( α + β ) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 5 ( α β ) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 6 ( α + β + γ ) = α + β + γ + αβ + αγ + βγ 7 ( α + β + γ ) 3 = α 3 + β 3 + γ 3 + 3(α+β)(β+γ)(γ+α) 8 α 3 + β 3 = ( α + β ) ( α αβ + β ) = ( α + β ) 3 3αβ ( α + β ) 9 α 3 β 3 = ( α β ) ( α + αβ + β ) = ( α β ) 3 + 3αβ ( α + β ) 0 α + β + γ αβ αγ βγ = [ ( α β ) + ( β γ ) + ( α γ ) ] α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ = ( α + β + γ ) (α + β + γ αβ αγ βγ ) = Βασική ταυτότητα = ( α + β + γ )[( α β ) + ( β γ ) + ( α γ ) ] Αν α + β + γ = 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ τότε α + β + γ = 0 ή α = β = γ 3 Αξιοσημείωτες διαιρέσεις αν νν και ν τότε: α ν β ν = ( α β )(α ν- +α ν- β + α ν-3 β + α ν-4 β 3 + +β ν- ) αν επί πλέον ν = ρ +, ρζ + ισχύει ακόμα α ν + β ν = ( α + β )(α ν- α ν- β + α ν-3 β α ν-4 β 3 + +β ν- ) Μέτρο διανύσματος Αν, τότε: OA A(,) Ο Απόσταση δυο σημείων Αν A, και B, τότε: AB A(, ) B(, ) Ο Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων, Έστω τα διανύσματα και, // det, 0 0 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα, και,, τότε:, τότε:

Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(, ) και B(, ), με είναι Ο ε B(, ) Α(, ) ω Καθετότητα Παραλληλία Αν οι ευθείες και έχουν συντελεστές διεύθυνσης και αντιστοίχως, τότε: // και Εξίσωση ευθείας i Η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα γνωστό σημείο A( 0, 0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: 0 ( 0) Α(, ) ε Ο ii iii Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(, ) και B(, ) Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι και επομένως η εξίσωση ( ) γίνεται: 0 0 ( ) Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A(0, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι η ε B(, ) Α(, ) Ο ε Α(0,β) Ο iv Η εξίσωση ευθείας παράλληλη προς τον άξονα και διέρχεται από το A, είναι η σημείο ε Α(, ) Ο 3

v Η εξίσωση ευθείας παράλληλη προς τον άξονα και διέρχεται από το A, είναι η σημείο ε Α(, ) Ο vi Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι 0 ( 0) ή ε Ο vii Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών O και O έχουν εξισώσεις και αντιστοίχως 35 o δ δ =- = 45 o Ο viii Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A B 0 με A 0 ή B 0 () και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει ευθεία γραμμή A Αν B 0, τότε η εξίσωση γράφεται B B, που είναι εξίσωση A ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης και η οποία τέμνει τον άξονα B στο σημείο 0, B Αν B 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είναι A 0 και η εξίσωση γράφεται, που είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα A στο σημείο του P,0 A Απόσταση σημείου από ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A B 0 ε Μ 0 ( 0, 0 ) και M(, 0 0 0) ένα σημείο εκτός αυτής Η απόσταση d(m 0, ) του d(m 0,ε) σημείου M 0 από την ευθεία ε δίνεται από τον τύπο: A0 B 0 d(m 0, ) Ο A B 4

Εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ Έστω A(, ), B(, ) και ( 3, 3) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου Γ( 3, 3 ) B(, ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ισούται με: (AB ) det(ab,a ) ή (AB ) 3 3 A(, ) Εξίσωση κύκλου Κύκλος C με κέντρο το σημείο O(0,0) και ακτίνα ρ ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(, ) του επιπέδου που απέχουν από το κέντρο O(0,0) απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: (OM) Ο κύκλος με κέντρο το σημείο K( 0, 0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ( ) ( ) 0 0 Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής: A B 0, (Ι) με την προϋπόθεση ότι A B 4 0 Στη περίπτωση αυτή έχουμε ότι: Το κέντρο του είναι το σημείο A B K, και η ακτίνα του ισούται με A B 4 Αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι) παριστάνει κύκλο Κ( 0, 0 ) ρ M(,) Ο Εφόσον A B 4 0, ισχύει η ισοδυναμία: A B 0 A B, A B 4 ό Εξίσωση παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν (ME) (MP) P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Η εξίσωση της παραβολής C με εστία p p E,0 και διευθετούσα : Η εξίσωση της παραβολής C με εστία p p E,0 και διευθετούσα : 5

είναι p<0 p είναι M(,) P p =p p>0 E0, p P p E,0 O M(,) Α p δ: p>0 O O p δ: p δ: Α O p E,0 =p p<0 E0, p p δ: Εξίσωση έλλειψης Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία E και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του EE E (Ε Ε)=γ (ΜΕ )+(ΜΕ)=α M Ε Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, με α και την απόσταση των εστιών E και Ε με γ H απόσταση EE ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν (ME ) (ME) Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E(,0), E(,0) και σταθερό άθροισμα είναι:, όπου B M (, ) Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E(,0), E(,0) και σταθερό άθροισμα είναι, όπου Α E( 0, γ) A E( γ,0) O E(γ,0) Α B O Β B E( 0, γ) A 6

Είναι α>β και α>γ Εξίσωση υπερβολής Έστω E και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου Ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία E και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του (E E) Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής από τις εστίες την παριστάνουμε με α, ενώ την απόσταση των εστιών με γ Η απόσταση EE ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής Είναι α>β και α>γ Ε (Ε Ε)=γ (MΕ )(ME) =a Μ Ε Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν ( ME ) ( ME) α Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E(,0), E(,0), και σταθερή διαφορά α είναι, όπου ε: =λ O Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E(0, ), E(0, ), και σταθερή διαφορά α είναι, όπου a Ν Κ a a a Α Ο Α Μ Λ Είναι γ>α και γ>β Είναι γ>α και γ>β Ασύμπτωτες:, Ασύμπτωτες: και 7

Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ I Α Βασικοί τύποι ( ) ( ) ( ) ( ) Αναγωγικοί τύποι 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 7 όταν υπάρχει στον αναγωγικό τύπο τόξο της μορφής,,,, ο τριγωνομετρικός αριθμός αλλάζει και το ημίτονο γίνεται συνημίτονο, το συνημίτονο γίνεται ημίτονο, η εφαπτομένη συνεφαπτομένη και η συνεφαπτομένη γίνεται εφαπτομένη όταν υπάρχει στον αναγωγικό τύπο τόξο της μορφής,,3,4, ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει Όσον αφορά το πρόσημο, βάζουμε πάντα το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού του ου μέλους Τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών Γωνία (ω) 0 ή 0 rad 30 ή 6 rad 45 ή 4 rad 60 ή 3 rad 90 ή rad ημω 0 συνω 3 εφω 0 3 3 σφω δεν ορίζεται 3 3 3 Αθροίσματα και διαφορές τόξων, διπλάσια τόξα,, Απλές Τριγωνομετρικές εξισώσεις ή 3 3 δεν ορίζεται, Ÿ ή, Ÿ, Ÿ, Ÿ 0 0 8

ΜΕΡΟΣ A Το Σύνολο των Μιγαδικών αριθμών Θ ω μ ά ς Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς 9

Θέμα Απάντηση Τι είναι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών; Η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός Για να ξεπεράσουμε την «αδυναμία» αυτή, διευρύνουμε το σύνολο σε ένα σύνολο, το οποίο θα έχει τις ίδιες πράξεις αλλά και τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών με το, και στο οποίο θα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης, δηλαδή ένα στοιχείο i, τέτοιο, ώστε i Στο σύνολο, δεχόμαστε ότι η εξίσωση επιλύεται ως εξής: i ή i Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής i, δηλαδή όλους τους αριθμούς που είναι που είναι γινόμενα των στοιχείων β του με το i και τα οποία καλούνται φανταστικοί αριθμοί Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται με», δηλαδή»={βi, όπου και i } Όλα τα αθροίσματα της μορφής i, με και πραγματικούς αριθμούς Τα στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Επομένως: Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα () το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου, Θέμα i Τι ονομάζουμε πραγματικό, το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού; ii Πως συμβολίζεται ένας πραγματικός ή ένας φανταστικός αριθμός στο ; Απάντηση i Κάθε μιγάδας έχει την μορφή i με, Η μορφή αυτή λέγεται κανονική ή αλγεβρική ή καρτεσιανή μορφή και είναι μοναδική Κάθε μιγάδας λοιπόν είναι αλγεβρικό άθροισμα δυο αριθμών, του πραγματικού αριθμού α και του φανταστικού αριθμού i Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του και σημειώνεται Re() Ο λέγεται φανταστικό μέρος του και σημειώνεται Im() ii Στο σύνολο στο, κάθε πραγματικός αριθμός εκφράζεται ως 0i, κάθε φανταστικός αριθμός i εκφράζεται ως 0 i 0

Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός i, εννοούμε ότι οι α και είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα Θέμα 3 i Πότε δυο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι; ii Πότε ένας μιγαδικός αριθμός είναι ίσος με μηδέν; Απάντηση i Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή i, δύο μιγαδικοί αριθμοί i και i είναι ίσοι, αν και μόνο αν και Δηλαδή ισχύει: i i και ii Επειδή 0 0 0i, έχουμε i 0 0 και 0 Θέμα 4 Απάντηση Υπάρχει διάταξη στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών; Στην επέκταση λοιπόν από το στο, ενώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο εξακολουθούν να ισχύουν και στο, εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δεν μεταφέρονται, δηλαδή οι έννοιες,,, μεταξύ δυο μιγαδικών ή δυο φανταστικών, ή μεταξύ ενός μιγαδικού και ενός φανταστικού δεν έχουν νόημα Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση i i, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: 0 και Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις i i, i i, i i Επίσης δεν υπάρχουν θετικοί ή αρνητικοί μιγαδικοί ή φανταστικοί αριθμοί Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση i 0, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: 0 και 0 Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις i 0, i 0, i 0 Πρόσεξε!!! Πρόσεξε λοιπόν ότι δεν έχει νόημα: να λέμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός να γράφουμε ανισοτικές σχέσεις μεταξύ δυο μιγαδικών Πρόσεξε!!! Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση i i, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: 0 και Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε αν ισχύουν οι σχέσεις i i, i i, i i Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση i 0, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: 0 και 0 Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις i 0, i 0, i 0

Θέμα 5 i Τι καλούμε μιγαδικό επίπεδο; ii Πως παριστάνονται οι μιγαδικοί αριθμοί στο μιγαδικό επίπεδο; iii Πως συνδέονται οι μιγαδικοί αριθμοί με τα διανύσματα; Απάντηση i Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο Gauss Ο άξονας λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M(,0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών 0i, ενώ ο άξονας λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M(0, ) που είναι εικόνες των φανταστικών i 0 i ii Kάθε μιγαδικό αριθμό i μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M(, ) ενός καρτεσιανού επιπέδου και M(α,β) ή Μ() β αντίστροφα, κάθε σημείο M(, ) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό i Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού i Aν θέσουμε i, τότε το σημείο M(, ) μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M() iii Ένας μιγαδικός i παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα, OM, του σημείου M(, ) Ο a Θέμα 6 Απάντηση Πως ορίζονται οι πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών; Σύμφωνα με τον ορισμό του, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμα στο, όπου βέβαια αντί για έχουμε το i Έτσι: Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών ( i) ( i) ( ) ( )i i και iέχουμε: Για παράδειγμα, (3 4i) (5 6i) (3 5) (4 6)i 8 i Για την πρόσθεση ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες: Αντιμεταθετική, δηλαδή, για κάθε, Προσεταιριστική, δηλαδή ( 3) ( ) 3, για κάθε,, 3 3 Έχει ουδέτερο στοιχείο το 0, δηλαδή 0 0, για κάθε 4 Για κάθε μιγαδικό αριθμό υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει: 0 Ο καλείται αντίθετος του και συμβολίζεται με Ισχύει λοιπόν ότι ( ) ( ) 0 Αν i, τότε i, δηλαδή Re( ) Re() και Im( ) Im() Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού i από τον i, επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού i είναι ο μιγαδικός i, έχουμε: ( i) ( i) ( i) ( i) ( ) ( )i

Δηλαδή ( i) ( i) ( ) ( )i Για παράδειγμα (3 4i) (5 6i) (3 5) (4 6)i 0i Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών i και i έχουμε: ( i)( i) ( i) i( i) ii ( i)( i) iii ii ( ) ( )i Δηλαδή, ( i)( i) ( ) ( )i Για παράδειγμα, (3 4i) (5 6i) 5 8i 0i 4i (5 4) (0 8)i 39 i i i i, 0 i ii i Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο, όπου i 0, στη i μορφή i, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή, δηλαδή το γ-δi, και έχουμε: i ( i)( i) ( ) ( )i i i ( i)( i) i Δηλαδή, i i i (i)(3i) 6ii3i 7i 7 Για παράδειγμα: i 3i (3i)(3i) 9 0 0 0 Θέμα 7 Ποια η γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων μεταξύ δυο μιγαδικών αριθμών; Απάντηση i Το άθροισμα Αν M(, ) και M(, ) είναι οι εικόνες των i και i αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα M (γ,δ) M(α+γ,β+δ) ( i) ( i) ( ) ( )i M (α,β) Ο παριστάνεται με το σημείο M(, ) Επομένως, OM OM OM, δηλαδή: Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α βi και γ δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Επομένως το άθροισμα παριστάνεται γεωμετρικά από το διάνυσμα OM, που ορίζεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που έχει σαν διαδοχικές πλευρές τα διανύσματα OM και OM που αντιστοιχούν στους μιγαδικούς αριθμούς, ii Η διαφορά Αν M(, ) και M(, ) είναι οι εικόνες των i και i αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διαφορά ( i) ( i) ( ) ( )i παριστάνεται με το σημείο N(, ), δηλαδή: Ο Μ (γ,δ) Μ (α,β) Ν(αγ,βδ) Επομένως, ON OM OM Μ 3(γ,δ) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και 3

γ δ i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Επειδή ( ), για να βρούμε την εικόνα της διαφοράς θα προσθέσουμε στο διάνυσμα OM που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό, το διάνυσμα OM 3 που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό Επομένως η διαφορά παριστάνεται γεωμετρικά από το διάνυσμα ON, που ορίζεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που έχει σαν διαδοχικές πλευρές τα διανύσματα OM και OM 3 που αντιστοιχούν στους μιγαδικούς αριθμούς, Πρόσεξε ότι ON MM Πρόσεξε!!! ( ) ( )i Σ(α+γ,β+δ) ON ( ) ( )i Μ OP ( ) ( )i (γ,δ) Ρ(γα,δβ) ON MM Μ (α,β) OP MM Πρόσεξε ότι στο παραλληλόγραμμο Ο ΟΜ ΣΜ η μια διαγώνιος Ν(αγ,βδ) αντιπροσωπεύει τον και η άλλη διαγώνιος αντιπροσωπεύει τον ή Μ 3(γ,δ) τον Πρόσεξε!!! Αν οι μιγαδικοί αριθμοί,w έχουν εικόνες τα σημεία Α,Β αντίστοιχα, τότε το διάνυσμα OB, με,, αντιστοιχεί ο μιγαδικός αριθμός w Επομένως η εικόνα του w είναι το σημείο Δ για το οποίο ισχύει: O OB Επομένως οι πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων,ob αντιστοιχούν σε πράξεις μεταξύ των μιγαδικών και w των οποίων εικόνες είναι τα σημεία Α,Β iii Το γινόμενο ερμηνεύεται γεωμετρικά ως M εξής: H διανυσματική του ακτίνα OM Ν έχει μέτρο ρ Ν φ +φ ρ OM O O και σχηματίζει με τον γωνία OM O O φ φ iv Το πηλίκο ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής: H διανυσματική του ακτίνα OM έχει μέτρο O OM και σχηματίζει με τον O γωνία OM O O v Το πηλίκο ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής: H διανυσματική του ακτίνα OM έχει μέτρο OM και σχηματίζει με τον γωνία ON Ν ρ φ ρ φ φ -φ M ρ φ -φ M Ν Ν OM OM 4

Πρόσεξε!!! Ο πολλαπλασιασμός του μιγαδικού με το i σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας () του 90 κατά τη θετική φορά στη N(i) M() θέση N(i) Ο διαίρεση του μιγαδικού με το i σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του 90 κατά την αρνητική φορά στη θέση ( / i) Ο Σ(/i) Θέμα 8 i Πως ορίζεται η δύναμη ενός μιγαδικού αριθμού; ii Πως υπολογίζεται η δύναμη i με Õ; Απάντηση i Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:,,, και γενικά, για κάθε θετικό ακέραιο, με Επίσης, αν 0, ορίζουμε, για κάθε θετικό ακέραιο ν Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών 0 ii Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του i έχουμε: 0 3 i, i i, i, i i i i Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι: 4 5 4 6 4 7 4 3 3 i i i, i i i i i, i i i i, i i i i i, 4 δηλαδή, μετά το i οι τιμές του i επαναλαμβάνονται Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i, γράφουμε τον εκθέτη στη μορφή 4, όπου το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, αν υ 0 i, αν υ 4 4 4 i i i i (i ) i i i -, αν υ i, αν 3 Για παράδειγμα: 4 3 4 i i i, 9 443 3 i i i i 6 440 0 45 i i i, i i i i Πρόσεξε!!! Ας τονίσουμε ότι οι δυνάμεις στους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται μόνο όταν οι εκθέτες είναι ακέραιοι αριθμοί Οι δυνάμεις με ρητό (κλασματικό) εκθέτη επειδή μπορεί να μας οδηγήσουν σε λάθος, συμπεράσματα, δεν ορίζονται!!! 4 4 Για παράδειγμα: i i i Πρόσεξε!!! i Στο, όπως και στο, ισχύουν οι ίδιοι τύποι που δίνουν το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου Αριθμητική πρόοδος: S ή S Γεωμετρική πρόοδος: S ( ) Ένα χρήσιμο άθροισμα: 3, νœõ 5

ii Στο ισχύουν οι ταυτότητες: w w w, 3 3 3 w 3 w 3w w iii Στο δεν ισχύει η ιδιότητα: w 0 w 0, και αυτό διότι η ιδιότητα αυτή που ισχύει στο επειδή ισχύει η διάταξη δεν ισχύει στο αφού η διάταξη δεν επεκτείνεται στο Θέμα 9 i Τι ονομάζουμε συζυγή ενός μιγαδικού και πως τον συμβολίζουμε; ii Πως παριστάνονται οι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο; iii Ποιες ιδιότητες ισχύουν για τους συζυγείς μιγαδικούς; iv Ποια κριτήρια ισχύουν ώστε ένας μιγαδικός αριθμός να είναι: Πραγματικός Φανταστικός Απάντηση i Έστω ο μιγαδικός αριθμός βi Τον μιγαδικό με το ίδιο πραγματικό μέρος και αντίθετο φανταστικό, δηλαδή τον βi τον λέμε συζυγή του i και τον συμβολίζουμε i βi ii Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(, ) και M(, ) δύο συζυγών μιγαδικών i και i είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα iii Ιδιότητες Συζυγών Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών M () αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς Ειδικότερα, έχουμε: ( i)( i), δηλαδή Πρόσεξε λοιπόν ότι ισχύει η σχέση Επειδή είναι και, οι, λέγονται συζυγείς μιγαδικοί Πρόσεξε λοιπόν ότι ισχύει η σχέση Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς και μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι: Re() και i Im()i Αν i και i είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων Για παράδειγμα έχουμε: ( i) ( i) ( ) ( )i = ( ) ( )i ( i) ( i) Οι παραπάνω ιδιότητες και 3 ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς Είναι δηλαδή: Ο M() 6

ν ν ν Αν είναι και ν ν, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: ( ) ( ) Για παράδειγμα, 3 3 3 3i 3i 3i 45i 45i 45i iv Μέθοδος Να ξέρεις ότι αν τότε Œ και αντίστροφα Να ξέρεις ότι αν τότε Œ» και αντίστροφα Απόδειξη Έστω i, οπότε i Αν i i i 0 0 Αν i ( i) i i 0 0» Θέμα 9 i Πως λύνεται στο η εξίσωση 0 με α,β,γœ και α 0; ii Ποιες είναι οι σχέσεις του Vieta μεταξύ των ριζών, και των συντελεστών α,β,γ της παραπάνω εξίσωσης; ν Απάντηση i Κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C Πράγματι, έστω η εξίσωση 0, με,, και 0 Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: 4, όπου 4 η διακρίνουσα της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: 0 Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις:, 0 Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: ( )( ) i ( ) i 0 Tότε, επειδή 4 4 ( ), η εξίσωση i i γράφεται: Άρα οι λύσεις της είναι:,, οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί Παράδειγμα η εξίσωση 56 0 έχει 5 4 0 και οι λύσεις της είναι: 5 5 3, Όμως, η εξίσωση 0 έχει 48 4 0 και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί: i 4 i 4 i, i ii Σε κάθε περίπτωση (Δ>0, Δ=0, Δ<0) ισχύουν οι σχέσεις και οι οποίοι αποτελούν τους τύπους του Vietta για τη δευτεροβάθμια εξίσωση 0, με,, και 0 7

ΕΜΠΕΔΩΣΗ Τεχνικές Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις για λύση Έλεγχος γνώσεων Θ ω μ ά ς Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς 8

Α Πράξεις μεταξύ μιγαδικών Όταν δίνεται μία μιγαδική παράσταση φροντίζουμε με πράξεις να τη φέρουμε στη μορφή Α + Βi Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός γίνονται όπως και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμα α + β στο μόνο αντί για έχουμε το i 3 Τα πηλίκα της μορφής i i τα μετατρέπουμε στη μορφή Α + Βi πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή, δηλαδή με γ - δi 4 i i Να θυμάσαι ότι i i i 5 Ας μάθουμε κάτι πιο δύσκολο! Πρέπει λοιπόν να γνωρίζεις καλά ότι: i ( ) i i i i( i) 6 Οι ταυτότητες ισχύουν όπως ακριβώς και στους πραγματικούς 7 Πρόσεξε ότι: i i i i ( ) Οδηγούμαστε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι όταν βρισκόμαστε στο το άθροισμα δυο τετραγώνων γίνεται γινόμενο σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στο 8 Πρέπει να ξέρεις και να το εφαρμόζεις στις ασκήσεις ότι: ( i) i, διότι ( i) ii i i ( i) i, διότι ( i) ii i i Ας μάθουμε να κάνουμε απλές πράξεις με μιγαδικούς! Άσκηση Λύση Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή i α) ( 46i) (7i) β) (3 i) (64i) γ) (3 4i) ( 8 7i) (5 3i) δ) (3 i)(4 5i) ε) 3i(6 i) στ) (4 3i)(4 3i) ζ) i(3 i)( i) α) ( 46i) (7i) ( 47) (6)i 3 4i β) (3 i) (6 4i) (3 6) ( 4)i 3 6i γ) (3 4i) ( 8 7i) (5 3i) (3 8 5) (4 7 3)i 0 0i 0 δ) ε) στ) (3 i)(4 5i) 34 35i 4i 5i 0 5i 8i 3i 3i(6 i) 36i 3i 3 8i (43i)(43i) 4 (3i) 69i 69( ) 69 5 ζ) i(3i)( i) i(6 3i i i ) i(6 i) 7i i 7i Άσκηση Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στη μορφή i : Λύση α) i β) 6 i γ) (i ) δ) ( i 3) ε) (i) i i α) i i ( i)( i) i 3 i i στ) 6 i i β) γ) 6 4 i i i ( ) 0i (i) 4i 4i 44i 3 i 9

Άσκηση 3 Λύση δ) (i 3) i 3i 33 3i 3i i 3 ε) στ) 3i (3i) ( i) 6 i 5i 55i 5( i) i i ( i)( i) i 4 5 6i (6i ) (i ) 6i 7 i 67 i 4 7 i i (i ) (i ) i 3 3 Αν i 3, να βρείτε την τιμή της παράστασης 3 3i i 3 Έχουμε, οπότε: 4 i 3 i 3 i 3i 3 Άρα: 0 0 Άσκηση 4 Να αποδείξετε ότι ( i) ( i) 0, όπου, R Λύση Είναι i i( i) Επομένως: 0 0 0 0 0 0 0 ( i) ( i) ( i) i ( i) ( i) ( i) 0 Άσκηση 5 0 0 Να βρείτε την τιμή της παράστασης ( i) ( i) Λύση Πρέπει να ξέρεις ότι: Ασκήσεις προς λύση ( i) i, διότι ( i) i, διότι Είναι 0 ( i) ii i i ( i) i i i i ( i) ( i) (i) i i 0 0 0 0 0 0, 0 ( i) ( i) ( i) ( ) i i Άρα 0 0 0 0 0 0 (i) (i) ( ) 0 Δίνονται οι μιγαδικοί : 0 0 0 0 0 0 = + i, = + 3 i, 3 = 4 + 9 i, 4 = 8 + 7 i, 5 = 6 + 54 i, + Να βρείτε το άθροισμα των απείρων όρων w = + + 3 + 4 + 5 + Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α) = 5 - i β) = i - - - i i ( - i) 3 Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: δ) - i α) 3i (- 5i) β) ( + i) (- i + 3) γ) 3 4i ε) - i - i ζ) ( 3i) (- i ) - i 4 Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: - i α) ( - 3i) (4-5i) + 7i - β) i 3 i 3i γ) 3 i i δ) ε) ( - i) -3 3- i 5 Να δειχθεί ότι ο μιγάδας (-3,) είναι ρίζα της εξίσωσης +6 + 0 = 0 6 Αν α,β,γ єr* και α β = = 3 γ να δειχθεί ότι : α + β + β - αγi=5α +i 0

Α Ισότητα μιγαδικών Οι μιγαδικοί i και i είναι ίσοι τότε και μόνον τότε όταν α=γ και β=δ, οπότε θα εξισώσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη και θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει Πρόσεξε ότι η ισότητα δυο μιγαδικών αριθμών καταλήγει πάντα σε δυο ισότητες πραγματικών! Έχουμε λοιπόν: 0 i i ή 0i 00i 0 Έχουμε αναφέρει ότι στο δεν ισχύει: w 0 w 0, και αυτό διότι, η διάταξη δεν επεκτείνεται στο Επομένως αν θέλουμε να επεξεργασθούμε μια σχέση της μορφής w 0, εργαζόμαστε με έναν από τους ακόλουθους τρόπους: w 0 w iw iw ή iw ή θέτουμε: i και w i και έχουμε: w 0 i i i ( i) i ( i) i i Ας μάθουμε να αντιμετωπίζουμε το θέμα! Άσκηση Λύση Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: α) ( ) ( )i 3i β) 3 6 ( 3)i i γ) 9 7i (3 ) i 3 α) Είναι: ( ) ( )i 3i (, ) (,) β) Είναι: 3 6 0 () 3 6 ( 3)i i 3 6 () 3 (3) Όμως η (3) 3 4 ή Άρα, αφού μόνο αυτή επαληθεύει τις () και () 9 9 54 3 9 γ) Είναι: 97i (3) i 3 3 7 7 7 45 5 3 (,) ( 5,7) 7 Άσκηση Να βρείτε τους, R, για τους οποίους ισχύει: Λύση α) i (3 i) ( i) i, β) i, i i γ) (3i)( i) ( i) i α) Είναι: (3i) (i) i 9i4i i i 9 4 i (5 ) i 0 0i 5 0 και -=0, που είναι

αδύνατο αφού καταλήξαμε ότι 0 Ασκήσεις προς λύση i i β) Είναι: Άρα η σχέση γράφεται: i i i i i i i i i i 5 και 5 5 γ) (3 i)( i) ( i) i (3 i)( i) ( i) i (i)( i) ( i) i και 0 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) - + i = - i + - i β) + i = 3 - ( + i) γ) 4-3i - = - 5i + 9i δ) ( + ) i + = - i 3 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = - - 9i και w = - i,, R α) Να βρείτε τους, ώστε = w, β) Να βρείτε τον 3 Δίνεται ο μιγαδικός = 6i - (3-4i) - 3i - (3i - ) + (4 - i),, R α) Να γράψετε τον στη μορφή α + βi β) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re () = 0 ii) Im () = 0 iii) Re () = Im () iv) = 0 4 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = ( + i) + ( - ) i - 5,, R α) Να τον γράψετε στη μορφή α + βi β) Να γράψετε τον συναρτήσει του, αν Im () = 0 γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και, αν Re () = Im () 5 Η ισότητα + ( - ) i = 3 + 4i ισχύει αν και μόνο αν Α = 3 ή = 5 Β = 3 και = 4 Γ = 3 ή = 4 Δ = 3 και = 5 Ε + = 7 6 Αν η εικόνα του μιγαδικού w = ( + ) + ( - ) i,, R, στο μιγαδικό επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο = + i ισούται με: Α - i Β + i Γ - - i Δ - + i E + i 7 Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί = α + βi και = 8i - 3i + 5 3i 3i να είναι ίσοι 8 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi) = i 9 Να υπολογιστεί το R ώστε να ισχύει: + i = 3 - i 0 Να βρεθούν τα,r ώστε να ισχύει : ( +3i) + (-i) = 4 Να βρεθούν τα α,β R σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) i i i Αν α,β,γ R και ii) 5i i -7i (α + βi) = iii) α+i-β3+i =5 -i i 5 i, να δείξετε ότι : α β = γ 3 Να βρεθούν τα,œ, ώστε να ισχύει: ( + i ) = i 4 Να γραφεί ο μιγαδικός 4 i με μορφή ( + i) + ( i),,œ 5 Να λυθεί η εξίσωση: +i +-i = +3i-3-4i

Α 3 Δυνάμεις μιγαδικών Ας θυμηθούμε τις δυνάμεις του i 0 3 4 5 6 7 i, i i, i, i i, i, i i, i, i i, Γενικά αν θέλουμε να υπολογίσουμε το i, με Õ, εργαζόμαστε ως εξής: διαιρούμε το ν με το 4, βρίσκοντας ένα πηλίκο Ÿ, και ένα υπόλοιπο υ, και γράφουμε τον ν στη μορφή: 4, όπου 0,,,3, οπότε:, αν υ 0 i, αν υ i i -, αν υ i, αν 3 Στις ασκήσεις, σε αρκετές περιπτώσεις, κάνοντας παραγοντοποίηση, μπορούμε να αποφύγουμε να διακρίνουμε τις περιπτώσεις για το ν i i Είναι: i i και i i i i i Πρέπει να γνωρίζουμε ότι: Το άθροισμα 4 διαδοχικών δυνάμεων του i με φυσικό εκθέτη Õ, είναι πάντα ίσο με 0, και αυτό διότι : 3 3 i i i i i i i i i ii i 0 0 Το γινόμενο 4 διαδοχικών δυνάμεων του i με φυσικό εκθέτη Õ, είναι πάντα ίσο με -i, και αυτό διότι : 3 47 44 3 4( ) 3 4 i i i i i i i i i i ( i) i 3 Οι εξισώσεις της μορφής: i ή i ή i i ή i i, Õ, έχουν άπειρες λύσεις και λύνονται ως εξής: 4 i i i 4, Õ, 4 i i i 4, Õ, 43 i i i i 43, Õ, 4 i i i i 4, Õ 4 Οι ταυτότητες ισχύουν όπως ακριβώς και στους πραγματικούς Για τις δυνάμεις λοιπόν της μορφής i, Õ *, εφαρμόζουμε τις γνωστές ταυτότητες ή άλλα τεχνάσματα Ένα συνηθισμένο είναι το εξής: Βρίσκουμε μια μικρή τιμή του ν, έστω την κ, ώστε να ισχύει: i ή i i,, οπότε ο υπολογισμός απλουστεύεται πάρα πολύ, αφού διαιρώντας το ν με το κ θα έχουμε, 0 και τελικά i i i i i i 9 H ποιο συνηθισμένη περίπτωση είναι ο υπολογισμός δυνάμεων της μορφής: i και i, αφού από προηγούμενα γνωρίζουμε ότι: ( i) i, διότι ( i) ii i i ( i) i, διότι ( i) ii i i 5 Να προσέχουμε να διακρίνουμε τις παραστάσεις της μορφής: i και i και να θυμόμαστε ότι: i ( ) i i i i( i) 6 Αν στα γνωστά μας υπάρχουν οι παραστάσεις της μορφής: 0 ή 0 τότε με πολλαπλασιασμό αντίστοιχα επί - ή + παίρνουμε: 3 3 0 0 0 3 3 0 0 0 Υπενθυμίζουμε τα διώνυμα του Νεύτωνα: 3

Άσκηση αν νν και ν τότε: α ν β ν = ( α β )(α ν- +α ν- β + α ν-3 β + α ν-4 β 3 + +β ν- ) αν επί πλέον ν = ρ +, ρõ + ισχύει ακόμα α ν + β ν = ( α + β )(α ν- α ν- β + α ν-3 β α ν-4 β 3 + +β ν- ) 7 Ας γνωρίζουμε τις παραγοντοποιήσεις: ( ) (i ) i ii 3 3 3 3 3 3 3 3 3 i ( i) (i ) i = i i (i ) i i 3 3 3 3 3 3 3 3 3 i ( i) (i ) i = i i (i ) i i Ας μάθουμε να υπολογίζουμε δυνάμεις μιγαδικών Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 0 45 70 403 α) i β) i, γ) i, δ) i Λύση α) 55 Άσκηση 0 4 55 4 55 i i i β) 45 4 4 4 i i i i i i i i γ) 70 4 67 4 67 67 4 67 δ) 403 4 00 3 4 00 3 00 4 67 i i i i i i i i i i i i i Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 54 i β) 09 i, γ) α) 4 i, Õ * 54 7 7 άρτιος i i περιττός 54 54 09 08 08 β) i i i i i i i i 4 i 4 09 i 4 i 4 3 ) 4 άρτιος i i i περιττός Άσκηση 3 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 6 6 6 36 46 56 i i i i i i β) 4 75 03 i i i i Λύση α) 6 6 6 36 46 56 0 0 0 i i i i i i i i i i i i 0 β) i 4 75 03 3 3 3 i i i i i i i i i i i i i Άσκηση 4 Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση i i Õ ; Λύση A i i i Έχουμε i Επομένως: Αν 4, τότε i, οπότε A Αν 4, τότε i i, οπότε A i ii 0 i Αν 4, τότε i, οπότε A Αν 4 3, τότε i i, οπότε A i i i 0 i Άσκηση 5 Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το 3 άθροισμα S ii i i 4

Λύση Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος και είναι διαδοχικοί όροι i γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο i και λόγο επίσης i Επομένως, S i, i οπότε, λόγω της ισότητας 4 της ευκλείδειας διαίρεσης του με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: 0 Τότε 4, οπότε S i 0 i Τότε 4, οπότε i S i i i Τότε 4, οπότε i i i(i) S i i i i 3 Τότε 4 3, οπότε i i S i i i Άσκηση 6 Αν για τον ισχύει 0, να υπολογίσετε τις τιμές των 7 7 παραστάσεων: P και Q 7 7 3 3 0 0 0 Λύση 7 3 3 Άσκηση 7 9 9 P 7 9 9 0 7, οπότε: 7 Q 7 8 9 7 54 7 3 3 8 9 0 i Να αποδειχθεί ότι i 00 00 005 Λύση i ii i ii Άσκηση 8 Να αποδειχθεί ότι Λύση Ασκήσεις προς λύση 00 005 005 005 005 i i i 00 005 005 005 005 005 i i i 6 6 i 3 i 3 0 3 i 3 3i 3 3i 3 i 3 3 3 3 3i 33i 3 i 3 3i 393i 3 64 3 i 3 3i 3 3i 3 i 3 3 3 6 6 Επομένως: i 3 i 3 64 64 0 3i 3 3 i 3 i 3 3i 3 9 3i 3 64 3 κ Αν i 3 = - και (i ) =, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου κ είναι: Α Β 3 Γ 6 Δ Ε 5 Αν ν Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή Α i 4ν = Β i 4ν+ = - i Γ i 4ν+ = - Δ i ν+4 = i ν Ε i 4ν+3 = - i 3 Για τις διάφορες τιμές του ν Ν να βρεθεί η τιμή της παράστασης ν i f (ν) = i 5

4 Να αποδείξετε ότι για κάθε ν Ν ισχύει ( + i) 0ν = ( - i) 0ν 5 Αν για τον ισχύει 0, να υπολογίσετε τις τιμές των 50 00 παραστάσεων: P και Q 50 99 0 i 6 Να υπολογισθεί η παράσταση: 99 i 7 Να υπολογισθεί η παράσταση: P i i 8 Να αποδείξετε ότι: 00 00 4 4 P i i, Õ 9 Δίνονται οι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει: Im Re Re Im και 4n 4n Να αποδείξετε ότι 0 Να βρείτε το n * Να λυθούν οι εξισώσεις: 0, n Õ * n Õ αν ισχύει: 009 00i 009i 00 0 3 i, ii i i 4 4 Αν w 0, να δείξετε ότι: w 0, Õ 3 Αν οι φυσικοί αριθμοί,, Õ διαιρούμενοι με το 4 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, να δείξετε ότι: α) 4 Να βρεθεί ο νєν ώστε να ισχύει : i 3ν+ 5 Nα υπολογισθούν οι παραστάσεις: i i i i β) =i i) i 3 + i 46 + i 65 ii) - + + - 3 3 3 37 48 4i 5i i 3i 6i 6 Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος : n i 0 ν A=i +i +i ++i ν ν 7 Αν ο 4 δεν είναι διαιρέτης του νœõ να αποδείξετε ότι : 4κ 4κ 8 Δείξτε ότι : i) α + βi = β - αi, ii) 9 Να βρεθούν οι δυνατές τιμές των παραστάσεων : ν ν A= +i -i, -5ν+7 B=i, 4κ+ 4κ+ +i +i = 0 α + βi + β - αi = 0, κœõ ν α + βi β + αi Γ = + β - αi α -βi, N 0 Για κάθε φυσικό αριθμό N να υπολογισθούν τα αθροίσματα: 3 5 7, S 3 3i 5i 7i i S i i i i i S3 i 3i 5i i, S4 i i 4 3i 8 5i 3 i S 5 4 6 i i i i Να γραφούν στη μορφή α + βi οι παρακάτω παραστάσεις : 3 3 A - +i 3, B 3+4i -i +i, 0 9 3i - i 3 003, -i + +i -i i - ν 6

Α 4 Συζυγείς μιγαδικοί Έστω ο μιγαδικός αριθμός βi Τον μιγαδικό βi τον λέμε συζυγή του i και τον συμβολίζουμε i βi, επομένως ισχύει οι ισοδυναμίες: i i i Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(, ) και M(, ) δύο συζυγών μιγαδικών i και i είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Ο M() Πρόσεξε ότι αν τότε 0i και η M,0 ανήκει στον άξονα, εικόνα του M () M(Œ ) οπότε ο συζυγής του 0i θα έχει εικόνα το σημείο M(,0), οπότε τα σημεία Μ και M θα ταυτίζονται, δηλαδή M M Ο M ( ) Πρόσεξε ότι αν» τότε 0 i και η εικόνα του M0, ανήκει στον άξονα, οπότε ο συζυγής του 0 i θα έχει εικόνα το σημείο M(0, ), οπότε τα σημεία Μ και M θα είναι συμμετρικά σημεία πάνω στον άξονα σε σχέση με την αρχή Ο Ο M(Œ») M (» ) 3 Ιδιότητες Συζυγών Αν βi, είναι βi και ισχύουν:, δηλαδή ( i)( i) Επειδή είναι και i i, οι συζυγείς μιγαδικοί, οπότε Re() και i Im()i i, και γενικά για πεπερασμένο πλήθος προσθετέων νœõ* ισχύει: και γενικά για πεπερασμένο πλήθος παραγόντων νœõ* ισχύει: i λέγονται 0 0 4 Αν θέλουμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ δυο μιγαδικών αριθμών, θα εξετάζομαι 7

πρώτα αν αυτοί είναι: μορφής i και i, δηλαδή αν είναι συζυγείς, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συζυγείς, μορφής i και i ή i (αντiσυζυγείς), οπότε ας έχουμε υπόψιν τους μετασχηματισμούς: i i i i i i i i i i και Πρόσεξε!!! 5 (Να γνωρίζεις την απόδειξη γιατί δεν υπάρχει στο σχολικό) Να ξέρεις ότι αν τότε και αντίστροφα Να ξέρεις ότι αν τότε» και αντίστροφα Απόδειξη Έστω i, οπότε i Αν i i i 00 Αν i ( i) i i 00» Πρόσεξε!!! 6 Για να δείξουμε ότι δυο μιγαδικοί αριθμοί,w είναι συζυγείς δείχνουμε ότι Re() Re(w) και Im() Im(w) και αντίστροφα αν γνωρίζουμε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί,w είναι συζυγείς και θέλουμε να βρούμε τις συνθήκες που ισχύουν, χρησιμοποιούμε τις ίδιες συνθήκες Πρόσεξε!!! 7 Αν θέλουμε να δείξουμε ότι ή» τότε μπορούμε να εργαστούμε με δυο τρόπους: Φέρνουμε τον στη μορφή i και δείχνουμε αντίστοιχα ή ότι 0 ή 0 Χρησιμοποιούμε (αφού τις αποδείξουμε) αντίστοιχα τις ισοδυναμίες: ή» Ας δούμε ασκήσεις με συζυγείς Άσκηση Να βρεθεί ο, όταν: α) 5 7i, β) 4 9i, γ) 4i, δ), ε) i, στ) 0 Λύση α) Για 5 7i είναι 5 7i, β) Για 4 9i είναι 4 9i γ) Για 4i είναι 4i, δ) Για είναι ε) Για i είναι i, στ) Για 0 είναι 0 Άσκηση Με ποιες συμμετρίες μπορούν να προκύψουν από την εικόνα του μιγαδικού i οι εικόνες των μιγαδικών, και ; Λύση Αν M(, ) είναι η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του μιγαδικού i, τότε: M 3 (-,) M(,) η εικόνα του i είναι το σημείο M(, ), η εικόνα του i είναι το σημείο M(, ), η εικόνα του i είναι το σημείο M (-,-) M (,-) M( 3,) Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι: Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς τον άξονα Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς κέντρο το O(0,0) και τέλος: Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς τον άξονα Άσκηση 3 5 9i 5 9i Αν και, να δείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός, ενώ 7 4i 7 4i φανταστικός αριθμός ο 8

Λύση Άσκηση 4 59i 59i Είναι, άρα 74i 74i 59i 59i Ομοίως ( ) 74i 74i, άρα ο» Αν,, και είναι πραγματικοί αριθμοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκο πραγματικός αριθμός i i είναι Λύση ος Τρόπος i Αφού θέλουμε το να είναι πραγματικός αριθμός θα είναι και i i i i i i i i i i i ος Τρόπος i ( i)( i) ( ) ( )i Έχουμε: i ( i)( i) Άρα: R 0 i i i i i i Άσκηση 5 Αν και και, να αποδείξετε ότι ο αριθμός πραγματικός, ενώ ο αριθμός v είναι φανταστικός u είναι Λύση Άσκηση 6 Αρκεί να δείξουμε ότι u u v u και v v Επειδή και θα είναι: u ( ) Έστω ο μιγαδικός με 0 Να δείξετε ότι ο είναι πραγματικός και ότι Λύση, οπότε ο είναι πραγματικός αφού ισούται με τον συζυγή του Στη συνέχεια θέλουμε να δείξουμε ότι Αν i, τότε θέλουμε να δείξουμε ότι (i) i (i) i ( ) v Άσκηση 7 0 ( ) που 0 ισχύουν και οι δύο Άρα ισχύει και η αρχική διπλή ανισότητα Να βρεθούν οι α,βœ ώστε οι μιγαδικοί =(+αi)+(i-3)β και w=α-4-i να είναι συζυγείς 9

Λύση Ασκήσεις προς λύση =(+αi)+(i-3)β=+αi+βi-3β=(α-3β)+(α+β)i Για να είναι οι και w συζυγείς, αρκεί και πρέπει να ισχύουν: 3 4 3 4 3 4 Αν = α + βi με αβ 0 και ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α + πραγματικός αριθμός Β - φανταστικός αριθμός Γ φανταστικός αριθμός Δ - πραγματικός αριθμός Ε πραγματικός αριθμός Στο μιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία συμμετρικά Α ως προς τον, Β ως προς τον, Γ ως προς την ευθεία = Δ ως προς την ευθεία = -, Ε ως προς την αρχή των αξόνων 3 Να βρεθούν τα, R ώστε οι μιγαδικοί: = + - i και = - (4 - ) i να είναι συζυγείς 3 - i 4 Αν φανταστικός αριθμός με -i δείξτε ότι ο αριθμός ω = i είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός 5 Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών και στο μιγαδικό επίπεδο είναι στο ίδιο τεταρτημόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις μπορεί να ισχύει; Α = - B = Γ = - Δ Ιm ( ) + Im ( ) = 0 E κανένα από τα παραπάνω 6 Να δείξετε ότι αν ω = i και ω R τότε ο είναι φανταστικός αριθμός 7 Να βρεθεί το λ єr, ώστε ο = (3 λi)(λ + 6i) να είναι : i) πραγματικός ii) μηδέν iii) φανταστικός 8 Έστω ο αριθμός w= +i+i + +4 i+ Να βρεθεί το єr, ώστε : i) wœ ii) wœ» 9 Να δειχθεί ότι ο 004 w= -i είναι πραγματικός 0 Aν i και Έστω αєr και Να δείξετε ότι Œ +i w= R, τότε να δείξετε ότι Œ» -i ν ν -i +i = + + α -5i α +5i +i 3-i -i 3+i 3ν 3ν, όπου νõ Αν = α + βi και = γ + δi α,β,γ,δ Œ, να εξετάσετε πότε 3 Να βρείτε τον συζυγή των: (+ i) (3-i) α) =, β) 5 i(+ i) -i +i w= - +i -i 0 0» 30

Α 5 Το μιγαδικό επίπεδο και οι απλοί γεωμ τόποι Είναι γνωστό ότι κάθε μιγαδικό αριθμό i αντιστοιχίζεται στο μοναδικό σημείο M(, ) ενός καρτεσιανού επιπέδου και αντίστροφα, κάθε σημείο M(, ) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό i, με συνέπεια ο μιγαδικός i OM, που αντιστοιχίζεται κατά μοναδικό τρόπο στο διάνυσμα λέγεται διανυσματική ακτίνα του Αυτό έχει σαν συνέπεια να χρησιμοποιούμε γνώσεις αναλυτικής γεωμετρίας σε ασκήσεις με μιγαδικούς αριθμούς Ας δούμε τι είναι γεωμετρικός τόπος Γεωμετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σημείων του επιπέδου Μ(,) που αυτά και μόνον αυτά ικανοποιούν μια συνθήκη f(,)=0 Έτσι η μεσοκάθετος (η) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γτ των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, δηλαδή αν M MA MB Α Μ η Β Μάθε λοιπόν τους βασικούς γεωμετρικούς τόπους, διαβάζοντας στις σελίδες 3-6 τις εξισώσεις: ευθείας, κύκλου, έλλειψης, παραβολής, υπερβολής γιατί θα σου χρειασθούν 3 Αφού λοιπόν σε κάθε μιγαδικό αντιστοιχεί ένα σημείο Μ του Μιγαδικού επιπέδου, που είναι η εικόνα του, είναι δυνατόν το σύνολο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού ο οποίος ικανοποιεί μία συνθήκη f να είναι τα σημεία μιας ευθείας ή ενός κύκλου ή μιας παραβολής κτλ Αν λοιπόν μας ζητάνε να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού θα πρέπει να ανακαλύψουμε αφενός το είδος της γραμμής C στην οποία ανήκουν οι εικόνες του (ευθύ) και αφετέρου να ανακαλύψουμε πόσα σημεία της γραμμής C ικανοποιούν την συνθήκη f (αντίστροφο) Αυτό γίνεται αν θέσουμε =+i, Œ και βρούμε μια σχέση, συνήθως ισότητας, που συνδέει το με το Από τη μορφή της σχέσης αυτής θα διαπιστώσουμε το είδος του γεωμετρικού τόπου Αν για παράδειγμα έχουμε έναν μιγάδα i που ικανοποιεί μια συνθήκη f()=0 η οποία μας οδηγήσει να βρούμε ότι: 9, αντιλαμβανόμαστε ότι οι εικόνες των ανήκουν στο κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και έχει ακτίνα ρ=3 Ο Δ ρ (0,0) Γ M(,) C Στη συνέχεια θα πρέπει να βρούμε πόσα σημεία του κύκλου ικανοποιούν τη 3

συνθήκη f()=0 Αν όλα την ικανοποιούν, τότε ο γεωμετρικός τόπος θα είναι όλος ο κύκλος Αν όμως υπάρχει κατάλληλος περιορισμός εξαιρεθούν κάποια σημεία, ώστε να βρούμε σωστά τον γτ για το ή το, θα πρέπει να Για παράδειγμα αν >0 τότε ο γτ είναι τα σημεία του τόξου ΓΔ εξαιρουμένων των σημείων Γ και Δ 4 Γεωμετρικός τόπος συσχετισμένων μιγαδικών αριθμών Αν,w μιγαδικοί αριθμοί οι οποίοι σχετίζονται με τη σχέση w=f() Αν γνωρίζουμε ότι ο κινείται σε μια γραμμή C και θέλουμε να βρούμε τη γραμμή C w στην οποία κινείται ο w, θα εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε w i και i Από τη σχέση w=f() και μετά από τις αντικαταστάσεις θα καταλήξουμε σε κάποιο σύστημα του οποίου οι εξισώσεις θα περιέχουν τα,,α,β Πρόσεχε τώρα Αφού γνωρίζουμε τον γεωμετρικό τόπο του =α+βi, θα είναι γνωστή η εξίσωση g(α,β)=0 του τόπου αυτού Στη συνέχεια θα λύσουμε το σύστημα με αγνώστους τα α,β και θα τα αντικαταστήσουμε στη εξίσωση g(α,β)=0 του γεωμετρικού τόπου του (στην ουσία απαλοίφουμε τα α,β) και έτσι θα μας μείνει μια εξίσωση f(,)=0 που θα μας οδηγήσει στην εύρεση του γτ του w Ας δούμε ασκήσεις στο μιγαδικό επίπεδο και απλούς γεωμ Τόπους Άσκηση Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: α) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν β) Το φανταστικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν γ) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό του μέρος Λύση α) Αν i, τότε 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 0, δηλαδή τα σημεία M(0, ), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με πραγματικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα β) Αν i, τότε 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 0, δηλαδή τα σημεία M(,0), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με φανταστικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα Είναι 0i Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία M(,0), δηλαδή τα σημεία του άξονα γ) Αν i, τότε Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση, δηλαδή τα σημεία M(,), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με πραγματικό μέρος ίσο με το φανταστικό είναι τα σημεία της ευθείας που είναι διχοτόμος της ης και 3ης γωνίας των αξόνων Άσκηση Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: α) 6i β) γ) δ) Λύση Αν i τότε: α) 6i i i 6i i 6i i 3i 3 3

Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της οριζόντιας ευθείας με 3 εξίσωση β) γ) ( i) ( i) ( i) ( i) 0 ( i i)( i i) 0 i 0 0 ή 0 Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των δύο αξόνων και (i) (i) i i (i) i ( i i) ( ) 0 Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των διχοτόμων των τεσσάρων τεταρτημορίων δ) i (i) i () i i Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της κατακόρυφης ευθείας, R Άσκηση 3 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: α) Re 5Re() β) Im 3Im() Λύση α) Έστω i Τότε i Επομένως: Re 5Re() 5 4 0 0 ή 4 0 ή Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας με εξαίρεση το σημείο O(0,0) ή ο κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα Άσκηση 4 Λύση β) Έχουμε: Im 3Im() 3 4 0 4 0 0 ή 4 0 ή Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας με εξαίρεση το σημείο O(0,0) ή κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός είναι α) φανταστικός β) πραγματικός i () i ( ) i( ) Αν i, τότε: i ()i () i () () Επομένως: α) Ο αριθμός είναι φανταστικός, αν και μόνο αν 0, δηλαδή, i () αν και μόνο αν 0 και () 0 ή, ισοδύναμα, 33

5 ( ) και (,) (0,) 4 Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο K, και ακτίνα 5, με εξαίρεση το σημείο (0,) β) Ο αριθμός είναι πραγματικός, αν και μόνο αν 0, δηλαδή, αν i () και μόνο αν 0 και () 0 Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 0, με εξαίρεση το σημείο (0,) ος Τρόπος Για να ορίζεται το κλάσμα αρκεί i 0 i i 0 i Για να ισχύει αυτό αρκεί να μην ισχύει ταυτόχρονα ότι 0 και α) Για να είναι ο αριθμός φανταστικός αρκεί και πρέπει i i i i i i i i i i i ( )( i) ( i)( ) i i i i i i 0 ( ) i( ) 0 () Ξέρουμε ότι αν i τότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε: ( ) ii 0 δια του, έχουμε 5, και i, οπότε 4 0 και διαιρώντας και τα δυο μέλη 0 που είναι εξίσωση του κύκλου ( ) Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει την εξίσωσή του διότι 5 5 0 () 4 4, οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε β) Για να είναι ο αριθμός πραγματικός αρκεί και πρέπει i i i i i i i i i ( )( i) ( i)( ) i i i i i i ii4i 0 ( ) i( ) 4i 0 () Ξέρουμε ότι αν i τότε, και i, οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε: i i 4i 0 i( ) 0 0 Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει την εξίσωση γιατί 0 0, οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε Άσκηση 5 Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού 0 είναι σημείο του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας, να δείξετε ότι η εικόνα N του μιγαδικού w είναι σημείο του ίδιου κύκλου Λύση Έστω i και w i Επειδή η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού 0 είναι σημείο του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας θα έχουμε 34

Είναι w w w, οπότε έχουμε έχουμε: ww w i i ii, άρα η εικόνα N του μιγαδικού κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας w είναι σημείο του Άσκηση 6 Αν Μ η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 0, Ν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού i και Ο η αρχή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο, να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΟΜΝ είναι oρθογώνιο και ισοσκελές Λύση Αν i i ii i i οπότε: M(α,β), N(-β,α) και Ο(0,0), επομένως: OM,,, και, OM, N ON OM, άρα τρίγωνο ΟΜΝ ισοσκελές MN Ασκήσεις προς λύση MN MN και N, άρα N MN, επομένως ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα για το τρίγωνο ΟΜΝ, άρα το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση Α = Β = - Γ = 0 Δ = 0 Ε σε καμία από τις προηγούμενες Οι εικόνες των μιγαδικών + 3i και 3 + i στο μιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία Α = Β = 3 Γ = Δ = - Ε = 0 3 Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο έχει φορέα τη διχοτόμο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου, τότε ο μπορεί να είναι ο Α + i Β - + i Γ + i Δ - - i Ε - - i 4 Αν η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημείο της ευθείας + 3 - = 0, τότε ο δεν μπορεί να είναι ο Α Β - 3 i Γ 5-3i Δ 3 i Ε + i 5 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = + i,, R α) Να γράψετε στη μορφή α + βi τον μιγαδικό w = 8i 6 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και, αν Im (w) = 0 γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και, αν Re (w) = 0 δ) Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του ε) Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων 6 Η εξίσωση + α + β =0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - i α) Να βρείτε την άλλη ρίζα β) Να βρείτε τα α και β 35

7 Αν η εικόνα του μιγαδικού = λ + (λ - ) i στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία = 4 +, να βρεθεί ο λ R 8 Να συμπληρώσετε το διπλανό σχήμα με το σημείο Μ () Μετά να βρείτε τα σημεία Μ ( ), Μ 3 (-) και Μ 4 (- ) Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου Μ Μ Μ 3 Μ 4 9 Ο μιγαδικός = + i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών, που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες = - και = - 0 Αν Μ η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 0, Ν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού i και Ο η αρχή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο, να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΟΜΝ είναι oρθογώνιο και ισοσκελές Αν Μ η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 0, Ν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 3 i και Ο η αρχή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο, να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισόπλευρο Δίνεται ο μιγαδικός = + i Αν Μ είναι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο, Μ το συμμετρικό του ως προς την ευθεία = και Μ το συμμετρικό του Μ ως προς τον, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό που έχει για εικόνα το σημείο Μ Να γράψετε τον ως συνάρτηση του 3 Να περιγραφεί γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις : i) Re() > 0 και Ιm() < 0 ii) Re() και Ιm() < - 4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών -i, για τους οποίους ισχύουν : i) - Re = 0 -i ii) -i Re = 0 +i 5 Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού 0 είναι σημείο του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας 4, να δείξετε ότι η εικόνα N του μιγαδικού 4i w είναι επίσης σημείο κύκλου 6 Να βρεθεί ο γτ της εικόνας του μιγαδικού αριθμού στις ακόλουθες περιπτώσεις i 4 0, ii iii 3 8 8 (παραβολές), iv Re( )=-4 (υπερβολές) v =4συνθ+5ημθ, θœ, vi 3 3() 0 5 (ελλείψεις) 7 Αν * και η εικόνα του Μ κινείται στην ευθεία, να δείξετε ότι η εικόνα Ν του μιγαδικού w κινείται σε υπερβολή της οποίας να βρεθεί η εξίσωση 36

Α 6 Εξισώσεις στο Τις απλές εξισώσεις τις λύνουμε θέτοντας i, οπότε καταλήγουμε σε σύστημα εξισώσεων με δυο αγνώστους τους, το οποίο αφού το επιλύσουμε βρίσκουμε τα,, άρα τον Αν η εξίσωση περιέχει συγχρόνως τους,, θέτουμε i, οπότε i, οπότε καταλήγουμε σε σύστημα εξισώσεων με δυο αγνώστους τους, το οποίο αφού το επιλύσουμε βρίσκουμε τα,, άρα τους, Ας θυμηθούμε ότι: Αν i, είναι i ισχύουν:,, και i, i, i 3 Κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C Η εξίσωση 0, με,, και 0, έχει διακρίνουσα 4 και αν: 0, εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις:, 0, η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική λύση: i 0, η εξίσωση έχει λύσεις τις:,, οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί Να ξέρουμε ότι για τις ρίζες, μιας δευτεροβάθμιες εξίσωσης 0 με 0, ισχύουν οι τύποι του Vietta: και Υπενθυμίζουμε ότι στο η εξίσωση, α<0 έχει δυο λύσεις αντίθετες Έτσι η εξίσωση 6 λύνεται ως εξής: Ας μάθουμε να λύνουμε εξισώσεις στο Άσκηση Να λυθεί η εξίσωση: 3 5i Λύση Θέτουμε i, άρα i, οπότε η εξίσωση γίνεται: 3 5i i i 3 5i 3 i 3 5i Άσκηση Λύση 6 6i 4i 4i 4i 0 4i 3 3, άρα =-5i 5 5 Να λύσετε τις εξισώσεις 3 α), β) α) Αν i τότε έχουμε: i ( i) i i 0 ή 0 0 Αν 0, δηλαδή αν () () i (i) i ( ) 0 ( ) ( )i 0 0, τότε η () γράφεται: 37

3 3 4 4 0 Άρα: 3 i ή 3 i Αν 0, τότε η () γράφεται: Άρα: 0 ή β) Αν i, έχουμε: 3 3 i 3 i 3(i) (i) 3 i ( 3 ) (3 )i 0 () 0 0 ή 3 3 i ( i) 3 3 ( 3 ) 0 (3 ) (3 ) 0 3 3 i 3 i3 i (3 ) 0 0 ή 3 0 () () Αν 0, τότε η () γράφεται: Άρα: 0 ή i ή i ( ) 0 0 ή Αν 3, τότε η () γράφεται: [3(3 ) ] (8 4) 0 0 Άρα οπότε ή και επομένως ή, Άσκηση 3 Λύση Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τις εξισώσεις: α) 3 0 β) 3 0 γ) α) 3 98 3 3 0 ή β) 4 8 i 4 i 3 0 Άσκηση 4 Λύση ( i ) i γ) Είναι 0 και έχουμε: 4 3 i 3 0 Αν μια ρίζα της εξίσωσης 0, όπου, R, είναι 3 i, να βρείτε τις τιμές των β και γ Αφού οι συντελεστές της εξίσωσης 0 είναι πραγματικοί αριθμοί και μία ρίζα της είναι η 3 i, η άλλη θα είναι η 3 i, οπότε θα ισχύει: 6 6 3 38

Ασκήσεις προς λύση α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα + ( - ) = 3 + i β) Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα = - Να βρείτε τους μιγαδικούς = + i,, R, για τους οποίους ισχύει: + + = 0 3 Η εξίσωση - 6 + λ = 0, λ R, μπορεί να έχει ρίζα τον αριθμό Α i Β - i Γ + i Δ - i Ε 3 + i 4 Η εξίσωση + α + 5 = 0, α R μπορεί να έχει ρίζα τον Α - 3 + i Β - i Γ - i Δ 3 - i Ε - 3 - i 5 Αν η εξίσωση - κ + λ = 0, κ, λ Ζ έχει ρίζα τον + i τότε ισχύει Α κ = 6 και λ = 5 Β κ = 4 και λ = Γ κ = 3 και λ = 4 Δ κ = 4 και λ = 5 Ε κ = 5 και λ = 4 6 Η εξίσωση + α + β =0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - i α) Να βρείτε την άλλη ρίζα β) Να βρείτε τα α και β 7 Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ++i+i +=0 ii) +i- +3=0 8 Αν = 3 4i, βρείτε τους w για τους οποίους ισχύει w = 9 Αν = 4i, βρείτε τους w για τους οποίους ισχύει w = 0 Αν η εξίσωση α + β + γ = 0, α, β, γœ και α 0, έχει ρίζα το ρ є, να αρ =- αρ + β β) ρ = γ αρ αποδείξετε ότι: α) Aν 3 0 = - - i, ρίζα της εξίσωσης + α + β = 0, να βρεθούν τα α,β, Œ Nα λυθεί στο σύνολο η εξίσωση 3 Nα βρεθεί ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει : +i+i-3+4i- = +3i 3 4 Nα λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις στο σύνολο +i +i +i + + += 0 -i -i -i i) -4 = 0 ii) 3 + + 5 + 4 = 0 iii) - +5=0 39

Α 7 Έλεγχος γνώσεων Α Ερωτήσεις αντιστοίχισης Αν = α + βi, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α Β + Γ - Δ α α + β 3 α + βi 4 α - βi 5 βi 6 α + i Α Β Γ Δ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β σχέση που ικανοποιεί ο μιγαδικός αριθμός γεωμετρική περιγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο Α το πραγματικό μέρος του είναι Β το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό μέρος του Γ το πραγματικό μέρος του είναι αντίθετο του φανταστικού μέρους του ο άξονας η ευθεία = 3 η ευθεία = - 4 η ευθεία = 5 η ευθεία = - Α Β Γ 40