Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το πεδίο τιμών της Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { : ω ( ω) = Ω = Ω = Ορισμός = ( ) : Ω ω ( ω) = ( ( ω) ( ω) ) = ( ) B B= B B B όπου { B : Η συνάρτηση έτσι ώστε { ενδεχόμενο: είναι μετρήσιμη εάν είναι το από κοινού { B = { B B = { ω Ω : ( ω) B ( ω) B = ( B ) ( B ) = { B { B Την συνάρτηση την ονομάζουμε δισδιάστατη διανυσματική τυχαία μεταβλητή Ορισμός Ο χώρος καταστάσεων μεταβλητής = της δισδιάστατης τυχαίας = : Ω είναι το υποσύνολο του { ( ) : ω ( ω) ( ω) = Ω = Ω = = Ορισμός σ σ είναι το σ πεδίο που παράγεται από την τυχαία μεταβλητή κατά την έννοια: Το πεδίο σ Όταν = : Ω τότε Παρατήρηση σ{ { B : B = B { ( ) { B { B : B B ( ) σ = σ = σ B Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
Εύκολα μπορούμε να γενικεύσουμε σε διάστατες τυχαίες μεταβλητές (διανυσματικές τμ ή δτμ) ( ) : = Ω διάστατα από κοινού ενδεχόμενα και διάστατα παραγόμενα σ πεδία Για παράδειγμα εάν ( ) ω ( ω) = ( ω) ( ω) = : = Ω έτσι ώστε ( ) ( ) { B = { B B { = ω Ω : ω B ω B = B ( B) = { B { B ενώ σ σ σ = ( ) = { i Bi : B B ( ) i= B Ορισμός Η συνάρτηση g : είναι λέμε ότι είναι μετρήσιμη (συνάρτηση Borel) εάν { g B = { : g( ) B = g ( B) B B B Έτσι χρησιμοποιώντας συναρτήσεις Borel μπορούμε να κατασκευάσουμε τυχαίες μεταβλητές που είναι συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών { { Εάν g : είναι συνάρτηση Borel τότε έχουμε g B = g B Επειδή όμως η g είναι συνάρτηση Borel έχουμε g ( B) B από τον ορισμό της τυχαίας μεταβλητής τότε έχουμε: { { ( ) σ g B = g B = g B ( ) ( ) g( ) g g = Ω Ω Από τα προηγούμενα γίνεται φανερό ότι σ ( g ) σ Ορισμός Κάθε τυχαία μεταβλητή : Ω παράγει μέτρο πιθανότητας P : 0 P B = P B = P B B B B [ ] έτσι ώστε B ( ) ( ) ( ) { ( ) P P = P σ [0] B [0] Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
Ορισμός Η διανυσματική τυχαία μεταβλητή ( ) μέτρο πιθανότητας P = P : [ 0] υποσύνολο του της μορφής B= B B ( ) : = Ω παράγει το B έτσι ώστε για κάθε μετρήσιμο B να έχουμε: { ({ { ) P B = P B = P B B = P B B Ορισμός: Λέμε ότι το μέτρο πιθανότητας καταστάσεων = ( Ω) είναι συνεχής P είναι συνεχές όταν ο χώρος και υπάρχει μη αρνητική + συνάρτηση f : 0 η από κοινού συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας για την οποία ισχύει { P Ω = P = f = f = Ορισμός Λέμε ότι το μέτρο πιθανότητας καταστάσεων = ( Ω) = = P είναι διακριτός δηλαδή είναι διακριτό όταν ο χώρος και υπάρχει μη + αρνητική συνάρτηση p : 0 η από κοινού συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την οποία ισχύει: { P Ω = P = p = p = όπου p ( ) = P{ = = Μονοδιάστατες πυκνότητες πιθανότητας Όταν : Ω είναι συνεχής με το συμβολισμό P ( ) εννοούμε την πιθανότητα που περικλείεται στο απειροστό σύνολο ( + ] { ( ] { { ω : ( ω) P = P + = P < + = P Ω < + Εάν η τυχαία μεταβλητή έχει πυκνότητα πιθανότητας + { P < + = f u u f : έχουμε + 0 Θεωρώντας ότι το είναι μια πολύ μικρή (απειροστή) μεταβολή δεχόμαστε ότι η τιμή f ( u ) δεν αλλάζει όταν u ( + ] και παραμένει ίση με f ( ) με αποτέλεσμα Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 3
= { < + + + = = = P ( ) f ( ) P P f u u f u f = Έτσι για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο B (δηλαδή Borel υποσύνολο) του έχουμε: = { = = P B P B P f B B Πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά Lebesgue έχουμε { { B ω B (( ]) P B = P B = P ω = P ωω+ ω ( ω) ( ( ]) { = P + = P < + = f = B B B Η (αθροιστική) συνάρτηση κατανομής F ( ) : [ 0] μεταβλητής ορίζεται σαν η πιθανότητα F ( ) P{ πυκνότητα f δίνεται από το ολοκλήρωμα = { = { ( ] = = u= u της τυχαίας F P P f u u f u u Ισοδύναμα = Όταν υπάρχει η = ( + ) = { + { = { < + F F F P P P = P = f + Όταν : Ω είναι διακριτή με μάζα p : 0 η (αθροιστική) συνάρτηση F : 0 της τυχαίας μεταβλητής ορίζεται σαν η κατανομής [ ] πιθανότητα F ( ) P{ = { F = P = p k k Πρόταση Στην μονοδιάστατη περίπτωση η συνάρτηση κατανομής εξής ιδιότητες: Η F ( ) είναι αύξουσα για < < { F = P έχει τις Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 4
F ( ) 0 + 3 F ( ) 0 4 F ( ) lim F + h = συνεχης η F ειναι παντου συνεχης h 0 = lim F ( + h) = διακριτη η F ειναι συνεχης µονο απο τα δεξια h 0+ Στο παρακάτω σχήμα στα δεξιά η F είναι παντού συνεχής Στο δεξί σχήμα η F είναι συνεχής μόνο από τα δεξιά ( ] ( ] ( ] ( ] { { P P F F { { α lim F ( ) = lim P{ = lim P{ ( ] = lim P{ ( ] P = ( { ( ] ) = P { < < = P ( Ω ) = = β lim F ( ) = lim P{ = lim P{ ( ] = lim P{ ( ] P = ( { ( ] ) = P ( ) = 0 = 3 0 = if F ( ) F ( ) = sup F ( ) ή ισοδύναμα εφόσον η F είναι το ολοκλήρωμα μη αρνητικής συνάρτησης = 0 και = F f u u u= f u u f u u u= u= 4 Έστω φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών { (ισοδύναμα ) τότε με = + Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 5
F ( ) = P{ = P ( ] = P = { ( ] Επειδή B = B = ( B ) = { B i i i i i I i I i I i I F ( ) = P { ( ] = P { = = Και επειδή { θα έχουμε lim { lim F = P = F = F + Δηλαδή δείξαμε ότι F ( ) F ( ) lim πάντα συνεχής από τα δεξιά Άσκηση Δείξτε ότι: = όταν Με άλλα λόγια η ασκ είναι { P < = F P{ F ( ) F ( ) = = Έστω φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών { (ισοδύναμα ) τότε P{ < = P{ ( ) = P ( ] = Επειδή B = B = ( B ) = { B i i i i i I i I i I i I με = η P{ P{ < = P ( ] = P { { = = Και επειδή { θα έχουμε { lim { lim P < = P = F = F < γίνεται Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 6
P{ P( { \{ ) P{ P{ F ( ) F ( ) = = < = < = Άσκηση Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής και το αντίστοιχο failure rate όταν: ~ Ga ( 3 b ) για b > 0 ~ Ca a b a > 0 b > 0 για b > 0 3 ~ Ep ( λ) λ > 0 4 Όταν 0 ~ Wei λ b λ > 0 b > 0 F = 0 Για > 0 έχουμε 3 3 b bu b bu F = Ga u 3 b u = u e u > 0 u = u e u Γ 3 u= u= 0 u= 0 b b = e + b + Συνολικά έχουμε b F e b b = + + ( > 0) για < < b u u F = Ca u a b u = π = b u b u a π + = + u a / b ( ) u= ( ) Το failure rate (ή hazar rate) είναι η συνάρτηση S ( ) H ( ) = log = όπου S ( ) S ( ) = F ( ) η συνάρτηση S ( ) survival Το Failure rate είναι η συχνότητα με την οποία ένα σύστημα (είτε στοιχείο του συστήματος) αποτυγχάνει να λειτουργήσει και βρίσκει εφαρμογή στη θεωρία αξιοπιστίας Το ολοκλήρωμα ( ) ακέραιος Ga u a b u έχει αναλυτική αναπαράσταση μόνο όταν το a είναι θετικός Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 7
( a) / b z ( a ) / b a = arcta z arcta arcta π = = z= + z π π b a π = arcta π + < < b 3 Όταν 0 F = 0 ( λ) λ u= u= 0 λu F = Ep u u = λ e u = e Έτσι λ { ( 0) F e H = λ λ = > και S ( ) e ( 0) 4 Όταν 0 F = 0 = > για < < b b b λ b z λ b F ( ) = Wei ( u λ b) u = λ u ep u u = e z = ep b b Έτσι u= u= 0 z= 0 λ λ F b b H = λ λ = ep ( > 0) λ και S ( ) = ep ( > 0) λ b για < < Από κοινού πυκνότητες πιθανότητας Όταν = ( ) Ω συμβολίζουμε με P ( ) : την πιθανότητα του απειροστού συνόλου ( + ] ( + ] ( ) = {( ) ( + ] ( + ] { P P = P < + < + Εάν λοιπόν η τυχαία μεταβλητή ( ) πιθανότητας f τότε = έχει από κοινού πυκνότητα Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 8
{ + + ( ) P f u u u u < + < + = u = u= επειδή το είναι μια πολύ μικρή μεταβολή δεχόμαστε ότι η συνάρτηση f u u δεν αλλάζει για ( u u) ( + ] ( + ] Η τιμή της παραμένει σταθερή και ίση με f έτσι ( ) ( ) ( ) + + = u = u= P f u u = f Τότε για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο B= B B του { = = = P B P B P f B B { ( ) = = P B B f B B Η συνάρτηση κατανομής ολοκλήρωμα F της δτμ ( ) θα έχουμε = δίνεται από το ( ) { ( ) F P f u u u u u = u = = = Ορισμός Λέμε ότι το μέτρο πιθανότητας P ( ) είναι διακριτό όταν ο χώρος { k k καταστάσεων είναι διακριτός ( ) δηλαδή το είναι διακριτό υποσύνολο του = Ω = k και υπάρχει μη αρνητική συνάρτηση (η από κοινού μάζα πιθανότητας) P ( ) P{ k i i { { { P Ω = P = P = = P = = = i= και P{ B = P ( B) = P{ = B = = τέτοια ώστε Η συνάρτηση κατανομής της διακριτής διανυσματικής τυχαίας μεταβλητής δίνεται από το άθροισμα = { = { = = F P P k k k k Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 9
Πρόταση Οι ιδιότητες της από κοινού συνάρτηση κατανομής Ζ= ( Χ Υ) : Ω είναι οι εξής: F ( y) Y για δισδιάστατη τμ F ( y) 0 ΧΥ ( ) ( y ) FΧΥ y F y F y ΧΥ ΧΥ FΧΥ 3 F ( y) lim = y ΧΥ 4 F ( y ) FΥ y ΧΥ F y ασκ των τμ και Y αντιστοίχως 5 F ( y) F ( y) lim = lim = 0 6 F ( y ) F Y Y ΧΥ ΧΥ y ( y ) όπου lim FY + hy = συνεχης h 0 = lim FY ( + hy ) = διακριτη + h 0 lim FY ( y + k) Y= συνεχης k 0 = lim FY ( y + k) Y= διακριτη + k 0 7 P{ < Y y = FY ( y) FY ( y) P{ y < Y y = F ( y ) F ( y ) Y Y Εμφανώς έχουμε ότι ενώ y Y Y v= u= y όπου και y y F και F ( y) F y = f u v uv 0 ( ) = ( ) ( ) F y f u v uv f u v uv Y Y Y v= u= v= u= y fy ( v) v fy ( v) v v= v= = = Παρατηρήστε ότι F ( y) F( y) και F ( y) F ( ) Y Y Υ οι περιθώριες για κάθε ( ) y Y y Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 0
( ] ( ] ( ] ( ] ( ] Y ( y ] ( ] Y ( y ] { { Y y { { Y y { Y y { Y y P{ Y y P{ Y y F ( y ) F ( y ) Y Y Και οι άλλες τρείς ανισότητες αποδεικνύονται παρόμοια 3 Από τις και έχουμε ότι lim ( ) FΧΥ y a y = < Εφόσον το προηγούμενο όριο υπάρχει θα είναι η κοινή τιμή a των επάλληλων ορίων lim lim F y = a= lim lim F y Αρκεί λοιπόν να βρούμε το όριο ΧΥ ΧΥ y y ΧΥ ( y) lim lim F y Έχουμε lim lim F y = lim lim F m = lim lim P my { ΧΥ ΧΥ y m m Θέτουμε και ( ) {{ m Y {{ m { Y = = m= m= προφανώς ( ) για { m Y = { m Y = ( { m ) { Y m= m= ( { ( m] ) { Y { ( m] { Y m= m= lim m = = { ( ) { Y { Y { Y = =Ω = { { lim F y = lim P lim m Y = lim P Y ΧΥ m y Θέτουμε = {{ Y m = { ( ] προφανώς έτσι { m= { ( ] { lim Y = lim Y = Y = Y = Ω που δίνει ΧΥ { lim F y = Plim Y = PΩ = y Η απόδειξη με εναλλαγμένα τα όρια είναι παρόμοια Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
4 lim F ( y) lim F ( m y) lim P{ m Y y = = ΧΥ ΧΥ m m Θέτουμε ( y) {{ my y m = προφανώς ( y) για έτσι ( { ) ( ΧΥ = = { ) m m= ( { ) { m= lim F y P lim my y P my y { { = P m Y y = P Ω Y y = P Y y = F y Y Παρόμοια είναι και η απόδειξη του F ( y) F ( ) lim ΧΥ y = 5 lim F ( y) = lim F ( m y) = lim P{ m Y y ΧΥ ΧΥ m m Θέτουμε y = {{ my y m προφανώς για έτσι y F ( y ) P ( { my y ) P ( { my y ΧΥ = = ) m m= ( { ) { 0 m= lim lim { = P m Y y = P Y y = P = Παρόμοια είναι και η απόδειξη του F ( y) lim = 0 y 6 Η απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη 4 της προηγούμενης πρότασης 7 P{ < Y y = P( { Y y \{ Y y ) = P( { Y y ) P( { Y y { Y y ) = P( { Y y ) P( { Y y ) = FY ( y) FY ( y) Παρόμοια είναι και η απόδειξη και για την δεύτερη εξίσωση Άσκηση Εάν ( Y ) ~ F Y (οι τμ Y είναι από κοινού συνεχείς είτε από κοινού διακριτές) να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: { > ay > b { ay b 3 { a < a b < Y b 4 { a a b Y b ΧΥ Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές
όπου είναι δυνατόν σαν συναρτήσεις των FY F F Y και p p p Y Y { > a Y > b = ({ > a { Y > b ) = { a { Y b P{ > ay > b = P( { a { Y b ) P{ a P{ Y b P{ a Y b F ( a) F ( b) F ( a b) = + = + Y Y P a Y b = P < a Y < b = P < a P Y < b + P < a Y < b { ({ { ) { { { ( P{ a P{ a ) ( PY { b PY { b ) ( P{ ay b P{ ay b ) F ( a) F ( b) F ( a b) p ( a) p ( b) p ( ab ) = = = + = = = + + + Y Y Y Y 3 P{ a < a b < Y b = P{ a b < Y b P{ a b < Y b = P{ a Y b P{ a Y b ( P{ a Y b P{ a Y b ) = F ( a b ) F ( a b ) F ( a b ) + F ( a b ) Y Y Y Y 4 P{ a a b Y b = P{ a b < Y b P{ < a b < Y b = P{ a b < Y b ( P{ a b < Y b P{ = a b < Y b ) = P{ a Y b P{ a Y b P{ a Y b + P{ a Y b + P{ = a Y b P{ = a Y b = FY ( a b ) FY ( a b ) FY ( a b ) + FY ( a b) + P{ = a Y b P{ = a Y b = FY ( a b ) FY ( a b ) FY ( a b ) + FY ( a b) + P{ = a P{ Y b = a P{ = a P{ Y b = a = FY ( a b ) FY ( a b ) FY ( a b ) + FY ( a b) + p ( a ) F ( b a ) p ( a ) F ( b a ) Y Y Άσκηση Εάν ( YZ ) ~ F YZ (οι τμ YZ είναι από κοινού συνεχείς είτε από κοινού διακριτές) να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: { > a Y > b Z > c { a < a b < Y b c < Z c Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 3
Άσκηση Εάν ( Y ) ~ F Y και οι τμ Y είναι συνεχείς δείξτε ότι: FY y fy y y ( ) = ( ) Γνωρίζουμε ότι f ( y) y P{ y Y y y = < + < + όμως Y { < + < + = { + < + { < + P{ Y y y P{ Y y P{ Y y y P{ Y y F ( y y) F ( y) F ( y y) F ( y) P y Y y y P y Y y y P y Y y y = + + + + + = Y + + Y + Y + + Y = FY ( + y) y FY ( y) y = ( FY ( + y) FY ( y) ) y y y y = FY ( y) y y Άσκηση Να δειχθεί ότι: Εάν η τμ : Ω είναι συνεχής τότε P{ 0 = = για κάθε Ω Εάν ( Χ Υ) : P{ Y y P{ Y y P{ Y y ( y ) ( ΧΥ )( Ω ) Ω δισδιάστατη τμ και η Χ είναι συνεχής τότε = = = = = = = 0 για κάθε 0 P{ = P{ h< = P{ P{ h { = F F h F F = 0 P = = 0 h 0+ εφόσον η συνάρτηση κατανομής είναι παντού συνεχής Εναλλακτικά P{ = = P{ P{ < = F ( ) F ( ) = 0 P{ Y y P{ h Y y { { Y Y h 0+ Y Y P{ Y y 0 ( y) Y 0 = < = P Y y P h Y y = F y F h y F y F y = 0 = = Πρόταση Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 4
Εάν ( ) : = Ω με ( ) ~ F ανεξάρτητες εάν F ( ) = F ( ) F ( ) οι τμ είναι Εάν οι τμ είναι από κοινού συνεχείς τότε ( ) = f f f Εάν οι τμ είναι από κοινού διακριτές τότε ( ) = p p p Πράγματι εάν οι τμ για i = είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και έτσι είναι ανεξάρτητες τότε και τα ενδεχόμενα { ( ) = { = ({ { ) { { F P P = P P = F F Εάν οι τμ είναι από κοινού συνεχείς τότε: F = F F f = F F { ( ) ( ) = F F = f f Ενώ εάν οι τμ είναι από κοινού διακριτές τότε τα ενδεχόμενα { i = για i = είναι ανεξάρτητα και i ( ) = { = = = { = { = p P P P = p p i i Υπό συνθήκη πυκνότητες Εάν οι τμ και Y είναι από κοινού συνεχείς με ( Y ) ~ f Y τότε υπάρχουν δύο υπό συνθήκη πυκνότητες fy ( y ) και fy ( y ) fy ( y ) y = P{ y < Y y + y < + P ({ < + { y < Y y + y ) P{ < + y < Y y + y = = P{ < + P{ < + Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 5
fy yy fy y fy y = = y fy ( y ) f = f y f y Παρόμοια έχουμε ότι f ( y) Y f ( y ) ( y) = Y f Y Πρόταση (περιθώριες πυκνότητες) Εάν οι τμ και Y είναι από κοινού συνεχείς με ( Y ) ~ f Y τότε η περιθώριες πυκνότητες των και Y είναι αντίστοιχα = και f f y y y= Y f y = f y Y = Y Εάν οι τμ και Y είναι από κοινού διακριτές με ( Y ) ~ p Y τότε η περιθώριες μάζες των και Y είναι αντίστοιχα p ( ) p ( y) py y = py y = y Y και f ( ) = P{ < + = P ({ < + Ω ) = P( { < + { < Y < ) = P{ < + < Y < + + = f Y ( u y) u y = f Y ( y) u y = f Y ( y) y y= u= y= u= y= f = f y y y= Y f y = f y Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε και ότι { { { Y = Y p = P = = P( = Y ) = P { = { Y = y y y { ( ) = P = Y= y = p y y Y Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε και ότι p( y) p ( y) Y = Y Εναλλακτικά Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις υπό συνθήκη πυκνότητες f Y y Για παράδειγμα f ( y ) Y και Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 6
( ) = ( ) = ( ) = f y y f f y y f f y y f Y Y Y y= y= y= Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές 7