ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµός: Συάρτηση (functon) είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Πράξεις µε Συαρτήσεις Α δύο συαρτήσεις f, g ορίζοται και οι δύο σε έα σύολο Α, τότε ορίζοται και οι συαρτήσεις: Το άθροισµα S = f + g, µε S( ) = f ( ) + g( ), Η διαφορά D = f g, µε D( ) = f ( ) g( ), Το γιόµεο P = f g, µε P( ) = f ( ) g( ), και f f ( ) Το πηλίκο R =, µε R( ) =, όπου και g( ) g g( ) Γραφική Παράσταση Συάρτησης Έστω µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού έα σύολο Α Γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε έα καρτεσιαό σύστηµα συτεταγµέω Oy λέγεται το σύολο τω σηµείω M (,( f ( )) για όλα τα Μοοτοία - Ακρότατα Συάρτησης Μια συάρτηση f λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, ότα για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει f ( ) < f ( ), και γησίως φθίουσα στο, ότα για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει f ( ) > f ( ) Μια συάρτηση που είαι γησίως αύξουσα ή γησίως φθίουσα λέγεται γησίως µοότοη Τοπικό µέγιστο στο, ότα f ( ) f ( ) για κάθε σε µια περιοχή του, και τοπικό ελάχιστο στο, ότα f ( ) f ( ) για κάθε σε µια περιοχή του Τα µέγιστα και τα ελάχιστα µιας συάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγοται ακρότατα της συάρτησης Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

Όριο Συάρτησης Λέµε λοιπό ότι η f έχει στο σηµείο, όριο (lmt) το αριθµό l και γράφουµε lm f ( ) = l ότα: το παίρει τιµές που τείου (πλησιάζου πάρα πολύ κοτά) στο, ( ), τότε το f ( ) (δηλαδή το y) παίρει τιµές που τείου (πλησιάζου πάρα πολύ κοτά) στο l ( f ( ) l) Μοαδική προϋπόθεση για α µπορούµε α εξετάσουµε α υπάρχει το όριο µιας συάρτησης σ έα σηµείο στο, είαι α παίρει τιµές κοτά στο, είτε ορίζεται στο είτε όχι Ιδιότητες ορίω Α οι συαρτήσεις f και g έχου στο όρια πραγµατικούς αριθµούς, δηλαδή α lm f ( ) =l και lm g ( ) =l όπου l και l πραγµατικοί αριθµοί, τότε αποδεικύεται ότι: lm( f ( ) + g( )) = l + l lm( kf ( )) = kl lm( f ( ) g( )) =l l f ( ) l lm = g ( ) l lm( f ( )) =l lm f ( ) = l Συέχεια συάρτησης Ορισµός : Μια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συεχής, α για κάθε ισχύει lm f ( ) = f ( ) Αποδεικύεται ότι οι γωστές µας συαρτήσεις, πολυωυµικές, τριγωοµετρικές, εκθετικές, λογαριθµικές, αλλά και όσες προκύπτου από πράξεις µεταξύ αυτώ είαι συεχείς συαρτήσεις Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος της f στο = f ( + h) f ( ) Α lm το όριο υπάρχει και είαι πραγµατικός αριθµός, h h τότε λέµε ότι η f είαι παραγωγίσιµη στο σηµείο του πεδίου ορισµού της Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της f στο, συµβολίζεται µε f ( ) και διαβάζεται f τοούµεο του Έχουµε λοιπό: f ( ) = lm h f ( + h) f ( ) h ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός Παραγώγου Έστω µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, και Β το σύολο τω στα οποία η f είαι παραγωγίσιµη Τότε ορίζεται µια έα συάρτηση, µε τη οποία κάθε ατιστοιχίζεται στο f ( + h) f ( ) f ( ) = lm Η συάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) h h παράγωγος (derate) της f και συµβολίζεται µε f Παραγώγιση Βασικώ Συαρτήσεω Α f()=c α αποδείξετε ότι f ( ) = Απόδειξη: για f ( + h) f ( ) c c = lm = lm = lm = lm = h h h h h h h h : f ( ) Άρα ( c ) = Α f()= α αποδείξετε ότι f ( ) = Απόδειξη: f ( + h) f ( ) + h h για h : f ( ) = lm = lm = lm = lm= h h h h h h h Άρα ( ) = Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

4 Η παράγωγος της συάρτησης f ( ) = ρ Α f ( ) Απόδειξη: f = = α δείξετε ότι ( ) ( ) + h f ( + h) f ( ) για h : f ( ) = lm = lm h h h h h + h h + h h( + h) = lm = lm = lm = lm( + h) = h h h h h h h Άρα = ( ) Αποδεικύεται ότι ( χωρίς απόδειξη για µας!!!!) ( ) =, όπου φυσικός Ο τύπος αυτός ισχύει και στη περίπτωση που ο εκθέτης είαι ρητός αριθµός Με εφαρµογή του παραπάω καόα έχουµε : = ( ) = = =, 3 ( ) = = = = 3 ( ) = = = = και γεικεύοτας ρ ρ ( ) = ρ, όπου ρ ρητός αριθµός Η παράγωγος του ηµ και του συ (χωρίς απόδειξη για µας) για τη συάρτηση f ( ) = ηµ αποδεικύεται ότι (ηµ ) = συ για τη συάρτηση g( ) = συ αποδεικύεται ότι ( συ ) = ηµ Η παράγωγος του e και του ln (χωρίς απόδειξη για µας) Για τη εκθετική και τη λογαριθµική συάρτηση, µε βάση το αριθµό e, αποδεικύεται ότι ( e ) = e και (ln ) = Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

5 Καόες Παραγώγισης Να αποδείξετε ότι ( c f ( ) ) = c f ( ) Απόδειξη: Έστω η συάρτηση F( ) = cf ( ) Έχουµε για h : F ( ( )) ( ) ( + h ) F ( lm ) cf lm ( + h ) cf ( c f F ) = = = h h h h ( ( + ) ( )) ( ( + ) ( )) c f h f f h f = lm = clm = cf ( ) h h h h Άρα ( c f ( )) = c f ( ) Να αποδείξετε ότι ( f ( ) + g( ) ) = f ( ) + g ( ) Απόδειξη: Έστω η συαρτηση F( ) = f ( ) + g( ) Έχουµε για h : F( + h) F( ) + = = = h ( f ( ) g( )) F ( ) lm h f ( + h) + g( + h) f ( ) g( ) lm = h h f ( + h) f ( ) g( + h) g( ) lm + lm = f + g h h h h ( ) ( ) Άρα ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g ( ) f ( ) Παράγωγος τω συαρτήσεω f ( ) g( ), ( ) (χωρίς απόδειξη για µας) ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) = g( ) ( g( )) f ( g( )) f ( g( )) g ( ) f = f f ( ) = και ( ) ( ) g, f g( ) και f ( ) ( ) ( ) ( ) Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

6 ( c ) = ( ) = ρ ( ) = = ρ ρ ( ) = ( ηµ ) = συ ( συ ) = ηµ ( εφ) = συ ( σφ) = ηµ ( e ) = e ( l n) = ( cf ( )) = cf ( ) ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g ( ) ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) = g( ) ( g( )) f ( g( )) = f ( g( )) g ( ) ( ) ( f ) = f ( ) f ( ) ( ) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου Α µια συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα και ισχύει f ( ) > για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είαι γησίως αύξουσα στο Α µια συάρτηση f είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα και ισχύει f ( ) < για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είαι γησίως φθίουσα στο (χωρίς απόδειξη για µας) Α για µια συάρτηση f ισχύου f ( ) = για ( α, β ), f ( ) > στο ( α, ) και f ( ) < στο (, β ), τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα ( α, β ) για = µέγιστο (Σχήµα (α)) Α για µια συάρτηση f ισχύου f ( ) = για ( α, β ), f ( ) < στο ( α, ) και f ( ) > στο (, β ), τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα ( α, β ) για = ελάχιστο (Σχήµα (β)) (χωρίς απόδειξη για µας) Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και µεθοδολογιώ για: το σχεδιασµό της διαδικασίας συλλογής δεδοµέω τη συοπτική και αποτελεσµατική παρουσίασή τους τη αάλυση και εξαγωγή ατίστοιχω συµπερασµάτω Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται µε το πρώτο στόχο λέγεται σχεδιασµός πειραµάτω (epermental desgn) εώ, µε το δεύτερο ασχολείται η περιγραφική στατιστική (descrpte statstcs), που αποτελεί και το ατικείµεο µελέτης µας στη συέχεια Τέλος, η επαγωγική στατιστική ή στατιστική συµπερασµατολογία (nferental statstcs) περιλαµβάει τις µεθόδους µε τις οποίες γίεται η προσέγγιση τω χαρακτηριστικώ εός µεγάλου συόλου δεδοµέω, µε τη µελέτη τω χαρακτηριστικώ εός µικρού υποσυόλου τω δεδοµέω ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσµός - Μεταβλητές Έα σύολο του οποίου θέλουµε α εξετάσουµε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά λέγεται πληθυσµός (populaton) Τα στοιχεία του πληθυσµού συχά ααφέροται και ως µοάδες ή άτοµα του πληθυσµού Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουµε έα πληθυσµό λέγοται µεταβλητές (arables) και τις συµβολίζουµε συήθως µε τα κεφαλαία γράµµατα X, Y, Z,, Οι δυατές τιµές που µπορεί α πάρει µια µεταβλητή λέγοται τιµές της µεταβλητής Από τη διαδοχική εξέταση τω ατόµω του πληθυσµού ως προς έα χαρακτηριστικό τους προκύπτει µια σειρά από δεδοµέα, που λέγοται στατιστικά δεδοµέα ή παρατηρήσεις Τα στατιστικά δεδοµέα δε είαι κατ αάγκη διαφορετικά Τις µεταβλητές τις διακρίουµε: Σε ποιοτικές ή κατηγορικές µεταβλητές, τω οποίω οι τιµές τους δε είαι αριθµοί Σε ποσοτικές µεταβλητές, τω οποίω οι τιµές είαι αριθµοί και διακρίοται: ) Σε διακριτές µεταβλητές, που παίρου µόο µεµοωµέες τιµές ) Σε συεχείς µεταβλητές, που µπορού α πάρου οποιαδήποτε τιµή εός διαστήµατος πραγµατικώ αριθµώ ( α, β ) Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

8 Συλλογή Στατιστικώ εδοµέω Έας τρόπος για α πάρουµε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόµαστε για κάποιο πληθυσµό είαι α εξετάσουµε όλα τα άτοµα (στοιχεία) του πληθυσµού ως προς το χαρακτηριστικό που µας εδιαφέρει Η µέθοδος αυτή συλλογής τω δεδοµέω καλείται απογραφή (census) Όπου η απογραφή είαι δύσκολη, αδύατη ή οικοοµικά και χροικά ασύµφορη, ο ερευητής µαζεύει πληροφορίες από κάποια µικρή οµάδα ή υποσύολο του πληθυσµού, το οποίο καλείται δείγµα Κάει τις παρατηρήσεις του στο δείγµα αυτό και µετά γεικεύει τα συµπεράσµατά του για ολόκληρο το πληθυσµό Τα συµπεράσµατα όµως που θα προκύψου από τη µελέτη του δείγµατος θα είαι αξιόπιστα, θα ισχύου δηλαδή µε ικαοποιητική ακρίβεια για ολόκληρο το πληθυσµό, α η επιλογή του δείγµατος γίει µε σωστό τρόπο, ώστε το δείγµα α είαι, όπως λέµε, ατιπροσωπευτικό του πληθυσµού Στη πράξη, έα δείγµα θεωρείται ατιπροσωπευτικό εός πληθυσµού, εά έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε µοάδα του πληθυσµού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί Οι αρχές και οι µέθοδοι για τη συλλογή και αάλυση δεδοµέω από πεπερασµέους πληθυσµούς είαι το ατικείµεο της ειγµατοληψίας (Samplng), που αποτελεί τη βάση της Στατιστικής Γεικά, µπορούµε α πούµε ότι η οργάωση της συλλογής και επεξεργασίας τω σχετικώ δεδοµέω και πληροφοριώ γίεται κατά τρόπο που για δεδοµέη ακρίβεια α επιτυγχάεται το χαµηλότερο δυατό κόστος ή, ατιστρόφως, α εξασφαλίζεται η µέγιστη δυατή ακρίβεια τη οποία επιτρέπου τα µέσα που διαθέτουµε ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Στατιστικοί Πίακες Μετά τη συλλογή τω στατιστικώ δεδοµέω είαι ααγκαία η κατασκευή συοπτικώ πιάκω ή γραφικώ παραστάσεω, ώστε α είαι εύκολη η καταόησή τους και η εξαγωγή σωστώ συµπερασµάτω Οι πίακες διακρίοται στους: α) γεικούς πίακες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προκύπτου από µία στατιστική έρευα (συήθως µε αρκετά λεπτοµερειακά στοιχεία) και αποτελού πηγές στατιστικώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστηµόω-ερευητώ για παραπέρα αάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτω, β) ειδικούς πίακες, οι οποίοι είαι συοπτικοί και σαφείς Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γεικούς πίακες Κάθε πίακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

9 α) το τίτλο, που γράφεται στο επάω µέρος του πίακα και δηλώει µε σαφήεια και συοπτικά το περιεχόµεο του πίακα, β) τις επικεφαλίδες τω γραµµώ και στηλώ, που δείχου συοπτικά τη φύση και τις µοάδες µέτρησης τω δεδοµέω, γ) το κύριο σώµα (κορµό), που περιέχει διαχωρισµέα µέσα στις γραµµές και στις στήλες τα στατιστικά δεδοµέα, δ) τη πηγή, που γράφεται στο κάτω µέρος του πίακα και δείχει τη προέλευση τω στατιστικώ στοιχείω, έτσι ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή, ότα επιθυµεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για λήψη περισσότερω πληροφοριώ Πίακες Καταοµής Συχοτήτω Ας υποθέσουµε ότι,,, κ είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, κ Στη τιµή ατιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχότητα (frequency), δηλαδή ο φυσικός αριθµός που δείχει πόσες φορές εµφαίζεται η τιµή της εξεταζόµεης µεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω Είαι φαερό ότι το άθροισµα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος, δηλαδή: + + + κ = Ο υπολογισµός τω συχοτήτω γίεται µε τη διαλογή τω παρατηρήσεω Α διαιρέσουµε τη συχότητα µε το µέγεθος του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχότητα (relate frequency) f της τιµής, δηλαδή f =, =,,, κ Για τη σχετική συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: () f για =,,, κ : > Απόδειξη: f () f + f + + f κ = Απόδειξη: κ + + + κ f + f + + fκ = + + + = = = Συήθως, τις σχετικές συχότητες f τις εκφράζουµε επί τοις εκατό, οπότε συµβολίζοται µε f %, δηλαδή f% = f Οι ποσότητες,, f για έα δείγµα συγκετρώοται σε έα συοπτικό πίακα, που οοµάζεται πίακας καταοµής συχοτήτω ή απλά πίακας συχοτήτω Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

Για µια µεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ (, ) λέµε ότι αποτελεί τη καταοµή συχοτήτω και το σύολο τω ζευγώ (, f ), ή τω ζευγώ (, f %), τη καταοµή τω σχετικώ συχοτήτω Αθροιστικές Συχότητες Στη περίπτωση τω ποσοτικώ µεταβλητώ εκτός από τις συχότητες και f χρησιµοποιούται συήθως και οι λεγόµεες αθροιστικές συχότητες (cumulate frequences) N και οι αθροιστικές σχετικές συχότητες (cumulate relate frequences) F, οι οποίες εκφράζου το πλήθος και το ποσοστό ατίστοιχα τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή ίσες της τιµής Συχά οι F πολλαπλασιάζοται επί εκφραζόµεες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή F % = F Α οι τιµές,,, κ µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχότητα της τιµής είαι N = + + + Όµοια, η αθροιστική σχετική συχότητα είαι F = f + f + + f, για =,,, κ Είαι φαερό ότι ισχύου οι σχέσεις: = N, = N N,, κ = Nκ Nκ και f F f = F F,, f = F F =, κ κ κ Γραφική Παράσταση Καταοµής Συχοτήτω Υπάρχου διάφοροι τρόποι γραφικής παρουσίασης, αάλογα µε το είδος τω δεδοµέω που έχουµε Όπως όµως οι στατιστικοί πίακες έτσι και τα στατιστικά διαγράµµατα πρέπει α συοδεύοται από α) το τίτλο, β) τη κλίµακα µε τις τιµές τω µεγεθώ που απεικοίζοται, γ) το υπόµηµα που επεξηγεί συήθως τις τιµές της µεταβλητής και δ) τη πηγή τω δεδοµέω α) Ραβδόγραµµα Το ραβδόγραµµα (barchart) χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιµώ µιας ποιοτικής µεταβλητής Το ραβδόγραµµα αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκοται πάω στο οριζότιο ή το κατακόρυφο άξοα Σε κάθε τιµή της µεταβλητής Χ ατιστοιχεί µια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο µε τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετική συχότητα Έτσι έχουµε ατίστοιχα το ραβδόγραµµα συχοτήτω και το ραβδόγραµµα σχετικώ συχοτήτω Τόσο η απόσταση µεταξύ τω στηλώ όσο και το µήκος τω βάσεώ τους καθορίζοται αυθαίρετα Μερικές φορές σε έα ραβδόγραµµα συχοτήτω ο ρόλος τω δύο αξόω είαι δυατό α Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

ατιστραφεί πχ Άλλο 8 ιάβασµα εξωσχ βιβλ 6 Τηλεόραση Κιηµατογρ 4 Μουσική ιασκέδαση Αθλητισµός H/Y Αθλητισµός ιασκέδαση - Ντίσκο Μουσική Τηλεόραση- Κιηµατογρ ιάβασµα εξωσχ βιβλ Άλλο Η/Υ,, f,3 β) ιάγραµµα Συχοτήτω Στη περίπτωση που έχουµε µια ποσοτική µεταβλητή ατί του ραβδογράµµατος χρησιµοποιείται το διάγραµµα συχοτήτω (lne dagram) Αυτό µοιάζει µε το ραβδόγραµµα µε µόη διαφορά ότι ατί α χρησιµοποιούµε συµπαγή ορθογώια υψώουµε σε κάθε (υποθέτοτας ότι < < < κ ) µία κάθετη γραµµή µε µήκος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα Μπορούµε επίσης ατί τω συχοτήτω στο κάθετο άξοα α βάλουµε τις σχετικές συχότητες f, οπότε έχουµε το διάγραµµα σχετικώ συχοτήτω Εώοτας τα σηµεία (, ) ή (, f ) έχουµε το λεγόµεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετικώ συχοτήτω, ατίστοιχα, που µας δίου µια γεική ιδέα για τη µεταβολή της συχότητας ή της σχετικής συχότητας όσο µεγαλώει η τιµή της µεταβλητής που εξετάζουµε πχ 5 5 5 5 5 5 3 αδέλφια 3 αδέλφια Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

γ) Κυκλικό ιάγραµµα Το κυκλικό διάγραµµα (pechart) χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ δεδοµέω, ότα οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είαι σχετικά λίγες Το κυκλικό διάγραµµα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισµέος σε κυκλικούς τοµείς, τα εµβαδά ή,ισοδύαµα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες f τω ιάβασµα εξωσχ βιβλ τιµώ της µεταβλητής Α συµβολίσουµε µε Τηλεόραση - (7,5%) Κιηµατ α το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τµήµατος (,5%) στο κυκλικό διάγραµµα συχοτήτω, τότε: 36 o o 36 o α = ή α = f = 36 f ή και o 36 α = % για =,,, κ f Μουσική (7,5%) πχ δ) Σηµειόγραµµα Ότα έχουµε λίγες παρατηρήσεις, η καταοµή τους µπορεί α περιγραφεί µε το σηµειόγραµµα (dot dagram), στο οποίο οι τιµές παριστάοται γραφικά σα σηµεία υπεράω εός οριζότιου άξοα πχ Άλλο (5%) Η/Υ (7,5%) ιασκέδαση - Ντίσκο (5%) Αθλητισµός (5%) 3 4 5 6 7 8 ε) Χροόγραµµα Το χροόγραµµα ή χροολογικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική απεικόιση της διαχροικής εξέλιξης εός οικοοµικού, δηµογραφικού ή άλλου µεγέθους Ο οριζότιος άξοας χρησιµοποιείται συήθως ως άξοας µέτρησης του χρόου και ο κάθετος ως άξοας µέτρησης της εξεταζόµεης µεταβλητής f % 6 4 8 6 4 Θήλεις Σύολο Άρρεες 99 99 99 993 994 995 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

3 Οµαδοποίηση τω Παρατηρήσεω Οι πίακες συχοτήτω και κατ ααλογία τα ατίστοιχα διαγράµµατα είαι δύσκολο α κατασκευαστού, ότα το πλήθος τω τιµώ µιας µεταβλητής είαι αρκετά µεγάλο Αυτό µπορεί α συµβεί είτε στη περίπτωση µιας διακριτής µεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στη περίπτωση µιας συεχούς µεταβλητής, όπου αυτή µπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιµή στο διάστηµα ορισµού της Σ αυτές τις περιπτώσεις είαι απαραίτητο α ταξιοµηθού (οµαδοποιηθού) τα δεδοµέα σε µικρό πλήθος οµάδω, που οοµάζοται και κλάσεις (class nterals), έτσι ώστε κάθε τιµή α αήκει µόο σε µία κλάση Τα άκρα τω κλάσεω καλούται όρια τω κλάσεω (class boundares) Συήθως υιοθετούµε τη περίπτωση που µια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άω άκρο της (αοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είαι της µορφής [, ) Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούται όµοιες, οπότε µπορού α ατιπροσωπευθού από τις κετρικές τιµές, τα κέτρα δηλαδή κάθε κλάσης Το πρώτο βήµα στη οµαδοποίηση τω δεδοµέω είαι η εκλογή του αριθµού κ τω οµάδω ή κλάσεω Ο αριθµός αυτός συήθως ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή σύµφωα µε τη πείρα του Γεικά όµως µπορεί α χρησιµοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίακας: Μέγεθος δείγµατος < 5 5 Αριθµός κλάσεω κ 5 6 7 8 Μέγεθος δείγµατος 4 4 7 7 Αριθµός κλάσεω κ Το δεύτερο βήµα είαι ο προσδιορισµός του πλάτους τω κλάσεω Πλάτος µιας κλάσης οοµάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης Στη πλειοότητα τω πρακτικώ εφαρµογώ οι κλάσεις έχου το ίδιο πλάτος Φυσικά υπάρχου και περιπτώσεις όπου επιβάλλεται οι κλάσεις α έχου άισο πλάτος, όπως, για παράδειγµα, στις καταοµές εισοδήµατος, ηµερώ απεργίας κτλ Για α κατασκευάσουµε ισοπλατείς κλάσεις (οι µη ισοπλατείς κλάσεις είαι εκτός ύλης), χρησιµοποιούµε το εύρος (range) R του δείγµατος, δηλαδή τη διαφορά της µικρότερης παρατήρησης από τη µεγαλύτερη παρατήρηση του συολικού δείγµατος Τότε υπολογίζουµε το πλάτος c τω κλάσεω διαιρώτας το εύρος R διά του αριθµού τω κλάσεω κ, στρογγυλεύοτας, α χρειαστεί για λόγους διευκόλυσης, πάτα προς τα πάω Το επόµεο βήµα είαι η κατασκευή τω κλάσεω Ξεκιώτας από 9 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

4 τη µικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από τη µικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοτας κάθε φορά το πλάτος c δηµιουργούµε τις κ κλάσεις Αυτοόητο είαι ότι η µεγαλύτερη τιµή του δείγµατος θα (πρέπει α) αήκει οπωσδήποτε στη τελευταία κλάση Τέλος, γίεται η διαλογή τω παρατηρήσεω Το πλήθος τω παρατηρήσεω που προκύπτου από τη διαλογή για τη κλάση καλείται συχότητα της κλάσης αυτής ή συχότητα της κετρικής τιµής, =,,, κ Ιστόγραµµα Συχοτήτω Η ατίστοιχη γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω µε οµαδοποιηµέα δεδοµέα γίεται µε το λεγόµεο ιστόγραµµα (hstogram) συχοτήτω Στο οριζότιο άξοα εός συστήµατος ορθογωίω αξόω σηµειώουµε, µε κατάλληλη κλίµακα, τα όρια τω κλάσεω Στη συέχεια, κατασκευάζουµε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση µε το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εµβαδό του ορθογωίου α ισούται µε τη συχότητα της κλάσης αυτής α) Κλάσεις Ίσου Πλάτους Θεωρώτας το πλάτος c ως µοάδα µέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα, το ύψος κάθε ορθογωίου είαι ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε α ισχύει πάλι ότι το εµβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο µε τις ατίστοιχες συχότητες Εποµέως, στο κατακόρυφο άξοα σε έα ιστόγραµµα συχοτήτω βάζουµε τις συχότητες Με αάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραµµα σχετικώ συχοτήτω, οπότε στο κάθετο άξοα βάζουµε τις σχετικές συχότητες Α στα ιστογράµµατα συχοτήτω θεωρήσουµε δύο ακόµη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, µε συχότητα µηδέ και στη συέχεια εώσουµε τα µέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηµατίζεται το λεγόµεο πολύγωο συχοτήτω (frequency polygon) Το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο µε το άθροισµα τω συχοτήτω, δηλαδή µε το µέγεθος του δείγµατος Όµοια κατασκευάζεται από το ιστόγραµµα σχετικώ συχοτήτω και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω µε εµβαδό ίσο µε, (βλέπε σχήµα 6) 8 6 4 56 6 68 74 8 86 9 Υψος (σε cm) Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός f,3,5,,5,,5 56 6 68 74 8 86 9 Ύψος (σε cm)

5 Με το ίδιο τρόπο κατασκευάζοται και τα ιστογράµµατα αθροιστικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Α εώσουµε σε έα ιστόγραµµα αθροιστικώ συχοτήτω τα δεξιά άκρα (όχι µέσα) τω άω βάσεω τω ορθογωίω µε ευθύγραµµα τµήµατα βρίσκουµε το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω (oge) της καταοµής β) Κλάσεις Άισου Πλάτους (Εκτός ύλης ) Καµπύλες Συχοτήτω Εά υποθέσουµε ότι ο αριθµός τω κλάσεω για µια συεχή µεταβλητή είαι αρκετά µεγάλος (τείει στο άπειρο) και ότι το πλάτος τω κλάσεω f,37,3,,5,7 5 6 7 8 9 Ύψος (σε cm) είαι αρκετά µικρό (τείει στο µηδέ), τότε η πολυγωική γραµµή συχοτήτω τείει α πάρει τη µορφή µιας οµαλής καµπύλης, η οποία οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω (frequency cure), όπως δείχει το σχήµα 9 Οι καµπύλες συχοτήτω έχου µεγάλη εφαρµογή στη Στατιστική, όπου οι ιδιότητες τους µπορού α χρησιµοποιηθού για τη εξαγωγή χρήσιµω συµπερασµάτω Η µορφή µιας καταοµής συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι καταεµηµέες οι παρατηρήσεις σε όλη τη έκταση του εύρους τους Μερικές χαρακτηριστικές καµπύλες συχοτήτω που συατάµε συχά στις εφαρµογές δίοται στο σχήµα Η καταοµή (β), µε κωδωοειδή µορφή λέγεται καοική καταοµή (normal dstrbuton) και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική Ότα οι παρατηρήσεις καταέµοται οµοιόµορφα σε έα διάστηµα [α, β], όπως στη καταοµή (α), η καταοµή λέγεται οµοιόµορφη Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συµµετρικά καταεµηµέες, η καταοµή λέγεται ασύµµετρη µε θετική ασυµµετρία όπως στη καταοµή (γ) ή αρητική ασυµµετρία όπως στη καταοµή (δ) F,9,8,7,6,5,4,3,, 56 6 68 74 8 86 9 Ύψος (σε cm) (α) (β) (γ) (δ) Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

6 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Εισαγωγή Εκτός από τους στατιστικούς πίακες και τα διαγράµµατα υπάρχου και αριθµητικά µέτρα µε τα οποία µπορούµε α περιγράψουµε µε συτοµία µια καταοµή συχοτήτω Η γώση τω µέτρω αυτώ διευκολύει και τη παραπέρα στατιστική επεξεργασία τω δεδοµέω Οι έοιες κετρική τιµή και διασπορά τω παρατηρήσεω µας δίου το ερέθισµα για έα ακόµα πιο σύτοµο τρόπο περιγραφής της καταοµής εός συόλου δεδοµέω Για α ορίσουµε δηλαδή κάποια µέτρα (αριθµητικά µεγέθη), που α µας δίου α) τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα και β) τη διασπορά τω παρατηρήσεω, δηλαδή πόσο αυτές εκτείοται γύρω από το κέτρο τους Τα πρώτα τα καλούµε µέτρα θέσης της καταοµής (locaton measures), εώ τα δεύτερα µέτρα διασποράς ή µέτρα µεταβλητότητας (measures of arablty) Εκτός από τα µέτρα θέσης και διασποράς µιας καταοµής πολλές φορές είαι απαραίτητος και ο προσδιορισµός κάποιω άλλω µέτρω, που καθορίζου τη µορφή της καταοµής Κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη καµπύλη συχοτήτω είαι συµµετρική ή όχι ως προς τη ευθεία =, για δεδοµέο σηµείο του άξοα Τα µέτρα αυτά, που συήθως εκφράζοται σε συάρτηση µε τα µέτρα θέσης και διασποράς, καλούται µέτρα ασυµµετρίας (measures of skewness) Υπολογίζοτας από έα σύολο δεδοµέω κάποια από τα αωτέρω µέτρα, µπορούµε α έχουµε µια Γ σύτοµη περιγραφή της µορφής της καµπύλης συχοτήτω Στο διπλαό σχήµα οι καµπύλες συχοτήτω Α και Β είαι συµµετρικές µε το ίδιο κέτρο, αλλά η Β έχει µεγαλύτερη µεταβλητότητα από τη Α Οι καµπύλες Γ και είαι ασύµµετρες, µε τη Γ όπως λέµε α παρουσιάζει θετική ασυµµετρία και τη αρητική ασυµµετρία Το κέτρο της Γ είαι αριστερότερα του, εώ της είαι δεξιότερα του Η παρουσιάζει µεγαλύτερη µεταβλητότητα από τη Γ Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

7 Μέτρα Θέσης Τα πιο συηθισµέα µέτρα που χρησιµοποιούται για τη περιγραφή της θέσης εός συόλου δεδοµέω πάω στο οριζότιο άξοα O, εκφράζοτας τη κατά µέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω, είαι ο αριθµητικός µέσος ή µέση τιµή (arthmetc mean or aerage), η διάµεσος (medan) και η κορυφή ή επικρατούσα τιµή (mode) (εκτός ύλης η επικρατούσα τιµή) α) Μέση Τιµή ( ) Η µέση τιµή εός συόλου παρατηρήσεω αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιµότερο µέτρο της Στατιστικής και ορίζεται ως το άθροισµα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω Ότα σε έα δείγµα µεγέθους οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ είαι t, t,, t, τότε η µέση τιµή συµβολίζεται µε και δίεται από τη σχέση: t + t + + t t = = = = = t όπου το σύµβολο t παριστάει µια συτοµογραφία του αθροίσµατος = t + t + + t και διαβάζεται άθροισµα τω t από = έως Συχά, ότα δε υπάρχει πρόβληµα σύγχυσης, συµβολίζεται και ως t ή ακόµα πιο απλά µε t Σε µια καταοµή συχοτήτω, α,,, κ είαι οι τιµές της µεταβλητής Χ µε συχότητες,,, κ ατίστοιχα, η µέση τιµή ορίζεται ισοδύαµα από τη σχέση: + + + κ κ = = = = κ + + + κ κ = Η παραπάω σχέση ισοδύαµα γράφεται: = = f κ κ = = όπου κ = f οι σχετικές συχότητες β) Σταθµικός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετική βαρύτητα (έµφαση) στις τιµές,,, εός συόλου δεδοµέω, τότε ατί του αριθµητικού µέσου χρησιµοποιούµε το σταθµισµέο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

8 (weghted mean) Εά σε κάθε τιµή,,, δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται µε τους λεγόµεους συτελεστές στάθµισης (βαρύτητας) w, w,, w, τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από το τύπο: w + w + + w = = = w + w + + w γ) ιάµεσος (δ) Έα άλλο µέτρο θέσης που δε επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις είαι η διάµεσος (medan), η οποία ορίζεται ως εξής: ιάµεσος (δ) εός δείγµατος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθµός, ή ο µέσος όρος (ηµιάθροισµα) τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθµός = Παρατηρούµε ότι, η διάµεσος είαι η τιµή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα µέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού µε σειρά τάξης µεγέθους Ακριβέστερα, η διάµεσος είαι η τιµή για τη οποία το πολύ 5% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες από αυτή και το πολύ 5% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από τη τιµή αυτή ιάµεσος σε Οµαδοποιηµέα εδοµέα Θεωρούµε τα δεδοµέα του ύψους τω µαθητώ στο πίακα 9 και το ατίστοιχο ιστόγραµµα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω µε τη πολυγωική γραµµή Η διάµεσος, όπως ορίστηκε, ατιστοιχεί στη τιµή = δ της µεταβλητής Χ (στο οριζότιο άξοα), έτσι ώστε το 5% τω παρατηρήσεω α είαι µικρότερες ή ίσες του δ ηλαδή, η διάµεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχότητα F = 5% Εφόσο στο κάθετο άξοα έχουµε τις αθροιστικές σχετικές συχότητες, από το σηµείο Α (5% τω παρατηρήσεω) φέρουµε τη // και στη συέχεια τη Γ Τότε, στο σηµείο Γ ατιστοιχεί η διάµεσος δ τω παρατηρήσεω 9 8 7 6 5 4 3 F % w w Γ 56 6 68 74 8 86 9 P Q δ Q 3 P 9 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

9 δ) Εκατοστηµόρια ( P κ )- Τεταρτηµόρια (Εκτός ύλης) ε) Επικρατούσα Τιµή M ) (Εκτός ύλης) Μέτρα ιασποράς ( Παράλληλα λοιπό µε τα µέτρα θέσης κρίεται απαραίτητη και η εξέταση κάποιω µέτρω διασποράς ή µεταβλητότητας, δηλαδή µέτρω που εκφράζου τις αποκλίσεις τω τιµώ µιας µεταβλητής γύρω από τα µέτρα κετρικής τάσης Τέτοια µέτρα λέγοται µέτρα διασποράς (measures of araton, dsperson measures) Τα σπουδαιότερα µέτρα διασποράς είαι το εύρος, η εδοτεταρτηµοριακή απόκλιση (εκτός ύλης), η διακύµαση και η τυπική απόκλιση α) Εύρος (R) Το απλούστερο από τα µέτρα διασποράς είαι το εύρος ή κύµαση (range) (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος R =Μεγαλύτερη παρατήρηση-μικρότερη παρατήρηση Ότα έχουµε οµαδοποιηµέα δεδοµέα, το εύρος δίεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το αώτερο όριο της τελευταίας κλάσης Προφαώς, το εύρος σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα µπορεί α διαφέρει ελαφρώς από τα ατίστοιχα δεδοµέα πρι αυτά οµαδοποιηθού Το εύρος είαι έα αρκετά απλό µέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όµως αξιόπιστο µέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται µόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις β) Εδοτεταρτηµοριακό Εύρος (Q) (Εκτός ύλης) γ) ιακύµαση (s ) Έας άλλος τρόπος για α υπολογίσουµε τη διασπορά τω παρατηρήσεω t, t,, t µιας µεταβλητής Χ θα ήτα α αφαιρέσουµε τη µέση τιµή από κάθε παρατήρηση και α βρούµε το αριθµητικό µέσο τω διαφορώ αυτώ, δηλαδή το αριθµό: Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

( t ) + ( t ) + + ( t ) = = ( t ) Ο αριθµός όµως αυτός είαι ίσος µε µηδέ, Απόδειξη: ( t ) + ( t ) + + ( t ) t + t + + t = = = Γι αυτό, ως έα µέτρο διασποράς παίρουµε το µέσο όρο τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω t από τη µέση τιµή τους Το µέτρο αυτό καλείται διακύµαση ή διασπορά (arance) και ορίζεται από τη σχέση s t = ( ) = Ο τύπος αυτός αποδεικύεται ότι µπορεί α πάρει τη ισοδύαµη µορφή: s = = t = t η οποία διευκολύει σηµατικά τους υπολογισµούς κυρίως ότα η µέση τιµή δε είαι ακέραιος αριθµός Ότα έχουµε πίακα συχοτήτω ή οµαδοποιηµέα δεδοµέα, η διακύµαση ορίζεται από τη σχέση: s κ = ( ) = ή τη ισοδύαµη µορφή: s κ = = = κ όπου,,, κ οι τιµές της µεταβλητής (ή τα κέτρα τω κλάσεω) µε ατίστοιχες συχότητες,,, κ δ) Τυπική Απόκλιση (s) Η διακύµαση είαι µια αξιόπιστη παράµετρος διασποράς, αλλά έχει έα µειοέκτηµα ε εκφράζεται µε τις µοάδες µε τις οποίες εκφράζοται οι παρατηρήσεις Για παράδειγµα, α οι παρατηρήσεις εκφράζοται σε Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

cm, η διακύµαση εκφράζεται σε cm Α όµως πάρουµε τη θετική τετραγωική ρίζα της διακύµασης, θα έχουµε έα µέτρο διασποράς που θα εκφράζεται µε τη ίδια µοάδα µέτρησης του χαρακτηριστικού, όπως ακριβώς είαι και όλα τα άλλα µέτρα θέσης, που εξετάσαµε έως τώρα Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπική απόκλιση (standard deaton), συµβολίζεται µε s και δίεται από τη σχέση: Αξίζει α σηµειωθεί ότι α η καµπύλη συχοτήτω για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είαι καοική ή περίπου καοική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες: ) το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα ( s, + s) ) το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα ( s, + s) ) το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα ( 3 s, + 3 s) s = ) το εύρος ισούται περίπου µε έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s Συτελεστής Mεταβολής (CV) Έα µέτρο το οποίο βοηθά στη σύγκριση οµάδω τιµώ, που είτε εκφράζοται σε διαφορετικές µοάδες µέτρησης είτε εκφράζοται στη ίδια µοάδα µέτρησης, αλλά έχου σηµατικά διαφορετικές µέσες τιµές, είαι ο συτελεστής µεταβολής ή συτελεστής µεταβλητότητας (coeffcent of araton), ο οποίος ορίζεται από το λόγο: Α > : τυπική απόκλιση s CV = % = % µ έση τιµ ή Α < : CV = s % s s 3s s s + s + s + 3 s 68% 95% 99,7% s Ο συτελεστής µεταβολής εκφράζεται επί τοις εκατό, είαι συεπώς αεξάρτητος από τις µοάδες µέτρησης και παριστάει Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

έα µέτρο σχετικής διασποράς τω τιµώ και όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουµε δει έως τώρα Για δύο δείγµατα Α και Β α ξέρουµε ότι CV < CV θα λέµε ότι το δείγµα Α είαι πιο οµοιογεές από το δείγµα Β ή ο βαθµός διασποράς του Β είαι µεγαλύτερος από το βαθµό διασποράς του Α Γεικά δεχόµαστε ότι έα δείγµα τιµώ µιας µεταβλητής θα είαι οµοιογεές, εά ο συτελεστής µεταβολής δε ξεπερά το % ( ηλαδή CV %) Εφαρµογή (Χωρίς α µάθουµε τη απόδειξη) f ( λ) = ( λ) = ( λ) + ( λ) + + ( λ) = γίεται ελάχιστη, ότα λ = Εφαρµογή (Χωρίς α µάθουµε τη απόδειξη) (SOS) Έστω,,, παρατηρήσεις µε µέση τιµή και τυπική απόκλιση s α) Α y, y,, y είαι οι παρατηρήσεις που προκύπτου α προσθέσουµε σε καθεµιά από τις,,, µια σταθερά c, α δειχτεί ότι: ) y = + c, ) sy = s β) Α y, y,, y είαι οι παρατηρήσεις που προκύπτου α πολλαπλασιάσουµε τις,,, επί µια σταθερά c, α αποδειχτεί ότι: ) y = c, ) sy = c s ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πείραµα Τύχης Κάθε πείραµα κατά το οποίο η γώση τω συθηκώ κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσµα λέγεται αιτιοκρατικό (determnstc) πείραµα Κάθε πείραµα του οποίου δε µπορούµε εκ τω προτέρω α προβλέψουµε το αποτέλεσµα, µολοότι επααλαµβάεται (φαιοµεικά τουλάχιστο) κάτω από τις ίδιες συθήκες οοµάζεται πείραµα τύχης (random eperment) ειγµατικός Χώρος Όλα τα αποτελέσµατα που µπορού α εµφαιστού σε έα πείραµα τύχης λέγοται δυατά αποτελέσµατα ή δυατές περιπτώσεις του πειράµατος Το σύολο τω δυατώ αποτελεσµάτω λέγεται δειγµατικός χώρος (sample space) και συµβολίζεται συήθως µε το Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

3 γράµµα Ω Α δηλαδή ω, ω,, ω κ είαι τα δυατά αποτελέσµατα εός πειράµατος τύχης, τότε ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος θα είαι το σύολο: Ω = { ω, ω,, ω κ } Το πλήθος τω στοιχείω του Ω θα το συµβολίζουµε µε N( Ω ) Εδεχόµεα Το σύολο που έχει ως στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσµατα εός πειράµατος τύχης λέγεται εδεχόµεο (eent) ή γεγοός Είαι φαερό ότι έα εδεχόµεο είαι υποσύολο του δειγµατικού χώρου Έα εδεχόµεο λέγεται απλό ότα έχει έα µόο στοιχείο και σύθετο α έχει περισσότερα στοιχεία Ότα το αποτέλεσµα εός πειράµατος, σε µια συγκεκριµέη εκτέλεσή του είαι στοιχείο εός εδεχοµέου, τότε λέµε ότι το εδεχόµεο αυτό πραγµατοποιείται ή συµβαίει Γι αυτό τα στοιχεία εός εδεχοµέου λέγοται και ευοϊκές περιπτώσεις για τη πραγµατοποίησή του Ο ίδιος ο δειγµατικός χώρος Ω εός πειράµατος θεωρείται ότι είαι εδεχόµεο, το οποίο µάλιστα πραγµατοποιείται πάτοτε, αφού όποιο και α είαι το αποτέλεσµα του πειράµατος θα αήκει στο Ω Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο εδεχόµεο εχόµαστε ακόµα ως εδεχόµεο και το κεό σύολο που δε πραγµατοποιείται σε καµιά εκτέλεση του πειράµατος τύχης Γι αυτό λέµε ότι το είαι το αδύατο εδεχόµεο Το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχοµέου Α θα το συµβολίζουµε µε N( ), και προφαώς N( } = Πράξεις µε Εδεχόµεα Α Α και Β είαι δύο εδεχόµεα του δειγµατικού χώρου Ω, έχουµε: Το εδεχόµεο, που διαβάζεται Α τοµή Β ή Α και Β και πραγµατοποιείται, ότα πραγµατοποιούται συγχρόως τα Α και Β Ω I Το εδεχόµεο, που διαβάζεται Α έωση Β ή Α ή Β και πραγµατοποιείται, ότα πραγµατοποιείται έα τουλάχιστο από τα Α, Β Ω U Το εδεχόµεο, που διαβάζεται όχι Α ή συµπληρωµατικό του Α και πραγµατοποιείται, ότα δε πραγµατοποιείται το Α Το λέγεται και ατίθετο του Α Ω Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

4 Το εδεχόµεο, που διαβάζεται διαφορά του Β από το Α και πραγµατοποιείται, ότα πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β Είαι εύκολο α δούµε ότι = Στο παρακάτω πίακα τα Α και Β συµβολίζου εδεχόµεα εός πειράµατος και το ω έα αποτέλεσµα του πειράµατος αυτού Στη αριστερή στήλη του πίακα ααγράφοται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωµέες στη κοιή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη ααγράφοται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωµέες στη γλώσσα τω συόλω Ω Το εδεχόµεο Α πραγµατοποιείται Το εδεχόµεο Α δε πραγµατοποιείται Έα τουλάχιστο από τα Α και Β πραγµατοποιείται Πραγµατοποιούται αµφότερα τα Α και Β ε πραγµατοποιείται καέα από τα Α και Β Πραγµατοποιείται µόο το Α Η πραγµατοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγµατοποίηση του Β ω ω (ήω ) ω ω ω ( ) ω (ή ω ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ) Να πραγµατοποιείται µόο το Α ή µόο το Β, το ζητούµεο εδεχόµεο είαι το ( ) ( ) ή ισοδύαµα το ( ) ( ) Ω Α Β ) Να µη πραγµατοποιείται καέα από τα Α και Β, το ζητούµεο σύολο είαι συµπληρωµατικό του, δηλαδή το ( ) Β Α Ω Ασυµβίβαστα Εδεχόµεα ύο εδεχόµεα Α και Β λέγοται ασυµβίβαστα, ότα = ύο ασυµβίβαστα εδεχόµεα λέγοται επίσης ξέα µεταξύ τους ή αµοιβαίως αποκλειόµεα Ω ( U ) 6 4 I = 3 5 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

5 Η έοια της πιθαότητας Έοια και Ιδιότητες Σχετικής Συχότητας Α σε εκτελέσεις εός πειράµατος έα εδεχόµεο Α πραγµατοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος κ οοµάζεται σχετική συχότητα του Α και συµβολίζεται µε f Ιδιαίτερα α ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος είαι το πεπερασµέο σύολο Ω = { ω, ω,, ω λ } και σε εκτελέσεις του πειράµατος αυτού τα απλά εδεχόµεα { ω}, { ω},,{ ω λ ) πραγµατοποιούται κ, κ,, κ λ φορές ατιστοίχως, τότε για τις σχετικές κ κ κλ συχότητες f =, f =,, fλ = τω απλώ εδεχοµέω θα έχουµε: f, =,,, λ (αφού κ ) κ + κ + + κλ f + f + + fλ = = = Α εκτελέσουµε το παραπάω πείραµα πάρα πολλές φορές δηλαδή + τότε παρατηρούµε ότι τα f, =,,, λτείου α σταθεροποιηθού, αυτό το σταθερό τους αποτέλεσµα λέγεται πιθαότητα του εδεχοµέου ω, =,,, λ Το εµπειρικό αυτό εξαγόµεο, το οποίο επιβεβαιώεται και θεωρητικά, οοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή όµος τω µεγάλω αριθµώ Κλασικός Ορισµός Πιθαότητας Σε πειράµατα στα οποία όλα τα απλά εδεχόµεα του πειράµατος έχου τη ίδια πιθαότητα α πραγµατοποιηθού λέµε ότι τα δυατά αποτελέσµατα ή, ισοδύαµα, τα απλά εδεχόµεα είαι ισοπίθαα Από δω και πέρα όπου συατάµε τις φράσεις αµερόληπτος ή επιλέγουµε τυχαία ή στη τύχη ή οποιαδήποτε φράση που µας λέει ότι το πείραµα είαι τυχαίο και ατικειµεικό θα θεωρούµε ότι έχει ισοπίθαα απλά εδεχόµεα Γεικά, σε έα πείραµα µε ισοπίθαα αποτελέσµατα η σχετική συχότητα εός εδεχοµέου µε κ στοιχεία θα τείει στο αριθµό κ Γι αυτό είαι εύλογο σε έα πείραµα µε ισοπίθαα αποτελέσµατα α ορίσουµε ως πιθαότητα του εδεχοµέου Α το αριθµό: Πλήθος Ευοϊκώ Περιπτώ σεω N( ) P( ) = = Πλήθος υατώ Περιπτώ σεω N( Ω ) Έτσι, έχουµε το κλασικό ορισµό της πιθαότητας, που διατυπώθηκε από το Laplace το 8 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

6 Από το προηγούµεο ορισµό προκύπτει άµεσα ότι: N( Ω) P( Ω ) = = N( Ω) P( ) = N( Ω) = 3 Για κάθε εδεχόµεο Α ισχύει P( ), αφού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχοµέου είαι ίσο ή µικρότερο από το πλήθος τω στοιχείω του δειγµατικού χώρου Αξιωµατικός Ορισµός Πιθαότητας Για τις περιπτώσεις που δε µπορεί α χρησιµοποιηθεί ο κλασικός ορισµός της πιθαότητας χρησιµοποιούµε το παρακάτω αξιωµατικό ορισµό της πιθαότητας, ο οποίος έχει αάλογες ιδιότητες µε τη σχετική συχότητα Έστω Ω = { ω, ω,, ω } έας δειγµατικός χώρος µε πεπερασµέο πλήθος στοιχείω Σε κάθε απλό εδεχόµεο { ω } ατιστοιχίζουµε έα πραγµατικό αριθµό, που το συµβολίζουµε µε P( ω ), έτσι ώστε α ισχύου: P( ω ) P( ω) + P( ω) + + P( ω ) = Το αριθµό P( ω ) οοµάζουµε πιθαότητα του εδεχοµέου { ω } Ως πιθαότητα P( ) εός εδεχοµέου = { α, α,, ακ} ορίζουµε το άθροισµα P( α) + P( α ) + + P( α κ ), εώ ως πιθαότητα του αδύατου εδεχοµέου ορίζουµε το αριθµό P( ) = Α P( ω ) =, =,,,, τότε έχουµε το κλασικό ορισµό της πιθαότητας εός εδεχοµέου Στη πράξη, ιδιαίτερα στη περίπτωση που δε ισχύει ο κλασικός ορισµός της πιθαότητας, ως πιθαότητα εός εδεχοµέου Α λαµβάεται το όριο της σχετικής του συχότητας ΣΧΟΛΙΟ Ότα έχουµε έα δειγµατικό χώρο Ω = { ω, ω,, ω } και χρησιµοποιούµε τη φράση παίρουµε τυχαία έα στοιχείο του Ω, εοούµε ότι όλα τα δυατά αποτελέσµατα είαι ισοπίθαα µε πιθαότητα P( ω ) =, =,,, Καόες Λογισµού τω Πιθαοτήτω Για τις πιθαότητες τω εδεχοµέω εός δειγµατικού χώρου Ω ισχύου οι παρακάτω ιδιότητες, γωστές ως καόες λογισµού τω Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

7 πιθαοτήτω Οι καόες αυτοί θα αποδειχθού στη περίπτωση που τα απλά εδεχόµεα είαι ισοπίθαα Αποδεικύεται όµως ότι ισχύου και στη περίπτωση που τα απλά εδεχόµεα δε είαι ισοπίθαα Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους εδεχόµεα Α και Β ισχύει: P( ) = P( ) + P( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Α N( ) = κ και N( ) = λ, τότε το έχει κ + λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήτα ασυµβίβαστα ηλαδή, έχουµε N( ) = κ + λ = N( ) + N( ) Εποµέως: P( ) = N( ) = N( Ω) N( ) + N( ) N( Ω) N( ) N( ) = + N( Ω) N( Ω) U = P( ) + P( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως απλός προσθετικός όµος (smply addte law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο εδεχόµεα Έτσι, α τα εδεχόµεα Α, Β και Γ είαι αά δύο ασυµβίβαστα θα έχουµε P( Γ ) = P( ) + P( ) + P( Γ ) Ω Για δύο συµπληρωµατικά εδεχόµεα Α και ισχύει: P( ) = P( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή =, δηλαδή τα Α και είαι ασυµβίβαστα, έχουµε διαδοχικά, σύµφωα µε το Ω απλό προσθετικό όµο: P( ) = P( ) + P( ) P( Ω ) = P( ) + P( ) = P( ) + P( ) P( ) = P( ) Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός

8 3 Για δύο εδεχόµεα Α και Β εός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P( ) = P( ) + P( ) P( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για δυο εδεχόµεα Α και Β έχουµε N( ) = N( ) + N( ) N( ) (), Ω αφού στο άθροισµα N( ) + N( ) το πλήθος τω U στοιχείω του υπολογίζεται δυο φορές Α διαιρέσουµε τα µέλη της () µε N( Ω ) έχουµε: N( ) N( ) N( ) N( ) = + N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) P( ) = P( ) + P( ) P( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως προσθετικός όµος (addte law) 4 Α, τότε P( ) P( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή έχουµε διαδοχικά: N( ) N( ) N( ) N( ) N( Ω) N( Ω) P( ) P( ) Ω 5 Για δύο εδεχόµεα Α και Β εός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( ) = P( ) P( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή τα εδεχόµεα και είαι ασυµβίβαστα και ( ) ( ) =, έχουµε: P( ) = P( ) + P( ) P( ) = P( ) P( ) Ω Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μαθηµατικός