Διάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.

Σχετικά έγγραφα
Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Συστήματα συντεταγμένων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα CAD / CAM. Ενότητα # 6: Γραφικά

Θεωρία μετασχηματισμών

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων

ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Στυλιανός Τσίτσος

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)

Γραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ

Εφαρμογές Συστημάτων Γεωγραφικών Πληροφοριών

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Γραμμικές Συναρτήσεις Διάκρισης. ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Βλάμος Π. Αυλωνίτης Μ. ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

Γραφικά με υπολογιστές

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ.

Θέση και Προσανατολισμός

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

ΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3: Τάση. Παρασκευάς Ξυπολιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Μηχανική Ι. Ενότητα 6: Ασκήσεις. Κωνσταντίνος Ι.

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

ΣΧΕΔΙΟ ΣΤΟΝ Η/Υ. Ενότητα 2: Εντολές σχεδίασης Rectangle, Circle, εντολές επεξεργασίας Offset, Trim, Erase.

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Ακτομηχανική και λιμενικά έργα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Μετατροπή τοπογραφικών διαγραμμάτων σε διαφορετικά συστήματα συντ/νων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο

Ανάλυση βάδισης. Ενότητα 2: Χωροχρονικές παράμετροι

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Πληροφορική. Εργαστηριακή Ενότητα 8 η : Γραφήματα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί. ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ.

Μακροοικονομική Θεωρία Ι

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ

Εφαρμογές Πληροφορικής στην Τοπογραφία 7η Ενότητα Μονάδες, εντολές Text, List, μετρήσεις, μετασχηματισμοί και άσκηση χάραξης

Πληροφορική. Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Δυναμική εργαλειομηχανών

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 3 : Ανάλυση ζήτησης Καραμάνης Κωνσταντίνος

Λογισμός 4 Ενότητα 11

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παράκτια Ωκεανογραφία

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Τεχνικό Σχέδιο - CAD. Μετασχηματισμοί σημείων

Transcript:

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διάλεξη # Δ Μετασχηματισμοί (γενικά) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Απλοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές

Άδεια χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ιονίου Πανεπιστημίου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Μετασχηματισμοί στα Γραφικά Μετασχηματισμός είναι η λειτουργία που αλλάζει ένα σχέδιο (μια διευθέτηση) σε ένα άλλο. Σε έναν γεωμετρικό μετασχηματισμό οι θέσεις ενός αντικείμενου χαρτογραφούνται σε άλλες θέσεις. Χρησιμοποιούμε μετασχηματισμούς για να μετατοπίσουμε, να περιστρέψουμε, να μεγεθύνουμε και να σμικρύνουμε ένα αντικείμενο.

Μετασχηματισμοί στα Γραφικά Χρησιμοποιούμε μετασχηματισμούς για να μετατοπίσουμε, να περιστρέψουμε, να μεγεθύνουμε και να σμικρύνουμε ένα αντικείμενο. 5

Γενικοί Μετασχηματισμοί Θέλουμε να είναι σε θέση να χειριστούν γραφικά αντικείμενα: Μετατόπιση (translation): μετακίνηση ενός αντικειμένου Περιστροφή (rotation): αλλαγή προσανατολισμού Αλλαγή κλίμακας (scale): αλλαγή μεγέθους Άλλοι μετασχηματισμοί: αντανάκλαση, στρέβλωση, κλπ. Ένας γενικός Δ μετασχηματισμός έχει τη μορφή: f (, ) f (, ) όπου και είναι οι αρχικές συντεταγμένες και και είναι οι μετασχηματισμένες συντεταγμένες. Σε μορφή διανυσμάτων: p f f ( p) ( p) where p and p 6

Γενικοί Μετασχηματισμοί (συνεχ.) Οι γενικοί μετασχηματισμοί μπορεί να μην είναι γραμμικοί: Οι γραμμές δεν αντιστοιχούν απαραίτητα σε γραμμές. Κάθε σημείο (γραμμών, εσωτερικού σχημάτων, κλπ.) πρέπει να μετασχηματιστεί. Οι μη-γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι δυσκολότεροι! Ευτυχώς, οι πιο σημαντικοί μετασχηματισμοί είναι γραμμικοί. Παράδειγμα μη-γραμμικού μετασχηματισμού: 7 6 5 3 3 5 6 7 + + + 3 7 6 5 3 3 5 6 7 7

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικοί μετασχηματισμοί: f (, ) a + b + c f (, ) a + b + c Οι Γραμμικοί Μετασχηματισμοί μπορούν να υλοποιηθούν με πράξεις μεταξύ πινάκων: a b c p p + Mp+ a b c T Πλεονεκτήματα: Οι γραμμές μετασχηματίζονται σε γραμμές. Χρειάζεται να μετασχηματίσουμε μόνο τις κορυφές. Υπολογιστικά αποδοτικοί. Πρόβλημα: θέλουμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο να ξεφορτωθούμε το T!! 8

Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Στα Γραφικά ενδιαφέρουν κυρίως οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, σε Δ ή 3Δ. Χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι το σύστημα συντεταγμένων θεωρείται σταθερό (αμετάβλητο). Οι διάφοροι μετασχηματισμοί επιδρούν αποκλειστικά και μόνο στα αντικείμενα της σκηνής. 9

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Οποιοσδήποτε άλλος μετασχηματισμός, δημιουργείται σαν συνδυασμός των βασικών μετασχηματισμών: Μ μετατόπιση, R στροφή, H στρέβλωση, S αλλαγή κλίμακας. Οι βασικοί μετασχηματισμοί είναι παραδείγματα συσχετισμένων μετασχηματισμών!

Δ Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Αποτελέσματα στις Δ γενικεύονται στις 3Δ. βασικοί συσχετισμένοι μετασχηματισμοί: Μετατόπιση Αλλαγή Κλίμακας Περιστροφή Στρέβλωση

Μετατόπιση (translation) Μετακίνηση αντικειμένου από ένα σημείο σε ένα άλλο: Ευθύς μετασχηματισμός: + t + t ή p p + T όπου t t Αντίστροφος: p p T T 7 6 5 3 T 3 3 5 6 7

Δ Μετατόπιση d d 3 Y 6 5 3 3 3 5 6 3 5 6 7 8 9 X v v + t όπου και + d + d ' v, v', ' t d d Για να μετακινήσουμε πολύγωνα: μεταφέρουμε τις κορυφές (διανύσματα) και επανασχεδιάζουμε τις μεταξύ τους γραμμές. Διατήρηση μηκών (ισομετρική) Διατήρηση γωνιών (σύμμορφη) 3

Αλλαγή κλίμακας (scaling) Αλλαγή του μεγέθους ενός αντικειμένου: Ευθύς μετασχηματισμός: s s ή p Sp όπου Αντίστροφος: p S - p όπου S s s S s s Πολλαπλασιάζουμε με έναν συντελεστήσταθερά (S) όλες τις συντεταγμένες. ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα αντικείμενα μεγαλώνουν και 7 6 5 3 Τι παρατηρείτε? S μετακινούνται 3 5 6 7

Αλλαγή κλίμακας Ιδιότητες της αλλαγής κλίμακας: Η αλλαγή κλίμακας γίνεται αναφορικά με την αρχή των αξόνων. Συντελεστής αλλαγής κλίμακας > : μεγεθύνει τα αντικείμενα και τα μετακινεί μακριά από την αρχή των αξόνων. Συντελεστής αλλαγής κλίμακας < : μικραίνει το αντικείμενο και το μετακινεί προς την αρχή των αξόνων. Συνήθως δε θέλουμε κάτι τέτοιο! Γενικά θα θέλαμε να αλλάζουμε κλίμακα ως προς το κέντρο του αντικειμένου, όχι ως προς την αρχή των συντεταγμένων! 5

Αλλαγή κλίμακας: Μετασχηματισμοί Η αλλαγή κλίμακας μπορεί να πραγματοποιήσει τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: Ομοιόμορφη αλλαγή κλίμακας: s s διατηρεί τις γωνίες, όχι όμως τα μήκη Ανομοιόμορφη αλλαγή κλίμακας: s s δε διατηρεί γωνίες ή μήκη Κατοπτρισμός γύρω από: -άξονα: s, s -άξονα: s, s γραμμή : s, s διατηρεί γωνίες και μήκη Ένας πίνακας κατοπτρισμού είναι ο αντίστροφος του εαυτού του. S 7 6.5 S 5 3 S 3 5 6 7 S S 6

Αντανάκλαση 7

8 v Sv όπου και Δε διατηρούνται μήκη και γωνίες ' ' ', v v s s S s s ' ' 3 s s Δ Αλλαγή Κλίμακας 3 6 9

Περιστροφή (rotation) Δεδομένου ενός σημείου p στο επίπεδο, πώς θα το περιστρέψουμε γύρω από την αρχή των αξόνων? Βήματα:. Μετατροπή σημείου p σε πολικές συντεταγμένες: φ arctan r + p r cos( φ) r sin( φ) r cos( φ) r sin( φ) p 7 6 5 3 r cos(φ) p (, ) r r sin(φ) φ 3 5 6 7 9

Περιστροφή Κατόπιν, περιστρέφουμε το σημείο κατά θ γύρω από την αρχή των αξόνων:. Για περιστροφή θ μοιρών, προσθέτουμε απλά θ στη φ: r cos( φ + θ) p r sin( φ + θ) 3. Εφαρμ. τον τύπο αθροίσματος γωνιών: r cos( φ)cos( θ) r sin( φ)sin( θ) p r sin( φ)cos( θ) + r sin( θ)cos( φ). Αντικαθιστούμε ξανά τα και : cos( θ) sin( θ) cos( θ) p sin( θ) + cos( θ) sin( θ) sin( θ) cos( θ) 7 6 5 p (, ) 3 r p (, ) r θ φ 3 5 6 7 r cos( φ) r sin( φ)

Περιστροφή Άρα για την περιστροφή ενός σημείου p γύρω από την αρχή των αξόνων, απλά πολλαπλασιάζουμε το p με τον πίνακα περιστροφής: cos( θ ) sin( θ ) sin( θ ) cos( θ )

Περιστρέφοντας ένα Αντικείμενο Εφαρμόζουμε την προηγούμενη περιστροφή σε κάθε κορυφή του! Ευθύς μετασχηματισμός: cos(θ) sin(θ) sin(θ) + cos(θ) ή p Rp όπου cos(θ) R sin(θ) sin(θ) cos(θ) Αντίστροφη περιστροφή: p R - p cos( θ) sin( θ) R sin( θ) cos( θ) Κατάλληλο για περιστροφή με «θετική» γωνιά θ με τη φορά των δεικτών του ρολογιού! cos(θ) sin( θ) sin( θ) cos(θ) R T 7 6 5 3 θ 5 θ 3 5 6 7

Περιστροφές Κανόνας δεξιού χεριού: με τον αντίχειρα στον z-άξονα, τα δάχτυλα περιστρέφονται κατά τη θετική φορά. Αν η θ είναι θετική, η περιστροφή είναι αντίθετη των δεικτών του ρολογιού σε σχέση με την αρχή των αξόνων. Αν η θ είναι αρνητική, η περιστροφή είναι σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού σε σχέση με την αρχή των αξόνων. 7 6 5 p (, ) 3 r p (, ) r θ 3 5 6 7 7 6 5 3 p (, ) r θ 3 5 6 7 p (, ) 3

Δ Περιστροφή π θ 6 θ v R θ v όπου v και cos Ө sin Ө sin Ө + cos Ө, R θ cos sin v' θ θ ' ' sin cos θ θ Διατηρούνται μήκη και γωνίες

Δ Στρέβλωση (shearing) Αυξάνει μια συντεταγμένη του αντικειμένου κατά ποσότητα ίση με μια άλλη συντεταγμένη επί τον παράγοντα στρέβλωσης. Παράδειγμα: τραπουλόχαρτα που τοποθετούνται επίπεδα πάνω σε ένα τραπέζι και έπειτα τους προσδίδουμε κλίση χρησιμοποιώντας ένα σκληρό βιβλίο 5

Δ Στρέβλωση Στρέβλωση κατά άξονα με παράγοντα a: +a, Με πίνακες: p' ' ' a ή: P' SH P 6

Δ Στρέβλωση Στρέβλωση κατά άξονα με παράγοντα b:, b+ Με πίνακες: p' ' ' b ή: P' SH P 7

Δ Στρέβλωση a b 8

9 Y X 3 5 6 7 8 9 3 5 6 θ π θ Κλίση D tan θ Skew θ tan θ Skew θ

Κλίση D Τα τετράγωνα γίνονται παραλληλόγραμμα Οι συντεταγμένες λοξεύουν Οι συντεταγμένες παραμένουν το ίδιο 9 μεταξύ των αξόνων γίνεται Ө Παρατηρήστε ότι η βάση του σπιτιού (στο ) παραμένει οριζόντια, αλλά μετατοπίζεται προς τα δεξιά. Y 6 5 3 π θ θ 3 5 6 7 8 9 X 3

Δ περιστροφή και αλλαγή κλίμακας Ας υποθέσουμε ότι το αντικείμενό μας δεν είναι στην αρχή των αξόνων και θέλουμε να αλλάξουμε κλίμακα και να το περιστρέψουμε. Λύση: μεταφορά στην αρχή, αλλαγή κλίμακας, και/ή περιστροφή στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων, επιστροφή. Αυτή η αλληλουχία, επισημαίνει την ανάγκη σύνθεσης διαδοχικών μετασχηματισμών... 3

Ερωτήσεις - Απορίες 3