Τριγωνοµετρί Στο ορθογώνιο τρίγωνο : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 0 90 ) ισχύουν: + γ ( Πυθγόρειο Θεώρηµ) ηµ Β γ συν εφ Β Β, γ 0 B + Γ 90, ηµγγ/ συν Γ, σφγγ/ Γι την µεττροή µοιρών ( µ 0 ) σε κτίνι ( ) κι ντίστροφ χρησιµοοιούµε τον τύο : a µ 180 Μοίρες Ακτίνι (rad ) Τριγωνοµετρικοί ριθµοί σικών γωνιών 0 0 0 ηµ0 0 συν90 0 0 εφ0 0 σφ90 0 0 0 0 /6 ηµ0 0 συν60 0 1 εφ0 0 σφ60 0 45 0 /4 60 0 / ηµ45 0 συν45 0 ηµ60 0 συν0 0 εφ45 0 σφ45 0 1 εφ60 0 σφ0 0 90 0 / ηµ90 0 συ0 0 1 εφ90 0 σφ0 0 δεν ορίζετι 10 0 / ηµ180 0 0 εφ180 0 εφ60 0 0 150 0 5/6 ηµ70 0-1 σφ70 0 0 180 0 ηµ60 0 0 70 0 / συν180 0-1 60 0 συν70 0 0
Γενίκευση της έννοις των τριγωνοµετρικών ριθµών Αν Μ(,) είνι έν σηµείο σε σύστηµ ξόνων Οχ, Οy κι ρ η όστσή του ό την ρχή των ξόνων τότε: ηµ εφ ρ, συν ρ, σφ/ Ο τριγωνοµετρικός κύκλος Πρτηρήσεις: ηµχ <1 δηλ. 1<ηµχ<1 συνχ <1 δηλ. 1<συνχ<1 Πρόσηµο Τριγωνοµετ Αριθµών 1 0 0 0 4 0 ηµχ + + - - συνχ + - - + εφχ + - + - σφχ + - + - Μονοτονί : Μνηµονικός Κνόνς Ο Η Ε Σ χ 0 / / yηµχ yσυνχ yεφχ yσφχ Η εφτοµένη δεν ορίζετι ότν χκ+/, k Z H συνεφτοµένη δεν ορίζετι ότν χκ, κ Z
Ανγωγή στο 1 0 ρτηµόριο : Ότν στο τόξο ενός τριγωνοµετρικού ριθµού υάρχει k µε k Z, τότε µορούµε ν το ρλείουµε γράφοντς το λό τόξο, χωρίς ν λλάζει ο τριγωνοµετρικός ριθµός κι ελέγχουµε το ρόσηµο ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο. Ότν στο τόξο ενός τριγωνοµετρικού ριθµού υάρχει k/ µε kεριττός, τότε µορούµε ν το ρλείουµε γράφοντς το λό τόξο, λλάζοντς τον τριγωνοµετρικό ριθµό κι ελέγχουµε το ρόσηµο ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο. Πρδείγµτ: ηµ(-χ)-ηµχ συν(-χ)συνχ εφ(-χ)-εφχ σφ(-χ)-σφχ ηµ(+χ)-ηµχ συν(+χ)-συνχ εφ(+χ)εφχ σφ(+χ)σφχ ηµ(+χ)ηµχ συν(+χ)συνχ εφ(+χ)εφχ σφ(+χ)σφχ ηµ(-χ)-ηµχ συν(-χ)συνχ εφ(-χ)-εφχ σφ(-χ)-σφχ ηµ(-χ)ηµχ συν(-χ)-συνχ εφ(-χ)-εφχ σφ(-χ)-σφχ ηµ(/-χ)συνχ συν(/-χ)ηµχ εφ(/-χ)σφχ σφ(/-χ)εφχ ηµ(/+χ)συνχ συν(/+χ)-ηµχ εφ(/+χ)-σφχ σφ(/+χ)-εφχ ηµ(-/-χ)συνχ συν(-/-χ)ηµχ εφ(-/-χ)σφχ σφ(-/-χ)εφχ Τύοι : ηµ εφ συν ηµ + συν 1 k +, k ηµ εφ εφ ηµ Z 1 συν ηµ λ, k Z συν εφ σφ 1 k +, k Z λ, k Z συν 1 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί του θροίσµτος κι της διφοράς δύο τόξων (γωνιών) συν(-)συν. συν+ηµ. ηµ συν(+)συν. συν-ηµ. ηµ ηµ(-)ηµ. συν-ηµ. συν ηµ(+)ηµ. συν+ηµ. συν
εφ + εφ εφ( + ) εφ εφ µε τους σφ σφ 1 σφ( + ) σφ + σφ µε τους εφ + εφ εφ( + ) εφ εφ ντίστοιχους σφ σφ + 1 σφ( ) σφ σφ ντίστοιχους ηµ. ηµ. συν εριορισµούς συν συν -ηµ συν -1 1-ηµ εφ ηµ εφ µε τους ντίστοιχους εριορισµούς Αό µί γωνί στο µισό της ( τύοι του. ) εφ εφ εφ k +, k + k, 4 σφ 1 σφ σφ k, k Ζ, k Ζ εφ συν εφ µε τους ντίστοιχους εριορισµούς Αό µί γωνί στο διλάσιό της ( τύοι οτετργωνισµού ) συν ηµ συν εφ συν µε τους ντίστοιχους εριορισµούς συν συν συν σφ συν µε τους ντίστοιχους εριορισµούς εριορισµούς Ασκήσεις ( υολογιστικές ) : 1. Αν ηµχ-/ κι (180 0,70 0 ) ν υολογίσετε την ριθµητική τιµή της ράστσης: ηµ + συν K εφ σφ
. Αν εφχ- κι (/,) ν υολογίσετε την ριθµητική τιµή της ράστσης: εφ + σφ K ηµ συνχ. Ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς των γωνιών /8 κι /16. 4. Αν συν/5 κι (/, ) ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς των γωνιών κι /. 5. Αν εφ1/4 κι εφ1/ µε, (90 0,180 0 ) ν υολογίσετε τις τιµές των ρστάσεων: εφ(+), ηµ(-) 6. Αν συνχ-1/ κι (90 0,180 0 ) ν υολογίσετε την τιµή της ράστσης: ( ) + συν ( + ) ηµ K + ηµ συν Ασκήσεις ( οδεικτικές ) : 1. Ν οδείξετε ότι ν ισχύει συν(+)0 τότε ηµ(+)ηµ. Αν ++γ µε k Z δείξτε ότι: εφ+εφ+εφγεφ. εφ. εφγ. Το ντίστροφο ότε ισχύει;. Αν ++γ µε k Z δείξτε ότι: εφ. εφ+ εφ. εφγ+ εφγ. εφ1. Το ντίστροφο ότε ισχύει; 4. Αν ++γ µε k Z δείξτε ότι: σφ. σφ+ σφ. σφγ+ σφγ. σφ1. Το ντίστροφο ότε ισχύει; 5. Αν ++γ µε k Z δείξτε ότι: σφ+σφ+σφγσφ. σφ. σφγ. Το ντίστροφο ότε ισχύει; 6. Αν χ+y/4 ν οδείξετε ότι: (εφχ)(εφy) 7. είξτε ότι: ηµ(+). ηµ(-)ηµ -ηµ συν -συν 8. είξτε ότι: συν(+). συν(-)συν -ηµ συν -ηµ 9. είξτε ότι:. ηµ(+). συν(-)ηµ+συν 10. είξτε ότι: συν4χ+4συνχ+8συν 4 χ 11. είξτε ότι: συν4θ8συν 4 θ-8συν θ+1 1. είξτε ότι: συν4χ1-8ηµ χ. συν χ
1. Ν υολογίσετε την ριθµητική τιµή της ράστσης: 5 K ηµ + ηµ + ηµ + ηµ 8 8 8 7 8 14. Ν υολογίσετε την ριθµητική τιµή της ράστσης: 5 7 K συν + συν + συν + συν 8 8 8 8 15. Ν οδείξετε ότι: 1 συν θ + ηµ θ εφθ συν θ + ηµ θ 16. Ν οδείξετε ότι: 4συν θ + συν 4θ 4 εφ θ + 4συν θ + συν 4θ Τριγωνοµετρικές Εξισώσεις : 1. Ν λύστε τις ρκάτω εξισώσεις: ηµχ+0 συνχ-10 + 1 0 εφ σφ + 1 0 ηµ + 1 0 συν + 0 εφχ. ηµχ+1ηµχ+εφχ εφ χ-σφ χ0 ηµ χ-συν χ0 συν χ+συνχ-10 4ηµ + ( + 1) ηµ + 0 σφ χ-σφχ0 συν + + 1 0 ηµχ+συνχ0 στο διάστηµ στο διάστηµ (-,) (, ) εφ + σφ + 0 εφχ+10 στο διάστηµ στο διάστηµ (, ) (,4) ηµ χ+συν χ+ηµχ-0 ( συνχ+1 )(εφ χ-)σφχ0 συνχ-ηµχ-10 ηµχ-συνχ+ηµχ-10 συνχ+συν (χ/)0 -συν χ4ηµ χ συν 4χ-1συν χ εφ 4 ηµ ηµ εφ + εφ εφ + εφ + 4 4 4 εφχσυν(χ/)
Ασκήσεις ( στις τριγωνοµετρικές συνρτήσεις ) : 1. Ν ρείτε την µέγιστη, την ελάχιστη τιµή κι την ελάχιστη θετική ερίοδο των συνρτήσεων: f()ηµχ f()ηµχ-1 f()ηµ(χ+/)+1 f()ηµχ-1 f()-ηµχ+1 f()-ηµ(χ/) f()-συνχ- f()συν(χ+/4) f()συνχ+ f() συν(χ/)+1 f() εφχ f()εφχ+1. Ν κάνετε τη γρφική ράστση των συνρτήσεων: f()ηµ(χ/)+1 f()-συν[χ+(/)]-1 f() ηµχ -1