4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (os y+ isin y) (0.) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή iy e = os y+ isin y (0.) και είναι γνωστός ως τύπος του Euler. Οι βασικές της ιδιότητες είναι οι ακόλουθες: x Μέτρο: e = e 0, C. + Εκθετική ιδιότητα: e e = e,, C. e =. e Παράγωγος: Περιοδικότητα: n n ( e ) = e, όπου n= 0, ±, ±,... e e = (0.3) + πi πi e = ee = e, δηλαδή φανταστική περίοδος π i. Η e ως απεικόνιση: Η λουρίδα y0 y< y0 + π i στο -επίπεδο απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα στο w-επίπεδο από το οποίο έχει αφαιρεθεί το σημείο w = 0. y v x Σχήμα 3. u
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, οι os, sin, tan, ot, ορίζονται μέσω της εκθετικής συνάρτησης από τους ακόλουθους τύπους i i e + e os = (0.4) i i e e sin = i (0.5) sin tan = = i i os + i e (0.6) os ot = = i+ i (0.7) i sin e Δυνάμει του τύπου του Euler όταν η μεταβλητή παίρνει πραγματικές τιμές οι ανωτέρω συναρτήσεις ταυτίζονται με τις γνωστές μας τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής και ως εκ τούτου αποτελούν την γενίκευσή τους στο σύνολο C. Όταν η μεταβλητή παίρνει καθαρά φανταστικές τιμές είναι σαφές από τους ανωτέρω ορισμούς ότι οι sin, os (και επομένως και οι tan, ot ) εκφράζονται άμεσα από τις αντίστοιχες πραγματικές υπερβολικές συναρτήσεις sin( iy) = i sinh y, os( iy) = osh y. (0.8) Περιοδικότητα: Οι sin και os έχουν περίοδο π. Οι tan και ot έχουν περίοδο π. Συμμετρίες: Οι sin, tan, ot είναι περιττές. Η os είναι άρτια. Ρίζες: π π sin( kπ) = tan( kπ) = os kπ + = ot kπ + = 0, όπου k Z. (0.9) Ταυτότητες: Όλες οι γνωστές μας τριγωνομετρικές ταυτότητες στο R συνεχίζουν να ισχύουν με την ίδια μορφή και για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με μιγαδική μεταβλητή. Έτσι π.χ. ισχύουν οι τύποι sin( + ) = sin os + os sin, (0.0) os( + ) = os os sin sin, (0.) sin + os =. (0.) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της sin μπορεί να βρεθεί αμέσως αν στην (4.0) θέσουμε = x, = iy και χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (4.8). Έτσι βρίσκουμε ότι sin = sin xosh y+ ios xsinh y, (0.3) όπου = x + iy. Εντελώς ανάλογα προκύπτει και η αντίστοιχη σχέση για το os
os = os xosh y isin xsinh y. (0.4) Βασιζόμενοι στις (4.3) και (4.4) μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το μέτρο των sin και os. Βρίσκουμε τις σχέσεις sin = sin x+ sinh y (0.5) os = os x+ sinh y. (0.6) Εδώ βλέπουμε μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στις συναρτήσεις sin και os ορισμένες στο R και στην γενίκευσή τους στο C. Δηλαδή ότι οι συναρτήσεις sin και os δεν είναι φραγμένες (διότι δεν είναι φραγμένη η sinh y ), σε αντίθεση με τις sin x και os x που είναι φραγμένες αφού παίρνουν τιμές μόνο στο διάστημα [-,]. Όσον αφορά την παραγωγισιμότητά τους οι συναρτήσεις sin και os είναι ακέραιες αναλυτικές αφού είναι γραμμικοί συνδυασμοί της εκθετικής συνάρτησης. Οι παράγωγοί τους προκύπτουν άμεσα από τους τύπους ορισμού, (4.4), (4.5) και την (4.3) και έχουν την ίδια μορφή με αυτή των αντίστοιχων συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, δηλαδή (sin ) = os, (os ) = sin. (0.7) Η συνάρτηση tan είναι αναλυτική σε όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου εκτός από τα σημεία που μηδενίζουν το os. Παρόμοια, η ot δεν είναι αναλυτική μόνο στα σημεία που μηδενίζουν το sin. Εύκολα βρίσκουμε ότι οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων είναι (tan ) =, (ot ) =. (0.8) os sin Οι υπερβολικές συναρτήσεις Οι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται μέσω των τύπων e + e osh =, (0.9) e e sinh =, (0.0) sinh tanh osh e, (0.) osh oth = = + sinh e (0.) Οι βασικές ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων μπορούν να εξαχθούν από αντίστοιχες ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων αν παρατηρήσουμε ότι οι πρώτες συνδέονται με τις δεύτερες μέσω των σχέσεων osh os( ), sinh sin( ) i i i = =. (0.3) Περιοδικότητα: Οι sinh και osh έχουν φανταστική περίοδο πi. Οι tanh και oth έχουν περίοδο πi. Συμμετρίες: Οι sinh, tanh, oth είναι περιττές. Η osh είναι άρτια.
Ρίζες: Οι ρίζες των υπερβολικών συναρτήσεων είναι καθαρά φανταστικές και δίνονται από τις σχέσεις sinh( kπi) = tanh( kπi) = 0, k Z, (0.4) osh k πi oth + = k+ πi = 0, k Z. (0.5) Ταυτότητες: Έχουν την ίδια μορφή με τις αντίστοιχες ταυτότητες στο R, έτσι π.χ. sinh( + ) = sinh osh + osh sinh (0.6) osh( + ) = osh osh sinh sinh (0.7) osh sinh =. (0.8) Οι υπερβολικές συναρτήσεις δεν είναι φραγμένες. Τα μέτρα των sinh και osh δίνονται από τους τύπους όπου = x + iy. sinh = sinh x+ sin y (0.9) osh = sinh x+ os y (0.30) Οι συναρτήσεις sinh και osh είναι ακέραιες αναλυτικές με παραγώγους (sinh ) = osh, (osh ) = sinh. (0.3) Η tanh είναι αναλυτική παντού όπου osh 0, ενώ η oth είναι αναλυτική παντού όπου sinh 0. Εύκολα βρίσκουμε ότι οι παράγωγοί τους είναι οι (tanh ) =, (oth ) =. (0.3) osh sinh Η συνάρτηση λογάριθμος Η συνάρτηση λογάριθμος, που συμβολίζουμε με το log, ορίζεται ως η αντίστροφη συνάρτηση της e μέσω της σχέσης: log e = με 0. (0.33) i Αν εισάγουμε πολικές συντεταγμένες θέτοντας = re θ και π <Θ π όπου Θ η κύρια τιμή του arg, τότε από την (4.33) προκύπτει αμέσως ότι log = ln r+ i( Θ+ nπ ), με 0 και n= 0, ±, ±, (0.34) Η συνάρτηση αυτή είναι πλειότιμη λόγω του πλειότιμου χαρακτήρα του ορίσματος. Μπορεί να γίνει μονότιμη και αναλυτική αν περιορίσουμε το όρισμα της μεταβλητής έτσι ώστε α < arg < α + π. Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα χωρίο Π(α) που περιλαμβάνει όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου εκτός από τα σημεία της ακτίνας θ = α που ξεκινά από την αρχή Ο και σχηματίζει γωνία α
με τον πραγματικό άξονα. Η ευθεία αυτή λέγεται εγκοπή κλάδου για την συνάρτηση ενώ η έτσι ορισμένη συνάρτηση λέμε ότι αποτελεί ένα κλάδο της συνάρτησης λογάριθμος. Η παράγωγος της log στο χωρίο Π(α) είναι (log ) =. (0.35) Η κύρια τιμή Log της συνάρτησης λογάριθμος ορίζεται με τον τύπο Log = ln r+ iθ, όπου π <Θ π και 0. (0.36) Η συνάρτηση Log είναι μονότιμη. Αν θέσουμε π <Θ< π, (εδώ α = Θ ) τότε λαμβάνουμε τον κύριο κλάδο της συνάρτησης λογάριθμος. Η αντίστοιχη εγκοπή κλάδου συνίσταται από τα σημεία του αρνητικού πραγματικού άξονα. Οι βασικές σχέσεις που ικανοποιεί η συνάρτηση λογάριθμος στο R δηλαδή log( ) = log + log (0.37) log = log log (0.38) συνεχίζουν να ισχύουν και στο C αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η συνάρτηση log είναι πλειότιμη. Έτσι η ισότητα στις (4.37), (4.38) πρέπει να εννοείται ως εξής: Αν σε κάθε μια από τις (4.37), (4.38) έχουμε καθορίσει την τιμή στους δύο από τους τρείς όρους που εμπλέκονται σε αυτή τότε υπάρχει τιμή για τον τρίτο όρο τέτοια ώστε να ικανοποιείται η ισότητα. Προσοχή όμως! Οι (4.37), (4.38) δεν ικανοποιούνται από την μονότιμη συνάρτηση Log. Επίσης λόγω του πλειότιμου χαρακτήρα της log θα έχουμε ενώ log e = + nπ i, όπου n= 0, ±, ±,... (0.39) Loge =. (0.40) Η συνάρτηση f( ) =. Ορισμός: log = e αν 0 (0.4) όπου είναι ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Αν στον ανωτέρω ορισμό n θέσουμε = n όπου n N τότε λαμβάνουμε άμεσα τις ρίζες της εξίσωσης = : / n n Θ k Θ k = r os( + π) + isin( + π) n n n n, (0.4) όπου π <Θ π και k = 0,,,, n. Είναι σαφές από τον ορισμό (4.4) ότι η συνάρτηση είναι πλειότιμη. Αν καθορίσουμε ένα συγκεκριμένο κλάδο για την Είναι σαν να κάναμε μια τομή στο μιγαδικό επίπεδο κατά μήκος αυτής της ακτίνας.
log ώστε αυτή να γίνει μονότιμη τότε γίνεται μονότιμη και η. Στο πλαίσιο ενός τέτοιου κλάδου μπορούμε να γράψουμε + = (σε καθορισμένο κλάδο της ) (0.43) = ( ) (σε καθορισμένο κλάδο της ) Η συνάρτηση «τετραγωνική ρίζα του» λαμβάνεται από την (4.4) για n = και γράφεται Θ i / re για k = 0 = Θ i = re για k Η τιμή στον ανωτέρω τύπο αποτελεί τον κύριο κλάδο που είναι δίτιμη. (0.44) ( )Log e της συνάρτησης