ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη σταθερά α, υολογίστε τα αόριστα ολοκληρώµατα α) d β) + d Υόδειξη: Για το α) ακολουθείστε το αράδειγµα της σελ του βιβλίου, ενώ για το β) χρησιµοοιείστε και την αντικατάσταση u cosθ Λύση: α) Θέτοντας cosθ και αραγωγίζοντας ως ρος θ αίρνουµε τη σχέση µεταξύ d των διαφορικών siθ d siθdθ Αντικαθιστώντας στο dθ ολοκλήρωµα βρίσκουµε: cos θ cos θ d siθdθ siθdθ cos θ cos θ cos θ siθdθ cos θdθ siθ όου χρησιµοοιήσαµε τη γνωστή ταυτότητα cos θ + si θ Τώρα χρησιµοοιούµε άλλη µια γνωστή τριγωνοµετρική ταυτότητα cos θ + cos θ cos θ cos θ Αντικαθιστώντας έχουµε d (cosθ ) dθ cosθdθ θ C siθ θ C + + + Παρατηρούµε ότι θ θ θ θ χρησιµοοιώντας µια ακόµη γνωστή τριγωνοµετρική ταυτότητα έχουµε cos cos si cos και si θ siθ cosθ Αντικαθιστώντας έχουµε d cos + C
β) Θέτοντας taθ και αραγωγίζοντας ως ρος θ αίρνουµε τη σχέση µεταξύ d των διαφορικών sec θ d sec θdθ Αντικαθιστώντας στο dθ ολοκλήρωµα Θέτουµε taθ d dθ, οότε το ολοκλήρωµα γίνεται: cos θ 6ta θ 6si θ dθ dθ cos θ ta θ + cos θ ta θ + si θ si θ dθ d θ cos θ cos θ cos θ όου χρησιµοοιήσαµε τη γνωστή ταυτότητα Θέτουµε u cosθ du siθdθ Έχουµε: si θ si θ du dθ ( ) cos θ u siθ si θ u du du u u ( + ) + C u u Εκφράζουµε τώρα το u συναρτήσει του θ + cos θ ta siθ cos θ cos θ taθ Αό τη σχέση αυτή cosθ cosθ cos θ βρίσκουµε u cosθ + Αντικαθιστώντας έχουµε + ( + ) u u d ( + ) + C + + C Άσκηση ( µον) α) Χρησιµοοιώντας τη µέθοδο αραγοντικής ολοκλήρωσης (βλ σελ 9, του βιβλίου) υολογίστε τα ολοκληρώµατα l d και (l ) d β) Να βρεθεί αναγωγικός τύος για το I (l ) d,,,, αό τον οοίο να υολογίζεται το I, συναρτήσει του ροηγουµένου I γ) Χρησιµοοιώντας τον τύο του β), υολογίστε το ορισµένο ολοκλήρωµα: J e (l) d, για, 6,, Τι αρατηρείτε για την τιµή του J, καθώς αυξάνει το ; Κάντε µια γραφική αράσταση του ως ρος J
Λύση: α) Εφαρµόζοντας τη µέθοδο αραγοντικής ολοκλήρωσης βρίσκουµε για τα δύο ρώτα ολοκληρώµατα: d(l ) Ι l d l d l d l + C d d(l ) I (l ) d (l ) d (l ) (l ) d d ( ) (l ) l d (l ) I (l ) l + C β) Τώρα µορούµε να βρούµε εαγωγικά το ολοκλήρωµα Για έχουµε ( ) ( ) ( ) ( ) I l d ( ) () l d l l d ( l) ( l) ( l) d ( l) ( l) d ( l) ( l) d ( l) I γ) Χρησιµοοιώντας το αοτέλεσµα του β) µορούµε τώρα να υολογίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα αρατηρούµε ότι αό το α) έχουµε J e (l) d, για,, ως εξής: Πρώτα J l Τώρα για,, e e e J (l ) d (l ) (l ) d e J Εφαρµόζοντας διαδοχικά τη σχέση αυτή και λαµβάνοντας υόψη ότι J έχουµε J e- 788, J e-(e-) -e+6 6, J e - (-e +6) 9e- 6, J e - (9e -) - e + 96, J 6 6e-7 68, J 7-8e+ 9, J 8 76 Αό τα αοτελέσµατα αυτά αναµένουµε ότι τα J φθίνουν καθώς µεγαλώνει το Η γραφική αράσταση των αραάνω τιµών του J έχει ως εξής : e 8 6 6 8
Άσκηση ( µον) ίνεται η ρητή συνάρτηση ( ) Υολογίστε το αόριστο + ολοκλήρωµά της Ι ( d ) ακολουθώντας τα εόµενα βήµατα: (α) Παρατηρείστε ότι ο αρονοµαστής αραγοντοοιείται στην µορφή: + ( )( ) και αναλύστε την () σε αλά κλάσµατα ως εξής: όου Α, Β, Γ είναι σταθεροί ραγµατικοί αριθµοί B Γ ( ) + +, (*) (β) Υολογίστε το ζητούµενο ολοκλήρωµα, Ι, χρησιµοοιώντας την ως άνω µορφή της (), (*) και τις ιδιότητες των ολοκληρωµάτων ου αναφέρονται στις σελίδες 8-9 του βιβλίου σας Λύση: α) Έστω ότι ( ) B C + + ( )( ) Προσθέτοντας τα κλάσµατα στο β µέλος αίρνουµε ( ) ( )( ) + B( ) + C( ) και εξισώνοντας τους δυο ( )( ) ( )( ) αριθµητές έχουµε ( )( ) + B( ) + C( ) Θέτοντας διαδοχικά στην αραάνω σχέση,, αίρνουµε :, B, C, δηλαδή, B, C Σηµείωση Στην ερίτωση ου ο αρονοµαστής µιας ρητής αράστασης αναλύεται σε αράγοντες ρώτου βαθµού, όου δεν υάρχουν κοινές ρίζες χ ( ) ( ) ( ) + + + d( ) a a a a a a τότε ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) deg ( ) < deg d( ), a a ( ) ( ) lim a, i,,, i ai i Στο αράδειγµα µας λοιόν θα έχουµε : i j
( ) lim lim lim ( )( ) ( )( ) ( )( ) B lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )( ) ( ) ( ) C lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )( ) ( ) Στην ερίτωση ου ο αρονοµαστής έχει ρίζες ολλαλότητας µεγαλύτερης του χ ( ) ( ) ( ) k k k d( ) a a a τότε ( ) ( ) ( ) k + + + + k ( a ) ( a) ( a) k + + + + + k ( a ) ( a) ( a) + + + + + ( a ) ( a) ( a) ( ) ( ) deg < deg d k + k + + k, a a k q d lim i ki q ( k q)! d k k i j i ki ( a ) ( ) iq a i i i,,, και q,,, ki Έτσι αν έχουµε την αράσταση + + ( ) ( ) οι συντελεστές ου ψάχνουµε θα είναι : + lim ( ) lim ( + ) ( ) d + lim ( ) lim! d ( ) β) Αό το α) έχουµε ( ) d d + d d ( )( ) l + l l + c Άσκηση ( µον) Για τον ροσεγγιστικό υολογισµό του Ι d εργαστείτε ως εξής:
(α) ιαµερίστε το διάστηµα ολοκλήρωσης σε ίσα υοδιαστήµατα µήκους / και ακολουθήστε τη διαδικασία ου εριγράφεται στις σελίδες 9- του βιβλίου σας καταλήγοντας σε δύο ακολουθίες a, b ου ροσεγγίζουν το Ι ως κάτω ροσέγγιση και άνω ροσέγγιση αντίστοιχα (β) Μια άλλη µέθοδος για τον ροσεγγιστικό υολογισµό ορισµένων b a ολοκληρωµάτων Ι ( ) d είναι η µέθοδος του τραεζίου, η οοία εριγράφεται αό τον εξής αλγόριθµο: Βήµα Ορίζουµε φυσικό αριθµό b a Βήµα Χωρίζουµε το διάστηµα [ a, b] σε ίσα υοδιαστήµατα µήκους h Βήµα Ορίζουµε τα άκρα των διαστηµάτων a, ],, ], [, b, όου [ a+ h, + h,, b + h Bήµα Υολογίζουµε τις οσότητες [ ] h[ ( a) + ( )], h[ ( ) + ( )],, h[ ( ) + ( b)] Βήµα Το ολοκλήρωµα υολογίζεται ροσεγγιστικά αό την οσότητα c + + + αφού Ι lim c Bήµα 6 Εάν η ροσέγγιση δεν είναι ικανοοιητική, ηγαίνουµε στο Βήµα και χ αυξάνουµε τον αριθµό των υοδιαστηµάτων στα οοία χωρίσαµε το [a, b] Ποια αό τις ακολουθίες a, b, c των ροηγούµενων ερωτηµάτων δίνει καλύτερη ροσέγγιση του ακριβούς αοτελέσµατος για,,, ; Λύση: (α) Αρχικά θα υολογίσουµε την άνω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος Θεωρείστε την γραφική αράσταση της ( ), όου έχουµε χωρίσει το διάστηµα [,] σε ίσα υοδιαστήµατα 8 () 6 + + 6 8 + + Άνω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος Το ολοκλήρωµα της συνάρτησης ροσεγγίζεται µε το άθροισµα των ορθογωνίων ου σχηµατίζονται στο αραάνω σχήµα δηλ 6
a I + [] ma ( ),+ + + + + ma ( ) +,+ + + + + + ma ( ) +,+ ( )( ) + + + + + + + + Στη συνέχεια υολογίζουµε την κάτω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος 8 () 6 + + 6 8 + + Κάτω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος Το ολοκλήρωµα της συνάρτησης ροσεγγίζεται µε το άθροισµα των ορθογωνίων ου σχηµατίζονται στο αραάνω σχήµα δηλ k I + [] mi ( ),+ + + + + mi ( ) +,+ + + + + + mi ( ) +,+ ( )( ) + + () + + + + + k a Παρακάτω δίνουµε έναν ίνακα τιµών των αραάνω αθροισµάτων I, I για,,, καθώς και την διαφορά τους αό την ραγµατική τιµή του k k a ολοκληρώµατος Ι/7 χ E 7 I, E 7 I a 7
k E k I 6 87 687-97 8 66667-88 988 6788-987 67 8 8-7 6 87 6 7-667 869 6 7 6-6 78 8 99-99 796 77 9 8-988 7 7-7 a I a E Συνεώς θα έχουµε ότι : ( + )( + ) ( + )( + ) lim d lim d d Το όριο των αραάνω ακολουθιών, όταν το λήθος των υοδιαστηµάτων τείνει στο άειρο, τείνει στο ηλίκο του συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου του αριθµητή δια του συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου του αρονοµαστή Σηµείωση Για τον υολογισµό των αραάνω αθροισµάτων θα ρέει να υολογίσετε το ανάτυγµα κάθε αρένθεσης και να λάβετε υόψη σας τους τύους : ( + ) ( + )( + ) ( + ) i i i 6 i i i (β) Στη µέθοδο του τραεζίου διαχωρίζουµε την ειφάνεια µεταξύ της συνάρτησης και του άξονα σε ειµέρους τραέζια : ( ) 8 () 6 + + 6 8 + + Προσέγγιση µε τη µέθοδο του τραεζίου Συνεώς η ροσέγγιση του ολοκληρώµατος θα είναι το άθροισµα των εµβαδών των ειµέρους τραεζίων δηλ 8
I () + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + i ++ + + + i Υενθυµίζουµε ότι το εµβαδόν ενός τραεζίου µε λευρές αράλληλες µήκους a,b και ύψους h, είναι E ( a+ b) h Είναι εύκολο να δούµε ότι όταν το λήθος των υοδιαστηµάτων τείνει στο άειρο τότε : lim I lim + Μορούµε εύκολα να συγκρίνουµε τα αραάνω αοτελέσµατα µε το ορισµένο ολοκλήρωµα της άσκησης : d Στον αρακάτω ίνακα βλέουµε τις τιµές του αθροίσµατος I,,,, καθώς και την διαφορά E 7 I αό την ραγµατική τιµή του ολοκληρώµατος Ι/7 I E 97-87 8-8 79688-687 78-6 778-8 7 76-6 8 767-788 9 796-996 77-7 Είναι εύκολο να δούµε : α) ότι για έχω την καλύτερη ροσέγγιση, και β) ότι η µέθοδος του τραεζίου οδηγεί σε ιο γρήγορη σύγκλιση ρος την τιµή του ολοκληρώµατος Ι7, αό την µέθοδο των ορθογωνίων Άσκηση ( µον) ίνεται ότι το αόλυτο σφάλµα Ε ραγµατική τιµή υολογιζόµενη τιµή του ολοκληρώµατος την σχέση: b a ( ) d της µεθόδου του τραεζίου (βλ Άσκηση β), ικανοοιεί ( b a) E ma ''( ) (**) a b 9
όου το µέγιστο της δευτέρας αραγώγου της, υολογίζεται για όλα τα του διαστήµατος [ ab, ] Χρησιµοοιώντας την µέθοδο αυτή και ακολουθώντας τα αρακάτω βήµατα, υολογίστε ροσεγγιστικά τον αριθµό l µε σφάλµα µικρότερο του d α) είξτε ότι: l β) Υολογίστε το ma ( ), όταν [, ] γ) Χρησιµοοιώντας τον τύο του σφάλµατος (**) υολογίσατε ένα, τέτοιο ώστε E < δ) Χρησιµοοιώντας τον αλγόριθµο του τραεζίου και την τιµή του ου βρήκατε d ροηγουµένως, υολογίστε το ολοκλήρωµα: Σχολιάστε κατά όσον η ακρίβεια του αοτελέσµατος είναι αυτή ου εριµένατε Λύση: α) Κατ αρχάς έχουµε: d l + C και άρα ( ) ( ) d l + C l + C l + C l l l β) Θα χρησιµοοιήσουµε τώρα τον δοθέντα τύο Κατ αρχάς ( ) ( ) και αφού [, ], έεται ότι ma b a Ακόµα, b a, h Εοµένως E 6 γ) Θέλουµε < < > 8 6 6 άρα µε µορούµε να εξασφαλίσουµε τον υολογισµό του l µε σφάλµα µικρότερο του δ) Για την ροσέγγιση τώρα, µε τον αλγόριθµο του τραεζίου έχουµε: h και
( ) + ( ) 8 + ( ) 786 + ( ) 6 + ( ) 6 + ( ) και ο τύος του τραεζίου µας δίνει d + + + + [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] h + + + + + 696 696 Η τιµή ου αίρνουµε αό τον ορισµό είναι l 697, βλέουµε εοµένως ότι έχουµε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων Άσκηση 6 ( µον) Αντιστοιχίστε τα ολοκληρώµατα των κάτωθι συναρτήσεων µε τις ροτεινόµενες «λύσεις» B C / e Ολοκληρώµατα συναρτήσεων cos d Λύσεις d + d + D + d + + l E
l d Λύση: Α) Υολογίζω το d Ισχύει cos () si( ) (si( )) cos( ) si( )(cos( )) cos ( ) + si ( ) (ta( )) cos( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) Άρα d ta( ) ta() cos ( ) Σωστή ειλογή το () B) Υολογίζω το d Ισχύει d d l( ) + C Άρα e d l( e) l() Σωστή ειλογή το () C) Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d Χρησιµοοιώ τους τύους + ολοκλήρωσης αό το βιβλίο σελ 8-9 Ισχύει d ta ( ) + C + Παρατηρώ ότι η είναι συνεχής για όλα τα R Υολογίζω για z > το + z d I z Είναι I z ta ( z) ta () ta ( z), όου ω ta ( z) γωνία + < ω < Προφανώς το γενικευµένο ολοκλήρωµα έχει έννοια σαν + limz + I z d + Σωστή ειλογή το ()
D) Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d + + Είναι d + + d + + + ( + ) + d Σύµφωνα µε το C αραάνω και τους τύους ολοκλήρωσης αό το βιβλίο σελ 8-9, έχω : d ta ( + ) + C + + Η συνάρτηση είναι συνεχής και ορισµένη για όλους τους ραγµατικούς + + αριθµούς, άρα µορώ να µιλάω για το ορισµένο ολοκλήρωµα : t I t d ta ( t + ) ta ( t + t + + ) Προφανώς το γενικευµένο ολοκλήρωµα έχει έννοια σαν limt + It limt + (ta ( t + )) limt + (ta ( t + )) ( ) + ηλαδή d + + Σωστή ειλογή το () l( ) E) Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d Θέτω z l() και έχω dz l( ) Με την αντικατάσταση αίρνω d d zdz z + C l ( ) + C l( ) Άρα d l () l () l () Σωστή ειλογή το () Άσκηση 7 ( µον) Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : µε ( ) ( + ) για κάθε, αν α) () sia, - <, a όχι ακέραιος β) (), - < α, - < γ) () α, β β, <
Λύση: (α) εδοµένου ότι ισχύει si( a( )) si( a) η συνάρτηση ( ) si( a ) είναι εριττή Αρκεί να βρούµε τα β στην αράσταση: si( a) β si( ) Σύµφωνα µε το βιβλίο κεφ : β ( )si( ) d Για να υολογίσουµε το I si( a)si( ) d χρησιµοοιούµε την τριγωνοµετρική si( )si( ) cos( ) cos( + ) Έχουµε ταυτότητα a ( a a ) I si( a)si( ) d ( cos( a ) cos( a + ) ) d si( a ) si( a ) + a a+ Άρα I si( ) si( ) a a+ a a+ si( a ) si( a+ ) a a+ Όµως οι γωνίες ( a ),( a+ ) διαφέρουν κατά άρτιο ολλαλάσιο του Άρα I si( a ) si( a+ ) a a+ si( a ) si( a ) a a+ si( a ) a Τελικά έχουµε I si( a ) ( ) si a a a (β) Η λύση υάρχει στη σελίδα 97 του βιβλίου Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση είναι άρτια και άρα β (γ) Υολογίζουµε αναλυτικά τους συντελεστές του ανατύγµατος Fourier : + ( β ) ( ) a + a cos( ) + si( )
( β ) ( β ) a ( ) d ad d a d d + + ( β a) a + β a + β Στα αρακάτω χρησιµοοιούµε αραγοντική ολοκλήρωση a ( ) cos( d ) ( a cos( d ) β cos( d ) + ) ( si( ) )' ( si( ) )' a d β d + a[ si( ) ] a ( )' si( ) d β[ si( ) ] β ( )' si( ) d + a[ ] [ ] ( a si( d ) + β β si( d ) ) cos( ) cos( ) a β ( a( cos() + cos( )) β( cos( ) + cos()) ) a β + ( ) ( β a) ( a( + ( ) ) β ( ( ) + ) ) ( ) ( β ) β ( ) si( ) d a si( ) d si( ) d + ( cos( ) )' ( cos( ) )' a d β d + ( a[ cos( ) ] + a ( )' cos( ) d β[ cos( ) ] β ( )' cos( ) d + + ) a[ cos() cos( ) ] + a cos( ) [ cos( ) cos() ] cos( ) d + β + + β d si( ) si( ) a ( ) + a + β ( ) + β ( a ( ) + a[ ] β ( ) + β[ ] ) + ( ) ( a + β ) ( ) Έτσι, το ανάτυγµα Fourier της συνάρτησης ( ) είναι: + + ( β a) a β + ( ) ( β a) ( ) ( ) + cos( ) + + si( ) ( a β)
Άσκηση 8 ( µον) α) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τις καµύλες y και y β) Να βρεθεί ο όγκος εκ εριστροφής, γύρω αό τον άξονα των, του χωρίου ου εριέχεται µεταξύ του τόξου του κύκλου + y 6 και της ευθείας + y Υόδειξη: είτε την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης β, σελ 76 Παρατηρείστε ότι ο τύος για τον όγκο εκ εριστροφής χωρίου µεταξύ δύο καµυλών είναι b V ( ( ) ( )) d a όου η είναι η καµύλη Α Β και η η καµύλη ΑΓΒ, βλ κάτωθι σχήµα: Β Γ α b Λύση: α) Tα κοινά σηµεία των δύο γραµµών έχουν συντεταγµένες τη λύση του συστήµατος: y αό όου ροκύτει ότι y ± Συνεώς τα κοινά σηµεία είναι Α(-,) y και Β(-,-) Η ολοκλήρωση ως ρος y κρίνεται συµφέρουσα Βρίσκουµε το ρόσηµο της διαφοράς των δύο συναρτήσεων: > > ( )( + ) > y y y y y Συνεώς y (,), οότε έχουµε: 6
( y ) ( y ) dy y + y dy ( y ) dy y dy y dy y [ ( ) ] τµα β) Βρίσκω τα σηµεία τοµής: + y 6 + y 6 ( y ) + y 6 + y y y y Συνεώς: ( ) ( ) V 6 d ( ) ( ( ) ) 6 d d ( ) ( ) 6 d 6 8 + d 6 d d 6 d + 8 d d ή y 6 6 8 d d 8 8 6 6 6 ---------------------------- 7