ΣΠΟΥΓΙΑΔΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ

ΣΠΟΥΓΙΑΔΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ - ΣΤΑΤΙΚΗΣ.Σχεδιάζω όλες τις δνάμεις πο εξασκούνται στο σώμα. Οι δνάμεις πο σχεδιάζω είναι: α)το βάρος το σώματος πο έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο βάρος το σώματος, διεύθνση κατακόρφη (κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο) και κατεθύνεται πάντα προς το κέντρο της Γης. β)τη τάση το νήματος δηλ. τη δύναμη πο δέχεται ένα σώμα από ένα νήμα με το οποίο έχει σνδεθεί. Η τάση το νήματος πο ασκείται σ' ένα σώμα έχει τη διεύθνση το νήματος και φορά από το σώμα προς το νήμα. Όταν ένα αβαρές νήμα σνδέεται με δύο σώματα και είναι τεντωμένο η τάση πο ασκεί σε κάθε σώμα είναι ίδια. Η τάση πο ασκείται σ' ένα σώμα είναι η αντίδραση της δύναμης με την οποία τεντώνεται το νήμα. γ)η αντίδραση πο δέχεται ένα σώμα όταν εφάπτεται σε άλλο σώμα, θα είναι κάθετη στο επίπεδο επαφής όταν δεν πάρχει τριβή (λείες επιφάνειες). Όταν πάρχει τριβή η δύναμη πο δέχεται το σώμα καθορίζεται ως εξής: i)σχεδιάζω την κάθετη αντίδραση Ν (πο είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια επαφής) ii)σχεδιάζω την τριβή. Η σνισταμένη των δο ατών δνάμεων(δηλ. της κάθετης αντίδρασης και της τριβής είναι η δύναμη πο δέχεται το σώμα Α (αντίδραση) Ν Τ (δες σχήμα). Η τριβή είναι πάντα παράλληλη στην Β επιφάνεια επαφής των σωμάτων και έχει φορά αντίθετη από τη φορά κίνησης το σώματος ή αν πρόκειται για στατική τριβή έχει φορά αντίθετη της Α Ν τάσης κινήσεως το σώματος. δ)όταν έχω μια άρθρωση τη δύναμη τη σχεδιάζω με τχαία διεύθνση. Τα αποτελέσματα της άσκησης καθορίζον την ακριβή διεύθνση και τη φορά της. Τ

ε)όταν έχω ελατήριο σχεδιάζω και την δύναμη επαναφοράς το ελατηρίο πο έχει πάντα τέτοια φορά ώστε να τείνει να επαναφέρει το ελατήριο στο φσικό το μήκος. Η Fελ δίνεται από το νόμο το Hook F ελ. κχ. όπο κ η σταθερά επαναφοράς το ελατηρίο.. Αφού σχεδιάσω τις δνάμεις εφαρμόζω τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής Σ F m. α. Έχω βέβαια πάρει ένα FXF.σνφ σύστημα αναφοράς και έχω αναλύσει τις δνάμεις στος FyF.ημφ άξονες χ και ψ. Εφαρμόζω τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής μια φορά κατά τον άξονα των χ και μια φορά κατά τον άξονα ψ. Δηλαδή ΣFχmαχ και ΣFymαy. Εάν σε ένα άξονα δεν έχω κίνηση ή έχω εθύγραμμη ομαλή κίνηση τότε η α σ' ατό τον άξονα είναι 0. Σε ατό το στάδιο θμόμαστε τος τύπος Βm.g και Τn.Ν. Στη περίπτωση ισορροπίας ΣF0 ή ΣFχ0 και ΣFψ0. Στη περίπτωση ισορροπίας τριών δνάμεων πρέπει η σνισταμένη των δύο νάνε ίση και αντίθετη με την τρίτη. π.χ στο σχήμα η σνισταμένη των F και Β να είναι ίση και αντίθετη με την Τ. F εφφ F y x ΟΡΜΗ Ορμή λικού σημείο είναι το γινόμενο της μάζας το σώματος επί την ταχύτητα το και είναι διανσματικό μέγεθος P m. Η ορμή ενός σστήματος διατηρείται εφ' όσον δεν ασκούνται εξωτερικές δνάμεις. Δηλαδή εάν δύο λικά σώματα σε μεταφορική κίνηση μεταξύ των οποίων σμβαίνει οποιασδήποτε φύσης ' ' αλληλεπίδραση θα ισχύει m + m m + m (όπο, οι ταχύτητες πριν την αλληλεπίδραση και ',' οι ταχύτητες μετά την αλληλεπίδραση), αρκεί στη διάρκεια της αλληλεπίδρασης να μην εξασκούνται δνάμεις εξωτερικές το σστήματος. P P ) Αν Σ F 0 0 P O Pπριν Pµετα ΣF t t ) Αν P O Σ F 0 Επειδή α)οι δνάμεις τριβής ή άλλες εξωτερικές δνάμεις κατά την κρούση δύο σωμάτων(μαζών) είναι αμελητέες σε σχέση με τις δνάμεις πο αναπτύσσονται κατά την επαφή των σωμάτων(εσωτερικές το σστήματος) και β)επειδή η διάρκεια της κρούσης είναι πολύ μικρή

Δt 0 F. t 0 άρα P 0 μπορούμε να θεωρούμε ότι ισχύει η Α.Δ.Ο. σε οποιαδήποτε κρούση ανεξάρτητα αν το σύστημα είναι μονωμένο ή όχι. Με λίγα λόγια η ορμή θα διατηρείται σε κάθε κρούση ή έκρηξη (Διάσπαση πο διαρκεί μικρό χρόνο). Επίσης η Α.Δ.Ο. θα ισχύει ακόμη και για τις αλληλεπιδράσεις των σωματιδίων το μικρόκοσμο(ηλεκτρόνια, πρωτόνια κ.λ.π.) Επειδή η ορμή είναι διανσματικό μέγεθος θα ακολοθεί τος κανόνες πρόσθεσης των διανσμάτων όπως οι δνάμεις, η ταχύτητα κ.λ. Α. ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ορισμός : Ενέργεια είναι η φανερή ή κρφή ικανότητα ενός σώματος για παραγωγή έργο. Είδη ενεργειών πο θα σναντήσομε στη μηχανική είναι α)κινητική ενέργεια β)δναμική λόγω θέσης γ)δναμική ενέργεια λόγω ελαστικής παραμόρφωσης (ελατήριο, τόξο κ.λ.π.) Το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας (είτε λόγω θέσης είτε λόγω ελαστικής παραμόρφωσης) ονομάζεται μηχανική ενέργεια. α)κινητική ενέργεια : εξαρτάται μόνο από το μέτρο της ταχύτητας και δίνεται από την σχέση K m β)δναμική ενέργεια λόγω θέσης : Uθέσηςmgh όπο το h μετράται πάντα από το επίπεδο μηδενικής ενέργειας (επίπεδο αναφοράς) πο εμείς ορίζομε αθαίρετα σε κάθε πρόβλημα. Σνήθως σαν επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας λαμβάνεται η κατώτερη θέση το σώματος. Σε αντίθετη περίπτωση όταν το σώμα βρίσκεται πάνω από το επίπεδο αναφοράς η δναμική ενέργεια λαμβάνεται θετική ενώ όταν βρίσκεται κάτω από το επίπεδο, αρνητική. Σημείωση : αν το h είναι σγκρίσιμο με την ακτίνα της Γης (ή το πλανήτη) τότε η U δίνεται από m Γ.mΣ τη σχέση Uθέ σης G Στη περίπτωση ατή σαν επίπεδο αναφοράς θεωρείται το άπειρο. r γ)δναμική ενέργεια ελατηρίο : Δίνεται από τη σχέση από το φσικό μήκος το ελατηρίο. U ελατ. kx To x μετράται πάντα Β. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΓΟΥ )Έργο σταθερής δύναμης. Αν έχω δύναμη F σταθερή (κατά μέτρο διεύθνση και φορά) και τροχιά εθεία τότε το έργο πολογίζεται από τη σχέση WF F.x. όπο x η μετατόπιση και φ η γωνία πο σχηματίζει η δύναμη με τη μετατόπιση. Πιο απλά μπορούμε να πολογίσομε το W F 3

ως εξής : Αναλύομε την F σε δύο σνιστώσες μια παρ/λη στη μετατόπιση και μια κάθετη. Δεδομένο ότι η κάθετη σνιστώσα δεν παράγει έργο, ο πολογισμός γίνεται από την σχέση W F ±F x.x Βάζω + όταν η δύναμη ποβοηθά την κίνηση (παραγόμενο έργο) και - όταν η δύναμη αντιτίθεται στη κίνηση (καταναλισκόμενο έργο). )Έργο μεταβλητής δύναμης. Aν δίνεται η μορφή της δύναμης σε σνάρτηση με τη μετατόπιση δηλ. Ff(x) τότε κάνομε την γραφική παράσταση της Ff(x) και πολογίζομε το έργο της F από το εμβαδόν πο περικλείεται μεταξύ της "καμπύλης" και το άξονα των μετατοπίσεων, για την σγκεκριμένη μετατόπιση. Αν δεν δίνεται η μορφή της δύναμης τότε παίρνομε μια τχαία θέση πο καθορίζεται από τη μεταβλητή χ και σχεδιάζομε τις δνάμεις πο δρον στο σώμα. Στη σνέχεια παίρνοντας πόψιν μας τη δναμική το σώματος (νόμος μηχανικής) καθορίζομε την μορφή της δύναμης σε σνάρτηση με τη μεταβλητή x. Μπορούμε να καθορίσομε τη μορφή της δύναμης και από τχόν άλλα στοιχεία το προβλήματος όπως π.χ. από το διάγραμμα (t) βάσει το οποίο μπορεί να πολογιστεί η α οπότε στη σνέχεια και η δύναμη από την σχέση Fm.α Αν η δύναμη παίρνει και αρνητικές τιμές τότε το W F πολογίζεται αν από το εμβαδόν πο βρίσκεται στα θετικά αφαιρέσομε το εμβαδόν πο βρίσκεται στα αρνητικά. Έτσι στο διπλανό σχήμα έχω: W Εµβ( ΟΑΒΓ) Εµβ( ΟΕ ) F(x x ) Προσοχή : Στον πολογισμό των εμβαδών τα F,X τα παίρνομε κατά απόλτη τιμή. 3)Έργο σντηρητικής δύναμης. Αν έχω σντηρητική δύναμη τότε το έργο της δίνεται από τη σχέση : W U( αρχ) U( τελ) Στον τύπο περιλαμβάνεται και το πρόσημο. FΣΥΝΤΗΡΙΤΙΚΗΣ Σντηρητική είναι μια δύναμη πο το έργο της δεν εξαρτάται από την μορφή της τροχιάς (διαδρομή) αλλά μόνο από την αρχική και τελική θέση (ή επίπεδο). Αλλιώς σντηρητική δύναμη είναι μια δύναμη πο το έργο της κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδέν. Σντηρητικές δνάμεις πο θα σναντήσομε είναι : α) το βάρος, β)η δύναμη επαναφοράς το ελατηρίο (ιδανικού) και γ)η ηλεκτρική δύναμη στο ηλεκτροστατικό πεδίο 4

Γ. ΣΧΕΣΗ ΕΡΓΟΥ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Το έργο δύναμης είναι ένας μηχανισμός μέσω το οποίο ενέργεια μιας μορφής μετατρέπεται σε ενέργεια άλλης μορφής ή ενέργεια ενός σώματος Α μεταφέρεται σε ένα σώμα Β α)τχαία δύναμη. Όταν F τότε μεταφέρεται ενέργεια από το αίτιο της δύναμης στο σώμα, ενώ όταν F τότε μεταφέρεται ενέργεια από το σώμα στο αίτιο της δύναμης. β)το βάρος. Όταν Β τότε το WB μετατρέπει την δναμική ενέργεια σε άλλες μορφές ενέργειας (π.χ. κινητική), ενώ όταν B τότε το WB μετατρέπει ενέργεια (π.χ. κινητική) σε δναμική. γ)h δύναμη επαναφοράς το ελατηρίο. Αν F ελ. τότε το WFελ μεταφέρει δναμική ενέργεια από το ελατήριο στο σώμα, ενώ αν F ελ. τότε το WFελ μεταφέρει ενέργεια από το σώμα στο ελατήριο όπο και αποταμιεύεται με τη μορφή δναμικής ενέργειας. δ)τριβή - αντίσταση (π.χ. αέρα). Μετατρέπει ενέργεια το σώματος σε θερμότητα. ε)σνισταμένη δύναμη. i)αν το σώμα επιταχύνεται το W ΣF μετατρέπει ενέργεια σε κινητική. ii)αν το σώμα επιβραδύνεται το W ΣF μεταφέρει την Εκιν το σώματος σε άλλο σώμα όπο και μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας. iii)aν σταθ. ( Σ F 0) τότε W ΣF 0 Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ : ΔΚW όλων των δνάμεων H μεταβολή της κινητικής ενέργειας σώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δνάμεων πο εξασκούνται στο σώμα. Ε. ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ : H μεταβολή της μηχανικής ενέργειας σώματος ή σστήματος ισούται με το έργο των μη σντηρητικών δνάμεων. ΔΕ μηχ W μη σντηρητικών δνάμεων Ζ. ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Αν σε ένα σώμα ή σύστημα εξασκούνται μόνο σντηρητικές δνάμεις ή μη σντηρητικές πο όμως το έργο τος είναι μηδέν τότε η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή και το σύστημα ονομάζεται μηχανικό. Ε μηχ(αρχική)ε μηχ(τελική) 5

. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να λύσομε ένα πρόβλημα δολεύομε ως εξής : Σχεδιάζομε την αρχική και τη τελική θέση το σώματος και σημειώνομε την αρχική και τελική ταχύτητα. Στη σνέχεια σε κάποια ενδιάμεση θέση (τχαία) σχεδιάζομε όλες τις δνάμεις πο ασκούνται στο σώμα και τις αναλύομε πάνω σε σύστημα ορθογωνίων αξόνων, με τον ένα άξονα (χ) παρ/λο στη κίνηση και τον άλλο κάθετο στη κίνηση, οπότε ΣF y 0 και ΣF x mα. Σε περίπτωση κκλικής κίνησης ο άξονας των χ είναι κάθετος στην ακτίνα και ο άξονας των y κατά την διεύθνση της ακτίνας με θετική φορά προς το κέντρο οπότε ΣF y F k όπο m FK. r Τέλος εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε, για τη σγκεκριμένη διαδρομή ή την αρχή διατήρησης της ενέργειας(α.δ.ε.) μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης. Στη περίπτωση σστήματος δεν σχεδιάζομε τις δνάμεις αλληλεπίδρασης. Ακόμη όταν εφαρμόζομε την Α.Δ.Ε. προσέχομε ότι : Παρατηρήσεις Εμηχ Κ +U(σώματος)+ U(ελατηρίο) α)στις σχέσεις Fελκ.χ και U πο μετράται πάντα από το φσικό το μήκος. β)όταν πολογίζομε την U σώματος(λόγω θέσης) ορίζομε πάντα ένα επίπεδο αναφοράς με ελατ. kx το χ είναι η σσπείρωση ή επιμήκνση το ελατηρίο U0 (σνήθως την κατώτερη θέση το σώματος) γ)το έργο το βάρος και το έργο της F ελατηρίο πολογίζονται και από τις σχέσεις: W U U και B αρχ. τελ. W U U F ελατ. ελατ. αρχ. ελατ. τελ. δ)όταν σε πρόβλημα αναφέρονται οι εκφράσεις : i)μέγιστο διάστημα τότε τελ 0 ii)χάνεται η επαφή σώματος επιπέδο τότε Ν0 iii)στη θέση πο η ταχύτητα γίνεται τότε ΣF0 ε)όταν σε πρόβλημα δίνεται ή ζητείται χρόνος, τότε θα χρησιμοποιούμε και τος τύπος της κινηματικής. ζ)μεταβολή και ρθμός μεταβολής : i)η μεταβολή ενός μεγέθος Χ ορίζεται σαν ΔΧΧ τελ -Χ αρχ ii)ο ρθμός μεταβολής το μεγέθος ορίζεται σαν ο λόγος iii)h επί % μεταβολή ενός μεγέθος ορίζεται σαν ΔΧ% Χ t Χ.00 % X αρχικό 6

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Εξισώσεις χωρίς αρχική φάση x Aηµωt ωaσνωt ωa α ω Aηµωt α ω A, α ω x Ισχύει ακόμη: ΣFmα Σ F mω Aηµωt, Σ F mω A, Σ F mω x, Σ F Dx όπο D mω ω Τ π m D D m Εξισώσεις με αρχική φάση x A ηµ ( ω t + φ ) 0 ωa σν( ω t + φ ) ωa 0 α ω A ηµ ( ω t + φ ) α ω A, α ω x 0 όπο φ η αρχική φάση πο παίρνει τιμές : 00 (ποτέ π) Ισχύει ακόμη : ΣFmα Σ F mω A ηµ ( ω t +φ), Σ F mω A, Σ F mω x, Σ F Dx D πο ω ω Τ π m ό D m m D. Πως αποδεικνύομε ότι ένα σώμα κάνει γραμμική αρμονική ταλάντωση; Σχεδιάζομε όλες τις δνάμεις πο εξασκούνται πάνω το στη θέση ισορροπίας και γράφομε την εξίσωση ισορροπίας δηλ. ΣF0. Ορίζομε μια φορά θετική Εκτρέπομε το σώμα κατά τη θετική φορά από τη θέση ισορροπίας κατά x και αποδεικνύομε ότι ΣF D x Η σνισταμένη των δνάμεων ΣF πο ασκούνται στο σώμα στη τχαία ατή απομάκρνση βρίσκεται αν από τις δνάμεις πο έχον τη φορά της x (θετική) αφαιρέσομε τις δνάμεις πο έχον αντίθετη φορά από τη x. (δηλ. βάζομε πρόσημο + στις δνάμεις πο έχον θετική φορά και - στις δνάμεις πο έχον αρνητική φορά) Προσοχή: Πάντα μιλάμε για τις δνάμεις πο ασκούνται στο σώμα πο κάνει ταλάντωση. 7

Παράδειγμα Ένα σώμα είναι δεμένο με δύο ελατήρια κατακόρφα και ισορροπεί όπως στο σχήμα. Να αποδείξετε ότι αν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας το θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Fελ ' F ελ Φσικό μήκος ελατηρίο χ χ Fελ Β Β χ ' F ελ Τχαία θέση (+) Θέση ισορροπίας Φσικό μήκος ελατηρίο Πάντα όταν έχω ελατήρια τα σχεδιάζω στο φσικό τος μήκος. Στη θέση ισορροπίας έχω: ΣF0 Fελ Β Fελ 0 κχ Β κ χ 0() Ορίζομε θετική φορά (όπως στο σχήμα) Εκτρέπομε το σώμα κατά τη θετική φορά από τη θέση ισορροπίας κατά x. Στην τχαία ατή θέση σχεδιάζω τις δνάμεις και έχω: ' ' Σ F F Β F k (x x) B k (x + x) k x k x B k x k x ελ ελ () kx kx+ kx B kx kx kx (k + k ) χ οπότε απέδειξα ότι Σ F (k+ k )x Σ F D x όπο Dκ+κ. Πως πολογίζομε την αρχική φάση; Κατά αρχή 0 φ 0 < π Το βιβλίο σμβολίζει την αρχική Ορίζω μια θετική φορά διαγραφής φάση απλά φ. Το φο πο Στη σχέση x A ηµ ( ω t + φ0) θέτω t0 οπότε χρησιμοποιώ είναι για να τονίσει ότι αναφερόμαστε για την χρονική x ηµφ 0 στιγμή t0 A Ελέγχω τη φορά της ταχύτητας την t0 οπότε από τη σχέση ωa σν( ω t + φ0) σνφ 0. ω A Αν >0 τότε σνφo>0 αλλιώς αν <0 τότε σνφo<0. Αν το πρόσημο της είναι άγνωστο διακρίνω περιπτώσεις. Από το πρόσημο το ημ και το σν καθορίζω σε ποιο τεταρτημόριο το τριγωνομετρικού κύκλο βρισκόμαστε. Βρίσκομε την αρχική φάση π.χ. αν ημφ0 3 και σνφ0 τότε φ0 π 6 8

Αν το ταλαντούμενο σώμα τη χρονική στιγμή t0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τη θετική φορά έχομε φ00. Αν το ταλαντούμενο σώμα τη χρονική στιγμή t0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τη αρνητική φορά έχομε φ0π. π Αν την t0 έχομε μέγιστη απομάκρνση κατά τη θετική (+A) φορά τότε φ, ενώ σε περίπτωση μέγιστης απομάκρνσης κατά τη αρνητική φορά (-A) φ 0 3π 0 Παράδειγμα Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και τη χρονική στιγμή t0 A είναι x με >0. Να βρεθεί η αρχική φάση Είναι : x A ηµ ( ω t + φο) 0 φ ο < π Α Αηµ ( ω.0 + φο) Για t 0 0 φ ο < π π φ ο 6 ηµφ ο ή 0 φ ο < π 5π φ ο 6 Όμως > 0 σνφ ο >0 άρα η δεκτή λύση είναι η π φ ο 6 5 6 6 π 7 6 6 Το πρώτο πρόσημο είναι το ημ και το δεύτερο το σν π - + 6 0 0 σν π 6 6 3 ημ + - ημ + 0 + + - - - + - 3 + 0 π σν 3. Υπολογισμός το χρονικού διαστήματος μεταξύ δύο θέσεων Για να βρούμε το χρονικό διάστημα για να πάει το σώμα πο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση από μια θέση χ σε κάποια άλλη θέση χ δολεύομε ως εξής:. Παίρνομε την εξίσωση χαημφ δύο φορές ώστε να βρούμε τη φάση των δύο θέσεων. Ατό γίνεται όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.. πολογίζομε την διαφορά φάσης Δφ μεταξύ των δύο θέσεων Δφφ-φ. 3. Από τη διαφορά φάσης πολογίζομε το ζητούμενο χρονικό διάστημα ως εξής: π φ Δφφ-φ (ωt-φο)-(ωt-φο)ω(t-t) ω.δt φ t t Τ Τ π Από εδώ φαίνεται ότι η αρχική φάση φο δεν παίζει ρόλο στον πολογισμό το χρονικού διαστήματος για να πάει το σώμα από μια θέση χ σε κάποια άλλη θέση χ. Επομένως δολεύομε σαν να μην πήρχε αρχική φάση. 9

Παράδειγμα Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ s. Να βρεθεί ο χρόνος πο Α Α χρειάζεται για να πάει από τη θέση χ με >0 στη θέση χ με <0. Α ημ χ Αηµφ Αηµφ ω 4 + ηµφ άρα ή 3 4 4 4 3 π 0 0 σν 4 π όμως >0 0 άρα δεκτή 7 5 π 4 4 4 4 λύση η φ 4 3 Α χ Αηµφ Αηµφ η 7π η 7π η 7π φορά φ 3 φορά φ π+ 5 φορά φ 4π+ 6 6 6 άρα κλπ... η π η π η π φορά φ 4 φορά φ π+ 6 φορά φ 4π+ 6 6 6 το ο, 3 ο, 5 ο, 7 ο πέρασμα είναι για σνφ < 0 δηλ. γίνεται με <0 ενώ το ο, 4 ο, 6 ο, 8 ο πέρασμα είναι για σνφ > 0 δηλ. γίνεται με >0 Στο δικό μας πρόβλημα μας ημ ενδιαφέρει να περάσει από την θέση Α χ με ταχύτητα αρνητική για πρώτη φορά μετά το πέρασμα το Α από τη θέση χ πού θα επιλέξω είναι η φ άρα η λύση 7π π π Έτσι φ 6 4 φ π t π π t Τ 7π 6 5 6 6 π 7 6 6 t s 4. Υπολογισμός των χρονικών στιγμών πο διέρχεται ο ταλαντωτής από μια θέση α. πολογίζομε την αρχική φάση φο β. Παίρνομε την γενική εξίσωση της ταλάντωσης x A ηµ ( ω t + φο) και θέτομε όπο χ την τιμή πο δίνεται για την θέση και όπο φο την τιμή της αρχική φάσης γ. επιλύομε την τριγωνομετρική εξίσωση ω 3 + 6 0 0 σν π 6 6-0

Παράδειγμα Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α0,m και περίοδο Τ0,5 s. Τη χρονική στιγμή t0 το σώμα βρίσκεται στη θέση χ+α. Να πολογίσετε τις χρονικές στιγμές πο διέρχεται Α από τη θέση x+. x A ηµ ( ω t + φο) α)πολογίζομε την αρχική φάση. Έχομε. Για t0 η εξίσωση γίνεται: 0 φ ο < π +Α A ηµ ( ω.0 + φο) ηµφ ο π φ ο 0 φ ο < π 0 φ ο < π A π β) Παίρνομε την γενική εξίσωση της ταλάντωσης και θέτομε όπο x + και όπο φ ο A π A π π π οπότε x A ηµ ( ω t + φο) + Αηµ ( ω t + ) Αηµ ( t + ) ηµ (4π t + ) Τ π π ηµ (4π t + ) ηµ 6 π π 4π t+ κπ + 6 γ)επιλύομε την τριγωνομετρική εξίσωση και έχομε ή π π 4π t+ κπ+π 6 6κ t και με κ0,,, όμως δεν έχον νόημα οι αρνητικές τιμές το χρόνο και 6κ+ t 6κ t με κ,,... απορρίπτονται οπότε και 6κ+ t με κ0,,,... 5. Το D εξαρτάται από τα φσικά χαρακτηριστικά το ταλαντωτή και είναι ανεξάρτητο το πλάτος ταλάντωσης. Αν αλλάξει το m τότε από τη σχέση D m. ω αλλάξει το ω, το D όμως παραμένει σταθερό π.χ. για ένα σγκεκριμένο ελατήριο το D είναι ίσο με k (όπο k η σκληρότητα το ελατηρίο) ανεξάρτητα ποια μάζα είναι κρεμασμένη στο ελατήριο και ανεξάρτητα από το πλάτος της ταλάντωσης πο εκτελεί. 6. Προσοχή η μετατόπιση x από τη θέση ισορροπίας μπορεί να πάρει θετικές ή αρνητικές τιμές. Έτσι στη περίπτωση πο έχομε μια γεωμετρική σχέση μηκών για κάποια θέση το x θα παίρνεται κατά απόλτο τιμή. 7. Κάθε πρόβλημα πο έχει σχέση με α.α.τ. και ζητείται ταχύτητα ή θέση μπορεί να αντιμετωπισθεί είτε ενεργειακά (ΘΜΚΕ, ΑΔΜΕ, ΑΔΕ) είτε ταλαντωτικά οπότε εφαρμόζεται η

αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση m + Dx σταϑ. m DA Τχαία θέση Θ.Ι. Ακραία θέση Προσοχή: α)στις δνάμεις το ελατηρίο F κχ. το x μετράτε από το φσικό μήκος το ελατηρίο. ελ β)στη δναμική ενέργεια της ταλάντωσης όπως και τη ολική ενέργεια το x μετράτε από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. (Προσοχή. Άλλο δναμική ενέργεια της ταλάντωσης και άλλο δναμική ενέργεια το ελατηρίο) γ)η δύναμη πο σντηρεί την ταλάντωση (σνισταμένη δύναμη) είναι της μορφής ΣF D x όπο το x μετράτε από την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. δ)η ενέργεια ταλάντωσης Εταλ, η κινητική ενέργεια και η δναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγέθη πο δεν έχον καμία σχέση με τα αντίστοιχα μεγέθη της μηχανικής. Π.χ. η κινητική ενέργεια σώματος (στη μηχανική) εξαρτάται από τον παρατηρητή ενώ η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης ΟΧΙ. ε)τα μεγέθη Τ και f είναι ανεξάρτητα από το πλάτος A της γ.α.τ. και καθορίζονται μόνο από τη μάζα m και τη σταθερή της ταλάντωσης D. 8. Στα προβλήματα ταλαντώσεων πο έχομε κρούση πρέπει να ξέρομε τη θέση ισορροπίας πριν και μετά την κρούση. Εάν έχομε κρούση κατά τη διεύθνση το ελατηρίο διακρίνομε τις ποιο κάτω περιπτώσεις. α)όταν το ελατήριο είναι σε οριζόντιο επίπεδο, σε κάθε κρούση η θέση ισορροπίας δεν αλλάζει πριν και μετά την κρούση. β)όταν το ελατήριο είναι κατακόρφο ή πλάγιο, τότε στη πλαστική κρούση η θέση ισορροπίας αλλάζει. 9. Η αρχική απομάκρνση από τη θέση ισορροπίας είναι και το πλάτος A της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης. Έτσι Eταλ DΑ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ-ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ -ΟΛΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ K m U Dx E K + U m + Dx K m σν ( ω t +φ 0) U DA ηµ ( ω t +φ 0) Eταλ m K E ταλσν ( ω t +φ 0) U E ταληµ ( ω t +φ 0) Eταλ DA K Eταλ U U Eταλ K K DA Dx U m m x K DA ( ) U m ( ) A ταλ x K E ταλ ( ) U E ( ) A ταλ x x U Dx DA E ταλ A A

ΣΧΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ - ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ Απόδειξη της σχέσης: ±ω Α x x ηµ ( ω t + φ 0) x A ηµ ( ω t + φ0) x A ηµ ( ω t + φ0) Α ωa σν( ω t + φ0) ω Α σν ( ω t + φ0) σν ( ω t + φ 0) ωα x + ±ω Α x Α ωα ή ενεργειακά: D D m m Dx + m DA (A x ) ± (A x ) ±ω (A x ) ΣΧΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ α Έχομε. α ω.x x. Αντικαθιστώντας στη σχέση ω α x ω ±ω Α x όπο α ±ω Α ω 4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΑΔΕΤ) Α)Το σώμα εκτρέπεται από την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης κατά χ και αφήνεται ελεύθερο. Το σώμα αποκτά μόνο δναμική ενέργεια. ΕταλΚ+U DA 0 + Dx A x Β)Το σώμα εκτρέπεται από την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης κατά χ και εκτοξεύεται με ταχύτητα. Το σώμα αποκτά και δναμική και κινητική ενέργεια. ΕταλΚ+U DA m + Dx Γ)Το σώμα εκτοξεύεται από την θέση ισορροπίας με ταχύτητα. Το σώμα έχει μόνο κινητική ενέργεια. ΕταλΚ+U DA m + 0 DA m DA m D Α ωα. m 3

Δ)Σμβαίνει μεταβολή της μάζας ενός σστήματος πο ισορροπεί. Η στατική θέση ισορροπίας το σστήματος διαφέρει από την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, άρα το σώμα αποκτά μόνο δναμική ενέργεια. DA Dx A x Ε)Σμβαίνει μεταβολή της μάζας ενός σστήματος πο ταλαντώνεται. Η θέση ισορροπίας το ταλαντωτή αλλάζει άρα το σώμα αποκτά δναμική και κινητική ενέργεια. ΕταλΚ+U DA m + Dx ΣΤ)Ελαστική κρούση Έστω το σώμα, μάζας m και ταχύτητας, σγκρούεται ελαστικά με το σώμα, μάζας m, πο αρχικά ισορροπεί δεμένο στο άκρο ελατηρίο. Η θέση ισορροπίας το σώματος είναι ίδια με την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης πο θα κάνει. Το σώμα λόγω της κρούσης αποκτά ταχύτητα, άρα και κινητική ενέργεια. Στην ελαστική κρούση η θέση ισορροπίας πριν και μετά την κρούση παραμένει η ίδια. Ακολοθούμε τα εξής βήματα: α) Παίρνομε τος τύπος της ελαστικής κρούσης για να βρούμε τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. m ' ' Φσικό μήκος ελατηρίο Θέση ισορροπίας m m ' m+ m και m m ' m+ m β) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση (ΑΔΕΤ) ' ' DA m + 0 ή ωα. 4

Ζ)Πλαστική κρούση Έστω το σώμα, μάζας m και ταχύτητας, σγκρούεται πλαστικά με το σώμα, μάζας m, πο αρχικά ισορροπεί δεμένο στο άκρο ελατηρίο. Η θέση ισορροπίας το σώματος δεν είναι ίδια με την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης πο θα κάνει το σσσωμάτωμα. Το σύστημα αποκτά δναμική ενέργεια, και λόγω της κρούσης αποκτά και κινητική ενέργεια Όταν το ελατήριο είναι σε οριζόντιο επίπεδο, η θέση ισορροπίας πριν και μετά την κρούση παραμένει η ίδια. Όταν το ελατήριο είναι κατακόρφο ή πλάγιο, τότε στη πλαστική κρούση η θέση ισορροπίας αλλάζει. i)για κατακόρφο επίπεδο: Φσικό μήκος ελατηρίο χ0 χ V Αρχική θέση ισορροπίας m χ m Νέα θέση ισορροπίας m ολm +m α) βρίσκομε τη θέση ισορροπίας πριν τη κρούση. mg Σ F 0 Fελ w κ xo mg xo κ β) βρίσκομε τη θέση ισορροπίας μετά την κρούση mολg Σ F 0 Fελ wολ κ x mολg x κ γ) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για να βρούμε την ταχύτητα το σσσωματώματος V μετά την κρούση. Στο παράδειγμα μας εδώ: m.+0(m+m).v δ) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση (ΑΔΕΤ) ΕταλΚ+U DA m V + D(x x ) ολ o ii)για κεκλιμένο επίπεδο: α) βρίσκομε τη θέση ισορροπίας πριν τη κρούση. (βλέπε παρακάτω σχήμα) mg ηµφ Σ F 0 Fελ wηµφ κ xo mg ηµφ xo κ 5

β) βρίσκομε τη νέα θέση ισορροπίας μετά την κρούση mολgηµφ Σ F 0 Fελ wοληµφ κ x mολgηµφ x κ γ) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για να βρούμε την ταχύτητα το σσσωματώματος V μετά την κρούση. Στο παράδειγμα μας εδώ: m.+0(m+m).v Φσικό μήκος ελατηρίο χ0 m V Αρχική θέση ισορροπίας m χ χ Νέα θέση ισορροπίας mολ δ) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση (ΑΔΕΤ) ΕταλΚ+U Η)Ρθμοί μεταβολής: DA m V + D(x x ) ολ o όταν σε ένα πρόβλημα ζητείται ο ρθμός μεταβολής της ταχύτητας δηλ. πολογίζομε την επιτάχνση α αφού Δ α Δt t τότε όταν σε ένα πρόβλημα ζητείται ο ρθμός μεταβολής της ορμής δηλ. την ΣF αφού ΔP ΣF Δt P τότε πολογίζομε t όταν σε ένα πρόβλημα ζητείται ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας δηλ. ΔΚ ΔWΣF ΣF.Δx πολογισμός γίνεται ως εξής: ΣF. Δt Δt Δt ΔΚ ΔU Ακόμη επειδή Κ+U σταθερό Κ + U 0 Κ U - Δt Δt Θ)Άλλες χρήσιμες παρατηρήσεις ή ΔU - ΔΚ Δt Δt o Αν η αρχική και η τελική θέση είναι ακραίες θέσεις ή η θέση ισορροπίας, τότε η χρονική διάρκεια της κίνησης είναι ακέραιο πολλαπλάσιο το Τ/4 Κ t τότε ο 6

o Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από την ολική ενέργεια της ταλάντωσης. Επομένως, πολογίζεται εύκολα από την ΑΔΕ για την ταλάντωση. DA m + Dx οπότε m m A x x D + Α D +. Μην ξεχνάμε ότι Dmω. o Όταν γνωρίζομε την απομάκρνση χ κάποια χρονική στιγμή και θέλομε να βρούμε την ταχύτητα την ίδια χρονική στιγμή η το αντίστροφο, χρησιμοποιούμε την ΑΔΕ για την ταλάντωση. D D Dx + m DA (A x ) ± (A x ) ±ω (A - x ) m m και m m Dx + m DA x A χ± Α - D D o Όταν εκτρέπομε το σώμα από τη θέση ισορροπίας και το αφήνομε να κινηθεί από τη θέση πο το εκτρέψαμε χωρίς αρχική ταχύτητα, τότε η θέση ατή είναι ακραία θέση της ταλάντωσης o Η ενέργεια πο προσφέρομε για να ξεκινήσει η ταλάντωση είναι ίση με την ολική ενέργεια της ταλάντωσης Wπροσϕ. Ε ολικήταλάντωσης o Σε περίπτωση κατακόρφο ελατηρίο ή ελατηρίο σε κεκλιμένο επίπεδο ισχύει: U U ελατηρίο ταλάντωσης oαν δεν δίνεται από την εκφώνηση το προβλήματος η φορά πο θεωρούμε θετική, θα διαλέγομε εμείς αθαίρετα. Επειδή η αρχική φάση της ταλάντωσης εξαρτάται από το ποια φορά θεωρούμε θετική, η τιμή της μπορεί να διαφέρει ανάλογα με τη φορά πο θεωρεί ο καθένας θετική. o Στις σχέσεις F κχκαι ελατ.. Uελατ. κχ το χ είναι η σσπείρωση ή επιμήκνση το ελατηρίο πο μετράτε πάντα από το φσικό το μήκος. o Το έργο της F ελατηρίο πολογίζεται από τη σχέση: WFελ U αρχικήελατηρίο U τελικήελατηρίο μπορεί επίσης να πολογιστεί από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας : Κ Κ W ή Κτελική Κ αρχική WΣ F τελικ ή αρχική όλωντων δν άµεων 7

o Η μεταβολή ενός μεγέθος Χ ορίζεται σαν ΔΧΧ τελ -Χ αρ Χ Ο ρθμός μεταβολής το μεγέθος ορίζεται σαν ο λόγος t Χ H επί % μεταβολή ενός μεγέθος ορίζεται σαν ΔΧ%.00 Χ o Η ταχύτητα στην απλή αρμονική ταλάντωση προηγείται της απομάκρνσης χ κατά φάση π. αρχικό Η επιτάχνση α προηγείται της κατά π ενώ η επιτάχνση προηγείται της χ κατά π. Επομένως οι σχέσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης για τη χ,, α μπορούν να γραφούν και ως εξής: χ Αημ(ωt + φ 0) π ωαημ(ωt + φ 0 + ) α ω Αημ(ωt + φ0 + π) ή αν δίνεται π.χ. χ Ασν(ωt + φ 0) τότε π ωασν(ωt + φ 0 + ) α ω Ασν(ωt + φ0 + π) χ α T 4 t T T χ α T 4 T T t Στα σχήματα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις χ,, α σαν σνάρτηση το t. Φαίνεται καθαρά η διαφορά φάσης πο εκφράζεται με χρονική καθστέρηση το χ κατά Τ/4 της και τη χρονική καθστέρηση το χ κατά Τ/ της α 8