Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι πό το Μ κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Τότε η εξίσωση της εφπτομένης στο M, όπου λ Είνι λ,( ) M Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πράγωγος κι συνέχει μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό. Πρτήρηση του Κρθεοδωρή Έστω :,β μι συνάρτηση κι,β είνι πργωγίσιμη στο, ν κι μόνο ν, υπάρχει συνάρτηση φ:,β ώστε φ. Η κι η είνι συνεχής στο. Τότε ν Ορισμός πργώγου συνάρτησης σε σημείο Έστω συνάρτηση κι σημείο του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι η είνι πργωγίσιμη στο, ν υπάρχει το όριο κι είνι πργμτικός ριθμός. Τότε το πρπάνω όριο λέγετι πράγωγος της στο κι συμβολίζετι. Δηλδή Η πράγωγος της στο δίνετι πό τον τύπο ( h) ( ) ( ) h h εσωτερικό σημείο. Τότε η είνι πργωγίσιμη στο, ν κι μόνο ν υπάρχουν τ όρι, κι είνι ίσ. Εξίσωση εφπτομένης πργωγίσιμης συνάρτησης η είνι πργωγίσιμη στο σημείο A,( ), τότε η δέχετι εφπτόμενη στο A,( ) με συντελεστή διεύθυνσης λ ( ). Τότε η εξίσωση της εφπτομένης στο A είνι Κλίση γρφικής πράστσης Η κλίση ( ) της εφπτομένης A,( ) θ τη λέμε κλίση της στο ε της στο στο A ή κλίση της Ορισμός Έστω συνάρτηση ορισμένη στο είνι πργωγίσιμη στο κάθε. Θ λέμε ότι η, ότν είνι πργωγίσιμη σε i. Η είνι πργωγίσιμη στο,β, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο,β ii. Η είνι πργωγίσιμη στο,β πργωγίσιμη στο,β κι επιπλέον ισχύει κι β Πρώτη πράγωγος συνάρτηση Έστω η συνάρτηση : β β, ότν είνι κι E το σύνολο των σημείων στο οποίο η είνι πργωγίσιμη. Τότε ορίζουμε τη συνάρτηση :E, όπου () η οποί λέγετι πρώτη πράγωγος της Δεύτερη πράγωγος συνάρτηση το σύνολο E είνι διάστημ ή ένωση διστημάτων, τότε η πράγωγος της, ν υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της κι συμβολίζετι νιοστή πράγωγος συνάρτηση Η νιοστή πράγωγος της γι ν 3 συμβολίζετι με κι δίνετι πό τον τύπο v v1 v 1 www.apdeiis.gr - 69377865
Πράγωγοι βσικών συνρτήσεων c, c 1, ν, νν,1, ν ν 1 1,, ημ συν, συν ημ, e, ln e 1,, Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πράγωγος πηλίκου οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες στο κι g( ), τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ( )g( ) ( )g ( ) ( ) g g ( ) οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε Δ ισχύει g(), τότε γι κάθε Δ ισχύει ()g() ()g () () g g () Πράγωγος θροίσμτος οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες σε έν διάστημ Δ, τότε γι κάθε Δ ισχύει g g Γενίκευση οι συνρτήσεις 1,,..., κ είνι πργωγίσιμες σε έν διάστημ Δ, τότε γι κάθε Δ ισχύει...... 1 κ 1 κ Πράγωγος γινομένου οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ( g) ( ) ( ) g( ) ( ) g ( ) οι συνρτήσεις,g είνι πργωγίσιμες σε έν διάστημ Δ, τότε γι κάθε Δ ισχύει ( g) ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) Πόρισμ η είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ κι c, τότε γι κάθε Δ ισχύει c c Πράγωγοι βσικών συνρτήσεων k, kz,1, k k 1 εφ 1, συν συν 1, ημ ημ σφ Η συνάρτηση με v, v N v Η συνάρτηση v v1 E συν κι ισχύει 1 εφ συν Πράγωγος σύνθετης συνάρτησης, είνι πργωγίσιμη στο εφ είνι πργωγίσιμη στο σύνολο η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο κι η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στο συνάρτηση ( g) ( ) g( g ( ) g( ), τότε η g είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει η g είνι πργωγίσιμη στο Δ κι η φ είνι πργωγίσιμη στο g(δ), τότε η στο Δ κι ισχύει g g gg g είνι πργωγίσιμη www.apdeiis.gr - 69377865
Πράγωγοι βσικών συνρτήσεων, Z -1,, ln,, ln 1, Η συνάρτηση είνι, όπου Z πργωγίσιμη στο (, ) κι ισχύει 1 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ προς στο σημείο την πράγωγο Θεώρημ lle Έστω μι συνάρτηση ορισμένη στο κλειστό διάστημ,β. Η είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ,β Η είνι πργωγίσιμη στο,β β Τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ,β ξ ή ισοδύνμ η εξίσωση στο,β τέτοιο ώστε έχει μί τουλάχιστον ρίζ Η συνάρτηση κι ισχύει Η συνάρτηση, ln είνι πργωγίσιμη στο ln, είνι πργωγίσιμη στο 1 κι ισχύει ln Πράγωγοι βσικών σύνθετων συνρτήσεων 1 1 ημ συν συν ημ 1 εφ συν ημ 1 σφ e e ln 1 ln Ρυθμός μετβολής δύο μετβλητά μεγέθη, συνδέοντι με τη σχέση, ότν είνι μι συνάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετβολής του ως Γεωμετρική ερμηνεί του Θεωρήμτος lle Υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο ξ του νοικτού διστήμτος,β τέτοιο ώστε η εφπτόμενη της στο ξ, ξ ν είνι πράλληλη στον άξον Θεώρημ Μέσης Τιμής Έστω μι συνάρτηση ορισμένη στο κλειστό διάστημ,β. Η είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ,β Η είνι πργωγίσιμη στο,β Τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ,β ξ β β ή ισοδύνμ η εξίσωση τουλάχιστον ρίζ στο,β Γεωμετρική ερμηνεί του Θ.Μ.Τ Υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο ξ του νοικτού διστήμτος,β τέτοιο ώστε η εφπτόμενη της στο ξ, ξ ν είνι πράλληλη της ευθείς AB Θεώρημ τέτοιο ώστε β β έχει μί Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Η είνι συνεχής στο Δ A, Mξ, ξ ξ A, Mξ, ξ ξ Ββ,β β Ββ,β β 3 www.apdeiis.gr - 69377865
γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Τότε η είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Πόρισμ Έστω,g δύο συνρτήσεις ορισμένες σε έν διάστημ Δ. Οι,g είνι συνεχείς στο Δ g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Τότε υπάρχει μι στθερά c τέτοι ώστε ν ισχύει g c γι κάθε Δ Θεώρημ Έστω μι συνάρτηση ορισμένη κι συνεχής σε έν διάστημ Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Πρτήρηση Έστω μι συνάρτηση :Δ i. η μηδενίζετι σε μεμονωμέν σημεί 1,,..., v του Δ κι διτηρεί στθερό πρόσημο στο, δηλδή A Δ,,..., ή 1 v, γι κάθε A, γι κάθε A, τότε η είνι γνησίως μονότονη στο Δ ii. Το ίδιο ισχύει, ότν η δεν ορίζετι στ 1,,..., v, λλά η είνι συνεχής σε υτά. Τοπικό μέγιστο Έστω μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Θ λέμε ότι η προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο ότν υπάρχει δ τέτοιο ώστε δ, δ γι κάθε Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου κι το τοπικό μέγιστο της Ολικό μέγιστο ισχύει γι κάθε Τότε η προυσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση με μέγιστο το A,( ) Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ β,( ) A β Τοπικό ελάχιστο www.apdeiis.gr - 69377865 Έστω μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Θ λέμε ότι η προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο ότν υπάρχει δ τέτοιο ώστε γι κάθε δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου κι το τοπικό ελάχιστο της Ολικό ελάχιστο ισχύει γι κάθε Τότε η προυσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση με ελάχιστο το Σχέση ολικών κι τοπικών κρόττων μι συνάρτηση προυσιάζει ολικό μέγιστο, τότε υτό θ είνι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ. μι συνάρτηση προυσιάζει ολικό ελάχιστο, τότε υτό θ είνι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ. μι συνάρτηση προυσιάζει ολικό κρόττο στη θέση, τότε το είνι κι θέση τοπικού κρόττου. (Το ντίστροφο της πρπάνω πρότσης δεν ισχύει). Θεώρημ Fermat Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ. η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο. Τότε Γεωμετρική ερμηνεί του Θεωρήμτος Fermat το είνι εσωτερικό ενός διστήμτος Δ κι η προυσιάζει τοπικό κρόττο στη θέση κι είνι πργωγίσιμη στο. Τότε η εφπτόμενη στο ξ Δ(εσωτερικό) με ξ A, είνι πράλληλη στον άξον A,( ) A, ( ) β β 4
Τότε το ξ δεν είνι θέση τοπικού κρόττου. Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ στρέφετι κτά τη θετική φορά. Πιθνές θέσεις τοπικών κρόττων Οι πιθνές θέσεις τοπικών κρόττων μις συνάρτησης σε έν διάστημ Δ είνι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδενίζετι. Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι. Τ άκρ του Δ (ν υτά νήκουν στο πεδίο ορισμού της). Κρίσιμ σημεί Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε διάστημ Δ. Κρίσιμ σημεί της στο Δ, λέγοντι τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με μηδέν. Θεώρημ Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σε έν διάστημ,β με εξίρεση ίσως έν σημείο Δ στο οποίο όμως η είνι συνεχής. Τότε: i. στο, κι στο Τότε το είνι τοπικό μέγιστο της ii.,β. στο, κι στο Τότε το είνι τοπικό ελάχιστο της iii. η διτηρεί στθερό πρόσημο στο,,β. Τότε το,β. δεν είνι τοπικό κρόττο της κι η είνι γνησίως μονότονη στο,β Θεώρημ μέγιστης- ελάχιστης τιμής η συνάρτηση είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ,β. Τότε η προυσιάζει μέγιστο κι ελάχιστο. (Το θεώρημ νφέρετι σε ολικό μέγιστο κι ολικό ελάχιστο) Ορισμός (κυρτής συνάρτησης) Έστω μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Τότε, η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άνω στο Δ ή είνι κυρτή στο Δ ν η είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Γεωμετρική ερμηνεί Η κλίση της () της υξάνετι, δηλδή η είνι γνησίως ύξουσ. Δηλδή, κθώς το υξάνετι η εφπτομένη της () www.apdeiis.gr - 69377865 μι συνάρτηση είνι κυρτή σε έν διάστημ Δ τότε η εφπτομένη της βρίσκετι κάτω πό τη επφής τους. Ορισμός (κοίλης συνάρτησης) σε κάθε σημείο του Δ,, με εξίρεση το σημείο Έστω μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Τότε, η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο Δ ή είνι κοίλη στο Δ ν η είνι γνησίως φθίνουσ στο εσωτερικό του Δ Γεωμετρική ερμηνεί Η κλίση της της μειώνετι, δηλδή η είνι γνησίως ύξουσ. Δηλδή, κθώς το υξάνετι η εφπτομένη της στρέφετι κτά την ρνητική φορά. μι συνάρτηση είνι κοίλη σε έν διάστημ Δ τότε η εφπτομένη της βρίσκετι πάνω πό τη σημείο επφής τους. Θεώρημ σε κάθε σημείο του Δ, με εξίρεση το Έστω μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι κυρτή στο Δ γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είνι κοίλη στο Δ Το ντίστροφο του πρπάνω θεωρήμτος δεν ισχύει. Δηλδή: Έστω μι συνάρτηση συνεχής στο Δ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. η είνι κυρτή στο Δ τότε δεν ισχύει κτά νάγκη γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Ορισμός (σημείου κμπής) Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σε έν διάστημ,β, με εξίρεση ίσως έν σημείο του. 5
Η είνι κυρτή στο είνι κοίλη στο η, κι κοίλη στο, κι κυρτή στο,β έχει εφπτόμενη στο σημείο A, Τότε το σημείο A, λέγετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι το λέγετι θέση σημείου κμπής. Γεωμετρική ερμηνεί σημείου κμπής το κμπής της A, είνι σημείο εφπτόμενη της την κμπύλη. Θεώρημ, τότε η στο A διπερνά η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι το A, είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της, τότε Σχόλιο Τ εσωτερικά σημεί ενός διστήμτος Δ στ οποί η είνι διφορετική πό το μηδέν δεν είνι θέσεις σημείων κμπής. Πιθνές θέσεις σημείων κμπής Οι πιθνές θέσεις σημείων κμπής μις συνάρτησης σε έν διάστημ Δ είνι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδενίζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δεν υπάρχει η Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ,β ή η. Τότε η ευθεί ε: λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο Οριζόντι σύμπτωτη στο. Τότε η ευθεί ε: λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο Ασύμπτωτη Η ευθεί λ β λέγετι σύμπτωτη της στο ν λ β Η ευθεί λ β λέγετι σύμπτωτη της στο ν λ β Πρτήρηση Η σύμπτωτη λ β είνι οριζόντι ν λ κι η σύμπτωτη λ β είνι πλάγι ν λ Θεώρημ Η ευθεί λ β είνι σύμπτωτη της στο ν κι μόνο ν λ κι λ β Η ευθεί λ β είνι σύμπτωτη της στο ν κι μόνο ν λ κι λ β 6 Θεώρημ Έστω συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ,β κι,β. : Η λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν του κι Ορίζετι η εφπτομένη της Τότε το στο A, A, είνι σημείο κμπής. Πρτηρήσεις: Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις με βθμό δεν έχουν σύμπτωτες. P Οι ρητές συνρτήσεις με βθμό P G «μεγλύτερο» τουλάχιστον κτά δύο του έχουν πλάγιες σύμπτωτες. βθμό G, δεν Κτκόρυφη σύμπτωτη έν τουλάχιστον πό τ όρι, είνι ή. Τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της Οριζόντι σύμπτωτη στο www.apdeiis.gr - 69377865 Πιθνά σημεί στ οποί νζητούμε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης Στ άκρ των διστημάτων του πεδίου ορισμού της συνάρτησης στ οποί η δεν ορίζετι. Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δεν είνι συνεχής. Στο εφόσον η συνάρτηση είνι ορισμένη σε διάστημ της μορφής,
Στο εφόσον η συνάρτηση είνι ορισμένη σε διάστημ της μορφής, Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Κνόνες e L Hspital 1 ο Θεώρημ, g όπου υπάρχει το g g g κι (πεπερσμένο ή άπειρο). Τότε ο Θεώρημ κι υπάρχει το, g g g g όπου (πεπερσμένο ή άπειρο). Τότε 7 Πρτηρήσεις: Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές,, Τ πρπάνω θεωρήμτ ισχύουν κι γι πλευρικά όρι. www.apdeiis.gr - 69377865