ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

Ένας κυλινδρικός ατµολέβητας αµελητέας µάζας χωρίς τον υδρατµό και ακτίνας R, θερµαίνεται και ο παραγόµενος υδρατµός διαφεύγει από δύο αντιδιαµετρικά ακροφύσια της εξωτε ρικής του επιφάνειας, ώστε η ταχύτητα του να είναι εφαπτοµενική της επιφάνειας αυτής σε επίπεδο κάθετο στον γεωµετρικό άξονα του ατµολέβητα. Ο ατµολέβη ας έχει την δυνατότητα να στρέφεται χωρίς τριβή περί τον γεωµετρικό του άξονα υπάρχει δε µηχανισµός ώστε ο ατµός να εκτοξεύεται µε σταθερή σχετική ταχύτητα v " ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: Μ = Μ e -αt όπου Μ, α θετικές και σταθερές ποσότητες, να εκφράσετε την γωνια κή ταχύτητα του ατµολέβητα σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=ΜR / του ατµολέβητα ως προς τον άξονα περισ τροφής του. ΛΥΣΗ: Εάν Μ είναι µάζα του ατµού που περιέχεται στον ατµολέβητα την χρονική στιγµή t και η αντίστοιχη γωνιακή του ταχύτητα, τότε η στροφορµή της µάζας Μ περί τον άξονα περιστροφής του ατµολέβητα την στιγµή αυτή είναι: L t = MR 1 Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ η µάζα του ατµού µετα βάλλεται κατά dm, οπότε από κάθε ακροφύσιο θα εκτοξευθεί στον χρόνο µάζα ατµού dm/, ενώ η γωνιακή ταχύτητα του ατµολέβητα θα γίνει ω+dω. Η νέα στροφορµή της µάζας Μ+dM του ατµού και της µάζας dm που εκτο ξεύθηκε είναι: L t + = M + dmr " + d + vr$ - dm # L t + = M + dmr + d - vrdm όπου v το κοινό µέτρο των ταχυτήτων εκτόξευσης του υδρατµού από τα δύο ακροφύσια, ως προς το ακίνητο έδαφος, την χρονική στιγµή t+. Όµως ισχύει

v=ωr+v σχ, οπότε η γράφεται: L t + = MR + R dm + MR d + R dmd -R dm-v "# RdM L t + = MR - R dm + MR d - v "# RdM 3 Σχήµα 1 όπου ο όρος R dmd / παραλείφθηκε ως διαφορικό δεύτερης τάξεως. Όµως στο σύστηµα δεν ενεργεί εξωτερική ροπή περί τον άξονα περιστροφής του ατµολέβητα, οπότε η στροφορµή του διατηρείται, δηλαδή ισχύει:,3 L t = L t + MR = MR - R dm + MR d - v "# RdM - R dm + MR d - v "# RdM = -R dm +MRd - v "# Όµως έχουµε: M = M e -t dm/ = -M e -t = -M οπότε η 4 γράφεται dm = 4 -RM" +MR d" +v d #$M = = -" +v " / R #$ d - +v "# / R = $ d - +v / R "# - +v "# / R = -$ 5

Ολοκληρώνοντας την 5 παίρνουµε: ln - +v "# / R = -$t + C Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη, ότι την στιγ µή t= που αρχίζει να εκτοξεύεται υδρατµός είναι ω=, οπότε C=lnv σχ /R. Έτσι η προηγούµενη σχέση γράφεται: ln - +v "# / R = -$t + ln v "# / R $ ln - +v "# / R v "# / R = -t - +v "# / R v "# / R = e-$t - +v "# / R = v "# / Re -$t = v "# R 1 - e-$t 6 Aπό την 6 παρατηρούµε ότι η γωνιακή ταχύτητα του ατµολέβητα αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή µηδέν στην οριακή τιµή v σχ /R, την οποία θεωρητικά παίρνει σε άπειρο χρόνο. Όταν η γωνιακή ταχύτητα λάβει την ορια κή της τιµή, τότε θα έχει εξαντληθεί ο υδρατµός που περιέχεται στον ατµολέ βητα και η στροφορµή του περί τον άξονα περιστροφής του θα είναι µηδενική αφού ο ατµολέβητας είναι αµελητέας µάζας. Παρατήρηση: Για να κατανοήσουµε µε ποιο τρόπο ο ατµολέβητας τίθεται σε περιστροφή, όταν από τα ακροφύσια εκτοξεύεται υδρατµός, υποθέτουµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ από κάθε ακροφύσιο του ατµολέβητα εκτοξεύεται µάζα dm υδρατµού. Η µεταβολή d P της ορµής της µάζας dm στον χρόνο είναι: d P = dm v - dm v = dm v - v 7 όπου v, v οι ταχύτητες της µάζας dm στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους στο τέλος και στην αρχή αντιστοίχως του χρόνου. Όµως η διανυσµατική δια φορά v - v αποτελεί την σχετική ταχύτητα v " του υδρατµού ως προς τον ατµολέβητα την χρονική στιγµή t, οπότε η σχέση 7 γράφεται: d P = dm v " d P = dm v " F = dm v "# 8 όπου F η δύναµη που εκτοξεύει την µάζα dm. Όµως σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης η µάζα dm εξασκεί στον ατµολέβητα δύναµη F αντίθετη της F, δηλαδή ισχύει: F = - F F = - dm v " F = 1 dm$ # v " 9 διότι η εκτοξευόµενη µάζα dm είναι αντίθετη του µισού της µεταβολής dm της

µάζας του ατµολέβητα στον χρόνο. Την χρονική στιγµή t επί του ατµολέβη τα ενεργεί από τον εκτοξευόµενo ατµό ζεύγος δυνάµεων F και - F, του οποίου η ροπή περί τον άξονα περιστροφής του έχει µέτρο: = F R = R 1 " dm $ dm v # = Rv d = Rv "# M e-$t = Rv "# $ M e -$t = Rv "# $M 1 Η ροπή είναι υπεύθυνη για την διαµόρφωση της περιστροφής του ατµολέβη τα. P.M. fysikos Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R προσκ ρούει κάποια στιγµή σε οριζόντιο έδαφος µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n. Την στιγµή που η σφαίρα έρχεται σε επαφή µε το έδαφος το κέντρο µάζας της C έχει ταχύτητα v της οποίας ο φορέας έχει κλίση φ φ<π/ µε την κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το C, ενώ την ίδια στιγµή η σφαίρα στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέν τρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της v, όπως φαίνεται στο σχή µα. Εάν ο συντελεστής κρούσεως µεταξύ σφαίρας και εδάφους είναι e <e<1 να βρείτε: i την γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας την στιγµή που εγκαταλείπει το έδαφος, ii την τιµή του λόγου Rω /v, ώστε η σφαίρα να ανακρούεται κατά την διεύθυνση της ταχύτητας v και iii την συνθήκη ώστε η σφαίρα να µη ολισθαίνει κατά τον χρόνο επαφής της µε το έδαφος. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαί ρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt Δt επαφής της σφαίρας µε το οριζόντιο έδαφος αυτη δέχεται το βάρος της w και την δύναµη επαφής από το έδαφος κρουστική δύναµη, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και την κάθετη αντίδραση N οι δυνάµεις αυτές είναι µεταβλητές λόγω της µη ελαστι ------------------------------------- Ο χρόνος Δt αποτελείται από τον χρόνο Δt 1 που η σφαίρα και το έδαφος συµπι έζονται και τον χρόνο Δt αποσυµπίεσης, κατά τον οποίο σφαίρα και έδαφος τείνουν να επανέλθουν στην προ της κρούσεως κατάστασή τους. Κατά τον χρόνο Δt 1 τόσο η οριζόντια όσο και η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας της σφαίρας µειώνονται µέχρις µηδενισµού τους, ενώ κατά τον χρόνο Δt οι δύο αυτές συνι στώσες αυξάνονται για να λάβουν τις τελικές τους τιµές την στιγµή που η σφαίρα χάνει την επαφή της µε το έδαφος.

κής παραµόρφωσης της σφαίρας και του εδάφους στην επιφάνεια συνεπαφής τους. Η µέση τριβή σε πρώτο στάδιο είναι αντίρροπη προς την οριζόντια συνιστώσα v x της v και ο φορέας της απέχει περίπου από σταση R από το κέντρο της σφαίρας, ενώ η αντίστοιχη µέση κάθετη αντίδραση είναι κατακόρυ Σχήµα 3 Σχήµα 4 Σχήµα 5 φη και ο φορέας της διέρχεται περίπου από το κέντρο της σφαίρας. Εφαρµόζον τας για την σφαίρα το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την οριζόντια και κατακό ρυφη διεύθυνση παίρνουµε τις σχέσεις: mv x = mv x + T t " # mv y = mv y + N t$ T t = mv x - mv "µ# N t=mv y - mv $# 1 όπου v x, v y οι αλγεβρικές τιµές της οριζόντιας και κατακόρυφης συνιστώ σας αντιστοίχως της ταχύτητας ανάκλασης v της σφαίρας και T, N οι αλγεβ ρικές τιµες της µέσης τριβής T και της µέσης κάθετης αντίδρασης N αντι στοίχως. Όµως για τον συντελεστή κρούσεως e ισχύει η σχέση: e = -v y /v y = -v y /v "#$ v y = - ev "#$ Εφαρµόζοντας εξάλλου για την σφαίρα τον νόµο µεταβολής της στροφορµής περί το κέντρο µάζας της C και για τον χρόνο Δt, παίρνουµε την σχέση: I = I + T R"t 3 όπου η αλγεβρική τιµή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της σφαί ρας αµέσως µετά την κρούση της µε το έδαφος. Συνδυάζοντας την 3 µε την πρώτη εκ των σχέσεων 1 παίρνουµε: I = I + Rmv x - mv "µ# mr / 5 = mr / 5 + Rmv x - v "µ# R = R + 5v x - v "µ# 4 Όµως η σφαίρα δεν ολισθαίνει επί του εδάφους, που σηµαίνει ότι λίγο πρίν εγκαταλείψει το έδαφος ισχύει η σχέση ω R+v x =, οπότε η 4 γράφεται: R = R + 5-R - v "µ#

7R = R - 5v "µ# = / 7-5v "µ# / 7R 5 ii Για να ανακρούεται η σφαίρα κατά την διεύθυνση της ταχύτητας πρoσ πτώσεως v πρέπει οι αλγεβρικές τιµές v x, v y να είναι αρνητικές και επί πλέον να ικανοποιούν την σχέση: "# = v x v y = -v x - v y µ" #$" = -v x ev #$" ev µ" = -v x 6 Όµως έχουµε και την σχέση: 5 v x = - R v x = - R / 7+ 5v "µ# / 7 7 Συνδυάζοντας τις 6 και 7 παίρνουµε: ev µ" =R# / 7-5v µ" / 7 7ev µ" + 5v µ" =R# v µ"7e + 5 =R# R /v = 7e + 5"µ# / 8 Η 8 αποτελεί την συνθήκη για να ανακρούεται η σφαίρα κατά την διεύθυν ση της ταχύτητας προσπτώσεως. iii Για να µη ολισθαίνει η σφαίρα επί του εδάφους κατά τον χρόνο Δt της επα φής του µε αυτό πρέπει ο συντελεστής οριακής τριβής n να ικανοποιεί την σχέ ση: n > T N n > T t N t 1 n > mv x - mv µ" mv y - mv #$",7 n > - R / 7+ 5v "µ# / 7- v "µ# - ev $# - v $# n > R + v "µ# 7e + 1v $# P.M. fysikos Oµογενής λεπτή ράβδος µήκους L, ισορροπεί ορι ζοντίως εφαπτόµενη στο ανώτατο σηµείο Ο ηµισφαιρικού σώµατος ακτίνας R, το οποίο είναι στερεωµένο µε την κυρτή του επιφάνεια προς τα πάνω και τον γεωµετρικό του άξονα κατακόρυφο. Εκτρέπου µε την ράβδο από την θέση ισορροπίας της ώστε να σχηµατίσει µικρή γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση και την αφήνουµε ελεύθερη. Εάν µεταξύ της ράβδου και του ηµισφαιρίου υπάρχει επαρκής τριβή, ωστε η ράβδος να µη ολισθαίνει επί της κυρτής του επιφάνειας, να δείξετε ότι η ράβδος εκτελεί περιοδική κίνηση και να βρείτε την περί οδο της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή άδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο.

ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε την ράβδο την στιγµή t που η γωνιακή της εκτροπή από την οριζόντια θέση ισορροπίας της είναι φ. Την στιγµή αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της w και την δύναµη F από το ηµισφαιρικό σώµα, της οποίας ο φορέ ας διέρχεται από το σηµείο επαφής Α της ράβδου µε το σώµα. Η συνολική ροπή περί το σηµείο Α των δύο αυτών δυνάµεων έχει αλγεβρική τιµή που ικανοποι εί την σχέση: " A = - waa = - mgca#$ 1 όπου το πρόσηµο - τέθηκε για να δηλώσει ότι η συνολική ροπή τείνει να στρέ ψει την ράβδο περί το Α αντίθετα προς την θετική φορά, που συµβατικά θεωρεί ται η φορά κατά την οποία η γωνία φ αυξάνεται. Επειδή η ράβδος δεν ολισθαί νει µπορουµε να γράψουµε την σχέση " =CA=R#, οπότε η 1 παίρνει την µορφή: " A = -mgr#$# Σχήµα 6 Όµως αποτελεί δεδοµένο του προβλήµατος ότι η γωνία φ είναι µικρή και εποµέ νως µπορούµε µε καλή προσέγγιση να θεωρούµε ότι συνφ φ και έτσι η γρά φεται: " A # -mgr$ 3 Eξάλλου το σηµείο Α αποτελεί στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της ράβδου κατά την στιγµή t η ταχύτητά του είναι µηδενική στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους και εποµένως ο γενικευµένος νόµος της στροφικής κίνησης περί το Α έχει την µορφή: dl A = " A di A 3 = "# A " d d I A $ = - mgr I # A +mgr = 3 όπου Ι Α η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το Α

και είναι κάθετος στην ράβδο και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβ δου. Όµως κατά το θεώρηµα Steiner ισχύει η σχέση: I A = I C + mca = ml /1 + mr " ml /1 4 διότι κάθε στιγµή η γωνία φ είναι πολύ µικρή, που σηµαίνει ότι ο όρος mr φ µπορεί να παραλειφθεί σε σχέση µε τον ml /1. Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3 και 4 παίρνουµε: ml 1 d +mgr = d + " 1gR $ = # L d +" = µε = 1gR 5 L Η 5 αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: = A"µ #t + $ 6 όπου A, θ σταθερές ολοκληρώσεως, που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της ράβδου. Παραγωγίζοντας την 6 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: = d" / = A#$#t + 7 Όµως την στιγµή t= που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί είναι φ=φ και ω=, οπότε από τις 6 και 7 θα έχουµε: = A"µ# = A$# = A"µ# = $# A = $ " = #/ 8 Έτσι η 6 παίρνει την µορφή: = "µ #t + $/ = "#$t 9 H σχέση 9 εκφράζει ότι η κίνηση της ράβδου είναι περιοδική, αφού η γωνία φ που καθορίζει την θέση της µεταβάλλεται συνηµιτονικά µε τον χρόνο. Η περί οδος Τ της κίνησης δίνεται από την σχέση: T = " = L 1gR = L 3gR 1 P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στην περιφέρεια οµογενούς στεφάνης ακτίνας R και αµελητέας µά ζας, η οποία µπορεί να κυλίεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος χω

ρίς να ολισθαίνει. Αρχικά το σύστηµα κρατείται σε ισορροπία, ώστε η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το κέντρο της στεφάνης να είναι οριζόντια. Κάποια στιγµή που θεωρείται αρχή του χρόνου το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και η στεφάνη αρχίζει να κυλίεται. i Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχήµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση η επιβατική ακτί να του σφαιριδίου. ii Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία φ την τριβή και την κά θετη αντίδραση που δέχεται η στεφάνη από το έδαφος. iii Να δείξετε ότι κάποια στιγµή η στεφάνη χάνει την επαφή της µε το έδαφος και να υποδείξετε τρόπο υπολογισµού της χρονικής αυτής στιγµής. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε το σύστηµα στεφάνη-σφαιρίδιο κατά µια τυχαία στιγµή t που η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το κέντρο C της στεφάνης σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ. Στην θέση αυτή το σφαιρίδιο έχει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους ταχύτητα v, που προκύπτει ως συνισταµένη της µεταφορικής του ταχύτητας v C ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης και της ταχύτητάς του v, που αντιστοιχεί στην περιστροφή της στε φάνης περί το κέντρο της. Το µέτρο της v ικανοποιεί την σχέση: v = v C + v + v C v "#$ / + v = v C + R - v C R"µ# 1 Σχήµα 7 όπου η γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης την στιγµή t. Όµως λόγω της κυ λίσεως της στεφάνης ισχύει v C =ωr, όπότε η σχέση 1 γράφεται: v = R + R - R "µ# v = R 1 - "µ# Εφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας στην διάρκεια του χρόνου t, παίρνουµε την σχέση: + = -mgrµ" + mv / grµ" = v grµ" = # R 1 - µ" = g"µ# / R1 - "µ#

= g $ "µ# 3 R 1 - "µ# ii Οι δυνάµεις που δέχεται τo σύστηµα στεφάνη-σφαιρίδιο είναι το βάρος m g του σφαιριδίου και η δύναµη επαφής επί της στεφάνης από το οριζόντιο έδα φος, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Επειδή το κέντρο µάζας του συστήµατος ταυτίζεται µε το σφαιρίδιο ο δευτερος νόµος του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας κατά την οριζόντια διεύθυνση δίνει την σχέση: m dv x = -T m dv -v C x = -T m dr-r"µ# = -T mr d - d d# "µ# - $#, = -T + T= -mr d 1 - "µ# - $#, 4 + όπου v x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας v του σφαιριδίου και v x η αντίστοιχη συνιστώσα της ταχύτητας v. Όµως από την σχέση 3 έχουµε: 1 - "µ# = g / R"µ# 5 η οποία µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο δίνει: d d - "µ# - $# d# = g d# $# R d - "µ# d - 3 $# = g R $# d 1 -"µ# = $# + g $# 6 R Συνδυάζοντας τις σχέσεις 4 και 6 παίρνουµε: T= -mr g R "#$ - 5 "#$ + T= -mr g R "#$ - g R µ$"#$ 1 - µ$ + T= -mg "#$ - µ$"#$ 1 - µ$ + T= -mg"#$ 1 - µ$ 1 - µ$ + 7 Εξάλλου ο δευτερος νόµος του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας κατά την κατακό ρυφη διεύθυνση δίνει την σχέση:

N - mg = m dv y N = mg + m dv y = mg + m d-"r#$ N=mg-mR d d "#$ -µ, = mg - mr d 6 + "#$ - µ, + - N = mg - mr "#$ 1 -µ, + g "#$ / + R 1 -µ, - µ./ + 1 5, N= mg-mr g # µ" # + " R $ 1 - µ" $ 1 -µ" + g # + " R $ 1 -µ" - g # µ" /. µ" 1 -. R $ 1 - µ" 1 mg N = mg - 1 - µ" µ"#$ " 1 -µ" + #$ " - µ " + 8 όπου v y η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας v του σφαιριδίου και v y η αντίστοιχη συνιστώσα της ταχύτητας v. iii Aπό την σχέση 7 προκύπτει ότι, όταν η γωνία φ λάβει τιµή που ικανοποι εί την σχέση 1-ηµφ=, δηλαδή όταν είναι φ=π/6, η στατική τριβή T µηδενί ζεται. Από την 8 εύκολα προκύπτει ότι για φ=π/6 µηδενίζεται και η κάθετη αντίδραση N, που σηµαίνει ότι υπάρχει χρονική στιγµή t κατά την οποία η στεφάνη χάνει την επαφή της µε το οριζόντιο έδαφος. Η χρονική αυτή στιγµή θα προκύψει από την σχέση 3, η οποία γράφεται: d = g # "µ R $ 1 - "µ 1 - µ" µ" d" = g R 9 Ολοκληρώνοντας την 9 µε όρια ολοκληρώσεως για την γωνία φ το και π/6 και για τον χρόνο t το και t, παίρνουµε: # / 6 1 - µ" $ µ" d" = t g R$ # / 6 1 - µ" $ µ" d" = g R t t = R g # /6 1 - µ" $ µ" d" 1 To ορισµένο ολοκλήρωµα που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της 1 µπορεί να υπολογιστεί µε την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή που χρησιµοποιεί κα τάλληλο µαθηµατικό πρόγραµµα. P.M. fysikos

Ηµισφαιρικό σώµα βάρους w και ακτίνας R, εφάπ τεται λείου οριζόντιου εδάφους και συγκρατείται ώστε η επίπεδη επι φάνεια να είναι κατακόρυφη. Κάποια στιγµή το σώµα αφήνεται ελεύ θερο και αρχίζει να κυλίεται στο οριζόντιο έδαφος. i Να δείξετε ότι το κέντρο µάζας του σώµατος εκτελεί κατακόρυφη κίνηση. ii Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η επίπεδη επιφάνεια του σώµατος µε το οριζόντιο έδαφος, την γωνιακή του ταχύτητα ως προς το κέντρο µάζας του. iii Να βρείτε την δύναµη που δέχεται το σώµα από το έδαφος σε συ νάρτηση µε την γωνία φ. Δίνεται ότι το κέντρο µάζας C του σώµατος βρίσκεται στον άξονα συµµετρίας του σε απόσταση α=3r/8 από το κέντρο Ο της επίπεδης επιφάνειάς του και ότι η ροπή αδράνειας µιας σφαίρας µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι Ι=mR /5. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε το σώµα, όταν η επίπεδη επιφάνειά του σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο έδαφος. Το σώµα την στιγµή αυτή δέχεται το βάρος του w και την δύναµη F από το έδαφος, η οποία ως κάθετη σ αυτό θα είναι κάθετη και στην εξωτερική επιφάνεια του σώµατος στο σηµείο επαφής της Α µε το έδαφος, δηλαδή ο φορέας της είναι κατακόρυφος και διέρχεται από το κέν Σχήµα 8 τρο Ο της επίπεδης επιφάνειας. Επειδή λοιπόν οι δυνάµεις w και F είναι κατα κόρυφες, το κέντρο µάζας C του σώµατος δεν έχει οριζόντια επιτάχυνση µε απο τέλεσµα να κινείται κατακόρυφα, αφού η οριζόντια αρχική του ταχύτητα είναι µηδενική. ii Επειδή η δύναµη F έχει περί το κέντρο µάζας C ροπή, το σώµα αποκτά πε ριστροφική κίνηση περί το σηµείο C και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: d I C = -FCM = -F"#µ 1 όπου Ι C η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα κάθετο στην κύρια τοµή του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C, ενώ ελήφθη ως θετική φορά

περιστροφής η φορά κατα την οποία η γωνία φ αυξάνεται. Όµως σύµφωνα µε το θεώρηµα του Steiner θα ισχύει: I O = I C + m I C = I O - m όπου Ι O η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο Ο και είναι κάθετος στην κύρια τοµή του. Όµως η Ι O είναι ίση µε το µισό της ροπής αδράνειας µιας σφαίρας κέντρου Ο και διπλάσιας µάζας από την µάζα m του σώµατος, ως προς άξονα που διέρχεται από το Ο, δηλαδή θα ισχύει: I O = 1 5 m = m 5 3 Συνδυάζοντας τις σχέσεις και 3 παίρνουµε: I C = " 5 mr - m =m R 5 - " $ R =m # 5-9R $ # 64 = " 83 $ mr # 3 Έτσι η σχέση 1 γράφεται: 83 $ d # mr " 3 = -F 3R # " 8 $ µ d = - 4 F "µ 4 83 mr Εφαρµόζοντας εξάλλου για την κίνηση του κέντρου µάζας τον δέυτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: F - w = m d y 5 όπου y η κατακόρυφη συντεταγµένη του κέντρου µάζας C κατά την στιγµή που εξετάζουµε το σώµα. Όµως για την συντεταγµένη y ισχύει: y = R - "#$ dy = "µ#d# dy = "µ# d# d y d = "#$ + οπότε η σχέση 5 γράφεται: +,µ d - d = /"#$ +. / +,µ d 1 - F - w = m "#$ d / +. / +,µ d 1 4 F - w = m 3R 8, d$."#$ -. + +µ$ - 4 F 83 mr +µ$ / 1 1

F - w = 3Rm " d $ 8 # - 15 83 F+µ F + 15F 83 µ " - w = 3Rm # d" 8 $ +" 6 Εφαρµόζοντας ακόµη για το σώµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας παίρνουµε την σχέση: K "# + U "# = K + U + mgr = I C " d $ # + 1 mv C + mgy mgr = 83 " d 3 mr $ # + 1 m " dy $ # + mgr - + g"#$ = 83 d 3 R + +,µ d + 3R 8 d$ g"#$ = R, 83 3 + 45 3 +µ /. $ 1-3R 4 83 d$ g"#$ = 3 R + 3R 8 +µ $ d$ 3g"#$ 4 3g"#$ 4 = R d$ = R d$ 3, 83 3 + 45 3 +µ /. $ 1 - [ 83 + 45+µ $ ] " d $ # = 4g R83 + 45+µ d = 4g"#$ R83 + 45µ 7 iii Συνδυάζοντας τις σχέσεις 6 και 7 έχουµε: F + 15F 83 µ " = w + 3mR#$" 8 4g#$" R83 + 45µ " # F 1 + 15 83 µ " = w + 3w $ 8 4+ " 83 + 45µ "

F = w 1 +9"# $ /83 + 45µ $ 1 + 15µ + 8 $ / 83 Την χρονική στιγµή που η επίπεδη επιφάνεια του ηµισφαιρίου γίνεται παράλ ληλη προς το έδαφος, δηλαδή την στιγµή που το κέντρο µάζας του βρίσκεται στην κατώτατη θέση, τότε φ= και η 8 δίνει F=,8w. P.M. fysikos