1 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΕΜΠ - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ 31/01/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον φορϋα του ςχόματοσ η οριζόντια δοκόσ ACD διατομόσ Σ (που φϋρει το ομοιόμορφο κατανεμημϋνο κατακόρυφο φορτύο q 0=08kN/m) εύναι ςυγκολλημϋνη ςτην κυβωτοειδούσ διατομόσ κεκλιμϋνη δοκό BC ςτο C (οι διαςτϊςεισ των οπούων δύνονται ςτο ςχόμα) 1 Να ςχεδιαςθούν τα διαγρϊμματα των εςωτερικών εντατικών μεγεθών (N,Q,M) 2 Nα υπολογιςθούν οι μϋγιςτεσ εφελκυςτικϋσ και θλιπτικϋσ ορθϋσ τϊςεισ που αναπτύςςονται κατϊ μόκοσ τησ κϊθε δοκού (δοκού ACD και BC) 3 Να υπολογιςθεύ η μϋγιςτη διατμητικό τϊςη που αναπτύςςεται ςτη δυςμενϋςτερη για την δοκό ACD (εγκϊρςια διατομό) Λύςη: 1 ΕΤΡΕΗ ΕΞΨΣΕΡΙΚΨΝ ΑΝΣΙΔΡΑΕΨΝ F x=0 A x=0 F y=0 A y+b y=6,4 Μ (A) =0 8B y-6,4*4=0 By=3,2kN 1 2 3 Η 2 3 A y=3,2kn Γεωμετρικϊ ςτοιχεύα φορϋα: εφφ= φ=53, l CB= l CB=5m Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
2 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΞΟΝΙΚΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Ν(x) [kn] ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΕΜΝΟΤΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Q(x) [kn] ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΨΝ ΚΑΜΧΗ Μ(x) [knm] = = 0 = = ΕΤΡΕΗ ΘΕΗ ΚΑΙ ΣΙΜΗ maxmac: Εμφανίζεται ςε απόςταςη x = = 4m από την θέςη Α (βλέπε διάγραμμα Q) Σότε η μέγιςτη ροπή θα είναι: maxm AC = 3,2 *4-0,8 * = 6,4 knm Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
3 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ 2 ΕΤΡΕΗ ΜΕΓΙΣΨΝ ΟΡΘΨΝ ΣΑΕΨΝ ΚΑΘΕ ΔΟΚΟΤ ΜΕΓΙΣΕ ΟΡΘΕ ΣΑΕΙ ΣΗΝ ΔΟΚΟ ACD Οι ορθϋσ τϊςεισ οφεύλονται αποκλειςτικϊ και μόνο ςτην ύπαρξη τησ ροπόσ κϊμψησ Οι μϋγιςτεσ τϊςεισ εμφανύζονται ςτη θϋςη x=4m από το A Τπολογύζω την ροπό αδρϊνειασ τησ διατομόσ I yy= +(15*6) + +6*20*4,5 2 =7717,50 cm 4 ς = 13,5=1,12kN/ (κϊτω ύνα δοκού) ς = 7,5=-0,622kN/ (ϊνω ύνα δοκού) ΜΕΓΙΣΕ ΟΡΘΕ ΣΑΕΙ ΣΗΝ ΔΟΚΟ CB Οι ορθϋσ τϊςεισ οφεύλονται ςτην ύπαρξη τησ ροπόσ κϊμψησ και τησ αξονικόσ δύναμησ Εμφανύζονται ςτη θϋςη C Τπολογύζω την ροπό αδρϊνειασ και το εμβαδόν τησ διατομόσ I yy = =25920cm 4, A= - =432 ς = + 12=0,4385kN/ ς = 12=-0,45kN/ 3 ΕΤΡΕΗ ΜΕΓΙΣΗ ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΣΑΗ ΣΗΝ ΔΟΚΟ ACD Η μϋγιςτη διατμητικό τϊςη εμφανύζεται ςτην ςτόριξη Α και ςτο ΚΒ τησ διατομόσ τ= τ max = =0,0378kN/ Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
4 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΘΕΜΑ 2 ο - ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ - 31/01/2011 - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΕΜΠ Τποςτύλωμα με τη διατομό του ςχόματοσ καταπονεύται με δύο ύςα κατακόρυφα θλιπτικϊ φορτύα ϋνταςησ P=200kN ςτα ςημεύα G και H (Σο κϋντρο βϊρουσ τησ διατομόσ δύνεται ςτο ςχόμα και I yz=336000cm 4 ) Ζητούνται: 1 Η ςχεδύαςη του πυρόνα τησ διατομόσ 2 Η χϊραξη τησ ουδϋτερησ γραμμόσ καθώσ και ο προςδιοριςμόσ των μϋγιςτων εφελκυςτικών και θλιπτικών ορθών τϊςεων που αναπτύςςονται ςτη διατομό Λύςη: 1 ΕΤΡΕΗ ΓΕΨΜΕΣΡΙΚΨΝ ΣΟΙΦΕΙΨΝ ΔΙΑΣΟΜΗ Φωρύζω την διατομό ςε δύο επιμϋρουσ τμόματα: 1 : AIDEFA 2 : DCBID EMΒΑΔΟΝ ΔΙΑΣΟΜΗ A 1=60*40=2400cm 2 A 2=30*20=600cm 2 A ΟΛ=A 1+A 2 A ΟΛ=3000cm 2 ΡΟΠΕ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΔΙΑΣΟΜΗ = 1 + 2 = +2400*4 2 + +600*16 2 =932000cm 4 = 1 + 2 = +2400*7 2 + +600*28 2 =953000cm 4 =336000 cm 4 Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
5 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΜΕΣΑΥΟΡΑ ΣΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ ΣΟ ΚΒ ΣΗ ΔΙΑΣΟΜΗ Ν ΟΛ=-2*200=-400kN =+200(34-20)-200(26-10)=- 400kNcm (φορϊ διανύςματοσ τησ ςυνολικόσ ροπόσ προσ τα δεξιϊ) =+200(27-20)-200(43-15)=-4200kNcm (φορϊ διανύςματοσ τησ ςυνολικόσ ροπόσ προσ τα πϊνω) ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΤΑ ΔΙΑΣΟΜΗ Η περιβϊλλουςα τησ διατομόσ δημιουργεύται από τισ ευθεύεσ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα ΕΤΘΕΙΑ ε 1: ε 1 z=- Βρύςκω τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου K 1(y 1,z 1) που βρύςκεται ςτο περύγραμμα του πυρόνα = = =-3,294 cm =+9,137cm Ωρα Κ1 (-3,294 9,137) [cm] Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
6 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΕΤΘΕΙΑ ε 2: ε 2 z = ay β Βρύςκω τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου K 2(y 2,z 2) που βρύςκεται ςτο περύγραμμα του πυρόνα Αρκεύ να βρούμε τα α και β Ε(-13,-34) - =α(- ) β 1 C(-43,+6) =α(- ) β 2 Με αφαύρεςη κατϊ μϋλη των παραπϊνω ςχϋςεων θα ϋχουμε: - 0= 0α α=- 3 Η 2 3 β=- Σελικϊ η εξύςωςη τησ ευθεύασ ε 2 z=-1,333y-51,333 Για y=0 =-51,333 Για z=0 =-38,500 y 2=- z 2=- + =6,069cm - =3,143cm Ωρα Κ 2(6,069 3,143) ΕΤΘΕΙΑ ε 3: ε 3 y= - 43 Βρύςκω τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου K 3(y 3,z 3) που βρύςκεται ςτο περύγραμμα του πυρόνα y 3=- =+7,388cm z 3=+ =-2,605cm Ωρα Κ 3(+7,388-2,605) ε 4 y= ΕΤΘΕΙΑ ε 4: περύγραμμα του πυρόνα y 4=+ =4,308cm Βρύςκω τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου K 4(y 4,z 4) που βρύςκεται ςτο z 4=- =-11,948cm Ωρα Κ4(4,308-11,948) Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
7 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΕΤΘΕΙΑ ε 5: ε 5 y=+27 Βρύςκω τισ ςυντεταγμϋνεσ του ςημεύου K 5(y 5,z 5) που βρύςκεται ςτο περύγραμμα του πυρόνα y 5=- =-11,765cm z 5= =4,148cm Ωρα Κ 5(-11,765 4,148) Ακολουθεύ η ςχεδύαςη του πυρόνα τησ διατομόσ 2 Bρύςκω την εξύςωςη των ορθών τϊςεων τησ διατομόσ ς xx= + y+ z ς xx =-0,1333+4,876* 0 y+1,329* 0 z Βρύςκω την ουδϋτερη γραμμό τησ διατομόσ Μηδενύζοντασ τισ ορθϋσ τϊςεισ θα ϋχω: ς xx=0 4,876y+1,329z=133,33 Δυο ςημεύα τησ ουδϋτερησ γραμμόσ εύναι: Για y=0 z=100,32 I 1(0, 100,32) Για z=0 y=27,344 I 2(27,344, 0) Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
8 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΟΡΘΨΝ ΣΑΕΨΝ ΔΙΑΣΟΜΗ Οι μϋγιςτεσ τϊςεισ αναπτύςςονται ςτα ςημεύα Α κ Β Θα ϋχουμε λοιπόν: ς Α =-0,1333,+4,876* 0 *27+1,329* 0 (+26)=0,033kN/cm 2 ς C=-0,1333+4,876* 0 (-43)+1,329* 0 (+6)=-0,335kN/cm 2 Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
9 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΘΕΜΑ ο - ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ - 31/01/2011 - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΕΜΠ Η γωνιακό δοκόσ ABC του ςχόματοσ πακτωμϋνη ςτο ϊκρο Α και ακαμψύασ ΕΙ φϋρει το ομοιόμορφο κατανεμημϋνο φορτύο q=10kn/m ςτο τμόμα AD και την οριζόντια δύναμη P=10kN ςτο C Επιπροςθϋτωσ η δοκόσ ςτηρύζεται με τον ελκυςτόρα ΕΖ καταςκευαςμϋνο από το ύδιο υλικό τησ δοκού μϋτρου ελαςτικότητασ Ε= 00GPa, και με εμβαδόν διατομόσ Α ο=2cm 2, ενώ για τη δοκό δύνεται ότι Ι/Α ο=05m 2 Να υπολογιςθούν οι αντιδρϊςεισ ςτηρύξεωσ του φορϋα καθώσ και το βϋλοσ κϊμψησ τησ δοκού ςτο Ε Λύςη: Αφαιρώ το ιςοςτατικό τμόμα EBC και ο προσ επύλυςη φορϋασ μου γύνεται όπωσ ςτο διπλανό ςχόμα Aπό γεωμετρύα:l ΖΕ= 8 l ΖΕ=10m Εκλϋγω ςαν υπερςτατικό μϋγεθοσ την τϊςη τησ ρϊβδου ZE (αφεξόσ την υπολογύζω ςαν S 1) Επιπλϋον τοποθετώ και ϋνα κατακόρυφο μοναχικό φορτύο ςτην θϋςη Ε αφού μου ζητεύται και η βύθιςη ςε αυτό Ϊτςι ο φορϋασ μου γύνεται όπωσ το διπλανό ςχόμα Για την εύρεςη των αντιδρϊςεων θα πρϋπει: δ =0 dx+ lze=0 1 Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
10 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ Εύρεςη ςυναρτόςεων Μ(x) και και για κϊθε κλϊδο (η χρειϊζεται για την εύρεςη του βϋλουσ κϊμψησ) ΚΛΑΔΟ ΔΕ (0 x ) εφφ= φ=36,8 Μ=0 Μ(x)-20-S 10,6x+Px=0 Μ(x)=0,6 S 1x+20-Px 2 = (0,6S 1x+20-Px) =0,6x 3 = (0,6S 1x+20-Px) =-x 4 ΚΛΑΔΟ AΔ (0 x ) Μ=0 Μ(x)+10 20-0,6S 1(x+2,0)+P(x+2,0)=0 Μ(x)=-5 +20+0,6S 1x+1,2S 1-Px-2P 5 =0,6x+1,2 6 =-x-2 7 Η 1 2 7 δ =0 [ ( x 0 0 x+1,2 -Px-2P)(0,6x+1,2)dx+ + (0 x 0 x)0 x x + =0 + =0 8 Ϊχω από εκφώνηςη =0,5 9 Η 8 9 + =0-2040+122,88 S 1+10S 1=0 S 1=15,352kN ΕΤΡΕΗ ΑΝΣΙΔΡΑΕΨΝ ΥΟΡΕΑ F x=0 A x-10-15,352*0,8=0 Α x=22,282kn F y=0 A y-10*6,0+15,352*0,6=0 A y=50,789kn Μ (A)=0 M A+10*6*3-20-15,352*0,6*8=0 M A=-86,31kNm Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr
11 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΕΤΡΕΗ ΒΕΛΟΤ ΚΑΜΧΗ ΣΗΝ ΘΕΗ Ε δ E=[ (0 x 0 x) ( x) x ( x 0 0 x x )( x ) x Για =15,352 kn και δ Ε= - + δ Ε =+6,397* 0 m P=0 H βύθιςη ϋχει φορϊ προσ τα κϊτω Ιωάννου Δροςοποφλου 252,Άνω Πατήςια, 210-2023812 wwwgregtriantafyllougr