ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές δακτυλίων. Επιπρόσθετα υπενθυµίζουµε τις σπουδαιότερες κλάσεις δακτυλίων (ακέραια περιοχή, δακτύλιος διαίρεσης, σώµα, κλπ, καθώς και τους σπουδαιότερους τύπους στοιχείων σε έναν δακτύλιο (αντιστρέψιµα, ταυτοδύναµα, µηδενοδύναµα, διαιρέτες του µηδενός, κλπ.. Τέλος παρουσιάζουµε µια σειρά παραδειγµάτων δακτυλίων τα οποία ϑα χρησιµοποιηθούν στα επόµενα Κεφάλαια. 6.1.1 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Υπενθυµίζουµε την έννοια του δακτυλίου, δηλαδή µιας τριάδας (R, +, αποτελούµενης από ένα σύνολο R εφοδιασµένο από δύο εσωτερικές πράξεις «+» και οι οποίες ικανοποιούν συγκεκριµένα αξιώµατα : Ορισµός 6.1.1. Ενας δακτύλιος µε µονάδα είναι µια τριάδα (R, +,, όπου : 1. Το Ϲεύγος (R, + είναι µια αβελιανή οµάδα. 2. Το Ϲεύγος (R, είναι ένα µονοειδές. 3. Ικανοποιείται η επιµεριστική ιδιότητα της πράξης της πρόσθεσης «+» ως προς την πράξη του πολλαπλασιασµού : r, s, t R : r (s + t r s + r t και (r + s t r t + s t (Επιµεριστική Ιδιότητα Το ουδέτερο ή µηδενικό στοιχείο της οµάδας το συµβολίζουµε µε 0 ή 0 R, και ϑα το καλούµε το µηδενικό στοιχείο του δακτυλίου R, και το ουδέτερο ή µοναδιαίο στοιχείο του µονοειδούς (R, ϑα το συµβολίζουµε µε 1 ή µε 1 R, και ϑα το καλούµε µονάδα του δακτυλίου R. Ο δακτύλιος (R,+, καλείται µεταθετικός, αν ο πολλαπλασιασµός ικανοποιεί την µεταθετική ιδιότητα, δηλαδή r 1,r 2 R: r 1 r 2 r 2 r 1. Αναλυτικότερα, ένας δακτύλιος µε µονάδα είναι µια τριάδα (R, +,, αποτελούµενη από ένα συνολο R το οποίο είναι εφοδιασµένο µε δύο εσωτερικές πράξεις έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώµατα : + : R R R, (r 1,r 2 r 1 + r 2 (πρόσθεση : R R R, (r 1,r 2 r 1 r 2 (πολλαπλασιασµός 1. Η πράξη «+» είναι προσεταιριστική, δηλαδή ισχύει ότι : r 1,r 2,r 3 R : r 1 + (r 2 + r 3 (r 1 + r 2 + r 3 (6.1 312

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 313 2. Υπάρχει ένα στοιχείο 0 R ή απλά 0 R, το οποίο καλείται µηδενικό στοιχείο του R, έτσι ώστε : r R : r + 0 R r 0 R + r (6.2 3. Για κάθε στοιχείο r R, υπάρχει ένα στοιχείο r R, το οποίο καλείται αντίθετο στοιχείο του r, έτσι ώστε να ισχύει : r R, r R : r + ( r 0 R ( r + r (6.3 4. Η πράξη «+» είναι µεταθετική r, s R : r + s s + r (6.4 5. Η πράξη είναι προσεταιριστική r 1,r 2,r 3 R : r 1 (r 2 r 3 (r 1 r 2 r 3 (6.5 6. Για τις πράξεις «+» και ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα r, s, t R : r (s + t r s + r t και (r + s t r t + s t (6.6 7. Υπάρχει ένα στοιχείο 1 R, το οποίο καλείται µονάδα του R, έτσι ώστε : r R : r 1 R r 1 R r (6.7 Ο δακτύλιος (R, +, καλείται µεταθετικός, αν η πράξη του πολλαπλασιασµού είναι µεταθετική r 1,r 2 R : r 1 r 2 r 1 r 2 (6.8 Παρατήρηση 6.1.2. Οπως γνωρίζουµε από τη ϑεωρία οµάδων και µονοειδών, τα στοιχεία 0 R και 1 R στον ορισµό δακτυλίου µε µονάδα είναι µοναδικά, και από τώρα και στο εξής, αν δεν δηµιουργείται κίνδυνος σύγχισης, ϑα τα συµβολίζουµε απλά µε 0 και 1 αντίστοιχα. Παρόµοια το αντίθετο r του στοιχείου r είναι µοναδικό. Από τώρα και στο εξής, ϑα χρησιµοποιούµε τις συµβάσεις και τους συµβολισµούς για πράξεις, µονοειδή, οµάδεςς, που εισαγάγαµε και ακολουθήσαµε στο Πρώτο µέρος. Ετσι για παράδειγµα ϑα γράφουµε r +( s r s. Τέλος χάριν απλότητας, και αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχισης, ϑα γράφουµε απλά R για έναν δακτύλιο µε µονάδα (R,+,. Ο µηδενικός δακτύλιος είναι ο δακτύλιος για τον οποίο ισχύει ότι 0 R 1 R. Προφανώς τότε R { 0. Στη συνέχεια όταν αναφερόµαστε σε έναν δακτύλιο, ϑα εννοούµε έναν µη-µηδενικό δακτύλιο µε µονάδα. Παρατήρηση 6.1.3. Υπάρχει και η γενικότερη έννοια του δακτυλίου χωρίς µονάδα, δηλαδή µιας τριάδας (R, +, όπως παραπάνω, η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού 6.1.1, εκτός ενδεχοµένως του τελευταίου αξιώµατος το οποίο πιστοποιεί την ύπαρξη µονάδας. Οταν αναφερόµατσε σε έναν δακτύλιο χωρίς µονάδα, ϑα εννοούµε έναν δακτύλιο ο οποίος δεν έχει απαραίτητα µονάδα. Ορισµός 6.1.4. Ενα υποσύνολο S R ενός δακτυλίου R, καλείται υποδακτύλιος του R αν : 1. x, y S: x y S. 2. x, y S: x y S. 3. 1 R S. Αν S είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε επειδή το S είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του R, οι πράξεις αυτές επάγουν πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού επί του S, και µε αυτές τις πράξεις το σύνολο S είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα (την µονάδα του R. Επισηµαίνουµε κάποιες χρήσιµες πληροφορίες για υποδακτυλίους :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 314 1. Ενας δακτυλιος µε µοναδα R µπορει να περιεχει υποδακτυλιους S µε µοναδα διαφορετικη απο την µοναδα του R: Πράγµατι ο δακτύλιος R M 2 (Z έχει µονάδα τον πίνακα ( 1 0 I 2 0 1 και το υποσύνολο S {( a 0 M 0 0 2 (Z a Z είναι ένας υποδακτύλιος του R µε µονάδα τον πίνακα ( 1 0 I 0 0 2 2. Ενας δακτυλιος µε µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S χωρις µοναδα: Πράγµατι ο δακτύλιος Z έχει µονάδα, και το υποσύνολο 2Z των αρτίων ακεραίων είναι υποδακτύλιος του Z ο οποίος δεν έχει µονάδα. 3. Ενας δακτυλιος χωρις µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S µε µοναδα: Πράγµατι ο δακτύλιος δεν έχει µονάδα, και το υποσύνολο R S είναι ένας υποδακτύλιος του R µε µονάδα τον πίνακα {( a b M 0 0 2 (Z a,b Z {( a 0 M 0 0 2 (Z a Z ( 1 0. 0 0 6.1.2 Παραδείγµατα και Κατασκευές ακτυλίων Τα ακόλουθα είναι οικεία παραδείγµατα δακτυλίων, τα οποία ϑα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια. Παράδειγµα 6.1.5. 1. (Ο ακτύλιος Z των Ακεραίων. Το πρωταρχικό παράδειγµα δακτυλίου είναι ο δακτύλιος Z των ακεραίων, δηλαδή η τριάδα (Z,+,, όπου «+» και είναι οι συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ακεραίων. Είναι οικείο και άµεσα διαπιστώσιµο ότι η τριάδα (Z, +, είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Το µηδενικό στοιχείο είναι το 0 και η µονάδα το 1. 2. (Ο ακτύλιος Q των Ρητών. Το σύνολο Q των ϱητών αριθµών, δηλαδή η τριάδα (Q,+,, όπου «+» και είναι οι συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ϱητών αριθµών. Είναι οικείο και άµεσα διαπιστώσιµο ότι η τριάδα (Q, +, είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Το µηδενικό στοιχείο είναι το 0 και η µονάδα το 1. 3. (Ο ακτύλιος R των Πραγµατικών. Το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών, δηλαδή η τριάδα (R, +,, όπου «+» και είναι οι συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. Είναι οικείο και άµεσα διαπιστώσιµο ότι η τριάδα (R, +, είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Το µηδενικό στοιχείο είναι το 0 και η µονάδα το 1. 4. (Ο ακτύλιος C των Μιγαδικών. Το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών, δηλαδή η τριάδα (C, +,, όπου «+» και είναι οι συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. Είναι οικείο και άµεσα διαπιστώσιµο ότι η τριάδα (C, +, είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Το µηδενικό στοιχείο είναι το 0 και η µονάδα το 1.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 315 Παράδειγµα 6.1.6. Εστω X ένα τυχόν µη-κενό σύνολο και ϑεωρούµε το σύνολο F (X,R όλων των πργα- µατικών συναρτήσεων ορισµένων επί του X : F (X,R { f : X R f : συνάρτηση Οπως στην υποενότητα 1.1, επί του συνόλου X ορίζονται πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού +, : F (X,R F (X,R F (X,R, (f, g f + g, f g όπου (f + g (x f (x + g (x, και (f g (x f (x g (x, x X. Τότε είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι το σύνολο (F (X,R,+, είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Το µηδενικό στοιχείο του δακτυλίου F (X,R είναι η σταθερή µηδενική συνάρτηση 0: X R, 0(x 0, x X, και η µονάδα του δακτυλίου F (X,R είναι η σταθερή συνάρτηση µε τιµή 1, δηλαδή 1: X R, 1(x 1, x X. Η διαπίστωση των αξιωµάτων είναι άµεση καθώς συνίσταται στην διαπίστωση των αντίστοιχων αξιωµάτων για τον δακτύλιο (R, +,, για τον οποίο γνωρίζουν ότι ισχύουν. Παράδειγµα 6.1.7. Εστω (M, + µια προσθετική αβελιανή οµάδα. Θεωρούµε το σύνολο End Z (M { f : M M f : ενδοµορφισµός της M { f : M M f (x + y f (x + f (y, x, y M Γνωρίζουµε ότι το σύνολο End Z (M είναι αβελιανή οµάδα µε πράξη «+» την πρόσθεση ενδοµορφισµών : f, g End Z (M : f + g : M M, (f + g (x f (x + g (x Η αβελιανή οµάδα (End Z (M,+ είναι επίσης εφοδιασµένη και µε την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων. Πράγµατι η σύνθεση f g : M M, (f g (x f (g (x ενδοµορφισµών f, g End Z (M είναι ενδοµορφισµός, και η τριάδα (End Z (M,+, είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα, τον ταυτοτικό ενδοµορφισµό Id M, ο οποίος καλείται ο δακτύλιος ενδοµορφισµών της αβελιανής οµάδας M. Παράδειγµα 6.1.8. Για κάθε ϑετικό ακέραιο n 1, ϑεωρούµε την προσθετική αβελιανή οµάδα (Z n,+ των κλάσεων υπολοίπων mod n. Γµωρίζουµε ότι το σύνολο Z n είναι εφοδιασµένο και µε την πράξη πολλαπλασιασµού κλάσεων υπολοίπων mod n, έτσι ώστε το Ϲεύγος (Z n, να είναι ένα µεταθετικό µονοειδές. Επειδή προφανώς ισχύει ότι : [x] n ([y] n + [z] n [x] n [y + z] n [x (y + z] n [x y + x z] n [x] n [y] n + [x] n [z] n έπεται ότι ισχύει και η επιµεριστική ιδιότητα, και η τριάδα (Z n,+, είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µηδενικό στοιχείο την κλάση [0] n και µονάδα την κλάση [1] n. Οι υποδακτύλιοι είναι χρήσιµοι στην κατασκευή και αναγνώριση νέων δακτυλίων. Ετσι για παράδειγµα η τοµή i I S i µιας οικογένειας { S i i I υποδακτυλίων ενός δακτυλίου R, είναι ένας υποδακτύλιος του R. Ιδιαίτερα αν X R είναι ένα υποσύνολο του δακτυλίου R, τότε η τοµή { S R S : υποδακτύλιος του R και X S της οικογένειας όλων των υποδακτυλίων S του R οι οποίοι περιέχουν το υποσύνολο X, είναι ένας υποδακτύλιος του R, ο οποίος καλείται ο υποδακτύλιος του R ο οποίος παράγεται από το υποσύνολο X, και συµβολίζεται µε X. Ο υποδακτύλιος X είναι προφανώς ο µικρότερος υποδακτύλιος του R ο οποίος περιέχει το X. Αν R { R i i I είναι µια οικογένεια δακτυλίων, τότε ορίζεται ο δακτύλιος ευθύ γινόµενο i I R i της οικογένειας R. Τα στοιχεία του δακτυλίου i I R i είναι οικογένειες στοιχείων (r i i I, και οι πράξεις πρόσθεσης «+» και πολλαπλασιασµού ορίζονται «κατά συνιστώσα» ως εξής : αν (r i i I, (s i i I είναι στοιχεία του n i I, τότε : (r i i I + (s i i I (r i + s i i I και (r i i I (s i i I (r i s i i I

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 316 Η τριάδα ( i I R i,+, είναι τότε δακτύλιος µε µονάδα, την ακολουθία (r i i I, όπου r i 1 Ri, i I. Αν I { 1,2,,n, τότε ϑα γράφουµε i I R i n i1 R i R 1 R 2 R n. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα 1 1 R. Ο δακτύλιος M n (R των n n πινάκων υπεράνω του R έχει ως στοιχεία n n πίνακες A (r i j, όπου r i j R, 1 i, j n. Οι πράξεις πρόσθεσης «+» και πολλαπλασιασµού επί του συνόλου M n (R ορίζονται ως εξής. Αν A (a i j, B (b i j M n (R, τότε : A + B (c i j, όπου c i j a i j + b i j και A B (d i j, όπου d i j n a ik b k j Τότε η τριάδα (M n (R,+, είναι ένας δακτύλιος, ο οποπίος είναι µη-µεταθετικός, αν n 2. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα 1 1 R. Ο δακτύλιος R[[t]] των τυπικών δυναµοσειρών υπεράνω του R έχει ως στοιχεία ακολουθίες a (a n n 0 στοιχείων του R. Οι πράξεις πρόσθεσης «+» και πολλαπλασιασµού επί του συνόλου R[t] ορίζονται ως εξής. Αν a (a n n 0, b (b n n 0 R[t], τότε : a +b c (c n n 0, όπου c n a n + b n και a c d (d n n 0, όπου d n k1 n a k b n k Η τριάδα (R[t],+, είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα την ακολουθία 1 (1,0,0,,0,. Μια ακολουθία a (a n n 0, ϑεωρούµενη ως στοιχείο του δακτυλίου R[t], καλείται τυπική δυναµοσειρά και συµβολίζετα µε a (a n n 0 k0 a nt n. Ο συµβολισµός αυτός ερµηνεύεται ως εξής. Θέτουµε : t 0 : 1 ( 1,0,0,,0,, t : ( 0,1,0,,0,, και γενικότερα : t n : ( 0,0,, 0,1,0,,0,, n 0 {{ το 1 στην (n+1 ϑέση Παρατηρούµε ότι το στοιχείο t n είναι η n-οστή δύναµη του στοιχείου t ως προς την πράξη του πολλαπλασιασµού : t n t t t (n-παράγοντες. Επίσης, για κάθε στοιχείο r R, γράφουµε : r a (r a n n 0 ( r a 0,r a 1,,r a n, για το γινόµενο της ακολουθίας r (r,0,,0, µε την ακολουθία a (a 0, a 1,, a n,. Τότε η ακολουθία a (a n n 0 ϑα γράφεται : a (a n n 0 a k t k Ο δακτύλιος R[t] των πολυωνύµων υπεράνω του R ορίζεται να είναι το υποσύνολο R[t] του δακτυλίου R[[t]] των τυπικών δυναµοσειρών, το οποίο αποτελείται από όλες τις τυπικές δυναµοσειρές k0 a k t k για τις οποίες υπάρχει n N 0 έτσι ώστε a k 0, k n. Το υποσύνολο R[t] είναι ένας υποδακτύλιος του R[[t]], και άρα είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος. Ενα τυπικό στοιχείο του δακτυλίου R[t] καλείται πολυώνυµο µιας µεταβλητής υπεράνω του R και είναι της µορφής P(t k0 n a k t k a 0 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a n t n k0 Ο δακτύλιος R[t 1, t 2,, t n ] των πολυωνύµων n-µεταβλητών υπεράνω του R, ορίζεται επαγωγικά ως εξής : R[t 1, t 2 ] (R[t 1 ][t 2 ],, R[t 1, t 2,, t n ] (R[t 1, t 2,, t n 1 ][t n ]. Εστω R (R,+, ένας δακτύλιος, και X ένα τυχόν µη-κενό σύνολο. Ο δακτύλιος F (X,R { f : X R f : απεικόνιση των συναρτήσεων επί του X µε τιµές στον δακτύλιο R, έχει ως στοιχεία συναρτήσεις f : X R. Στο σύνολο F (X, R ορίζουµε πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού + : F (X,R F (X,R F (X,R, (f, g f + g : X R, (f + g (x f (x + g (x k0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 317 : F (X,R F (X,R F (X,R, (f, g f g : X R, (f g (x f (x g (x όπου, x X, f (x + g (x και f (x g (x συµβολίζει το αποτέλεσµα των πράξεων «+» και στον δακτύλιο R. Τότε η τριάδα (F (X,R,+, είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα την σταθερή συνάρτηση 1: X R, 1(x 1 R. Οι δακτύλιοι συναρτήσεων F (X,R ή F (X,C, για κατάλληλα σύνολα X, περιέχουν σηµαντικούς υποδακτυλίους, όπως για παράδειγµα δακτυλίους συνεχών, διαφορίσιµων, πραγµατικών ή µιγαδικών συναρτήσεων. 6.1.3 Τύποι Στοιχείων και ακτυλίων - Χαρακτηριστική ακτυλίου Εστω R (R,+, ένας δακτύλιος. Ενας µη µηδενικός δακτύλιος R καλείται περιοχή ή δακτύλιος χωρίς διαιρέτες του µηδενός, αν : r, s R : r s 0 r 0 ή s 0 Ισοδύναµα, ο δακτύλιος R είναι περιοχή αν 0 r R και 0 s R, συνεπάγεται ότι r s 0. Ενας µεταθετικός δακτύλιος ο οποίος είναι περιοχή καλείται ακέραια περιοχή. Εποµένως ο όροι µεταθετική περιοχή και ακέραια περιοχή είναι ταυτόσηµοι. Ενα στοιχείο r R καλειται αριστερός διαιρέτης του 0, αν υπάρχει στοιχείο 0 s R έτσι ώστε r s 0. Παρόµοια το στοιχείο s καλείται δεξιός διαιρέτης του 0, αν υπάρχει στοιχείο 0 r R έτσι ώστε r s 0. Ενα στοιχείο r του δακτυλίου R είναι αντιστρέψιµο, αν είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του µονοειδούς (R,, δηλαδή, αν υπάρχει στοιχείο s R έτσι ώστε : r s 1 s r. Το στοιχείο s είναι τότε µοναδικό, συµβολίζεται µε r 1 και καλείται το αντίστροφο στοιχείο του r. Το σύνολο όλων των αντιστρέψιµων στοιχείων του R συµβολίζεται µε U(R { r R r : αντιστρέψιµο στοιχείο και όπως µπορούµε να δουµε εύκολα το Ϲέυγος (U(R, είναι οµάδα, η οποία καλείται η οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων του δακτυλίου R. Εποµένως, 1 U(R, και αν r, s U(R, τότε r s U(R, και r 1 U(R. Σηµειώνουµε ότι (r 1 1 r και (r s 1 s 1 r 1. Ενα στοιχείο r R του δακτυλίου R καλείται ταυτοδύναµο, αν r 2 r. Το στοιχείο r καλείται µηδενοδύναµο αν υπάρχει n N έτσι ώστε r n 0. Ενας δακτύλιος R καλείται δακτύλιος του Boole, αν κάθε στοιχείο του είναι ταυτοδύναµο. Ενας δακτύλιος R για τον οποίο ισχύει ότι U(R R, δηλαδή κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του είναι αντιστρέψιµο, καλείται δακτύλιος διαίρεσης. Ενας µεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης καλείται σώµα. Για τις παραπάνω κλάσεις δακτυλίων, ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσµα : Θεώρηµα 6.1.9. Ισχύουν οι εξής συνεπαγωγές µεταξύ των παρακάτω κλάσεων δακτυλίων : R : Σώµα R : ακτύλιος ιαίρεσης R : Περιοχή οι οποίες γενικά είναι µη-αναστρέψιµες. Αν περιοριστούµε σε πεπερασµένους δακτυλίους, οι παραπάνω κλάσεις συµπίπτουν : R < R : Σώµα R : ακτύλιος ιαίρεσης R : Ακέραια Περιοχή Ιδιαίτερα ϑα έχουµε την ακόλουθη Πρόταση η οποία περιγράφει πότε ο πεπερασµένος δακτύλιος Z n είναι σώµα ή ακέραια περιοχή. Πρόταση 6.1.10. Για τον δακτύλιο Z n, όπου n > 1, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Ο δακτύλιος Z n είναι σώµα. 2. Ο δακτύλιος Z n είναι ακέραια περιοχή. 3. Ο n είναι πρώτος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 318 Εστω R ένας δακτύλιος. Αν υπάρχει ϑετικός ακέραιος k έτσι ώστε kx 0, x R, τότε ο αριθµός char(r min { k N kx 0, x R καλείται η χαρακτηριστική του δακτυλίου R. Αν δεν υπάρχει τέτοιος ϑετικός ακέραιος k, τότε ϑέτουµε : char(r 0. Για παράδειγµα char(k 0, αν K Q,R,C, και char(z n n. Για την χαρακτηριστική ενός δακτυλίου ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσµα. Πρόταση 6.1.11. Για έναν δακτύλιο R έχουµε, char(r 0 αν δεν υπάρχει k N έτσι ώστε k1 R 0, διαφορετικά : char(r min { k N k1 R 0 > 0 Αν ο δακτύλιος R είναι περιοχή, τότε : char(r 0 ή char(r: πρώτος. 6.2 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 6.2.1. Εστω (R, +, µια τριάδα η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίου µε µονάδα, εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Να δείξετε οτι ισχύει η µεταθετικότητα της πρόσθεσης και η τριάδα (R,+, είναι ένας δακτύλιος. Λύση. Εστω a,b R. Θα δείξουµε ότι : a + b b + a. Χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση του R, υπολογίζουµε µε δύο τρόπους το γινόµενο : (a + 1 R (b + 1 R : (a + 1 R (b + 1 R a(b + 1 R + 1 R (b + 1 R ab + a1 R + 1 R b + 1 R 1 R ab + a + b + 1 R (a + 1 R (b + 1 R (a + 1 R b + (a + 1 R 1 R ab + 1 R b + a1 R + 1 R 1 R ab + b + a + 1 R Χρησιµοποιώντας τον νόµο της διαγραφής στην οµάδα (R, +, ϐλέπουµε άµεσα ότι ϑα έχουµε : a,b R : a + b b + a Σχόλιο 6.2.2. Αν στην Άσκηση 6.2.1 για την τριάδα (R, +, δεν απαιτήσουµε την ύπαρξη µονάδας, τότε το συµπέρασµα της Άσκησης δεν ισχύει. Πράγµατι, έστω (R, + µια µη-αβελιανή οµάδα µε παραπάνω από ένα στοιχεία, για παράδειγµα η συµµετρική οµάδα S 3 τάξης 6. Ορίζουµε πράξη πολλαπλασιασµού ως εξής : r s 0 R, r, s R. Τότε η τριάδα (R,+, ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίου χωρίς µονάδα (αν υπάρχει µονάδα 1 R, τότε 1 R 1 R 1 R 0 R και εποµένως R {0 R το οποίο είναι άτοπο διότι R > 1, εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Η τελευταία ιδιότητα δεν είναι δυνατόν να ισχύει, διότι η οµάδα R δεν είναι αβελιανή. Η παραπάνω ανάλυση δείχνει ότι κάθε αβελιανή οµάδα R µπορεί να ϑεωρηθεί ως δακτύλιος (χωρίς µονάδα αν R > 1 µε τετριµµένο πολλαπλασιασµό. Ασκηση 6.2.3. Εστω R ένας δακτύλιος, και υποθέτουµε ότι a,b R είναι δύο στοιχεία του R έτσι ώστε : ab 1 1. Να δειχθεί ότι, n 1: a n b n 1. 2. Να δειχθεί ότι, n 1: (a bab n 0.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 319 3. Τα στοιχεία ba και 1 ba είναι ταυτοδύναµα 1 και ορθογώνια. 4. Αν c R και ca 1, τότε το στοιχείο a είναι αντιστρέψιµο και a 1 b c. Λύση. 1. Για n 1, έχουµε a 1 b 1 ab 1 από την υπόθεση. Εστω n 2 και υποθέτουµε ότι a n b n 1. Τότε : a n+1 b n+1 a(a n b n b a 1 b ab 1 Άρα από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, ϑα έχουµε a n b n 1, n 1. 2. Αν n 1, τότε (1 bab b bab b b 1 b b 0. Αν n 2, τότε 3. Θα έχουµε (1 bab n (1 babb n 1 0 b n 1 0 (ba 2 baba b(aba b (1 a ba και (1 ba(1 ba 1 ba ba+(ba 2 1 ba ba+ba 1 ba ba (1 ba ba (ba 2 ba ba 0 και (1 ba ba ba (ba 2 ba ba 0 4. Εχουµε ca 1 cab b c b ab 1 ba Άρα το a είναι αντιστρέψιµο µε αντίστροφο το στοιχείο b c. Αν σε έναν µη-µεταθετικό δακτύλιο R υπάρχουν στοιχεία a,b R έτσι ώστε ab 1, τότε δεν είναι απαραίτητο να ισχύει ότι ba 1 και άρα δεν είναι απαραίτητο το στοιχείο a να είναι αντιστρέψιµο. Η πρώτη από τις ακόλουθες τρεις Ασκήσεις δίνει ένα παράδειγµα αυτού του ϕαινοµένου, και η δεύτερη και η τρίτη Άσκηση δίνουν µια ικανές συνθήκες έτσι ώστε να ισχύει η συνεπαγωγή 2 : ab 1 ba 1. Ασκηση 6.2.4. Εστω K ένα σώµα και ϑεωρούµε τον διανυσµατικό χώρο A(K K K { (a 1, a 2,, a n,, a k K, k 1 των ακολουθιών µε στοιχεία από το σώµα K. Υπενθυµίζουµε ότι το σύνολο A(K είναι K-διανυσµατικός χώρος µε πράξεις (a 1, a 2,, a n, + (b 1,b 2,,b n, (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n, k (a 1, a 2,, a n, (ka 1,ka 2,,ka n, Θέτουµε R End K (A(K να είναι ο δακτύλιος των K-γραµµικών απεικονίσεων A(K A(K, µε πράξη πρόσθεσης τη συνήθη πρόσθεση γραµµικών απεικονίσεων και πολλαπλασιασµό τη σύνθεση απεικονίσεων. Τότε στον δακτύλιο R υπάρχουν στοιχεία του f, g έτσι ώστε f g 1 R και g f 1 R. Λύση. Θεωρούµε απεικονίσεις f : A(K A(K, f (a 1, a 2,, a n, (a 2, a 3,, a n+1, g : A(K A(K, f (a 1, a 2,, a n, (0, a 1, a 2,, a n 1, Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις f και g είναι K-γραµµικές, και άρα f, g R. Τότε για κάθε ακολουθία (a 1, a 2,, a n, A(K, ϑα έχουµε : (f g (a 1, a 2,, a n, f ( g (a 1, a 2,, a n, f (0, a 1, a 2,, a n, (a 1, a 2,, a n, 1 Ενα στοιχείο e σε έναν δακτύλιο R καλείται ταυτοδύναµο, αν e 2 e. ύο στοιχεία e, f σε έναν δακτύλιο R καλούνται ορθογώνια, αν : e f 0 f 0. 2 ακτύλιοι για τους οποίους ισχύει ότι, a,b R: ab 1 ba 1, καλούνται πεπερασµένοι µε την έννοια του Dedekind. Για παράδειγµα ο δακτύλιος M n (K των n n-πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K είναι δακτύλιος ο οποίος είναι πεπερασµένος µε την έννοια του Dedekind (απόδειξη ;.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 320 (g g (a 1, a 2,, a n, g ( f (a 1, a 2,, a n, f (a 2, a 3,, a n+1, (0, a 2, a 3,, a n, (a 1, a 2,, a n, Εποµένως ϑα έχουµε : f g Id A(K 1 R και g f Id A(K 1 R Ασκηση 6.2.5. Εστω R ένας (µη-µηδενικός δακτύλιος χωρίς διαιρέτες του µηδενός. Αν a, b R είναι δύο στοιχεία έτσι ώστε ab 1, τότε ba 1, τα στοιχεία a,b είναι αντιστρέψιµα και b a 1. Λύση. Προφανώς a 0 και b 0, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε 1 0 και τότε ϑα προέκυπτε ότι R {0. Αυτό είναι άτοπο διότι ο δακτύλιος R είναι µη-µηδενικός : R {0. Από την Άσκηση 6.2.3, ϑα έχουµε baba ba, και άρα b(aba a 0 και τότε aba a διότι b 0 και ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Παρόµοια ϑα έχουµε a(ba 1 0, απ όπου ba 1, διότι a 0 και ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Άρα ab 1 ba και εποµένως τα στοιχεία a,b είναι αντιστρέψιµα και b a 1. Ασκηση 6.2.6. Εστω R ένας (µη-µηδενικός δακτύλιος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Αν a, b R είναι δύο στοιχεία έτσι ώστε ab 1, τότε ba 1, τα στοιχεία a,b είναι αντιστρέψιµα και b a 1. Λύση. Θεωρούµε την απεικόνιση Τότε η απεικόνιση f είναι «1-1» διότι : f : R R, f (x xa f (x f (y xa yb (xab (yab x(ab y(ab x 1 y 1 x y Επειδή το σύνολο R είναι πεπερασµένο, έπεται ότι η απεικόνιση f είναι «επί» και εποµένως υπάρχει στοιχείο c R έτσι ώστε : f (c 1 και εποµένως ca 1. Από το τέταρτο µέρος της Άσκησης 6.2.3, έπεται ότι τα στοιχεία a,b είναι αντιστρέψιµα και b a 1. Ασκηση 6.2.7. Ποιά από τα επόµενα σύνολα µαζί µε τις αναφερόµενες πράξεις αποτελούν δακτύλιους; 1. R { a + b 3 Q a,b Z µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. 2. R { a + bi C a,b Q όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. 3. R {( a b M 0 a 2 (R a,b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. 4. {( a b R M b a 2 (R a,b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 321 5. R { A M 2 (R M 2 (R Det(A 0 µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. 6. { m R n Q n περιττός µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ϱητών αριθµών. 7. R { r i C r R όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. Λύση. 1. Το σύνολο R { a+b 3 a,b Z είναι ένα µη κενό υποσύνολο του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του R και εποµένως είναι δακτύλιος. 2. Το σύνολο R { a +bi a,b Q, είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του C και εποµένως είναι δακτύλιος. {( a b 3. Το σύνολο R a,b R είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου M 0 a 2 (R των 2 2 πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R και εποµένως είναι δακτύλιος. {( a b 4. Το σύνολο R a,b R είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου M b a 2 (R των 2 2 πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R και εποµένως είναι δακτύλιος. 5. Το σύνολο R { A M 2 (R Det(A 0 µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ( ( 1 0 0 0 πινάκων δεν είναι δακτύλιος, διότι, π.χ., οι πίνακες και ανήκουν στο σύνολο R αλλά το 0 0 0 1 ( 1 0 άθροισµά τους είναι ο πίνακας ο οποίος δεν ανήκει στο υποσύνολο R. 0 1 6. Το σύνολο R { m/n Q n περιττός είναι ένα µη κενό υποσύνολο του σώµατος Q των ϱητών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του Q και εποµένως είναι δακτύλιος. 7. Το σύνολο R { r i r R, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών δεν είναι δακτύλιος διότι, π.χ., ο µιγαδικός αριθµός i ανήκει στο R αλλά ii i 2 1 R (ο µόνος πραγµατικός αριθµός ο οποίος ανήκει στο R είναι το 0. Ασκηση 6.2.8. Να δειχθεί ότι το σύνολο πινάκων {( u v H M v u 2 (C u, v C M 2 (C εφοδιασµένο µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων αποτελεί έναν δακτύλιο διαίρεσης. Ο δακτύλιος H καλείται ο δακτύλιος διαίρεσης των τετρανίων του Hamilton.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 322 Λύση. Εύκολα ϐλέπουµε ότι το υποσύνολο H του δακτυλίου M 2 (C των 2 2 πινάκων µιγαδικών αριθµών είναι ( κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων, και περιέχει τον µοναδιαίο 2 2 πίνακα 1 0 I 2 ο οποίος είναι η µονάδα του δακτυλίου M 0 1 2 (C. Εποµένως το σύνολο H είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου M 2 (C και άρα είναι δακτύλιος µε µονάδα τον πίνακα I 2. Μένει να δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο ( z w 0 A H w z είναι αντιστρέψιµο. Επειδή ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος ως στοιχείο του δακτυλίου M 2 (C αν και µόνον αν η ορίζουσα Det(A 0, για να δείξουµε ότι ο µη-µηδενικός πίνακας A είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του δακτυλίου H, αρκεί να δείξουµε διαδοχικά ότι : 1. Det(A 0, οπότε υπάρχει ο πίνακας A 1 M 2 (C, και 2. Ο πίνακας A 1 ανήκει στο H. Υπολογίζοντας την ορίζουσα του πίνακα A ϐλέπουµε ( z w Det zz + ww z 2 + w 2 w z και άρα Det(A 0 αν και µόνον αν z 2 + w 2 0 αν και µόνον αν z w 0 αν και µόνον αν A 0. Εποµένως, επειδή A 0, ϑα έχουµε ότι πράγµατι Det(A 0. Εποµένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας A 1, ο οποίος όπως µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα είναι : ( A 1 1 z w z 2 + w 2 w z Ο πίνακας A 1 προφανώς ανήκει στον υποδακτύλιο H. Εποµένως δείξαµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του H είναι αντιστρέψιµο, και άρα ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ο δακτύλιος διαίρεσης H δεν είναι σώµα διότι δεν είναι µεταθετικός, πχ. οι πίνακες ( ( i 0 0 i και ανήκουν στο H αλλά 0 i i 0 ( ( ( ( ( ( i 0 0 i 0 1 0 1 0 i i 0 0 i i 0 1 0 1 0 i 0 0 i Σχόλιο 6.2.9. Στον ορισµό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton, {( u v H M v u 2 (C u, v C M 2 (C µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε 4 4 πίνακες πραγµατικών αριθµών, και τότε µπορούµε να ταυτίσουµε : a b c d H b a d c c d a b M 4(R a,b,c,d R M 4 (R d c b a ( a b όπου χρησιµοποιήσαµε την ταύτιση του µιγαδικού αριθµού a + bi µε τον 2 2 πίνακα και την b a ( c d ταύτιση του µιγαδικού αριθµού c + di µε τον 2 2 πίνακα. Επιπλέον ϑέτοντας d c 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I 4 0 1 0 0 0 0 1 0, I 1 0 0 0 0 0 0 1, J 0 0 0 1 1 0 0 0, K 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 323 έπεται ότι : { H ai 4 + bi + cj + dk a,b,c,d R M 4 (R Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο H, εκτός από δακτύλιος διαίρεσης, είναι και υπόχωρος του R-διανυσµατικού χώρου M 4 (R, είναι δηλαδή µια R-άλγεβρα, και το σύνολο πινάκων { I 4,I,J,K είναι µια ϐάση του H υπεράνω του R. Σχόλιο 6.2.10. Αν στον ορισµό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton στο παραπάνω σχόλιο όπου χρησιµοποιήσαµε 4 4 πίνακες πραγµατικών αριθµών, χρησιµοποιήσουµε το πεπερασµένο σώµα Z p, p: πρώτος, αντί του σώµατος των πραγµατικών αριθµών R, αποκτούµε έναν µη-µεταθετικό δακτύλιο µε µονάδα H(Z p {ai 4 + bi + cj + dk M 4 (Z p a,b,c,d Z p M 4 (Z p ο οποίος έχει p 4 στοιχεία, και τα µόνα του ιδεώδη (έννοια την οποία ϑα συναντήσουµε στα επόµενα Κεφάλαια είναι τα τετριµµένα : {0 και H(Z p, ϐλέπε την Άσκηση 7.2.35. Οµως σε αντίθεση µε τον δακτύλιο H των τετρανίων του Hamilton, ο δακτύλιος H(Z p δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης. Αν ο δακτύλιος H(Z p ήταν δακτύλιος διαίρεσης, τότε επειδή το σύνολο H(Z p είναι πεπερασµένο, σύµφωνα µε ένα Θεώρηµα το οποίο οφείλεται στον Wedderburn («κάθε πεπερασµένος δακτύλιος διαίρεσης είναι µεταθετικός, και άρα είναι σώµα», ο δακτύλιος H(Z p ϑα ήταν µεταθετικός το οποίο είναι άτοπο. Η απόδειξη του Θεωρήµατος του Wedderburn είναι αρκετά δύσκολη και ξεφεύγει από τα πλαίσια των σηµειώσεων. Σηµειώνουµε ότι, σύµφωνα µε την Άσκηση 6.2.34, για να δείξουµε ότι ο δακτύλιος H(Z p δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης, αρκεί να δείξουµε ότι ο δακτύλιος H(Z p έχει διαιρέτες του µηδενός. Ασκηση 6.2.11. Εστω F ένα σώµα για το οποίο ισχύει ότι x x 1, για κάθε µη-µηδενικό στοιχείο x F. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός σωµάτων : F Z2 Λύση. Θέτοντας x 1 1 F στην σχέση x x 1, ϑα έχουµε 1 1 1, δηλαδή 1 1 και εποµένως 2 2 1 F 0 F 0. Άρα char(f 2. Από τη σχέση x x 1, χρησιµοποιώντας ότι 1 1, ϑα έχουµε : x x 1 ( xx x 1 x x 2 1 x 2 + 1 0 x 2 1 0 (x 1 (x + 1 0 απ όπου, επειδή κάθε σώµα είναι ακέραια περιοχή, ϑα έχουµε x 1 ή x 1, δηλαδή x 1 1. Εποµένως κάθε µη-µηδενικό στοιχείο x του F συµπίπτει µε την µονάδα 1 του F και εποµένως F { 0, 1. Προφανώς η απεικόνιση f : F Z 2, όπου f (0 [0] 2 και f (1 [1] 2 είναι ένας ισοµορφισµός σωµάτων. Ασκηση 6.2.12. Εστω (R, +, ένας δακτύλιος. Να δείξετε ότι το υποσύνολο Z(R { r R r x x r, x R είναι ένας υποδακτύλιος του R. Ο υποδακτύλιος Z(R καλείται κέντρο του δακτυλίου R. Λύση. Επειδή x0 R 0 R x0 R, x R, έπεται ότι 0 R Z(R και ιδιαίτερα Z(R. Εστω r 1,r 2 Z(R, και x R. Τότε ϑα έχουµε : 1. 2. (r 1 r 2 x r 1 x r 2 x xr 1 xr 2 x(r 1 r 2 r 1 r 2 Z(R (r 1 r 2 x r 1 (r 2 x r 1 (xr 2 (r 1 xr 2 (xr 1 r 2 x(r 1 r 2 r 1 r 2 Z(R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 324 3. x R : 1 R x x x1 R 1 R Z(R Εποµένως το υποσύνολο Z(R είναι ένας υποδακτύλιος του R. Ασκηση 6.2.13. Να υπολογιστεί το κέντρο Z(H του δακτυλίου των τετρανίων του Hamilton, και να δειχθεί ότι : Z(H Z(M 2 (R Λύση. (1 Εστω Επειδή ( 1 1 H, ϑα έχουµε : 1 1 ( z w w z ( 1 1 1 1 ( ( 1 1 1 1 ( z A w z w w z w Z(H z ( ( z + w z + w z + w w z w + z w + z z w w + z Η παραπάνω ισότητα πινάκων δίνει άµεσα ότι : w w και z z z a R και w b R Εποµένως : Από την άλλη πλευρά, επειδή ( a b b a ( i 0 0 i ( A z w w z ( i 0 H, ϑα έχουµε : 0 i ( i 0 0 i ( a b b a ( a b M b a 2 (R ( ( ai bi i a bi bi ai bi ai bi bi και εποµένως ( Άρα αν ο πίνακας A Αντίστροφα αν A Άρα : z w ( a 0 0 a ( z A w b 0 ( a 0, a R 0 a w z w ανήκει στο κέντρο Z(H, τότε A z H, a R, τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι A Z(H. Z(H {( { ( a 0 1 0 a R a a R 0 a 0 1 ( a b (2 Από την άλλη πλευρά αν A Z(M c d 2 (R, ϑα έχουµε : και άρα A ( 1 0 0 0 ( a b c d ( a b c d ( a 0. Επίσης ϑα έχουµε : 0 d ( 0 1 0 0 ( a 0 0 d ( a 0 0 d ( 1 0 0 0 ( 0 1 0 0 ( ( a b a 0 0 0 c 0 ( a 0, για κάποιο a R. 0 a ( ( 0 d 0 a 0 0 0 0 b c 0 a d

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 325 ( ( a 0 1 0 και εποµένως A a ai 0 a 0 1 2. Αντίστροφα είναι προφανές ότι κάθε πίνακας της µορφής ai 2 µετατίθεται µε κάθε 2 2 πίνακα, και εποµένως : Z(M 2 (R { ai 2 M 2 (R a R Z(H Ασκηση 6.2.14. Να προσδιοριστούν όλοι οι διαιρέτες του µηδενός των επόµενων δακτυλίων : (1 Z 4, (2 Z 8, (3 Z 11, (4 Z 4 Z 4 Λύση. 1. Υπενθυµίζουµε ότι ένα στοιχείο [k] n Z n είναι διαιρέτης του µηδενός αν και µόνον αν (k,n > 1. (Το µηδενικό στοιχείο ενός δακτυλίου δεν ϑεωρείται διαιρέτης του µηδενός. Ετσι για τους δακτυλίους Z 4, Z 8, και Z 11, ϑα έχουµε : (αʹ 1 k 3 και (k,4 > 1 k 2. Άρα ο µόνος διαιρέτης του µηδενός στον δακτύλιο Z 4 είναι το στοιχείο [2] 4. (ϐʹ 1 k 8 και (k,8 > 1 k 2,4,6. Άρα οι διαιρέτες το µηδενός στον δακτύλιο Z 8 είναι τα στοιχεία [2] 8,[4] 8,[6] 8. (γʹ 1 k 11 και (k,11 > 1. Προφανώς κανένα στοιχείο του δακτυλίου Z 11 δεν είναι διαιρέτης του µηδενός. 2. Για τον δακτύλιο Z 4 Z 4, προφανώς τα στοιχεία : ([1] 2,[0] 2, ([0] 2,[1] 2, ([2] 2,[0] 2, ([0] 2,[2] 2, ([3] 4,[0] 4, ([0] 4,[3] 4, είναι διαιρέτες του µηδενός, διότι : [r ] 4 Z 4 : ([r ] 4,[0] 4 ([0] 4,[r ] 4 ([0] 4,[0] 4 Επίσης το στοιχείο ([2] 4,[2] 4 είναι διαιρέτης του µηδενός διότι : ([2] 4,[2] 4 ([2] 4,[2] 4 ([4] 4,[4] 4 ([0] 4,[0] 4 Τα παραπάνω στοιχεία µαζί µε το µηδενικό στοιχείο ([0] 4,[0] 4 του δακτυλίου Z 4 Z 4 (το οποίο δεν ϑεωρείται διαιρέτης του µηδενός, δίνουν 8 στοιχεία. Ο δακτύλιος Z 4 Z 4 έχει πλήθος στοιχείων ίσο µε 4 4 16. Ετσι µένουν άλλα 8 στοιχεία. Εξ αυτών, τα στοιχεία ([1] 4,[1] 4, ([1] 4,[3] 4, ([3] 4,[1] 4, ([3] 4,[3] 4 είναι προφανώς όλα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου Z 4 Z 4, και τα οποία δεν είναι διαιρέτες του µηδενός. Ετσι µένουν προς εξέταση τα στοιχεία ([2] 4,[3] 4, ([3] 4,[2] 4, ([1] 4,[2] 4, ([2] 4,[1] 4. Αυτά τα στοιχεία είναι διαιρέτες του µηδενός διότι : ([1] 4,[2] 4 ([0] 4,[2] 4 ([0] 4,[4] 4 ([0] 4,[0] 4 ([2] 4,[1] 4 ([2] 4,[0] 4 ([4] 4,[0] 4 ([0] 4,[0] 4 ([2] 4,[3] 4 ([2] 4,[0] 4 ([4] 4,[0] 4 ([0] 4,[0] 4 ([3] 4,[2] 4 ([0] 4,[2] 4 ([0] 4,[4] 4 ([0] 4,[0] 4 Συνοψίζουµε : οι διαιρέτες του µηδενός στον δακτύλιο Z 4 Z 4 είναι : ([1] 2,[0] 2, ([0] 2,[1] 2, ([2] 2,[0] 2, ([0] 2,[2] 2, ([3] 4,[0] 4, ([0] 4,[3] 4, ([2] 4,[2] 4, ([2] 4,[3] 4, ([3] 4,[2] 4, ([1] 4,[2] 4, ([2] 4,[1] 4 Πρόβληµα 6.2.15. Στην Άσκηση 6.2.14 είδαµε ότι ο δακτύλιος Z 4 Z 4 είναι ξένη ένωση : Z 4 Z 4 { 0 Z4 Z 4 { αντιστρέψιµα στοιχεία { διαιρέτες του µηδενός Μπορείτε να ϐρείτε τους διαιρέτες του µηδενός στον δακτύλιο ευθύ γινόµενο Z n Z m ; Ισχύει η παραπάνω ισότητα σ αυτή την περίπτωση ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 326 Ασκηση 6.2.16. Ενας (µη-µηδενικός δακτύλιος µε µονάδα R καλείται δακτύλιος του Boole, αν : r R : r 2 r Να δειχθεί ότι κάθε δακτύλιος του Boole R είναι µεταθετικός και char(r 2. Λύση. Εστω r R. Θα δείξουµε πρώτα ότι, r R: r + r 0 R ή ισοδύναµα : r r. (r + r 2 r + r (r + r (r + r r + r r 2 + r 2 + r 2 + r 2 r + r r + r + r + r r + r Εποµένως από την τελευταία σχέση, µε χρήση του Νόµου ιαγραφής στην οµάδα (R,+, ϑα έχουµε : Εστω τώρα r, s R. Θα έχουµε : r R : r + r 0 R ή ισοδύναµα r r ( (r + s 2 r + s (r + s(r + s r + s r 2 + r s + sr + s 2 r + s r + r s + sr + s r + s Εποµένως από την τελευταία σχέση, µε χρήση του Νόµου ιαγραφής στην οµάδα (R,+, ϑα έχουµε : Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( και (, ϑα έχουµε : r, s R : r s + sr 0 R ή ισοδύναµα r s sr ( r, s R : r s sr δηλαδή ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός Τέλος επειδή 2r r + r 0 R, έπεται ότι ο R έχει πεπερασµένη µη-µηδενική χαρακτηριστική και µάλιστα char(r 2, διότι αν char(r 1, τότε 1 R 0 R και εποµένως R {0 το οποίο είναι άτοπο. Σχόλιο 6.2.17. Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω απόδειξη δεν χρησιµοποιήσαµε πουθενά ότι ο δακτύλιος R έχει µονάδα. Ετσι η συνεπαγωγή r R : r 2 r r, s R : r s sr ισχύει και για δακτυλίους οι οποίοι δεν έχουν απαραίτητα µονάδα. χρήσιµο στην Άσκηση 6.2.19. Αυτό το συµπέρασµα ϑα µας ϕανεί Ασκηση 6.2.18. Εστω ότι R είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα και υποθέτουµε ότι : a,b R : (ab 2 a 2 b 2 Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. Απόδειξη. 1. Χρησιµοποιώντας την υπόθεση, ϑα έχουµε διαδοχικά : [(a + 1b] 2 (ab + b 2 (ab 2 + ab 2 + bab + b 2 [(a + 1b] 2 (a + 1 2 b 2 (a 2 + 2a + 1b 2 a 2 b 2 + 2ab 2 + b 2 Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις ϐλέπουµε ότι ϑα έχουµε : ab 2 bab (1 2. Εργαζόµενοι παρόµοια ϑα έχουµε : [a(b + 1] 2 (ab + a 2 (ab 2 + aba + a 2 b + a 2 [a(b + 1] 2 a 2 (b + 1 2 a 2 (b 2 + 2b + 1 a 2 b 2 + 2a 2 b + a 2 Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις ϐλέπουµε ότι ϑα έχουµε : a 2 b aba (2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 327 3. Παρόµοια : [(a+1(b+1] 2 (ab+a+b+1 2 (ab 2 +aba+ab 2 +ab+a 2 b+a 2 +ab+a+bab+ba+b 2 +b+ab+a+b+1 [(a+1(b+1] 2 (a+1 2 (b+1 2 (a 2 +2a+1(b 2 +2b+1 a 2 b 2 +2a 2 b+a 2 +2ab 2 +4ab+2a+b 2 +2b+1 Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις, ϑα έχουµε : (ab 2 + aba + bab + ba a 2 b 2 + a 2 b + ab 2 + +ab (3 Η σχέση (3, λαµβάνοντας υπ όψιν την υπόθεση και τις σχέσεις (1 και (2, δίνει ab ba Επειδή τα στοιχεία a, b R επιλέχθηκαν τυχαία, έπεται ότι ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. Ασκηση 6.2.19. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα R για το οποίο ισχύει ότι : r R : r 3 r Να δειχθεί ότι ο R είναι µεταθετικός 3. Λύση. Για κάθε x R έχουµε x 3 x. Συνεπώς : (x + x 3 (x + x x 3 + 3x 2 x + 3xx 2 + x 3 x + x x 3 + 3x 3 + 3x 3 + x 3 x + x 8x 3 2x 8x 2x Με χρήση του Νόµου διαγραφής στην αβελιανή οµάδα (R,+ ϑα έχουµε : x R : 6x 0 R (a Χρησιµοποιώντας την ευκόλως αποδεικνυόµενη ταυτότητα σε τυχόντα δακτύλιο R: a,b R : (a b 3 a 3 a 2 b aba + ab 2 ba 2 + bab + b 2 a b 3 ϑα έχουµε : (x 2 x 3 x 6 x 5 x 5 + x 4 x 5 + x 4 x 3 x 6 3x 5 + 3x 4 x 3 (x 2 3 3x 3 x 2 + 2x 3 x x 3 x 2 3xx 2 + 3xx x x 2 3x 3 + 2x 2 x x 2 3x + 3x 2 x 4x 2 4x Οµως από την υπόθεση έχουµε : (x 2 x 3 x 2 x 4x 2 4x x 2 x και εποµένως από τον Νόµο ιαγραφής στην αβελιανή οµάδα (R,+ ϑα έχουµε : x R : 3x 2 3x (b Θεωρούµε το σύνολο Τότε x, y R, ϑα έχουµε : S { 3x x R 3x + 3y 3(x + y S (c 1 3 Ενα σηµαντικό Θεώρηµα του Nathan Jacobson πιστοποιεί ότι αν R είναι ένας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει ότι : x R, n x N : x nx x (όπου ο ϑετικός ακέραιος n x εξαρτάται από το στοιχείο x R, τότε ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 328 και (3x(3y (x + x + x(y + y + y x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y 9x y 6x y + 3x y Επειδή από τη σχέση (α έχουµε 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι : (3x(3y 3x y S (c 2 Οι σχέσεις (c 1 και (c 2 δίνουν ότι το υποσύνολο S είναι ένας υποδακτύλιος του R, ο οποίος δεν έχει α- παραίτητα µονάδα. Επιπρόσθετα, χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (a, (b, και (c 2, για κάθε z 3x S ϑα έχουµε z 2 (3x(3x 9x 2 3x 2 3x Εποµένως σύµφωνα µε το πρώτο µέρος της Άσκησης, ο υποδακτύλιος χωρίς µονάδα S είναι µεταθετικός. Συνεπώς ϑα έχουµε : z x, y R : (3x(3y (3y(3x 9x y 9yx 6x y + 3x y 6yx + 3yx Επειδή από τη σχέση (a ισχύει : 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι 3x y 3yx (d Εργαζόµενοι όπως παραπάνω, αναπτύσσοντας τη σχέση (x + y 3 x + y, µετά από αναγωγές οµοίων όρων, ϑα έχουµε ότι x y 2 + x 2 y + x yx + yx 2 + yx y + y 2 x 0 (e και παρόµοια από την σχέση (x y 3 x y ϑα έχουµε ότι x y 2 x 2 y x yx yx 2 + yx y + y 2 x 0 (f Προσθέτοντας τις σχέσεις (e και (f, παίρνουµε την εξής σχέση : 2x y 2 + 2yx y + 2y 2 x 0 (g Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση (g πρώτα από αριστερά µε y και µετά από δεξιά µε y, και χρησιµοποιώντας ότι y 3 y, ϑα έχουµε τις σχέσεις 2x y + 2yx y 2 + 2y 2 x y 0 (h 1 Αφαιρώντας από την σχέση (h 1 την (h 2, ϑα έχουµε : 2yx y 2 + 2y 2 x y + 2yx 0. (h 2 2x y 2yx (i Τέλος αφαιρώντας την τελευταία σχέση από την (d, ϑα έχουµε, x, y R: x y yx Εποµένως ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 329 Ασκηση 6.2.20. Εστω R ένας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει ότι : n 2 : a R : a n a Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος R δεν έχει µη-µηδενικά µηδενοδύναµα 4 στοιχεία. Αν ο ϑετικός ακέραιος n είναι άρτιος, τότε : η χαρακτηριστική του R είναι char(r 2. Λύση. Εστω a ένα µη-µηδενικό µηδενοδύναµο στοιχείο του R. Τότε a m 0 για κάποιον ϑετικό ακέραιο m, και µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο m είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος r µε την ιδιότητα a r 0. Αν m n, τότε µπορούµε να γράψουµε n m + k, και τότε : a a n a m+k a m a k 0 a k 0 και αυτό είναι άτοπο διότι υποθέσαµε ότι a 0. Άρα m > n. Τότε επειδή n 2, ϑα έχουµε 1 < m + 1 n < m και τότε 0 a m a m n+n a m n a n a m n a a m n+1 Αυτό είναι άτοπο διότι m n + 1 < m. Άρα το µόνο µηδενοδύναµο στοιχείο του R είναι το a 0. Για κάθε a R έχουµε a n a και ( a n a. Αν ο n είναι άρτιος, τότε ϑα έχουµε και ( a n ( 1 n a n a n a. Άρα a a και εποµένως 2a 0, δηλαδή char(r 2. Ασκηση 6.2.21. Να δειχθεί ότι οι επόµενοι δακτύλιοι αποτελούν ακέραιες περιοχές: 1. Z[i] { a + bi C a,b Z 5 όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. 2. Q(i { a + bi C a,b Q 6 όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. 3. Z( 5 { a + b 5 R a,b Z µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. 4. Q( 2, 3 { a + b 2 + c 3 + d 2 3 R a,b,c,d Q µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε την εξής απλή παρατήρηση : «αν R είναι µια (ακέραια περιοχή και S R είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε ο δακτύλιος S είναι (ακέραια περιοχή». 1. Το σύνολο Z[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z[i] είναι ακέραια περιοχή. 2. Το σύνολο Q[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q[i] είναι ακέραια περιοχή. 4 Υπενθυµίζουµε ότι ένα στοιχείο a σε έναν δακτύλιο R καλείται µηδενοδύναµο, αν : a m 0, για κάποιον ϑετικό ακέραιο m. 5 Ο δακτύλιος Z[i] καλείται ο δακτύλιος των ακεραίων του Gauss. 6 Ο δακτύλιος Z[i] καλείατι ο δακτύλιος των ϱητών του Gauss.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 330 3. Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο Z( 5 είναι ένας υποδακτύλιος του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z( 5 είναι ακέραια περιοχή. 4. Επειδή, όπως µπορούµε να δούµε εύκολα, το σύνολο Q( 2, 3 περιέχει το 0, και είναι κλειστό στην πράξη της αφαίρεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών, έπεται ότι το σύνολο Q( 2, 3 είναι ένας υποδακτύλιος του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών. Άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q( 2, 3 είναι ακέραια περιοχή. Ασκηση 6.2.22. Εστω (R, +, ένας δακτύλιος χωριος απαραίτητα µονάδα και µε τουλάχιστον δύο στοιχεία. Αν ο R ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε a R, a 0, υπάρχει µοναδικό στοιχείο b R έτσι ώστε aba a, δηλαδή a R \ {0,! b R : aba a τότε να δειχθεί ότι : 1. ο R δεν διαθέτει διαιρέτες του µηδενός. 2. bab b. 3. ο R διαθέτει µοναδιαίο στοιχείο. 4. ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Λύση. 1. Εστω a,c R έτσι ώστε ac 0 R. Θα δείξουµε ότι : a 0 R ή c 0 R. Υποθέτουµε ότι a 0 R. Εστω b R το µοναδικό στοιχείο του δακτυλίου R έτσι ώστε aba a. Τότε ϑα έχουµε : a(b + ca aba + aca aba + 0 R a(b + ca aba a(b + ca a Λόγω µοναδικότητας του στοιχείου b έτσι ώστε aba a, ϑα έχουµε b b + c και εποµένως από τον Νόµο ιαγραφής, έπεται ότι c 0 R. Παρόµοια δείχνουµε ότι αν c 0 R, τότε a 0 R. Άρα ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. 2. Επειδή, από το 1., ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός, γνωρίζουµε ότι ϑα ισχύουν οι Νόµοι της ιαγραφής στον R. Εποµένως για κάθε a R, a 0 R, ϑα έχουµε : aba a baba ba bab b 3. Θα δείξουµε ότι ο R έχει µοναδιαίο στοιχείο και µάλιστα αυτό είναι το στοιχείο ab, όπου 0 R a R και b R το µοναδικό στοιχείο έτσι ώστε : aba a. Εστω c R. Επειδή aba a, έπεται ότι ca caba και άρα c c(ab ( Επειδή από το 2. έχουµε b bab, έπεται ότι bc babc και άρα c (abc ( Από τις σχέσεις ( και ( έχουµε ότι (abc c c(ab, c R και άρα το ab R είναι το µοναδιαίο στοιχείο του R, το οποίο από τώρα ϑα συµβολίζουµε µε 1 R.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 331 4. Εστω a 0. Τότε, επειδή aba a και λόγω του προηγούµενου ερωτήµατος 3. έπεται ότι ab 1 R, δηλαδή το στοιχείο b είναι ένα δεξιά αντίστροφο στοιχείο του a. Σηµειώνουµε ότι a,b 0 R, διότι διαφορετικά ϑα έχουµε 1 R 0 R και τότε ο R έχει µόνο ένα στοιχείο : R {0 R το οποίο είναι άτοπο, διότι R > 1. Επίσης χρησιµοποιώντας τον Νόµο ιαγραφής (διότι a,b 0 R, έχουµε : ab 1 R ab abab 1 R b b bab 1 R ba και άρα δείξαµε ότι ab 1 R ba, δηλαδή το στοιχείο a 0 R είναι αντιστρέψιµο και a 1 b είναι το αντίστροφό του. Συνεπώς κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιµο και άρα ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ενας δακτύλιος µε µονάδα (R, +, καλείται κανονικός δακτύλιος µε την έννοια του Von Neumann, αν : a R, b R : aba a Ενας κανονικός δακτύλιος µε την έννοια του Von Neumann, καλείται µοναδικά κανονικός δακτύλιος µε την έννοια του Von Neumann, αν a R \ {0,!b R : aba a Η προηγούµενη Άσκηση 6.2.22 πιστοποεί ότι ένας µοναδικά κανονικός δακτύλιος µε την έννοια του Von Neumann µε περισσότερα από δύο στοιχεία είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 6.2.23. Εστω R ένας δακτύλιος. 1. Αν a,b R, όπου b 0, και ισχύει ότι aba 0, να δειχθεί ότι το στοιχείο a είναι (δεξιός ή αριστερός διαιρέτης του µηδενός. 2. Αν ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός και κανονικός µε την έννοια του Von Neumann, να δειχθεί ότι κάθε µη-αντιστρέψιµο στοιχείο είναι διαιρέτης του µηδενός. Λύση. 1. Αν ισχύει ότι ba 0, τότε το στοιχείο a είναι αριστερός διαιρέτης του µηδενός. Αν ba 0, τότε το στοιχείο a είναι δεξιός διαιρέτης του µηδενός. 2. Εστω a ένα µη-αντιστρέψιµο στοιχείο του R και υποθέτουµε ότι a 0. Επειδή ο δακτύλιος R είναι κανονικός µε την έννοια του Von Neumann, ϑα έχουµε ότι υπάρχει b R, αναγκαστικά b 0, έτσι ώστε : aba a. Τότε (1 aba 0. Επειδή ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός και το στοιχείο a δεν είναι αντιστρέψιµο, έπεται ότι 1 ab 0, και εποµένως το στοιχείο a είναι διαιρέτης του µηδενός. Ασκηση 6.2.24. Να προσδιοριστούν τα αντιστρέψιµα στοιχεία των επόµενων δακτυλίων: (1 Z 10, (2 Z 2 Z 4, (3 Z[i], όπου i 2 1, (4 Z Z, (5 H. Λύση. Συµβολίζουµε µε U(R την οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων ενός δακτυλίου µε µονάδα R. 1. Ως γνωστόν ένα στοιχείο [k] n Z n είναι αντιστρέψιµο αν και µόνον αν (k,n 1. Άρα για n 10 ϑα έχουµε : U(Z 10 { [1] 10,[3] 10,[7] 10,[9] 10 2. Εύκολα ϐλέπουµε ότι ϑα έχουµε U(Z 2 Z 4 { ([1] 2,[1] 4, ([1] 2,[3] 4 Γενικά ισχύει ότι αν R 1 R 2 είναι το ευθύ γινόµενο δύο δακτυλίων µε µονάδα, τότε εύκολα προκύπτει ότι : U(R 1 R 2 U(R 1 U(R 2 Επειδή U(Z 2 {[1] 2 και U(Z 4 {[1] 4, [3] 4, έπεται πάλι ότι U(Z 2 Z 4 { ([1] 2,[1] 4, ([1] 2,[3] 4.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 332 3. Εστω a + bi U(Z[i]. Τότε υπάρχει στοιχείο c + di Z[i] έτσι ώστε : (a + bi(c + di 1 Επειδή κάθε στοιχείο z a +bi του δακτυλίου Z[i] είναι ιδιαίτερα ένας µιγαδικός αριθµός, µπορούµε να ϑεωρήσουµε το µέτρο του z a + bi (a + bi(a bi a 2 + b 2. Ως γνωστόν ισχύει : zw z w (a + bi (c + di a + bi c + di Εποµένως (a + bi(c + di 1 (a + bi (c + di a + bi c + di 1 (a 2 + b 2 (c 2 + d 2 1 Επειδή αναζητούµε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (a 2 + b 2 (c 2 + d 2 1, προφανώς ϑα έχουµε ότι το στοιχείο a + bi είναι της µορφής 1 + 0i 1, 1 + 0i 1, 0 + 1i i, 0 1i i Αντίστροφα τα στοιχεία ±1, ±i είναι προφανώς αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου Z[i]. Συνοψίζουµε : 4. Θα έχουµε : U(Z[i] {1, 1, i, i (n,m U(Z Z (k,l Z Z : (n,m(k,l (1,1 (k,l Z Z : (nk,ml (1,1 n ±1 και m ±1 Εποµένως : U(Z Z { (1,1, (1, 1, ( 1,1, ( 1, 1 ιαφορετικά : U(Z Z U(Z U(Z {1, 1 {1, 1 { (1,1, (1, 1, ( 1,1, ( 1, 1. 5. Τέλος ϑα έχουµε U(H H διότι ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης, και άρα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του είναι τα µη- µηδενικά στοιχεία του. Γνωρίζουµε ότι η πολλαπλασιαστική οµάδα F ενός πεπερασµένου σώµατος F είναι κυκλική, ϐλέπε το Θεώρηµα 8.1.8. Η επόµενη Άσκηση πιστοποιεί το αντίστροφο υπό την προϋπόθεση ότι η χαρακτηριστική του σώµατος F δεν είναι ίση µε 2. Η προϋπόθεση char(f 2 µπορεί να παραληφθεί αλλά η απόδειξη τότε είναι περισσότερο πολύπλοκη και γι αυτό δεν ϑα την αναπτύξουµε εδώ. Ασκηση 6.2.25. Εστω ότι F είναι ένα σώµα µε χαρακτηριστική char(f 2, και υποθέτουµε ότι η πολλαπλασιαστική του οµάδα F F \ {0 είναι κυκλική. Να δειχθεί ότι το σώµα F είναι πεπερασµένο. Λύση. Εστω ότι F a { a n F n Z είναι κυκλική οµάδα µε γεννήτορα το στοιχείο a. Θεωρούµε το στοιχείο 1 F F a. Τότε υπάρχει ακέραιος m Z έτσι ώστε 1 F a m. Αν m 0, τότε 1 F a 0 1 F και εποµένως 2 1 F 0 F. Αυτό σηµαίνει ότι char(f 2 και αυτό είναι άτοπο από την υπόθεση. Άρα m 0 και εποµένως a m 1 F. Τότε a 2m 1 F και µπορούµε να υποθέσουµε ότι m 1, διότι αν m < 1, τότε a 2m 1 F και m 1. Ετσι υπάρχει ϑετικός ακέραιος n, ο n 2m, όπου m 1, έτσι ώστε a n 1 F. Τότε όµως το στοιχείο a έχει πεπερασµένη τάξη, έστω o(a m <, και τότε F { 1 a m, a, a 2,, a m 1. Εποµένως F F { 0 και F m + 1 <.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 333 Ασκηση 6.2.26. Ποιοι από τους επόµενους δακτύλιους είναι σώµατα; (1 Z[i], (2 Q Q, (3 Z 13 Λύση. 1. Ο δακτύλιος Z[i] είναι µια ακέραια περιοχή η οποία δεν είναι σώµα διότι αν ήταν σώµα, τότε κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του ϑα ήταν αντιστρέψιµο. Σύµφωνα µε την Άσκηση 6.2.24, τα µόνα αντιστρέψιµα στοιχεία του Z[i] είναι τα ±1,±i. Άρα ο δακτύλιος Z[i] δεν είναι σώµα. 2. Ο δακτύλιος Q Q δεν είναι ακέραια περιοχή διότι έχει διαιρέτες του µηδενός, π.χ. τα µη-µηδενικά στοιχεία (1,0 και (0,1 τα οποία ικανοποιούν τη σχέση (1,0(0,1 (0,0. Εποµένως ο δακτύλιος Q Q δεν είναι σώµα. 3. Επειδή ο δακτύλιος Z n είναι σώµα (αν και µόνον αν ο δακτύλιος Z n είναι ακέραια περιοχή αν και µόνον αν ο ϕυσικός αριθµός n είναι πρώτος, έπεται ότι ο δακτύλιος Z 13 είναι σώµα. Ασκηση 6.2.27. Ποιοι από τους επόµενους δακτύλιους είναι σώµατα; (1 Q(i, (2 Q[ 2], (3 Q[ d] όπου d είναι ένας ϑετικός ακέραιος > 1 ο οποίος είναι ελεύθερος τετραγώνου 7. Λύση. 1. Από την Άσκηση 6.2.21, γνωρίζουµε ότι ο µεταθετικός δακτύλιος Q(i είναι µια ακέραια πε- ϱιοχή. Θα δείξουµε ότι ένα µη-µηδενικό στοιχείο x a + bi είναι αντιστρέψιµο. Αν a 0, τότε x bi και αναγκαστικά b 0, και τότε x 1 i b Q(i. Αν a 0, υποθέτουµε ότι υπάρχει x + i y Q(i, έτσι ώστε (a + bi(x + yi 1, απ όπου έχουµε (ax by + (ay + bxi 1 και εποµένως ax by 1 και ay + bx 0. Επειδή a 0, από τη πρώτη σχέση έχουµε x 1+by a και αντικαθιστώντας στην δεύτερη έπεται y b a 2 +b 2. Τότε η πρώτη δίνει x a a 2 +b 2. Αντίστροφα έυκολα ϐλέπουµε ότι το στοιχείο x + yi a a 2 + b 2 + b a 2 i Q(i και (a + bi(x + yi 1, δηλαδή x + yi (a + bi 1 + b2 Ετσι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του Q(i είναι αντιστρέψιµο και άρα ο δακτύλιος Q(i είναι σώµα. 2. Από την Άσκηση 6.2.21, γνωρίζουµε ότι ο µεταθετικός δακτύλιος Q[ 2] είναι µια ακέραια περιοχή. είχνουµε πρώτα ότι για ένα στοιχείο x a + b 2 Q[ 2], ϑα έχουµε x 0 αν και µόνον αν a b 0. Πράγµατι, έστω x a + b 2 0. Αν b 0, τότε προφανώς a 0. Αν b 0, τότε 2 a b Q, και αυτό είναι άτοπο διότι ο πραγµατικός αριθµός 2 είναι άρρητος. Άρα b 0 και τότε a 0. Θα δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του x a + b 2 Q[ 2] είναι αντιστρέψιµο. Επειδή a +b 2 0, έπεται ότι είτε a 0 είτε b 0. Αν a 0, οπότε αναγκαστικά b 0, ϑα έχουµε x b 2 και τότε 2 2b Q[ 2] και ισχύει 2 2b b 2 1, δηλαδή (b 2 1 2 2b. Αν a 0, υποθέτουµε ότι υπάρχει x + y 2 Q[ 2], έτσι ώστε (a + b 2(x + y 2 1, απ όπου έχουµε (ax + 2by + (ay + bx 2 1 και εποµένως ax + 2by 1 και ay + bx 0. Επειδή a 0, από την πρώτη σχέση έχουµε x 1 2by a και αντικαθιστώντας στην δεύτερη έπεται y b a 2 2b 2. Τότε η πρώτη δίνει x a a 2 2b 2. Εδώ παρατηρούµε ότι a 2 2b 2 0 διότι διαφορετικά ϑα είχαµε ότι ( a b 2 2, και αυτό είναι άτοπο διότι ο 2 είναι άρρητος. Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε ότι το στοιχείο x + y 2 a a 2 2b 2 + b a 2 2b 2 i Q[ 2] και (a +b 2(x + y 2 1, δηλαδή x + y 2 (a +b 2 1 Ετσι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του Q[ 2] είναι αντιστρέψιµο και άρα ο δακτύλιος Q[ 2] είναι σώµα. 3. Επειδή 1 Q[ d], και επειδή a + b d,k + l d Q[ d] είναι (a + b d + (k + l d (a + k + (b + l d Q[ d] (a + b d (k + l d (ak + bld + (al + bk d Q[ 2] 7 Ενας ϑετικός ακέραιος d καλείται ελεύθερος τετραγώνου, αν δεν υπάρχει πρώτος p έτσι ώστε p 2 d.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΑΙ ΥΠΟ ΑΚΤΥΛΙΟΙ 334 έπεται ότι το σύνολο Q[ d] είναι ένας υποδακτύλιος του R. είχνουµε πρώτα ότι για ένα στοιχείο x a +b d Q[ d], ϑα έχουµε x 0 αν και µόνον αν a b 0. Πράγµατι, έστω x a +b d 0. Αν b 0, τότε προφανώς a 0. Αν b 0, τότε d a b Q. Προφανώς µπορούµε να γράψουµε a b r s, όπου r, s Z, s 0 και (r, s 1. Θα έχουµε τότε d r 2 s 2 ( r s 2 N, και προφανώς r s c Z. Τότε d c2 και επειδή d > 1, έπεται ότι c ±1 και εποµένως ο d διαιρείται από το τετράγωνο κάθε πρώτου που διαιρεί τον c. Αυτό όµως είναι άτοπο διότι ο d είναι ελεύθερος τετραγώνου. Άρα b 0 και τότε a 0. Θα δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του x a + b d Q[ d] είναι αντιστρέψιµο. Επειδή a + b d 0, έπεται ότι είτε a 0 είτε b 0. Αν a 0, οπότε αναγκαστικά b 0, ϑα έχουµε x b d και τότε d db Q[ 2] και ισχύει d db b d 1, δηλαδή (b d 1 d db. Αν a 0, υποθέτουµε ότι υπάρχει x + y d Q[ d], έτσι ώστε (a +b d(x + y d 1, απ όπου έχουµε (ax +dby+(ay +bx d 1 και εποµένως ax +dby 1 και ay +bx 0. Επειδή a 0, από την πρώτη σχέση έχουµε x 1 dby a και αντικαθιστώντας στην δεύτερη έπεται y b a 2 db 2. Τότε η πρώτη δίνει x a a 2 b 2. Εδώ παρατηρούµε ότι a 2 b 2 0 διότι διαφορετικά ϑα είχαµε ότι ( a b 2 d, και αυτό είναι άτοπο διότι ο d είναι ελεύθερος τετραγώνου. Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε ότι το στοιχείο x+y a d a 2 db 2 + b d Q[ d] και (a+b d(x+y d 1, a 2 db 2 δηλαδή x+y d (a+b d 1 Ετσι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του Q[ d] είναι αντιστρέψιµο και άρα ο δακτύλιος Q[ d] είναι σώµα. Ασκηση 6.2.28. 1. Εστω R µια ακέραια περιοχή και υποθέτουµε ότι υπάρχει µη-µηδενικό στοιχείο a R έτσι ώστε na 0 για κάποιον µη-µηδενικό ακέραιο n. Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένη χαρακτηριστική. 2. Να δειχθεί ότι µια πεπερασµένη (ακέραια περιοχή έχει πεπερασµένη χαρακτηριστική. 3. Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου µέ άπειρο πλήθος στοιχείων ο οποίος έχει πεπερασµένη χαρακτηριστική. Λύση. 1. Εστω na 0, όπου 0 a R και n Z \ { 0. Αν n < 0, τότε προφανώς ϑα έχουµε και (na ( na 0 και εποµένως µππορούµε να υποθέσουµε ότι n 1. Για κάθε στοιχείο r R ϑα έχουµε : (nax 0 (a + a + + a x 0 {{ ax + ax {{ + + ax 0 a (x + x + + x 0 {{ n παράγοντες n παράγοντες n παράγοντες a(nx 0 a 0 nx 0 Εποµένως nx 0 για κάθε x R και εποµένως ο δακτύλος R έχει πεπερασµένη χαρακτηριστική. Επειδή ο δακτύλιος R είναι (ακέραια περιοχή, γνωρίζουµε ότι τότε η χαρακτηριστική του R είναι ένας πρώτος αριθµός. 2. Αν η (ακέραια περιοχή R έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, τότε η προσθετική οµάδα (R, + είναι πεπερασµένη και άρα από γνωστή συνέπεια του Θεωρήµατος Lagrange ϑα έχουµε na 0, a R, όπου n R. Από το µέρος 1., έπεται ότι η χαρακτηριστική του R είναι πεπερασµένη και µάλιστα είναι ένας πρώτος αριθµός. 3. Θεωρούµε το πεπερασµένο σώµα Z p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός, το οποίο έχει χαρακτηριστική char(z p p. Εστω Z p [t] ο δακτύλιος πολυωνύµων µε στοιχεία από το σώµα Z p, ο οποίος είναι γνωστό ότι είναι ακέραια περιοχή, και προφανώς έχει άπειρο πλήθος στοιχείων. Αν P(t a 0 +a 1 t + +a n t n, είναι ένα τυπικό µη-µηδενικό στοιχείο του Z p [t], τότε pp(t p(a 0 +a 1 t + +a n t n (pa 0 +(pa 1 t + +(pa n t n 0, δηλαδή το pp(t είναι το µηδενικό πολυώνυµο. Εποµένως από το µέρος 1., έπεται ότι η χαρακτηριστική της ακέραιας περιοχής Z p [t] είναι ένας πρώτος αριθµός, και ιδιαίτερα p1 0, όπου