ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b. Να δείξετε ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα, a, b, d b d, είναι πραγματικές. 3. Έστω Μ4,3. 1 3 1 4 1 3 1. Να βρείτε τους ελάσσονες πίνακες Μ1,1, Μ,1, Μ3,1, Μ4,1, Μ3,4 και 6 4 1 0 4. Να βρείτε τις ορίζουσες των πιο κάτω πινάκων και αν αποφασίσετε αν είναι αντιστρέψιμοι: 1 1 3 3 1 1 3 1 1 1 1 5 0 3 0 0 0 4 1 0 3 1 4 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 5. Να βρεθούν τα x και y έτσι ώστε ο πίνακας x y 1 3 1 0 1 1 να είναι ιδιάζων. 6. Έστω Α ένας (n n) πίνακας. Να δείξετε ότι det(c) = c n det(), όπου c μια σταθερά. 7. Για τους πιο κάτω πίνακες, να βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και την αλγεβρική πολλαπλότητα της κάθε μιας: 6 1 3 0 14 5 3 1 1 1 0 5 4 1 4 4 0 1 1 0 1 3 5 4 1 1 4 5 1 1 1 1 4 1 1 4
3 8. Έστω q( t) t t t και για κάθε (n n) πίνακα Η ορίζουμε τον πίνακα πολυώνυμο 3 q( H) H H H I, όπου Ι ο (n n) ταυτοτικός πίνακας. Να δείξετε ότι αν λ είναι μια ιδιοτιμή του Η, τότε q(λ) είναι ιδιοτιμή του πίνακα q(η). Να βρείτε τις ιδιοτιμές του πίνακα q(η), αν Η = 6 1 3 0 14 5 (βλ. άσκηση 7). 9. Να δείξετε ότι ένας (n n) πίνακας Α έχει το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο με τον Α Τ. 10. Έστω οι πιο κάτω πίνακες με τα δοθέντα χαρακτηριστικά πολυώνυμά τους. Να βρείτε μια βάση για τον ιδιόχωρο Ελ και να προσδιορίσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα των ιδιοτιμών του καθενός. 1 1 1, p ( ) ( 3)( 1) 1, ( ) ( ) p 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1, p ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 11. Να ελέγξετε αν οι πιο κάτω πίνακες είναι ελλιπείς. 3 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 3 0 0 0 1 1. Αν ένα διάνυσμα x μπορεί να γραφτεί σαν γραμμικός συνδυασμός των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα Α, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το γινόμενο k x, για k θετικό ακέραιο, σχετικά εύκολα. Για παράδειγμα, αν x a u1 a u με u i ui, i 1,, τότε έχουμε 1 x a u a u a u a u a u a u. Να υπολογίσετε το k k k k k k 1 1 1 1 1 1 τους πιο κάτω πίνακες Α και διανύσματα x. i 10 x για 4 0, x 5 3 9 1 1 0 5, x 4 0 6 7 13. Έστω ο (4 4) πίνακας
* * * * a * * * H 0 b * * 0 0 c * όπου a, b, c μη μηδενικές σταθερές (και τα * είναι τυχαία στοιχεία). Έστω λ μια ιδιοτιμή του Η. Να δείξετε ότι η γεωμετρική πολλαπλότητα του λ είναι 1. (Υπόδειξη: δείξτε ότι ο βαθμός του πίνακα Η λι είναι 3.) 14. Ένας (n n) πίνακας Ρ καλείται ταυτοδύναμος (idempotent) αν ισχύει Ρ = Ρ. Να δείξετε ότι αν Ρ είναι ένας αντιστρέψιμος ταυτοδύναμος πίνακας, τότε Ρ = Ι. Να δείξετε ότι οι μόνες τιμές που μπορούν να πάρουν οι ιδιοτιμές ενός ταυτοδύναμου πίνακα είναι 0 και 1. Έστω n u τέτοιο ώστε u 1. Να δείξετε ότι ο πίνακας P uu είναι ταυτοδύναμος. 15. Έστω Α ένας συμμετρικός πίνακας και έστω u u, u 0 και v v, v 0. Αν λ β, δείξτε ότι u v 0. 16. Έστω Α ένας (n n) συμμετρικός πίνακας με πραγματικές, διακεκριμένες ιδιοτιμές λ1,, λn. Έστω u1,..., u n τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, τέτοια ώστε ui 1, i 1,..., n. Να δείξετε ότι 1 1 n n n 1 u u... u u. 17. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 4 1 4 1 3 3 1 1 3 18. Να λύσετε το γραμμικό σύστημα (1 i) x iy 5 4i. (1 i) x 4y 11 5i 19. Ένας πίνακας καλείται Ερμιτιανός (Hermitian) αν Α * * = Α, όπου, δηλ. ο ανάστροφος του συζυγή πίνακα του Α ισούται με τον Α. Να δείξετε ότι ένας Ερμιτιανός πίνακας έχει μόνο πραγματικές ιδιοτιμές. Έστω Α = (aij) ένας Ερμιτιανός πίνακας. Να δείξετε ότι a, i 1,..., n. ii
nn 0. Ένας συμμετρικός πίνακας καλείται θετικά ορισμένος (positive definite) αν για όλα τα μη-μηδενικά n x, ισχύει 0 x x. Να δείξετε ότι οι ιδιοτιμές ενός τέτοιου πίνακα είναι όλες θετικές. 1. Να βρείτε τις τιμές των a, b, c, d, e έτσι ώστε ο πίνακας Q, να είναι ορθογώνιος: a b c Q 0 b d a b e. Να δείξετε ότι αν ο Α είναι διαγωνιοποιήσιμος και ο Β είναι όμοιος με τον Α, τότε και ο Β είναι διαγωνιοποιήσιμος. 3. Να δείξετε ότι αν οι Α, Β είναι ορθογώνιοι (n n) πίνακες, τότε και το γινόμενο ΑΒ είναι επίσης ορθογώνιος πίνακας. 4. Εστω 0 x με [, ] x a b. Να βρείτε y τέτοιο ώστε 0 x y και y y 1. 5. Έστω με πραγματικές ιδιοτιμές και έστω u u με u 1. Από τη προηγούμενη άσκηση, υπάρχει v τέτοιο ώστε 0 u v και v 1 v. Έστω που δίδεται από Q u, v. Να δείξετε ότι ο Q είναι ορθογώνιος και ότι u v Q Q. 0 v u 1 1 Υπολογίστε την πιο πάνω παράσταση και τον Q, αν 1 3. Q ο πίνακας 6. Έστω 33 με πραγματικές ιδιοτιμές και έστω u u Gram-Schmidt μπορούμε να βρούμε διανύσματα με u 1. Μέσω της ανέλιξης 3 vw, έτσι ώστε το σύνολο,, u v w να είναι ορθοκανονικό. Αν Q u, v, w 33, δείξτε ότι u v u w Q Q 0 v v v w. 0 w v w w
7. Έστω B = Q Q, όπου Q και Α όπως στην άσκηση 6. Έστω ο ( ) υποπίνακας του Α, 1 v v v w. Να δείξετε ότι οι ιδιοτιμές του Α1 είναι πραγματικές. w v w w 8. Έστω B = Q Q, όπου Q και Α όπως στην άσκηση 6. Οι ασκήσεις 5 και 7 δείχνουν ότι υπάρχει ( ) πίνακας S τέτοιος ώστε S S = I, S 1 S = Τ1, όπου Τ1 άνω τριγωνικός. Θέτουμε τον (3 3) πίνακα Να δείξετε ότι R R = I R Q Q R είναι άνω τριγωνικός 9. Χρησιμοποιώντας τις ασκήσεις 5 8 και επαγωγή, δείξτε το εξής αποτέλεσμα: Έστω Α ένας (n n) πίνακας με πραγματικές ιδιοτιμές. Τότε, υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q τέτοιος ώστε Q Q = Τ, όπου Τ άνω τριγωνικός.