1. Βαρυτική ροή Θεωρούµε µέσα σε βαρυτικό πεδίο µια νοητή επιφάνεια τυχαίας µορφής, που διασχίζεται από δυναµικές γραµµές του πεδίου (σχ. 1). Πάνω στην επιφά νεια και στην περιοχή ενός σηµείου A αυτής, θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα εµβαδού ds. Eάν n είναι το µοναδιαίο διάνυσµα της επιφάνειας στο σηµείο A και φ η γωνία που σχηµατίζει αυτό µε την ένταση g του πεδίου στο σηµείο A, τότε το γινόµενο gdsσυνφ ορίζεται ως στοιχειώδης βαρυτική ροή διά µέσου του στοιχειώδους τµήµατος ds και συµβολίζεται µε dφ, δηλαδή ισχύει: dφ = gdsσυνφ (1) Σχήµα 1 Aπό τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι η στοιχειώδης βαρυτική ροή διαµέσου του στοιχείου ds, εξαρτάται από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην θέση που βρίσκεται το στοιχείο, καθώς και από τον προσανατολισµό του ως προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Συγκεκριµένα, όσο πιο ισχυρό είναι το πεδίο στην θέση του στοιχειώδους τµήµατος (πυκνές δυναµικές γραµµές) και όσο πιο µικρή είναι η γωνία των διανυσµάτων n και g (οι δυναµικές γραµµές έχουν µεγάλη κλίση ως προς το ds), τόσο περισσότερες δυναµικές γραµµές θα διασχί ζουν το στοιχειώδες, τµήµα. Δηλαδή από φυσική άποψη η στοιχειώδης ηλεκτρική ροή εκφράζει το πλήθος των δυναµικών γραµµών, που διέρχονται από το θεωρούµενο στοιχειώδες τµήµα. Aθροίζοντας όλες τις στοιχειώδεις ηλεκτρικές ροές dφ 1 dφ 2,...dΦ n που αντιστοιχούν στα στοιχειώδη τµήµατα ds 1, ds 2,...dS n στα οποία διαµερίζεται η επιφάνεια παίρνουµε την ολική βαρυτική ροή Φ διά µέσου της επιφάνειας αυτής. Δηλαδή θα ισχύει η σχέση: Φ = dφ 1 + dφ 2 +... + dφ n = (d) = (gds"#$%) = ( g " d S ) (2)
Tο δέυτερο µέλος της σχέσεως (2) αποτελεί ένα επιφανειακό ολοκλήρωµα που πρέπει να υπολογιστεί πάνω στην επιφάνεια, στο οποίο η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι το εσωτερικό γινόµενο (gd S ), δήλαδή η σχέση (2) γενικότερα γράφεται: = "" ( g d S ) (3) Παρατήρηση: Oρίζουµε ως µοναδιαίο διάνυσµα n µιας επιφάνειας σ ένα σηµείο της A, ένα διάνυσµα που ο φορέας του είναι κάθετος στην επιφάνεια στο θεωρούµενο σηµείο, η φορά του είναι προς το κυρτό µέρος της επιφάνειας, το δε µέτρο του είναι ίσο µε την µονάδα µέτρησης του εµβαδού της επιφάνειας. Mε την βοήθεια του µοναδιαίου διανύσµατος µπορούµε κάθε στοιχειώδες τµή µα ds µιας επιφάνειας να το προσανατολίσουµε µέσα στον χώρο περιγράφων τάς το µε ένα διά νυσµα d S. To διάνυσµα αυτό είναι συγγραµµικό και οµόρρο πο του µοναδιαίου διανύσµατος της επιφάνειας στο σηµείο που αντιστοιχεί το στοιχειώδες τµήµα, το δε µέτρο του είναι ίσο µε το εµβαδόν ds του τµήµατος αυτού, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: d S = n ds Στην περίπτωση που η επιφάνεια είναι κλειστή, τότε η φορά του µοναδιαίου διανύσµατος n σε κάθε σηµείο της λαµβάνεται συµβατικά προς το εξωτερικό αυτής, ανεξάρτητα αν στο σηµείο αυτό αντιστοιχεί κυρτό ή κοίλο τµήµα της επιφάνειας. Tέλος στην περίπτωση που η επιφάνεια είναι επίπεδη, τότε η φορά του µοναδιαίου διανύσµατος n σε µια όψη της λαµβάνεται συµβατικά ίδια µε τη φορά προχώρησης δεξιόστροφου κοχλία (βίδας), στρεφόµενου ώστε να διαγράφει το περίγραµµα της όψης αυτής, αντίθετα µε την κίνηση των δεικτών του ρολογιού. 2. O νόµος του Cαuss για το βαρυτικό πεδίο Mέσα σε βαρυτικό πεδίο θεωρούµε µια τυχαίου σχήµατος κλειστή επιφάνεια που διασχίζεται από δυναµικές γραµµές. Για την βαρυτική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια αυτή ισχύει η παρακάτω πρόταση: H βαρυτική ροή που διασχίζει µια κλειστή επφάνεια, είναι ανάλογη προς την µάζα που περικλείει η επιφάνεια αυτή. Α τρόπος απόδειξης: Η απόδειξη του νόµου του Gauss στην γενική περί πτωση παρουσιάζει σηµαντικές δυσκολίες και για τον λόγο αυτόν περιοριζόµα στε στην ειδική περίπτωση που η κλειστή επιφάνεια S περικλείει µια σηµεια κή µάζα m. Σ αυτή την περίπτωση θεωρούµε µια σφαιρική επιφάνεια S *, που έχει κέντρο την σηµειακη µάζα m και βρίσκεται στο εσωτερικό της κλειστής επιφάνειας S (σχ. 2). Eίναι φανερό ότι, όλες οι δυναµικές γραµµές του βαρυτικού πεδίου της µάζας m που διασχίζουν την σφαιρική επιφάνεια S * διασχίζουν και την επιφάνεια S, που σηµαίνει ότι η βαρυτική ροή Φ που διέρχεται από την S είναι ίση µε την βαρυτική ροή Φ(S * ) που διέρχεται από την S *, δηλαδή ισχύει:
Φ = Φ(S * ) (1) Όµως η Φ(S * ) είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχειωδών βαρυτικών ροών, που διέρχονται από τα στοιχειώδη τµήµατα στα οποία διαµερίζεται η σφαιρική επιφάνεια S *, δηλαδή ισχύει : (S * ) = " g d S = " [gds"#$( g, n )] (2) (S * )( ) (S * ) όπου ( g, n ) η γωνία που σχηµατίζει τo εµβαδικό διάνυσµα n της σφαιρικής επιφάνειας S * σ ένα στοιχειώδες τµήµα της εµβαδού ds, µε το διάνυσµα της έντασης g, που δηµιουργεί η σηµειακή µάζα m στο τµήµα αυτό. Eίναι όµως φανερό ότι, η γωνία αυτή είναι ίση µε π, οπότε ισχύει: συν( g, n )= -1 και έτσι η (2) γράφεται: (S * ) = - Σχήµα 2 ( gds) (1) = - ( gds) (3) (S * ) (S * ) Όµως ισχύει g=gm/ 2, όπου η ακτίνα της σφαιρικής επιφάνειας S *, οπότε η (3) γράφεται: = - ' (S * ) mgds$ # & " % 2 = - Gm 2 ' ( ds) (4) (S * ) Eξάλλου το άθροισµα (ds) αποτελεί το εµβαδον της σφαιρικής επιφάνειας S *, (S * ) που είναι ίσο µε 4π 2, οπότε η (4) γράφεται: =- Gm 2 4" 2 = - 4"Gm (5) H σχέση (5) αποτελεί την µαθηµατική έκφραση του νόµου του Gauss για ένα βαρυτικό πεδίο, και εκφράζει ότι, η βαρυτική ροή που διασχίζει µια κλειστή
επιφάνεια S είναι ανάλογη της µάζας m που περικλείει. Eάν η κλειστή επιφά νεια περικλείει σηµειακές µάζες που είναι συγκεντρωµένες σε διάφορα σηµεία του χώρου, ή είναι κατανεµηµένες πάνω σε µια γραµµή ή πάνω σε µια επιφά νεια ή σε µία περιοχή του χώρου, τότε στην σχέση (5) η m εκφράζει την συνολικη µάζα που περικλείει η επιφάνεια S. Β τρόπος απόδειξης: Θεωρούµε στοιχειώδη στερεά γωνία dω που έχει κορυφή την σηµειακή µάζα m και αποκόπτει πάνω στην κλειστή επιφάνεια S το στοιχειώδες τµήµα ds που αποτελεί την βάση της στερεάς γωνίας. Η στοιχει ώδης βαρυτική ροή dφ που διασχίζει την ds δίνεται από την σχέση: ( ) = ds ( g n ) (6) d = g d S Σχήµα 3 όπου n το εµβαδικό διάνυσµα της επιφάνειας S στο στοιχείο ds αυτής, που κατευθύνεται προς το εξωτερικό της µέρος και g η ένταση του βαρυτικού πεδίου στην θέση του στοιχείου ds. Η ολική βαρυτική ροή Φ που διασχίζει την S είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχειωδών βαρυτικών ροών dφ, που αντιστοιχούν στα στοιχειώδη τµήµατα στα οποία διαµερίζεται η κλει στή επιφάνεια S, δηλαδή ισχύει: ( ) (6) = " d [ ( )] = " ds g n = " gds#$%& (7) ( ) Όµως η γωνία θ των διανυσµάτων n και g είναι ίση µε π-φ, όπου φ η γωνία του άξονα της στερεάς γωνίας dω µε το διάνυσµα n, οπότε η (7) γράφεται: % mgds"#$ ( % ds"#$ ( = -+ ' * = - Gm+ ' * (8) & ) & ) 2 όπου η απόσταση του στοιχείου ds από την µάζα m. Eξάλλου η ποσότητα dsσυνφ/ 2 αποτελεί εξ ορισµού την τιµή της στερεάς γωνίας dω, οπότε η (8) γράφεται: ( ) = - Gm" d = - 4#Gm (9) διότι η ολική στερεά γωνία γυρω από την σηµειακή µάζα m είναι ίση µε 4π. 2
Παρατήρηση: Eάν η κλειστή επιφάνεια S περικλείει µια συνεχή κατανοµή µάζας που περιγρά φεται από µια συνεχή συνάρτηση χωρικής πυκνότητας ρ, τότε ο γενικευµένος νόµος του Gauss για το βαρυτικό πεδίο τίθεται υπό την ολοκληρωτική µορφή: "" ( g d S ) =- 4G """ (#dv) (10) (V) όπου V ο όγκος που οριοθετεί η κλειστή επιφάνεια S. To πρώτο µέλος της (10) είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωµα που πρέπει να υπολογιστεί πάνω στην κλειστή επιφάνεια S, ενώ το δεύτερο µέλος είναι ένα τριπλό ολοκλήρωµα που πρέπει να υπολογιστεί επί του όγκου V. 3. O νόµος του Gauss σε διαφορική µορφή Θεωρούµε µια περιοχή όγκου V, η οποία οριοθετείται από την κλειστή επιφά νεια S και περιέχει µάζα m, που η τοπική της κατανοµή καθορίζεται από την συνάρτηση πυκνότητας ρ. Σύµφωνα µε τον νόµο του Gauss η βαρυτική ροή Φ διαµέσου της κλειστής επιφάνειας S είναι ίση µε -4πGm, δηλαδή ισχύει η σχέση: = -4Gm "" ( g d S ) =- 4G """ (#dv) (11) Aς φανταστούµε τώρα ότι ο όγκος V συρικνώνεται, ώστε να προσεγγίζει ένα σηµείο, οπότε και η επιφάνεια S θα τείνει στο µηδέν. Λαµβάνοντας την απόκλι ση της έντασης g στο σηµείο αυτό, θα έχουµε βάση του ορισµού της απόκλισης µιας διανυσµατικής συνάρτησης την σχέση: " g ( ) dv = lim V# 0 (V) $$ ( g "d S ) (12) Σχήµα 4 Όµως ο νόµος του Gauss ισχύει για οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια, άρα και για την περίπτωση που αυτή περιορίζει ένα στοιχειώδη όγκο dv, δηλαδή ένα όγκο που τείνει στο µηδέν. Συνδυάζοντας στην περίπτωση αυτή τις σχέσεις (11) και (12) παίρνουµε:
" g ( ) dv = -4#Glim&&& " g V$ 0 (V) ( ) dv = -4#G$dV (%dv) " g ( ) = -4#G$ (12) H σχέση (12) ισχύει για κάθε σηµείο του βαρυτικού κού πεδίου και αποτελεί την διαφορική µορφή του νόµου του Gauss. Σε Kαρτεσιανό σύστηµα συντεταγ µένων Oxyz η σχέση αυτή γράφεται: g x x + g y y + g z z = -4"G# (13) Στην συνέχεια παραθέτουµε παραδείγµατα εφαρµογής του νόµου του Gauss για χαρακτηριστικά βαρυτικά πεδία. Θεωρούµε την Γη οµογενή σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας R, δεχόµαστε δε ότι βρίσκεται µακρυά από άλλα ουράνια σώµατα, ώστε γύρω από αυτήν να υφίσταται µόνο το βαρυτικό της πεδίο. i) Να δείξετε ότι η ένταση g του βαρυτικού της πεδίου σ ένα εσωτερικό της σηµείο που βρίσκεται σε απόσταση (<R) από το κέντρο της, δίνεται από την σχέση: g = - 4G" /3 όπου η επιβατική ακτίνα του σηµείου ως πρός το κέντρο της Γης και G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας. ii) Αν µε κάποιο φυσικό γεγονός δηµιουργηθεί στο εσωτερικό της Γης µια σφαιρική κοιλότητα µη συγκεντρική µε την Γη, να δείξετε ότι το βαρυτικό πεδίο στο εσωτερικό της κοιλότητας είναι οµογενές. ΛYΣH: i) Eπειδή η Γη θεωρείται οµογενής και σφαιρική, το βαρυτικό της πεδί ο θα παρουσιάζει στον χώρο σφαιρική συµµετρία, που σηµαίνει ότι, αν θεωρή σουµε στο εσωτερικό της µια σφαιρική επιφάνεια S οµόκεντρη της Γης ακτίνας (<R), η ένταση g του βαρυτικού της πεδίου στα σηµεία της S θα έχει το ίδιο µέτρο. Eφαρµόζοντας τον νόµο του Gauss για την S παιρνουµε την σχέση: =- 4"Gm =- 4"G(4" 3 / 3) (1) όπου Φ η βαρυτική ροή που διασχίζει την S. Όµως η Φ είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχειωδών βαρυτικών ροών που αντιστοιχούν στα στοιχειώδη τµήµατα ds στα οποία διαµερίζεται η S, δήλαδή ισχύει: = " g d S = " [gds"#$( g, n ] ( )
=g [ds"#$( g, n ] (2) όπου g το µέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου της Γης σε απόσταση από το κέντρο της Ο και n το εµβαδικό διάνυσµα της S στο τυχαίο στοιχείο της ds. Όµως σε κάθε σηµείο της S η γωνία των διανυσµάτων g και n είναι ίση µε π, όποτε η (2) γράφεται: ( ) =- g ds =- g4" 2 Σχήµα 5 4G / 3 δηλαδή g = -4G / 3 (9) -4G(4" 3 / 3)=- g4 2 αφού σε κάθε σηµείο της S το διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας ως προς το Ο, είναι αντίρροπο της έντασης g. ii) Eάν στο εσωτερικό της Γης δηµιουργηθεί σφαιρική κοιλότητα κέντρου O' µη οµοκεντρική της Γης και θεωρήσουµε ένα σηµείο Α αυτής, του οποίου οι επι Σχήµα 6 βατικές πκτίνες ως προς τα κέντρα O και O' είναι και ' αντιστοίχως (σx. 6), τότε η ένταση g A του βαρυτικού πεδίου στο σηµείο Α θα προκύψει µε βάση τον εξής συλλογισµό. Eάν δεν υπήρχε η κοιλότητα, στο σηµείο Α θα επικρα τούσε ένταση βαρυτικού πεδίου g, για την οποία ισχύει: g = -4G" /3 (3) Eάν η κοιλότητα καλυφθεί µε µάζα πυκνότητας ρ, τότε η µάζα αυτή θεωρού µενη µόνη της θα δηµιουργήσει στο Α µια ένταση g ' για την οποία ισχύει:
g '= -4G" '/3 (4) H πραγµατική ένταση g A του βαρυτικού πεδίου στο σηµείο Α, όταν δηµιουργη θεί η σφαιρική κοιλότητα θα είναι, σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας, ίση µε τη διανυσµατική διαφορά g - g ', δηλαδή θα ισχύει: g A = g - g (3),(4) ' g A = 4G" / 3 g A = -4G" /3 +4G" '/3 ( )( '- ) (5) Όµως εκ του σχήµατος (6) προκύπτει η διανυσµατική σχέση: OO' + '= '- = -OO' οπότε η (5) γράφεται: g A = - 4G" (OO') (6) 3 Από την (6) προκύπτει ότι σε κάθε σηµείο της κοιλότητας η ένταση του βαρυτι κού πεδίου είναι αντίρροπή προς το σταθερό διάνυσµα OO' και το µέτρο της έχει σταθερή τιµή 4πGρ(ΟΟ )/3, δηλαδή το βαρυτικό αυτό πεδίο είναι οµογενες. Στην περίπτωση που η σφαιρική κοιλότητα είναι οµοκεντρική της Γης, τότε το διανυσµα OO'είναι µηδενικό, δηλαδή εντός της κοιλότητας επικρατεί κατάστα ση έλλειψης βαρύτητας. P.M. fysikos Θεωρούµε την Γη οµογενή σφαίρα ακτίνας R και υποθέτουµε ότι κατά µήκος µιας διαµέτρου του ισηµερινού της έχει δηµιουργηθεί ένα τούνελ, όπως φαίνεται στο σχήµα (7). Στο ένα άκρο του τούνελ αφήνε ται σώµα του οποίου η διατοµή είναι λίγο µικρό τερη της διατοµής του τούνελ, ο δε συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ των τοιχωµάτων του τούνελ και του σώµατος είναι µ=1. Εάν ω είναι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της Γης να βρείτε την εξίσωση που καθορίζει χρονικά την θέση του σώµατος σε σχέση µε το κέντρο της Γης. Δίνεται το µέτρο g 0 της επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης και ότι ισχύει g 0 /R>>ω 2. ΛYΣH: i) Για ένα παρατηρητή που µετέχει της περιστροφικής κίνησης της Γης (µη αδρανειακός παρατηρητής) το σώµα κινείται σε σχέση µε το τούνελ υπό την επίδραση της Νευτώνειας έλξης w της Γης (βάρος του σώµατος), της αδρανεια κής φυγόκεντρης δύναµης η οποία διευθύνεται κατά τον γεωµετρικό άξονα του τούνελ µε φορά από το κέντρο Ο της Γης προς το σώµα, της αδρανειακής δύναµης Coiolis F C =- 2m( " v ) της οποίας ο φορέας ως κάθετος στο επίπεδο
των διανυσµάτων v και, όπου v η σχετική ταχύτητα του σώµατος ως προς το τούνελ, είναι κάθετος στον άξονα του τούνελ και τέλος της δύναµης επαφής από τα τοιχώµατα του τούνελ, που αναλύεται στην τριβή ολίσθήσεως T και την κάθετη αντίδραση N η οποία εξουδετερώνει την F C. Εφαρµόζοντας ο στρεφό µενος παρατηρητής για το σώµα τον δεύτερο νοµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση της επιβατικής του ακτίνας ως προς το Ο, παίρνει την σχέση: Σχήµα 7 m d2 dt 2 m d2 dt 2 = - w - T m d2 dt 2 = m 2 - w - µn = m 2 - w - µf C m d2 dt 2 = m 2 - mg - 2µmv d 2 dt = 2 - g - 2µ d 2 dt (1) Όµως στο προηγούµενο παράδειγµα αποδείκτηκε ότι: g = 4G" 3 = 4G 3 # M & % $ 4R 3 ( = GM = g / 3' R 3 0 R όπου ρ η πυκνότητα και Μ η µάζα της Γης, οπότε η σχέση (1) γράφεται: d 2 dt 2 = 2 - g 0 R - 2µ d dt µ =1 d 2 d + 2 dt 2 dt + " g 0 R - % $ 2 ' = 0 # & και επειδή δίνεται ότι g 0 /R>>ω 2 η παραπάνω σχέση γράφεται: d 2 dt 2 + 2 d dt + g 0 R = 0 (2)
H (2) αποτελεί την διαφορική εξίσωση της σχετικής κίνησης του σώµατος ως προς το στρεφόµενο τούνελ. Η εξίσωση αυτή είναι γραµµική οµογενής δευτέ ρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, της οποίας το χαρακτηριστικό πολυώ νυµο έχει συζυγείς µιγαδικές ρίζες - ± i g 0 /R, που σηµαίνει ότι η εξίσωση δέχεται λύση της µορφής: & = e -t A 1 "µ g 0 R t + A #$% g 0 ( 2 ' R t ) + (3) * όπου Α 1, Α 2 σταθεροί συντελεστές που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συν θήκες κίνησης του σώµατος. Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρ νουµε την σχέση: d dt = -A 1 "µ g 0 R te-t + g 0 R A 1 #$% g 0 R te-t - - A 2 "#$ g 0 R te-t - g 0 R A 2 %µ g 0 R te-t (4) Για t=0 η (3) δίνει R=A 2 και η (4) 0=A 1 g 0 /R-A 2, οπότε η (3) γράφεται: & = Re -t R "µ g 0 g 0 R t + #$% g 0 ( ' R t ) + (5) * H (5) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση κίνησης του σώµατος. P.M. fysikos Θεωρούµε οµογενές κυλινδρικό σώµα πυκνότητας ρ, ακτίνας R και άπειρου µήκους. i) Nα δείξετε ότι, το βαρυτικό πεδίο g που δηµιουργεί το σώµα έχει ακτινική διεύθυνση, δηλαδή το πεδίο g σε κάθε σηµείο διευθύνεται κάθετα προς τον γεωµετρικό άξονα του κυλινδρικού σώµατος. ii) Xρησιµοποιώντας τον νόµο του Gauss, να εκφράσετε το µέτρο του βαρυτικού πεδίου g του σώµατος, σε συνάρτηση µε την απόσταση από τον γεωµετρικό του άξονα και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. iii) Θεωρώντας κατά σύµβαση µηδέν το βαρυτικό δυναµικό σε απόστα ση R από τον άξονα του κυλινδρικού σώµατος να εκφράσετε το δυνα µικό του βαρυτικού του πεδίου σε συνάρτηση µε την απόστα ση από τον άξονά του και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσε ως που θα βρείτε. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά G της βαρύτητας.
ΛΥΣΗ: i) Σε κάθε σηµείο του βαρυτικού πεδίου που δηµιουργεί γύρω του το κυλινδρικό σώµα η ένταση g αναλύεται στην αξονική συνιστώσα g z που διευθύνεται παράλληλα προς τον γεωµετρικό άξονα zz του σώµατος, στην ακτινική συνιστώσα g που τέµνει κάθετα τον άξονα zz και στην αζιµουθιακή συνιστώσα g που είναι ασύµβατα κάθετη προς τον άξονα zz. Για λόγους αξονι κής συµµετρίας τα µέτρα των τριών αυτών πεδίων εξαρτώνται µόνο από την απόσταση του σηµείου από τον άξονα zz. Αν θεωρήσουµε µέσα στο βαρυτικό πεδίο κλειστή γραµµή (C) σχήµατος περιφέρειας, της οποίας το κέντρο βρίσκε ται στον άξονα z z και το επίπεδό της είναι κάθετο στον άξονα (σχ. 8), τότε η αστροβιλότητα του πεδίου µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: " ( g d s ) = 0 # ( g z d s ) + # ( g d s ) + # ( g " d s ) = 0 (1) (C) (C) (C) Όµως τα διανύσµατα g z και g είναι κάθετα σε κάθε στοιχείο d s της γραµµής (C), οπότε τα δύο πρώτα αθροίσµατα του πρώτου µέλους της (1) είµαι µηδενικά και η σχέση αυτή γράφεται: # ( g " d s ) = 0 % (g ds"#$0) = 0 (C) (C) g " (ds) = 0 g 2" = 0 g = 0 (C) (C) Σχήµα 8 Σχήµα 9 δηλαδή η αζιµουθιακή συνιστώσα του πεδίου g είναι µηδενική. Στην συνέχεια θεωρούµε µέσα στο πεδίο την κλειστή γραµµή (ΑΒΓΔ) σχήµατος ορθογωνίου, της οποίας oι πλευρές ΑΒ και ΒΓ έχουν αντίστοιχα µήκη h και, η ΑΒ βρίσκεται πάνω στον άξονα zz η δε ΒΓ είναι κάθετη στον άξονα (σχ. 9)το αστρόβιλο του πεδίου επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: " ( g d s ) + " ( g d s ) + " ( g d s ) + " ( g d s ) = 0 (2) (AB) (B$ ) ($# ) (#A)
Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: " ( g d s ) = " ( g z d s ) + " ( g d s ) = " ( g d s ) (AB) (AB) (AB) (AB) $ ( g d s ) = $ ( g z d s ) + $ ( g d s ) = $ ( g d s ) ("# ) ("# ) από τις οποίες προκύπτει: ("# ) ("# ) " ( g d s ) = -" ( g d s ) (3) (AB) (#$ ) Aκόµα έχουµε και τις σχέσεις: και # ( g d s ) = # ( g z d s ) + # ( g d s ) = g z (0)h = g z (0)h (4) (B" ) (B" ) (B" ) $ ( g d s ) = $ ( g z d s ) + $ ( g d s ) = - g z ()h = - g z ()h (5) ("# ) ("# ) ("# ) όπου g z (0), g z (h) τα µέτρα της συνιστώσας g z σε αποστάσεις 0 και από τον άξονα z z. H σχέση (2) λόγω των (3), (4) και (5) δίνει: g z (0)h - g z ()h = 0 g z (0)= g z () δηλαδή το µέτρο της αξονικής συνιστώσας είναι ανεξάρτητο της απόστασης από τον άξονα z z. Όµως για + το πεδίο g z µηδενίζεται, οπότε: g z (0)= g z () = g z () g z () = 0 που σηµαίνει ότι η αξονική συνιστώσα του πεδίου είναι µηδενική. Καταλήγου µε λοιπόν στο συµπέρασµα ότι το το βαρυτικό πεδίο του κυλινδρικού σώµατος έχει ακτινική διεύθυνση, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: g = g() e όπου e το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα, που µαζί µε τα µοναδιαία διανύσ µατα e z e (αξονικο και αζιµουθιακό) αποτελούν τρισορθογώνιο σύστηµα, δηλα δή ισχύει. e = ( e " e z ) ii) Για τον υπολογισµό του µέτρου του πεδίου g στο εσωτερικό του κυλινδρι κού σώµατος (0 R), θεωρούµε µέσα στο βαρυτικό του πεδίο κλειστή επι φάνεια που αποτελείται από τις δύο βάσεις (S 1 ) και (S 2 ) και την παράπλευρη επιφάνεια (S Π ) ενός κυλίνδρου, ύψους h και ακτίνας ο οποίος είναι οµοαξονικός µε το σώµα (σχ. 10) και εφαρµόζουµε για στην επιφάνεια αυτή τον νόµο του Gauss, οπότε θα έχουµε:
# ( g d S ) = -4"Gm() # (S 1 ) ( g d # # S ) + ( g d S ) + ( g d S ) = -4"Gm() (S 2 ) (S " ) όπου m() η µάζα που περικλείει η επιφάνεια. Όµως έχουµε και τις σχέσεις: " ( g d S ) = " ( g d S ) = 0 και m() = 2 h" (S 1 ) (S 2 ) οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: Σχήµα 10 # ( g d S ) = -4" 2 G 2 h$ & [ g()ds"#$ ] = -4$ 2 G 2 h% (S " ) ( ) = -4 2 G 2 h" (S $ ) g() # ds g()2h" = 4 2 G 2 h" (S ) g() = 2G", 0 # # R (6) Εφαρµόζοντας εκ νέου τον νόµο του Gauss στην περίπτωση που η κυλινδρική επιφάνεια έχει ακτίνα µεγαλύτερη ή ίση µε R παίρνουµε: # ( g d S ) = -4" 2 GR 2 h$ & [ g()ds"#$ ] = -4$ 2 GR 2 h% (S " ) ( ) = -4 2 GR 2 h" -g()# ds g()2h = 4 2 GR 2 h" (S ) (S $ ) g() = 2GR 2 " /, R # < +$ (7) Aπό τις σχέσεις (6) και (7) διαπιστώνουµε ότι:
lim g() = 2"G#R $ R & - % lim g() = 2"G#R R + ' & lim g() = lim g() R - R+ που σηµαίνει ότι η συνάρτηση g() είναι συνεχής στα σηµεία της παράπλευρης επιφάνειας του κυλινδρικού σώµατος, έχει δε την µορφή: g() = % & ' 2G", 0 # # R 2GR 2 " /, R # < +$ (8) H γραφική παράσταση της (8) φαίνεται στο σχήµα (11). Σχήµα 11 iii) Tο δυναµικό V() σε απόσταση απο τον άξονα yy' θα προκύψει από την σχέση: g () = - V() -g() e = - dv() e d g() = dv() (9) d Για 0 R η (9) λόγω της πρώτης εκ των (8) γράφεται: dv() = 2G"d V() = G" 2 + C 1 (10) όπου C 1 µια σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα υπολογιστεί από την σύµβαση ότι το δυναµικό σε απόσταση R από τον άξονα yy' είναι µηδενικό. Έτσι θα έχου µε: 0 = G"R 2 + C 1 C 1 = -G"R 2 οπότε η (10) δίνει: V() = G" 2 - G"R 2 V() = -G"( R 2 - ) 2 (11) Για R <+ η (9) λόγω της δεύτερης εκ των (8) γράφεται: dv() = 2GR 2 "d/ V() = 2GR 2 " ln + C 2 = (12) όπου C 2 σταθερά ολοκλήρωσης που θα προκύψει από την συνθήκη V(R)=0. Έτσι θα έχουµε:
0 = 2GR 2 " ln R + C 2 C 2 = -2GR 2 " ln R οπότε η σχέση (12) δίνει: V() = 2GR 2 " ln - 2GR 2 " ln R V() = 2GR 2 " ln( / R) (13) Aπό τις σχέσεις (11) και (12) διαπιστώνουµε ότι: lim V() = 0 " R $ - # lim V() = lim V() = 0 lim V() = 0 R R + % $ - R + που σηµαίνει ότι η συνάρτηση V() είναι συνεχής στa σηµείa =R έχει δε την µορφή: %' V() = -G" R2-2 & (' 2GR 2 " ln / R ( ), 0 # # R ( ), R # < +$ Σχήµα 12 H γραφική παράσταση της συνάρτησης V() φαίνεται στο σχήµα (12). P.M. fysikos Mια πολύ λεπτή ράβδος αποτελείται από οµογενές υλικό γραµµικής πυκνότητας ρ, έχει πολύ µεγαλο µήκος (θεωρητικά άπειρο) και βρίσκεται σε χώρο µακρυά από άλλα υλικά σώµατα. i) Nα δείξετε ότι το βαρυτικό πεδίο που δηµιουργεί η ράβδος κατευθύ νεται ακτινικά προς αυτήν, δηλαδή η έντασή του σε κάθε σηµείο είναι κάθετη στην ράβδο µε φόρα απο την ράβδο προς το άπειρο. ii) Να εκφράσετε την ένταση του πεδίου σε συνάρτηση µε την απόστα ση από την ράβδο. iii) Θεωρώντας συµβατικά µηδέν το δυναµικό του βαρυτικού πεδίου σε απόσταση α από την ράβδο, να εκφράσετε το δυναµικό του πεδίου
σε συνάρτηση µε την απόσταση. Δίνεται η σταθερά G της βαρύτη τας. ΛΥΣΗ: i) Έστω Μ ένα σηµείο του βαρυτικού πεδίου της ράβδου σε απόσταση από αυτήν και Μ 0 η προβολή του επί της ράβδου. Δύο στοιχειώδη τµήµατα της ράβδου µαζας dm συµµετρικά του Μ 0 δηµιουργούν στο Μ εντάσεις d g 1, d g 2 του ίδιου µέτρου των οποίων η συνισταµένη d g διευθύνεται κατά την δι χοτόµο της γωνίας των διανύσµατων d g 1, d g 2, διότι το παραλληλόγραµµο που σχηµατίζουν είναι ρόµβος (σχ. 14). Όµως η διχοτόµος αυτή είναι διάµεσος και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου που καθορίζουν τα δύο στοιχειώδη τµήµατα dm και το σηµείο Μ, που σηµαίνει ότι το διάνυσµα d g κατευθύνεται προς το ση Σχήµα 13 Σχήµα 14 µείο Μ 0. Έάν λοιπόν η ράβδος διαµερισθεί σε στοιχειώδη τµήµατα, που ανά δύο είναι µεταξύ τους συµµετρικά ως προς το Μ 0, τότε η συµβολή τους στην διαµόρφωση της ολικής έντασης στο σηµείο Μ θα οδηγήσει σε διάνυσµα g που κατευθύνεται κάθετα προς στην ράβδο, δηλαδή το βαρυτικό της πεδίο έχει ακτι νική κα τεύθυνση. ii) Για να υπολογίσουµε την ένταση g () σε απόσταση από την ράβδο θεωρού µε κυλινδρική επιφάνεια της οποίας ο άξονας βρίσκεται επί της ράβδου, oπότε οι βάσεις της (S 1 ) και (S 2 ) θα είναι κάθετες στην ράβδο η δε παράπλευρη επιφάνειά της (S π ) παράλληλη προς αυτήν (σχ. 14). Εφαρµόζοντας για την επι φάνεια τον νόµο της βαρυτικής ροής του Gauss, παίρνουµε την σχέση: # [ g ()d S ] = -4"Gm [ g ()d S ] + [ g () d S # # ] + # [ g () d S ] = -4"Gm (1) (S 1 ) (S 2 ) (S " ) όπου m η µάζα που περικλείει η επιφάνεια. Όµως τα µοναδιαία εµβαδικά διανύσµατα n 1, n 2 των βάσεων (S 1 ) και (S 2 ) αντιστοίχως εiναι κάθετα στην ένταση g (), οπότε θα έχουµε:
" [ ] = " [ S ] = 0 (S 1 ) g ()d S και η (1) γράφεται: (S 2 ) g ()d # [ g ()d S ] = -4"Gm % [ g()ds"#$ ] = -4$Gm (S " ) ( ) = 4Gm (S $ ) g() " ds g()2h = 4G"h (S ) g() = 2G / µε 0 < < + (2) όπου h το ύψος του κυλίνδρου και g() το µέτρο της βαρυτικής έντασης. Από την όλη ανάλυση προκύπτει ότι, η ζητούµενη ένταση g () έχει την µορφή: g () = -g() e = -2G e / (3) όπου e το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα,, που είναι κάθετο στην ράβδο µε κα τεύθυνση προς το άπειρο. iii) Tο δυναµικό V() σε απόσταση από την ράβδο θα προκύψει µέσω της σχέ σεως: g () = - V() -g() e = - dv() e d g() = dv() d (2) dv() = 2Gd (4) Ολοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε: V() =2Gln + C (5) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα υπολογιστεί από την σύµβαση ότι το δυναµικό σε απόσταση α από την ράβδο είναι µηδενικό. Έτσι θα έχουµε: 0 =2Gln " + C C =- 2Gln " οπότε η (5) παίρνει την µορφή: V() = 2Gln( /"), 0 < < +# P.M. fysikos