ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης f() =, το άξο τω κι τις ευθείες = κι =. = = Ω v v... v v Σχήμ Σχήμ Μι μέθοδος προσεγγίσουμε το ζητούμεο εμδό είι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους =, με άκρ τ σημεί: =, =, =,, =, = =. Σχημτίζουμε τ ορθογώι με άσεις τ υποδιστήμτ υτά κι ύψη τη ελάχιστη τιμή της f σε κθέ πό υτά (Σχήμ ). Μι προσέγγιση του εμδού που ζητάμε είι το άθροισμ, ε, τω εμδώ τω πρπάω ορθογωίω. Δηλδή, το:
ε = f () + f + f + + f = + + + + [ ( ) ] 3 = + + + ( ) ( ) 3+ = = 6 6 3. Α, τώρ, σχημτίσουμε τ ορθογώι με άσεις τ πρπάω υποδιστήμτ κι ύψη τη μέγιστη τιμή της f σε (Σχήμ 3) κθέ π υτά τότε το άθροισμ = Ε = f + f + + f τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι μι κόμη προσέγγιση του ζητούμεου εμδού. Είι όμως, v v... v v Ε = f + f + + f Σχήμ 3 = + + + ( ) 3 = + + + ( )( ) 3 + + + + = = 3 6 6. Το ζητούμεο, όμως, εμδό Ε ρίσκετι μετξύ τω ε Ε Ε, οπότε ε κι E. Δηλδή ισχύει lim ε Ε lim Ε.
Επειδή lim ε = lim Ε =, έχουμε 3 Ε=. 3 Α, τώρ, σχημτίσουμε τ ορθογώι με άσεις τ πρπάω υποδιστήμτ [ κ, κ ], κ=,,..., κι ύψη τη τιμή της συάρτησης σε οποιοδήποτε εδιάμεσο σημείο ξ κ, κ=,,...,3,...,, κθεός διστήμτος, (Σχήμ 4), τότε το άθροισμ f(ξ k ) = S = f( ξ ) + f( ξ ) + + f( ξ) ξ ξ... ξ k Σχήμ 4... ξ v τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι μι κόμη προσέγγιση του ζητούμεου εμδού. Επειδή f( κ ) f( ξκ) f( κ) γι κ=,,...,, θ είι f( κ ) f( ξκ) f( κ), οπότε θ ισχύει ε S Ε. Είι όμως, lim ε = lim E ισχύει lims = Ε. + =Ε. Άρ θ 3
Ορισμός εμδού Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ], με f() γι κάθε =f() [, ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, το άξο τω κι τις ευθείες =, =. f(ξ ) f(ξ ) Ω f(ξ k ) f(ξ ) Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω (Σχήμ 5) εργζόμστε όπως στο προηγούμεο πράδειγμ. Δηλδή: = ξ... k... = ξ k- ξ k Δ = a v - ξ Σχήμ 5 Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους =, με τ σημεί = < < <... < =. Σε κάθε υποδιάστημ [ κ, κ ] επιλέγουμε υθίρετ έ σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώι που έχου άση κι ύψη τ f( ξ κ). Το άθροισμ τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι S = f( ξ ) + f( ξ ) + + f( ξ ) = [f( ξ ) + + f( ξ )]. Yπολογίζουμε το lim S +. Αποδεικύετι ότι το lim S υπάρχει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή + τω σημείω ξ κ. Το όριο υτό οομάζετι εμδό του επίπεδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με E( Ω ). Είι φερό ότι ΕΩ ( ). 4
Η έοι του ορισμέου ολοκληρώμτος =f() a= ξ ξ ξ k v- ξ v v Σχήμ 6 Έστω μι συάρτηση f συεχής στο [, ]. Με τ σημεί = < < <... < = χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους =. Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ ξκ [ κ, κ], γι κάθε κ {,,..., }, κι σχημτίζουμε το άθροισμ S = f( ξ ) + f( ξ ) + + f( ξ ) + + f( ξ ) κ το οποίο συμολίζετι, σύτομ, ως εξής: Αποδεικύετι ότι, S = f( ξκ). κ= Το όριο του θροίσμτος S, δηλδή το lim f ξκ ( ) () υπάρχει στο κι κ= είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω ξ κ. Το πρπάω όριο () οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης f πό το στο, συμολίζετι με το στο. Δηλδή f ()d = lim f ξκ ( ) κ= Οι ριθμοί κι οομάζοτι άκρ της ολοκλήρωσης. f ()d κι διάζετι ολοκλήρωμ της f πό Είι, όμως, χρήσιμο επεκτείουμε το πρπάω ορισμό κι γι τις περιπτώσεις που είι > ή =, ως εξής: 5
f ()d = f ()d f ()d = Από τους ορισμούς του εμδού κι του ορισμέου ολοκληρώμτος προκύπτει ότι: =f() Α f() γι κάθε, [, ] τότε το ολοκλήρωμ f ()d δίει το εμδό E( Ω ) του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f το άξο κι τις ευθείες = κι = (Σχήμ 7). Ω Σχήμ 7 Δηλδή, f ()d = E( Ω). Επομέως, Α f(), τότε f ()d. 6
Ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος Με τη οήθει του ορισμού του ορισμέου ολοκληρώμτος ποδεικύοτι τ πρκάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστωf,gσυεχείς συρτήσεις στο [, ] κι λ, µ.τότε ισχύου λ f ()d =λ f ()d [f() + g()]d = f()d + g()d Κι γεικά [ λ f() +µ g()]d =λ f()d +µ g()d ΘΕΩΡΗΜΑ o Α η f είι συεχής σε διάστημ Δ κι,, γ, τότε ισχύει γ f ()d = f ()d + f ()d γ Γι πράδειγμ, 3 f ()d = 3 κι 4 f ()d = 7, τότε 4 4 3 4 f ()d = f ()d + f ()d = f ()d + f ()d = 3 + 7 = 4 3 3 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Α f() κι <γ< (Σχήμ 8), η πρπάω ιδιότητ δηλώει ότι: ΕΩ ( ) =ΕΩ ( ) +ΕΩ ( ) =f() Αφού Ω Ω γ ( ) f ()d ΕΩ =, κι ΕΩ ( ) = f ()d. ΕΩ ( ) = f ()d γ γ Σχήμ 8 7
ΘΕΩΡΗΜΑ 3o Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ].Α f() γι κάθε [, ] κι η συάρτηση f δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε f ()d >. 8
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ο υπολογισμός του ολοκληρώμτος f ()d με τη διδικσί που λύσμε πρπάω είι συήθως μι πολύπλοκη διδικσί. Γι το λόγο υτό στη συέχει θ ορίσουμε μι συάρτηση που οομάζετι συάρτηση ολοκλήρωμ, με τη οήθει της οποίς θ διτυπώσουμε κι θ ποδείξουμε το Θεμελιώδες Θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού,με τη χρήση του οποίου θ είι δυτό υπολογιστού τ πρπάω ολοκληρώμτ. ΘΕΩΡΗΜΑ Α f είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ κι είι έ σημείο του, τότε η συάρτηση F() = f(t)dt,, είι μι πράγουσ της f στο. Δηλδή ισχύει: f(t)dt = f(), γι κάθε. ( ) Γι πράδειγμ ( ημ tdt ) = ημ κι ( ) Γεωμετρική ερμηεί ln tdt = ln 9
+ h + h + h ( Ω ) = ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( + ) ( ) E f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt F h F Το εμδό του χωρίου Ω είι περίπου ίσο με E( Ω) f( ) h γι πολύ μικρά h > Άρ θ έχουμε F( + h) F( ) f( ) h ή Οπότε ( ) ( + ) ( ) F h F F = lim = f h h ( ) ( + ) ( ) F h F h ( ) f Με τη συάρτηση ολοκλήρωμ θ σχοληθούμε διεξοδικότερ στη επόμεη εότητ.
ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ]. Α G είι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε f(t)dt = G( ) G( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Η συάρτηση F() = f(t)dt είι μι πράγουσ της f στο [, ]. Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της f στο [, ], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε G() = F() + c. () Από τη (), γι =, έχουμε G( ) = F( ) + c= f(t)dt+ c= c, οπότε c = G( ). Επομέως, οπότε, γι =, έχουμε κι άρ G() = F() + G( ), G( ) = F( ) + G( ) = f(t)dt + G( ) f(t)dt = G( ) G( ). Πολλές φορές, γι πλοποιήσουμε τις εκφράσεις μς, συμολίζουμε τη διφορά G( ) G( ) με [G()].
Σημτικές πρτηρήσεις. Το ορισμέο ολοκλήρωμ μις συάρτησης είι ριθμός. Γι το λόγο υτό συμπερίουμε ( f()d) =.. To ορισμέο ολοκλήρωμ είι εξάρτητο της επιλογής της πράγουσς Π.χ d = [ ] = = κι d = [ + ] = = 3. Κάθε συάρτηση f συεχής σε έ διάστημ [, ] είι ολοκληρώσιμη σε υτό. 4. Από το θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού προκύπτου τ κόλουθ συμπεράσμτ. i. f ()d = f( ) f( ) ii. f ()d= f( ) f( ) 5. Α f,g συρτήσεις οι οποίες είι συεχείς στο [, ] με f() g() τότε : f() g() κι f() g() συεχής συάρτηση ως διφορά συεχώ, Άρ [f() g()]d f()d g()d f ()d g()d 6. Το ορισμέο ολοκλήρωμ f ()d είι ές πργμτικός ριθμός που εξρτάτι πό τ άκρ ολοκλήρωσης κι κι πό τις τιμές της f στο κλειστό διάστημ με άκρ κι κι όχι πό το γράμμ που πριστάει τη εξάρτητη μετλητή της f. Έτσι π.χ f ()d = f (t)dt = f ()d.
Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Πολλές φορές γι το υπολογισμό εός ολοκληρώμτος προσπθούμε το φέρουμε στη μορφή f ()g ()d κι εφρμόσουμε το πρκάτω τύπο που είι γωστός ως τύπος της πργοτικής ολοκλήρωσης. f ()g ()d = [f ()g()] f ()g()d, όπου f,g είι συεχείς συρτήσεις στο [, ]. Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ e d : Έχουμε e d = (e ) d = [e ] () e d = [e ] e d = [e ] [e ] = e (e ) = Με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κτά πράγοτες είι δυτό υπολογισθού οι πρκάτω μορφές ολοκληρωμάτω i. + P()e d όπου P() πολυώυμο του κι * κι ii. P() ηµ ( + )d όπου P() πολυώυμο του κι * κι iii. P() συ( + )d όπου P() πολυώυμο του κι * κι iv. P() ln( +)d όπου P() πολυώυμο του κι * κι με +> v. e + ηµ ( γ + δ)d με *, γ κι, δ vi. e + συ( γ + δ)d με *, γ κι, δ 3
ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Με τη μέθοδο υτή υπολογίζουμε ολοκληρώμτ που έχου ή μπορού πάρου τη μορφή f (g())g ()d κι ο τύπος υπολογισμού υτού του είδους ολοκληρωμάτω είι ο κόλουθος: u f (g())g ()d = f (u)du, u όπου f,g είι συεχείς συρτήσεις, u = g(), du = g ()d κι u = g( ), u = g( ). Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ π ηµ συe d : Θέτουμε ηµ = u () τότε ( ηµ ) d = du άρ συ d = du () π Κι τ έ άκρ ολοκλήρωσης θ είι u = ηµ = κι u = ηµ = (3) Τότε το ρχικό ολοκλήρωμ λόγω τω (),(),(3) ισούτι με u u e du = [e ] = e. 4
Υπολογισμός ολοκληρώμτος της μορφής f ()d Γι το υπολογισμό εός ολοκληρώμτος της πρπάω μορφής,εφόσο δε είι δυτό υπολογίσουμε τη συάρτηση f εργζόμστε ως εξής : Θέτουμε = f (u) () Τότε d = f (u)du () Τ έ άκρ ολοκλήρωσης είι u κι u τίστοιχ (3) όπου u κι u οι τιμές που ληθεύου τις σχέσεις f (u ) = κι f (u ) = οι οποίες είι μοδικές,φού η συάρτηση f είι -. Άρ το ολοκλήρωμ γίετι λόγω τω (),(),(3) u u (f (f (u)) f (u)du = u f (u)du το οποίο υπολογίζουμε. u u Πράδειγμ Ν υπολογιστεί το f ()d με 5 3 f() = +. Θέτουμε f (u) = () τότε d = f (u)du () Κι τ έ άκρ ολοκλήρωσης είι οι λύσεις τω εξισώσεω f(u) = κι f (u) = Έχουμε 5 3 f(u) = u + u = u 3 (u + ) = u 3 = u = κι 5 3 f(u) = u + u = που έχει τη προφή λύση u = η οποί είι μοδική φού η συάρτηση f είι -. Συεπώς τ έ άκρ ολοκλήρωσης είι u = κι u = (3) Τότε λόγω τω σχέσεω (),(),(3) το ολοκλήρωμ πίρει τη μορφή: 4 f ()d = f (f (u))f (u)du = uf (u)du = u(5u + 3u )du = 6 4 5 3 u u 5 3 9 = (5u + 3u )du = 5 + 3 6 4 = + = 6 4 Ημερομηί τροποποίησης: 5/9/ 5