ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την AB και σκόευσαν άνω σ αυτ σημείο Γ έτσι ώστε: η γωνία ΒΑΓ = 5. Στη συνέχεια διάνυσαν άνω στη διεύθυνση ΒΑ μια αόσταση ΑΔ = 50 m και μέτρησαν τη γωνία ΑΔΓ = 0. Μ αυτές τις μετρσεις ου σημειώνονται στο αρακάτω σχμα, βρκαν ότι το λάτος ΑΒ του Νείλου είναι, m. α) Βρείτε τους συλλογισμούς με τους οοίους οι μηχανικοί υολόγισαν το λάτος του Νείλου. β) Κλειδί των συλλογισμών αυτών είναι η γωνία των 5. Γιατί εέλεξαν οι μηχανικοί η γωνία ΒΑΓ να είναι 5 ; α) Αν ονομάσουμε x το λάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ5 o = = ΒΓ = x x x Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΒ έχουμε εφ0 o = 50 x = x 50 x () Αό την τελευταία σχέση () λύνοντας ως ρος x βρίσκουμε ότι x = 50, β) Η ειλογ γωνίας 5 μοιρών βοηθάει στους αλγεβρικούς συλλογισμούς γιατί εφ5 ο =
ΑΣΚΗΣΗ η Να αοδείξετε ότι: x x x x x x x x x x Έχουμε: x x x x x x x x x x x x Και x x ( x) ( x) ( x x)( x x) ( x x) x x Εομένως είναι: x x x x ΑΣΚΗΣΗ η Αν εφx και x να βρείτε την τιμ της αράστασης : 5 ημx συνx y εφx σφx Αό την σχέση < x < ροκύτει ότι συνx > 0 ενώ όλοι οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί θα είναι αρνητικοί. Είναι Άρα και 5 5 + εφ x 9 + - + 5 5 συν x = = = = = 5 συνx =, 5 σφx = = - εφx Τέλος για την αράσταση y έχουμε : 5 ημ x = - συν x = - = = ημx = - 9 9 5 - - 90 y = =... = 5 - + - 5
ΑΣΚΗΣΗ η Για κάθε τόξο x για το οοίο είναι συνx 0, να αοδείξετε ότι ισχύει: συν x + συν x Αρκεί να αοδείξουμε ότι: x x x x x αρκεί x x αρκεί x x 0 αρκεί (συν x ) 0 ου ισχύει. (συν x >0) Σημείωση: Το ίσον ισχύει όταν συν x = ( συνx = συνx = - ) (x = k x = k + ) όου k ακέραιος ΑΣΚΗΣΗ 5 η Αν εφα + ημα = x και εφα ημα = y, όου 0 < α < / να αοδείξετε ότι: x y xy Αν ροσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις ου δόθηκαν αίρνουμε εφα + ημα + εφα ημα = x + y x + y = εφα αν τις αφαιρέσουμε κατά μέλη αίρνουμε εφα + ημα εφα + ημα = x y x y = ημα αό τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε: x y = (x + y)(x y) = εφαημα = () και άλι αό τις αρχικές ροκύτει: xy = = ( )( ) =
= ( ) () εφόσον το α ανκει στο ρώτο τεταρτημόριο. Τέλος αό τις σχέσεις () και () ροκύτει ότι: x y xy ΑΣΚΗΣΗ η Nα αοδείξετε ότι: 5 7 7 Έχουμε 5 5 7 7 7 7 = = ΑΣΚΗΣΗ 7 η Αν ισχύει ημx +συνx = να βρείτε την εφx Είναι συνx 0 γιατί αν διαφορετικά ταν συνx = 0 θα είχαμε ημx = (αό την βασικ τριγωνομετρικ ταυτότητα και η σχέση για τις αραάνω τιμές θα έδινε +0 = = ου είναι ψευδς) Αφού λοιόν συνx 0 η σχέση ισοδύναμα γράφεται: ημx +συνx = x x = x x x εφx + = x οότε υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: (εφx +) = 9 x (εφx +) =9(+εφ x) (γιατί = + εφ x ) x εφ x + εφx + 9 = 9 + 9εφ x 7εφ x + εφx = 0 εφx(7εφx + ) = 0
αό όου βρίσκουμε ότι η εφx έχει δύο τιμές τις εφx = 0, εφx = 7 ΑΣΚΗΣΗ 8η Να λύσετε την εξίσωση x. Γνωρίζουμε ότι μια τριγωνομετρικ εξίσωση έχει άειρες λύσεις, για να λύσουμε μια τριγωνομετρικ εξίσωση αρκεί να βρούμε μια λύση της εξίσωσης, δηλαδ αρκεί να βρούμε μια γωνία ου εαληθεύει η εξίσωση (συνθως στο ρώτο τεταρτημόριο) και στη συνέχεια να κάνουμε χρση των τύων είλυσης των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Στην συγκεκριμένη άσκηση η γωνία συνεώς θ = εαληθεύει την εξίσωση εφόσον ημ = x = κ +, κ Z x = κ +, κ Z () ημx = ημ 5 x = κ + -, κ Z x = κ +, κ Z Παρατρηση Αν αραλείψουμε να γράψουμε ότι το κ είναι ακέραιος η λύση είναι λάθος. Γιατί; ΑΣΚΗΣΗ 9 η Να λύσετε την εξίσωση συνx = - Γνωρίζουμε ότι για μια γωνία θ ου ανκει στο ο τεταρτημόριο ισχύει ότι: ημθ = ημ( θ) συνθ = συν( θ) εφθ = εφ( θ) σφθ = σφ( θ) Συνεώς η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:
x = κ +, κ Z () συνx = -συν συνx = συν - συνx = συν x = κ -, κ Z ΑΣΚΗΣΗ 0 η Να λύσετε την εξίσωση εφx = σφ. Γνωρίζουμε ότι για μια γωνία θ ου ανκει στο ο τεταρτημόριο (δηλαδ 0 ) ισχύει ότι: ημθ = συν - θ συνθ = ημ - θ εφθ = σφ -θ σφθ = εφ -θ Συνεώς, για να λύσουμε μια τριγωνομετρικ εξίσωση της αραάνω μορφς αρκεί με τον κατάλληλο μετασχηματισμό να μετατρέψουμε τη σφ σε εφατομένη. Ισχύει ότι σφ = εφ - = εφ,συνεώς () εφx = εφ x = κ +, κ Ä ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε την εξίσωση συν x - = (). Παρατηρούμε ότι συν = συνεώς
x,κ,κ,κ x x () x x, κ x,κ x,κ ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε την εξίσωση x x =0(). : Θέτω x όου τότε με Δ = 5 > 0 άρα και αορρίτεται γιατί. () 0 Συνεώς, x,κ x... 5 x,κ ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση : συν x ημ x + συνx = 0 Ισοδύναμα, η εξίσωση γράφεται : (συν x + ημ x)(συν x ημ x) + συν x = 0 συν x ημ x + συν x = 0 συν x ( συν x) + συν x = 0 συν x + συν x + συν x = 0 συν x + συνx = 0 () Η εξίσωση () είναι δευτέρου βαθμού με άγνωστο το συνx, άρα έχει Δ = 9 και συνx = συνx = άρα δηλαδ οι λύσεις τους είναι :,
ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση συνx ημx = συνx - ημx Έχουμε : άρα οι λύσεις είναι,. ΑΣΚΗΣΗ 5η Να λυθεί η εξίσωση εφx + ημx εφx = 0, στο διάστημα, Είναι δηλαδ, Εειδ Έχουμε άρα οότε x. Είσης, δεν υάρχει. άλι δεν υάρχει. Τέλος, Άρα μια λύση υάρχει μόνο,.
ΑΣΚΗΣΗ η Nα λυθεί η εξίσωση ημx συνx 0 7 7 Αν είναι συν x = 0, τότε θα είναι και ημ x = 0 ου είναι άτοο, αφού συν x + 7 7 7 ημ x =, εομένως είναι συν x 0 και η εξίσωση γράφεται: 7 7 ημ x συν x = 0 7 7 ημ x = συν x 7 7 εφ x = x = k +, k Ä 7 8 ΑΣΚΗΣΗ 7η Να λυθεί η εξίσωση (ημx συνx) = (ημx συνx ημxσυνx) (ημx συνx) = (ημx συνx ημxσυνx) ημ x ημxσυνx+συν x=ημx συνx ημxσυνx ημ x ημx + + συν x + συνx + = 0 (ημx ) + (συνx + ) = 0, οότε: ημx = και συνx = όμως ημ x + συν x = + ( ) = άτοο εομένως η εξίσωση είναι αδύνατη.
ΑΣΚΗΣΗ 8 η Να λύσετε την εξίσωση : συν x - - συν x + = 0 (). () συν x - - συν x + συν x - + συν x + = 0 συν x - - συν x + = 0 () συν x - + συν x + = 0 () (Λύνω τις (), () ξεχωριστά: ) x - = κ + x +, κ Z x = κ +, κ Z ()Ûσυν x - = συν x +... x - = κ - x +, κ Z x = κ, κ Z () συν x - = -συν x + συν x - = συν - x + x - = κ + -x -, κ Z x = κ -, κ Z 9... x = (κ +), κ Z x - = κ - -x -, κ Z Άρα, x x x x ( ), 9 ΑΣΚΗΣΗ 9 η x Να λύσετε την εξίσωση x (). x x Όταν σε μια εξίσωση εμφανίζονται οι συναρτσεις x x τότε ρέει να εξαιρέσουμε αό τις λύσεις τις τιμές εκείνες του x για τις οοίες δεν ορίζονται, δηλαδ ρέει να θέσουμε (ειλέον) τους εριορισμούς
συνx 0x k+,k Z και μx 0 x k,k Z Πρέει: x 0 x, (εφόσον εμφανίζεται x ) και x 0 x 0 x k, k x x x x x x x x x x x x 0 x x x x x 0 0 Αό όου ροκύτουν οι εξισώσεις: ημx = () εφx = () () x,κ () x, γιατί αό τους εριορισμούς έχουμε ότι x,. Άρα, x = κ +, κ Z ΑΣΚΗΣΗ 0 η Να λύσετε την εξίσωση x () στο (5,8]. : Αρχικά λύνουμε την εξίσωση σε όλο το αό όου εύκολα έχουμε την αρακάτω λύση: () x, Ααιτούμε τα x ου βρκαμε να ανκουν στο διάστημα στο διάστημα στο οοίο ορίζεται η εξίσωση : 9 7 x (5,8 ] 5 8 5 8... 5 8 Συνεώς, εειδ το κ είναι ακέραιος και 9,8, 7 7,8 έχουμε ότι κ = 5 κ = κ = 7, άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι x 5 x x 7
ΑΣΚΗΣΗ η Αν για την γωνία x ισχύει 0 < x < να λυθεί η εξίσωση: x x x x Πρέει και αρκεί συνx 0 x k και ημx 0 x k Eειδ είναι x x x x, η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: x x ( x ) x x x εφ x εφx + = 0 (εφx ) = 0 εφx = x = κ +, κ Η αραάνω τιμ δεν αντίκειται στους εριορισμούς και είναι δεκτ. Όμως είναι: 0 x 0 k k Εειδ δε o k είναι ακέραιος έχουμε ότι k = 0, oότε έχουμε x = 0 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συν(αx)- α με α>0. Αν η f έχει ελάχιστη τιμ το - 8, τότε: α) Να δείξετε ότι α =. β) Να βρεθεί η ερίοδος και η μέγιστη τιμ της συνάρτησης f. γ) Να βρεθούν τα σημεία τομς της γραφικς αράστασης της f με τον x x καθώς και οι θέσεις μέγιστου και ελάχιστου στο διάστημα [0, ]. α) Η συνάρτηση f (x) = συν(αx) έχει ελάχιστη τιμ ίση με -, οότε η ελάχιστη τιμ της f είναι ίση με - α. Άρα α 8 α. β) Για α = έχουμε f(x) συνx. Ισχύει ότι η ερίοδος είναι T Τ και η μέγιστη τιμ είναι fmax 0.
γ) Τα σημεία τομς με τον x x στο [0, ] είναι οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0 στο [0, ]. Άρα f(x) 0 συνx 0 συνx συνx συν0 x κ x κ, κζ. Όμως x [0, ] δηλαδ 0 x 0 κ 0 κ. Εειδ όμως κζ έχουμε: κ = 0 κ =. Εομένως x = 0 x =. Άρα τα σημεία τομς με τον x x είναι τα Ο(0, 0) και Α(, 0). Η μέγιστη τιμ της είναι: f max = - = 0, ου σύμφωνα με τα αραάνω βρίσκεται για x = 0 x =. Η ελάχιστη τιμ της είναι: f 8 συνx 8 συνx συνx συν x κ min x κ, κ. Όμως x[0, ] άρα x. ΑΣΚΗΣΗ η Το βάθος του νερού κάτω αό την γέφυρα του Ευρίου κατά την διάρκεια της ημέρας δίνεται αό την συνάρτηση t f ( t) 0 όου t σε ώρες με 0 t. α. Να βρεθεί η ερίοδος της αραάνω συνάρτησης. β. Ποιο είναι το μέγιστο και οιο το ελάχιστο βάθος του νερού; γ. Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 8 μέτρα. δ. Αν το ύψος της γέφυρας αό το υθμένα είναι 0 μέτρα να ελεγχθεί αν ένα σκάφος ύψους 8 μέτρων άνω αό την ειφάνεια του νερού μορεί να εράσει κάτω αό την γέφυρα στις το ρωί; α. H συνάρτηση γράφεται : f(t) = 0 + συν t και έχει ερίοδο : T h. β. H συνάρτηση g( t) t έχει ελάχιστο και μέγιστο άρα το ελάχιστο βάθος είναι : f min = 0 - = m και το μέγιστο βάθος είναι : f max = 0 + = m. γ. Έχουμε : f(t) = 8 0 + συν t = 8 συν t = - συν t = συν t k t k t k, k.
Όμως, 0 t άρα έχουμε : k 0 k k k {0,,,} και t {,8,, 0} 0 k k k k {,,, } και t {,0,, }. δ. Αφού η αόσταση του βυθού αό τη γέφυρα είναι 0m, η αόσταση της γέφυρας αό την ειφάνεια είναι a(t ) 0 f (t ). Τη χρονικ στιγμ t, έχουμε αόσταση : a() 0 f () 0 0 ( ) m άρα το σκάφος δε μορεί να εράσει. ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση: εφx ημx + = 0 Αν συνx 0, τότε είναι Εομένως η εξίσωση γράφεται : εφ x ω εφ x ω () ω ω 0 ω ω ω,. (Δεκτές τιμές γιατί;)
ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να λυθεί η εξίσωση: ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x= (ημ x+συν x) ημ x ( )ημxσυνx συν x = 0. () Διακρίνουμε τις εριτώσεις: Aν συνx = 0, τότε ημx = ημx =. Και στις δύο εριτώσεις η () δεν εαληθεύεται. Αν συνx 0, δηλαδ x κ+, κ, τότε: ημ x ημx συνx () ( ) 0 συν x συν x εφ x ( )εφx =0 εφx εφx εφx εφ εφx εφ( ) x κ x κ, όου κ,δεκτές τιμές (γιατί;) ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση: ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x= (ημ x+συν x) ημ x ( )ημxσυνx συν x = 0. () Διακρίνουμε τις εριτώσεις: Aν συνx = 0, τότε ημx = ημx =. Και στις δύο εριτώσεις η () δεν εαληθεύεται. Αν συνx 0, δηλαδ x κ+, κ, τότε: ημ x ημx συνx () ( ) 0 συν x συν x εφ x ( )εφx =0 εφx εφx x κ x κ, όου κ,δεκτές τιμές (γιατί;) εφx εφ εφx εφ( )
ΑΣΚΗΣΗ 7 η H αξία της μετοχς μιας εισηγμένης εταιρείας στο Χρηματιστριο Αξιών Αθηνών δίνεται σε ευρώ αό τη t συνάρτηση : f(t) = 0 για 0 t (όου t o χρόνος σε μνες) Να βρεθεί : α) Πότε ρέει να ουλσει κάοιος ου κατέχει την αραάνω μετοχ για ρώτη φορά ώστε να έχει το μεγαλύτερο εριθώριο κέρδους. β) Ποιά είναι η μεγαλύτερη ζημιά ου μορεί να έχει κάοιος ανά μετοχ. γ) Θα έχει κέρδος ζημιά κάοιος αν αγοράσει 000 μετοχές της αραάνω εταιρείας τον μνα του ρώτου έτους και τις ουλσει τον μνα του ίδιου έτους. α) Προφανώς θα ρέει κάοιος να ουλσει όταν η μετοχ έχει την μεγαλύτερη τιμ και να αγοράσει στην μικρότερη τιμ της.. Η συνάρτηση έχει μορφ f(t) = α + ρημ(ωt) και έχει ερίοδο Τ = αρουσιάζει ελάχιστη τιμ για t = T 9 ου είναι f(9) = 0 9 0 0 ( ) και μέγιστη τιμ για t = T ου είναι f() = 0 0 0 t Αναζητούμε λοιόν τις τιμές ώστε η συνάρτηση f(x) = 0 για 0 t, να αίρνει την μεγαλύτερη τιμ της ( ευρώ) και την μικρότερη τιμ της ( ευρώ). Εομένως t t t f(x) = 0 = = k t = k + με κ Άρα για k = 0 έχουμε t =, εομένως ρέει να ουλσει μετά αό μνες. t t t f(x) = 0 = = k t = k με κ Άρα για k = έχουμε t = 9, εομένως ρέει να αγοράσει μετά αό 9 μνες. ΣΧΟΛΙΟ Αντιμετωίζοντας το θέμα κατασκευαστικά έχουμε ότι t t t +0 0 +0 t 0 Η τελευταία όμως διλ ανισότητα δεν ροϋοθέτει ότι η ελάχιστη τιμ της συνάρτησης είναι και η
μέγιστη. β) Μεγαλύτερη ζημιά έχει κάοιος αν αγοράσει μετά αό μνες και ουλσει μετά αό 9 μνες, η δε ζημιά είναι f max f min = = 8 ευρώ, ανά μετοχ. γ) Το κέρδος η ζημιά ανά μετοχ είναι: 7 f () f (7) 0 0 0 Άρα δεν έχουμε ούτε ζημιά ούτε κέρδος. ΑΣΚΗΣΗ 8 η Nα λυθεί η εξίσωση ημ(συνx) = H εξίσωση ισοδύναμα γράφεται ημ(συνx) = συνx = k συνx = k εειδ ο αριθμός k είναι ακέραιος η μοναδικ τιμ ου μορεί να λάβει είναι k = 0 γιατί διαφορετικά ροκύτει εξίσωση αδύνατη, εομένως για k ίσο με μηδέν η εξίσωση γράφεται συνx = συνx = συν x x, όου λ ακέραιος Για την ειβεβαίωση των ανωτέρω αραθέτουμε την γραφικ αράσταση της συνάρτησης f(x)=ημ(συνx)- όου φαίνονται οι αραάνω τιμές ου είναι ρίζες της εξίσωσης
ΑΣΚΗΣΗ 9 η Να διατάξετε αό τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς 7,,,,, 7 8 Έχουμε:, 0,, 7 8 8 8 Όμως είναι: 0 8 7 και εειδ το ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα 0,, θα είναι 0 8 7 Εομένως η σειρά αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο είναι: 7 8 7 ΑΣΚΗΣΗ 0 η Στο αρακάτω σχμα δίνεται η γραφικ αράσταση της συνάρτησης f (x) ( x) όου, ραγματικοί αριθμοί.
α. Με βάση τα δεδομένα του σχματος να βρείτε τα,. β. Για και, να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομς της συνάρτησης f με την ευθεία y. γ. Να βρεθεί η τετμημένη σε ακτίνια του ρώτου και του δεύτερου σημείου τομς της αραάνω ευθείας με την συνάρτηση ου βρίσκονται στον θετικό ημιάξονα Οx. α. Αό τα δεδομένα του σχματος έχουμε ότι η ερίοδος της συνάρτησης είναι, εομένως T Τότε η συνάρτηση έχει μορφ f (x) x και αό τα δεδομένα άλι του σχματος έχουμε στην θέση x ακρότατο, άρα: f ( ) β. Για και, η συνάρτηση γράφεται: f (x) x και οι τετμημένες της συνάρτησης με την ευθεία y δίνονται αό την λύση της εξίσωσης: x x x Που έχει ως λύση x k ( ) x k με k Z 7 x k ( ) x k γ. Για να ροσδιορίσουμε την τετμημένη σε ακτίνια του ρώτου και του δεύτερου σημείου τομς της αραάνω ευθείας με την συνάρτηση στον θετικό ημιάξονα Οx αρκεί να βρούμε τις λύσεις της αραάνω εξίσωσης στο διάστημα (0, ) Εομένως έχουμε: 7 7 5 x (0, ) 0 x 0 k k Εειδ δε k ακέραιος είναι k 0 και η τετμημένη του ρώτου σημείου τομς της ευθείας και της συνάρτησης στο θετικό ημιάξονα Οx είναι: 7 7 x 0 Ανάλογα έχουμε: x (0, ) 0 x 0 k k Εειδ δε k ακέραιος είναι k και η τετμημένη του δεύτερου σημείου τομς της ευθείας και της συνάρτησης στο θετικό ημιάξονα Οx είναι: x
ΑΣΚΗΣΗ η Δίνονται οι συναρτσεις f (x) x x και g(x) ( x) x i) Να αλοοισετε τους τύους των συναρτσεων f, g. ii) Να βρείτε σε οια σημεία τέμνονται οι συναρτσεις f, g όταν x [0, ] i) Με τους τύους της αναγωγς στο α τεταρτημόριο οι συναρτσεις γράφονται: f (x) x x x x και g(x) ( x) x x x x x ii) Οι τετμημένες των σημείων τομς των συναρτσεων f, g είναι οι ρίζες της εξίσωσης, f (x) g(x) ου είναι: f (x) g(x) x x x x x x x x 0 x(x ) (x ) 0 (x )( x ) 0 Η τελευταία εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις x 0 x x x x ου έχει ως λύση x k x k με k Ä και x 0 x ου έχει ως λύση την x k με k Ä Αναζητάμε τις λύσεις των αραάνω εξισώσεων ου ανκουν στο διάστημα [0, ], εομένως έχουμε: 0 x 0 k k
0 k 0 k 5 k εειδ δε k Ä έχουμε ότι k 0, οότε: Για k 0 έχουμε: x 0 8 Για k έχουμε: x Άρα οι συναρτσεις f, g στο διάστημα [0, ] τέμνονται στα σημεία:,f, και 8 8 8,f, Όμοια βρίσκουμε αό τις άλλες τιμές των x ( x k, x k ) τις συντεταγμένες των σημείων τομς των f, g στο διάστημα [0, ] ΑΣΚΗΣΗ η 7 Εάν α + β = και συνασυνβ 0 τότε να δειχθεί ότι : ( εφα)( εφβ) =. 7 Αφού α + β = 7 θα έχουμε: α= β οότε 7 εφ εφβ 7 εφα = εφ( β) = εφβ εφβ. () 7 εφ εφβ εφβ εφβ Καθόσον συνασυνβ0 και: 7 εφ = εφ( ) = εφ( ) =. Άρα αό την () αίρνουμε: εφβ εφβ εφβ ( εφα)( εφβ) = (+ ) ( εφβ) = ( )( εφβ) ( )( εφβ). εφβ εφβ εφβ ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται ότι οι εφα, εφβ είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: x x = 0. Να υολογισθεί η τιμ της αράστασης : Α = ημ (α + β) ημ(α + β)συν(α + β) συν (α + β).
Αφού οι εφα, εφβ είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας x x = 0 τότε λόγω των τύων Vieta θα έχουμε: εφα + εφβ = και εφαεφβ =. Άρα : ημα ημβ ημα ημβ και οότε συνα συνβ συνα συνβ ημασυνβ + ημβσυνα = συνασυνβ και ημαημβ = συνασυνβ (). Άρα ημ(α + β) =συνασυνβ ενώ συν(α + β) = συνασυνβ ημαημβ και λόγω της () αίρνουμε: συν(α + β) = συνασυνβ. Τότε : Α = συν ασυν β συν ασυν β συν ασυν β = 0. ΑΣΚΗΣΗ η i) Να δειχθεί ότι: ημ(x+y)ημ(x y) = ημ x-ημ y. ii) Εάν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου τέτοιες ώστε ημ Α = ημ Β+ημ Γ να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. i) Έχουμε: ημ(x + y)ημ(x y) = = (ημxσυνy + ημyσυνx)(ημxσυνy ημyσυνx) = = ημ xσυν y ημ yσυν x = = ημ x( ημ y) ημ y( ημ x) = = ημ x ημ xημ y ημ y + ημ xημ y = ημ x ημ y. ii) Έχουμε: ημ Α = ημ Β+ημ Γ ημ Α ημ Β = ημ Γ i ημ(α + Β)ημ(Α Β) = ημ Γ (). Όμως Α + Β + Γ = Α + Β = Γ ημ(α + Β) = ημ( Γ) = ημγ. Άρα () ημγημ(α Β) = ημ Γ ημγ(ημ(α Β) ημγ)=0 ημγ(ημ(α Β) ημ(α + Β)) = 0 ημγ( ημβσυνα) = 0 ημβημγσυνα = 0 συνα = 0 Α = 90 ο. Αφού Β, Γ γωνίες τριγώνου ημβημγ 0. β τρόος
ημ Α = ημ Β+ημ α β γ Γ α β γ Α 90 R R R ο ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να δειχθεί ότι : εφ x+σφ x = συνx όταν ημx 0. συνx Παρατηρούμε ότι: ημx 0 ημxσυx 0 Υάρχει το Α μέλος. Είσης ημx 0 συν x συν x συν x συνx Υάρχει το Β μέλος οότε Α =εφ x+σφ συνx συνx x= συνx συνx ( συνx) ( συνx) ( συν x) ( συνx)( συνx) συν x συνx ( ) συνx B συνx συνx ΑΣΚΗΣΗ η Δίνονται οι ισότητες ημα συνα = κ () και ημα=λ κ () με κ,λ. Να δειχθεί ότι λ= και κ. ()ημ α ημασυνα+συν α=κ ημα=κ λ+κ =κ λ=. Εξάλου () ημα= κ κ κ κ. ΑΣΚΗΣΗ 7 η Για τα τόξα α,β [0, ] δίνεται ότι : συνα συνβ συνα. (). Να δειχθεί ότι: i) ημα+ημβ=συνα. ii) ημα συνβ=.
i) () ημ α ημ β συν α (ημα+ημβ)= συνα ημα+ημβ=συνα (αφού α,β [0, ] ημα,ημβ,συνα 0). ii) ημα συνβ=ημασυνα συνβ i ημα(ημα+ημβ) ( ημ β)= =ημ α+ημαημβ +ημ β= =ημ α+ημ α+ημαημβ+ημ β = =ημ α+(ημ α+ημαημβ+ημ β) = =ημ α+(ημα + ημβ) =ημ α+συν α = =(ημ α+συν α) = =. ΑΣΚΗΣΗ 8 η Άν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: +συνα+συνβ+συνγ=συνβσυνγ (), τότε να υολογισθούν οι γωνίες του τριγώνου. Χρησιμοοιώντας τύους αοτετραγωνισμού έχουμε : ()+συν Α +συν Β +συν Γ =συνβσυνγ συν Α+συν Β+συν Γ συνβσυνγ=0 συν Α+(συνΒ συνγ) =0 συνα=0 και συνβ=συνγ Α=90 ο και Β=Γ=5 ο, αφού Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 9 η Έστω η συνάρτηση : f(x)= συν(x) συν(x). i) Nα βρεθεί το εδίο ορισμού της. ii) Να δειχθεί ότι f(x)= ( συνx ημx ). iii) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=. i) Έχουμε: συν(x) συν(x) 0, συν(x) 0 για κάθε x. Άρα η f x έχει εδίο ορισμού το ii) Λόγω των τύων αοτετραγωνισμού έχουμε:
f(x)= συν(x) συν(x) = συν x ημ x συνx ημx = ( συνx ημx ). iii) f(x)= ii ( συνx ημx ) συνx ημx συνx ημx συνx συνx ημx=0 x=κ, κ (αφού ισχύει και: συνx ). Προφανώς για x=κ, κ εαληθεύεται η f x οότε τελικά f x x κ, κ. ΑΣΚΗΣΗ 0 η Εάν ο αριθμός ρ = συν(x+y) είναι ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης κ +(συνx)κ+=0 () τότε να δειχθεί ότι συνx+συνy=0. Αφού η εξίσωση () έχει ραγματικ ρίζα την ρ=συν(x+y) θα είναι Δ 0. Όμως Δ 0συν x 0 συν x συν x συνx= συνx= (αφού ισχύει και: συν x ). Αν συνx= τότε () κ +κ+=0 (κ+) =0 κ= συν(x+y)= συνxσυνy ημxημy= συνy 0ημy = συνy= (αφού συνx=ημx=0). Άρα: συνx+συνy=+( )=0 Αν συνx= τότε συνy= (ομοίως), οότε συνx+συνy= +=0 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται η συνάρτηση α) Να αοδειχθεί ότι: (x) = ημx. f (x) συν x συν x με x [0, ]. β) Να γίνει η γραφικ αράσταση της συνάρτησης. γ) Να βρεθούν τα σημεία τομς του γραφματος της με την ευθεία y. δ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f και f. 000 000
α) Έχουμε f (x) συν x συν x συν x συν x. συν x συνx = συνxσυν ημxημ συνxσυν ημxημ συνxσυν ημxημ συνxσυν ημxημ = = συνx ημx ημxσυνx = = ημx, άρα f (x) ημx, x[0, ]. β) Η έχει μέγιστο f max, ελάχιστο f min και ερίοδο T. γ) Οι τετμημένες των σημείων τομς είναι οι λύσεις της εξίσωσης f ( x), x[0,] x κ x κ Άρα ημx ημx ημx ημ,κζ 5 5 x κ x κ 5 Όμως x [0, ] οότε για κ = 0 οι λύσεις είναι x x. 5 Άρα τα σημεία τομς είναι: Α, και Β,. δ) Οι αριθμοί 000 αύξουσα, οότε: 000 και 000 000 ανκουν στο διάστημα 0, στο οοίο η f είναι γνησίως f f. 000 000 ΑΣΚΗΣΗ η x x Έστω η συνάρτηση f (x) συνx ημ συν. α) Να δειχθεί ότι f (x) ημ x. β) Να βρεθεί η ερίοδος της και τα ακρότατα της. γ) Να λυθεί η εξίσωση f (x) f (x) 0 με x 0,.
α) Πεδίο ορισμού της είναι Α =. x Έχουμε f (x) συνx ημ συν x συνx ημ x x συνx συνx ημ συν συνx ημ x συνx συνx συνx συν x συν x ημ x. συνx β) Έχουμε f (x) ημ x συνx. Οότε η ερίοδος της συνάρτησης είναι: T. Η συνάρτηση f (x) συνx έχει μέγιστο και ελάχιστο, οότε η μέγιστη τιμ της είναι f max και η ελάχιστη f min 0. γ) Ισχύει f (x) f(x) 0 ημ x ημ x 0 ημ x ημx 0 Όμως x 0, άρα 0 x 0 x οότε ημx 0. Στην εξίσωση ημ x ημx 0, θέτουμε ημx = ω οότε γίνεται ω ω 0, με ρίζες ω =, ω = -. Αν ω ημx ημx ημ x κ x κ, κζ Όμως x 0, άρα για κ = 0 η λύση είναι x. Αν ω ημx αδύνατη, αφού ημx. x συν x ΑΣΚΗΣΗ η α) Να δείξετε ότι ο αριθμός x είναι ρίζα της εξίσωσης συνx ημx. 0 β) Να δείξετε ότι συνx συν x συνx γ) Να δείξετε ότι συνx ημx συνx(-ημ x ημx ) δ) Να δείξετε ότι ο αριθμός ημ είναι μια ρίζα της εξίσωσης x x 0 0 ε) Να υολογίσετε τα ημ9, ημ. α) Αρκεί να αοδείξουμε ότι συν ημ. Ισχύει 0 5 0 5, δηλαδ οι γωνίες είναι
συμληρωματικές άρα συν ημ. 0 5 β) Έχουμε συνx συν(x x) συνxσυνx ημxημx (συν συν x )συνx ημxσυνxημx συν x συνx ( συν x)συνx συν x συνx ημ xσυνx x συνx συνx συν x συν x συνx. (β) γ) A συνx ημx συν x συνx ημxσυνx συνx(συν x ημx) ( ημ x) ημx συνx( ημ x ημx ) συνx. δ) Αρκεί να δείξουμε ότι ημ ημ 0. Θεωρώντας ότι ισχύει ολλαλασιάζουμε και 0 0 τα δύο μέλη της με συν 0. Οότε ισοδύναμα έχουμε: 0 συν ημ ημ 0 συν ημ ημ 0. () Αό το ερώτημα 0 0 0 0 0 0 (γ) για x η () γίνεται: συν ημ 0 συν ημ το οοίο ισχύει αό το (α). 0 0 5 0 5 ε) Αό το (δ) το ημ ημ8 είναι μια λύση της εξίσωσης x x 0 0 5 5 Η διακρίνουσα είναι Δ=0 άρα οι ρίζες της είναι x, x 5 5 Δηλαδ 8 >0 αφού 0. Είσης ημ 8 0 + συν 8 0 = 5 0 5 συν 8 συν 8 και αφού συν8 0 τότε συν8 0 5. Αό τον τύο ημ α συνα για α= 9 έχουμε 0 5 0 5 ημ 9 9 και αφού ημ9 0 8 τότε: 0 5 ημ9. Στον τύο ημα=ημασυνα για α = 8 ισχύει 8 5 0 5 ( 5) 0 5 ημ ημ8συν8. 8 συν8 ημ 9
ΑΣΚΗΣΗ η α) Να αοδείξετε ότι ημ x συν x ημ x συν x 5 β) Να λύσετε την εξίσωση ημ x συν x 8 γ) Να υολογίσετε την τιμ της αράστασης ημ συν δ) Να βρεθούν η ερίοδος, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμ της συνάρτησης f (x) ημ x συν x α) ημ x συν x (ημ x) (συν x) ημ x συν xημ x ημ xσυν x συν x ημ x συν x ημ xσυν x ημ x συν x ημ xσυν x ημ xσυν x ημ xσυν x συν x συν x. ημxσυνx ημx ημ x (α) 5 5 β) ημ x συν x ημ x ημ x ημ x 8 8 8 Αν Αν ημx ημx ημx x κ x κ 8 ημx ημ, κ Z x κ x κ 8 x κ x κ 8 ημx ημ(- ), κ Z 5 x κ x κ 8 γ) ημ συν (α) ημ ημ (α) συνx 5 δ) f(x) ημ x συνx συνx. 8 8 8 8 5 Οότε η ερίοδος είναι: T. Η μέγιστη τιμ της είναι f max και η 8 8 5 ελάχιστη f min. 8 8
ΑΣΚΗΣΗ 5 η α β α) Να δείξετε ότι ημ συνασυνβ ημαημβ α β β) Να δείξετε ότι ημαημβ ημ γ) Να δείξετε ότι ημαημ99α ημ 00α δ) Αν 0<α,β<, ημαημβ και 0 α β ημ, συν(α β), εφ(α β), εφα και εφβ. εφαεφβ, να υολογίσετε τους αριθμούς: α β συν(α β) α) Ισχύει ημ συν(α β) συνασυνβ ημαημβ (α) α β α β β) Έστω ότι ισχύει: ημαημβ ημ ημαημβ ημ ημαημβ συνασυνβ ημαημβ συνασυνβ ημαημβ συν(α β). γ) Αό το (β) ερώτημα αντικαθιστώντας όου β το 99α έχουμε: α 99α ημαημ99α ημ ημαημ99α ημ 00α. δ) Έχουμε εφαεφβ Αό το (α) ερώτημα ισχύει: ημα συνα ημ ημβ συνβ α 0 συνασυνβ συνασυνβ β συνασυνβ ημαημβ 5 α β α β 5 7 α β 5 7 ημ ημ. Άρα ημ 0 0 0 α β α β Εειδ ημ 0 αφού 0 α και 0 β δηλαδ 0. Το Ισχύει συν(α β) συνασυνβ ημαημβ συν(α β) ημ (α β) συν (α β) ημ (α β) 5 0 ημ συν(α β) (α β), άρα ημ(α συν(α β) ημ(α β), αφού ημ(α+β)>0 εειδ 0 α β. Άρα εφ(α β). β)..
Έχουμε εφα εφβ x 5 εφα εφβ εφα εφβ εφ(α β) εφα εφβ εφαεφβ 5 και εφαεφβ x 0. Λύνοντας: 5. Άρα, δηλαδ οι αριθμοί εφα και εφβ είναι οι ρίζες της εξίσωσης: εφα και εφβ εφα και εφβ ΑΣΚΗΣΗ η α) Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: σφασφβ σφβσφγ σφγσφα β) Αν σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει σφ Α σφ Β σφ Γ, να αοδείξετε: i) σφα σφβ σφγ ii) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόλευρο. ^ ^ ^ α) Αφού οι A, B, Γ είναι γωνίες τριγώνου ισχύει Α + Β + Γ = Α + Β = Γ. Άρα σφασφβ σφ(α Β) σφ( Γ) σφγ σφασφβ σφβσγγ σφασφγ σφβ σφα σφασφβ σφβσφγ σφγσφα. β) i) σφα σφβ σφγ σφ Α σφ Β σφ Γ σφασφβ σφβσφγ σφγσφα σφασφβ σφβσφγ σφγσφα (α) Όμως σφα, σφβ, σφγ > 0 αφού το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, άρα σφα σφβ σφγ. ii) Ισχύουν σφασφβ σφβσφγ σφγσφα και σφ Α σφ Β σφ Γ άρα: σφασφβ σφβσφγ σφγσφα σφ Α σφ Β σφ Γ σφ Α σφ Β σφ Γ σφασφβ σφβσφγ σφγσφα 0 σφα σφβ σφβ σφγ σφγ σφα 0. Οότε σφα-σφβ = 0 και σφβ σφγ = 0 και σφγ σφα = 0. Άρα σφα = σφβ = σφγ και αφού είναι γωνίες τριγώνου ισχύει Α = Β = Γ δηλαδ το τρίγωνο είναι ισόλευρο.
ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να βρεθούν οι τιμές των ραγματικών αριθμών α και β ώστε να ισχύει για κάθε γωνία x κ, κ η ισότητα: ημα ημx... για ν. ν ημα ημα ημ α x ασφ βσφx. Ακολούθως να υολογισθεί το άθροισμα: S = α Η ισότητα ου δίνεται γίνεται: x συν x ημ x x ημ συν ημx x + βσυνx = ασυν x συν x συνx ασφ βσφx α ημx β ημx = x ημx ημ συνx + βσυνx = α + βσυνx = α +ασυνx + βσυνx (α + β)συνx + (α ) = 0.() Εειδ η () ισχύει για μη εερασμένες τιμές του x τότε ρέει και αρκεί: Εομένως S = ημα.. + σφ ν- α σφ ν α = σφ α - σφ ν α. α β 0 α 0 α. β α... = σφ ν - σφα + σφα σφα + σφα σφα +. ημα ημα ημ α ΑΣΚΗΣΗ 8 η Να αοδείξετε ότι για οοιαδοτε γωνία x κ, με κ ισχύουν: σφ x α) σφx. σφx β) εφx σφx σφx γ) εφx εφx εφx 8σφ8x σφx. x x x x x δ) εφ εφ εφ... εφ σφ σφx. ν ν ν ν 8 8
α) Είναι: σφxσφx σφ x σφx σφ(x x). σφx σφx σφx σφ x σφ x σφ x β) σφx - σφx σφx εφx. σφx σφx σφx γ) Αό (α) ερώτημα ισχύει: εφx σφx σφx για οοιαδοτε γωνία x. Θέτοντας για x την γωνία x έχουμε: εφx σφx σφx. Για x = x έχουμε: εφx σφx σφ8x. Άρα: εφx εφx εφx 8σφ8x σφx - σφx σφx - σφx σφx - 8σφ8x 8σφ8x σφx. x x x δ) Αό το (α) ερώτημα για x την γωνία έχουμε εφ σφ σφx. x x x x x x x x x Οότε φ σφ σφ, εφ σφ σφ,..., εφ σφ σφ ν ν ν 8 8 x x x x Άρα: εφ εφ εφ... εφ ν ν 8 8 x x x x x x x σφ σφx σφ σφ σφ σφ... σφ σφ ν ν ν ν 8 8 x σφ σφx. ν ν ΑΣΚΗΣΗ 9 η Αν ισχύει ημx +συνx = να βρείτε την εφx Είναι συνx 0 γιατί αν διαφορετικά ταν συνx = 0 θα είχαμε ημx = (αό την βασικ τριγωνομετρικ ταυτότητα και η σχέση για τις αραάνω τιμές θα έδινε +0= = ου είναι ψευδές) Αφού λοιόν συνx 0 η σχέση γράφεται: x x ημx +συνx = = εφx + = x x x οότε υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: (εφx +) =9 (εφx +) =9(+εφ x) (γιατί x εφ x + εφx + 9 = 9 + 9εφ x 7εφ x + εφx = 0 εφx(7εφx + ) = 0 x αό όου βρίσκουμε ότι η εφx έχει δύο τιμές τις εφx = 0, εφx = ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ x 7 = + εφ x )