i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.

Σχετικά έγγραφα
Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!

από την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T!

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!

i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής)

ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.

των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος.

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο.

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t!

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Τετάρτη 12 Απριλίου Θέμα 1ο

, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ.

2) Ομογενής δίσκος μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α

( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση

ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

! =A'B=C!! C! = R" (1)

ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 23/2/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3-4

που δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2

τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!

( ) Παράδειγµα. Τροχαλία. + ΔE δυν. = E κιν. + E δυν

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν

ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει.

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F

ΦΥΣ. 111 Τελική Εξέταση: 17-Δεκεµβρίου-2017

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης

ΘΕΩΡΗΜΑ Α! του σώ µατος ισχύει η σχέση: η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο P του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m i και v!

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου.

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.

και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R.

Ασκήσεις. Φυσική Γ Λυκείου - Μηχανική στερεού σώματος

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου

ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.

Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα.

mu R mu = = =. R Γενική περίπτωση ανακύκλωσης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Οι θέσεις των δεσµών στον θετικό ηµιάξονα είναι: χ = (κ + 1) λ 4 δεύτερος δεσµός είναι στη θέση που προκύπτει για κ = 1 δ

Transcript:

Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην επιφάνειά της. i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες. ii) Eάν τα πιθηκάκια κινούνται ως προς το σχοινί µε σταθερές ταχύτητες () και () προς τα πάνω, να βρεθεί ο αριθµός περιστροφών της τροχαλίας v " v " σε χρόνο t *. ΛΥΣΗ: i) Κατά την αναρρίχηση των δύο πιθήκων η στροφορµή του συστήµα τος πίθηκοι-τροχαλία, περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας, παραµένει σταθερή, διότι οι ροπές των βαρών των πιθήκων και της τροχαλίας περί τον άξονα αυτόν έχουν µηδενική συνισταµένη. Έτσι θα ισχύει η σχέση: L + L + L " L #"$ L + L + L - L () διότι η αρχική στροφορµή L "# του συστήµατος και η στροφορµή L " της τρο χαλίας είναι µηδενικές. Η σχέση () δηλώνει ότι, κάθε στιγµή οι στροφορµές Σχήµα L και L των δύο πιθήκων περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας είναι αντίθετες, δηλαδή έχουν ίσα µέτρα, οπότε ισχύει:

L L mv R mv R V V () όπου R η ακτίνα της τροχαλίας, m η κοινή µάζα των πιθήκων και V, V οι ταχύτητές τους στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii) Aς δεχθούµε ότι το αριστερό τµήµα του σχοινιού κατέρχεται µε ταχύτητα v ως προς το ακίνητο έδαφος, οπότε η αντίστοιχη ταχύτητα του δεξιού τµήµατος θα είναι - v. Για τις σχετικές ταχύτητες v () ", v () " των πιθήκων ως προς το σχοινί θα έχουµε τις σχέσεις: v () " V + (- v ) v () " V # + (- v % $ ) &% v () " V + v #% $ v () " V - v &% διότι V - v " και V " v #. Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) παίρνουµε: (3) () v () " - v () " V + v - V + v v () " - v () " v v [v () " - v () " ]/ (4) Εξάλλου σε χρόνο t * το µήκος του αριστερού τµήµατος του σχοινιού θα έχει αυξηθεί κατά v σ t * και η τροχαλία θα έχει περιστραφεί κατά γωνία v σ t * /R, οπότε ο αντίστοιχος αριθµός περιστροφών n της τροχαλίας θα είναι: n v t * / R " (4) n [v () " - v () " ]t * 4#R P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () το σώµα Σ έχει µάζα m και είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµα τος, το οποίο διέρχεται από το αυλάκι µιας ελεύθερης τροχαλίας µάζας Μ και ακτίνας R, ενώ το άλλο του άκρο είναι στερεωµένο στο έδαφος. Εφαρµόζοντας στον άξονα της τροχαλίας κατακόρυφη προς τα πάνω δύναµη αναγκάζουµε το σώµα να ανέρχεται µε σταθερή επι τάχυνση a - g /. i) Nα βρεθεί η δύναµη που θέτει σε κίνηση το σύστηµα. ii) Ποιο κλάσµα του έργου που παράγει η δύναµη σε ορισµένο χρόνο, κατά τον οποίο το σύστηµα κινείται εκ της ηρεµίας, απορροφάται από την τροχαλία; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ροπή αδρά νειας ΙΜR / της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της.

ΛΥΣΗ: i) Το σώµα κινείται υπό την επίδραση του βάρους του m g και της τά σεως T του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: T - mg mg/ T 3mg/ () Eξάλλου η τροχαλία δέχεται το βάρος της M g, την ζητούµενη δύναµη F, την τάση Q του νήµατος που είναι στερεωµένο στο έδαφος και την τάση - T του Σχήµα νήµατος που συνδέεται µε το σώµα Σ. Υπό την επίδραση των δυνάµεων αυτών η τροχαλία εκτελεί επίπεδη κίνηση, που αναλύεται σε µια κατακόρυφη προς τα πάνω µεταφορική κίνηση και σε µια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά της. Για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: () F - T - Q - Mg Ma F - 3mg/ - Q - Mg Ma F - Q Ma + Mg + 3mg/ () όπου a η επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας. To γεγονός ότι, κατά την κίνηση της τροχαλίας το σηµείο επαφής της Β µε το νήµα παραµένει ακίνητο, µας αναγκάζει να δεχθούµε ότι η περιστροφή της είναι αριστερόστροφη, διότι τότε µόνο είναι δυνατόν η µεταφορική ταχύτητα του σηµείου Β να είναι αντί θετη της ταχύτητάς του λόγω περιστροφής. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: QR - TR MR '/ Q - T MR'/ (3) όπου ' η γωνιακή της επιτάχυνση. Όµως η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου Β της τροχαλίας είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η επιτάχυνση του σηµείου αυτού λόγω της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας είναι αντίθετη

της επιτρόχιας επιτάχυνσής του, λόγω περιστροφής της τροχαλίας, δηλαδη ισχύει η σχέση: a - 'R a 'R οπότε η (3) γράφεται: () Q - T Ma / Q - 3mg/ Ma / Q Ma / + 3mg/ (4) Εστιάζοντας την προσοχή µας στο σηµείο Α επαφής της τροχαλίας µε το νήµα που συγκρατεί το σώµα, παρατηρούµε ότι η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου αυτού είναι - g / και εποµένως για το σηµείο αυτό ισχύει: g/ a + 'R g/ a a g/4 οπότε η (4) γράφεται: Q Mg/8 + 3mg/ (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (5) παίρνουµε: F - Mg/8-3mg/ Ma + Mg + 3mg/ F Mg/4 + 9Mg/8 + 6mg/ F (M + 4m)g/8 (6) Παρατήρηση: Mπορούµε να υπολογίσουµε την δύναµη F εφαρµόζοντας στο σύστηµα το θεώ ρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο t που το σώµα Σ µετατοπίζε ται προς τα πάνω κατά h, ξεκινώντας από την ηρεµία. Στον χρόνο αυτόν το κέν τρο της τροχαλίας µετατοπίζεται προς τα πάνω κατά h και θα ισχύει: h a t / gt / 8 h/ Εξάλλου το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου δίνει: Mv + MR + mv " W + W F M g + W m g Mv + 3Mv 4 Mv + mv + mv Fh - Mgh - mgh Fh/ - Mgh/ - mgh (7) όπου v v οι ταχύτητες του κέντρου της τροχαλίας και του σώµατος Σ αντι στοίχως την χρονική στιγµή t και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της τρο χαλίας. Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων v και v ισχύουν οι σχέσεις:

και v a h (g/4)(h / ) gh/4 v (g/)h gh οπότε η (7) γράφεται: 3M(gh/4) 4 + mgh Fh/ - Mgh/ - mgh 3Mg 6 + mg F - Mg Mg - mg 6 + 3mg F Mg + 4mg 8F F (M + 4m)g/8 ii) Eάν σε χρόνο t το σώµα Σ µετατοπίζεται εκ της ηρεµίας κατά h τότε η αντί στοιχη αύξηση ΔΕ µηχ της µηχανικής ενέργειας της τροχαλίας είναι; E µ"# Mv + MR $ + Mgh Mv + Mv 4 + Mgh E µ"# 3Mv 4 + Mgh 3M(gh/4) 4 + Mgh Mgh 6 To έργο W F που παράγει η δύναµη F στον χρόνο t δίνεται από την σχέση: (8) W F Fh Fh/ (6) W F (M + 4m)gh/6 (9) Διαιρώντας κατά µέλη τις (8) και (9) παίρνουµε: E µ"# W F Mgh/6 (M + 4m)gh/6 E µ"# W F M M + 4m < P.M. fysikos Από τροχό ακτίνας R, ο οποίος κυλίεται ισοταχώς σε οριζόντιο έδαφος µε ταχύτητα v, εκτοξεύεται ένα µικρό σωµα τίδιο. Να δείξετε ότι εάν v Rg, το µέγιστο ύψος h max από το έδαφος στο οποίο µπορεί να φθάσει το σωµατίδιο, δίνεται από την σχέση: h max R + gr v + v g όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το σωµατίδιο αποσπάται στο σηµείο Μ του κυλιόµε νου τροχού, του οποίου η επιβατική ακτίνα M ως προς το κέντρο σχηµατί

ζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση E. (σχ. 3). Για φ η θέση του Μ είναι το σηµείο επαφής Ο του τροχού µε το έδαφος. Για π/<φ<π οι συντεταγ µένες του Μ ως προς το ορθογώνιο σύστηµα Οxy είναι: x M OE - OM x R - R"#$( - %/)' ( y M OM y R + R&µ ( - %/) ) x M R( - "µ) & ' y M R( - #$%)( H ταχύτητα απoσπάσεως v του σωµατιδίου Μ προκύπτει ως συνισταµένη της µεταφορικής του ταχύτητας v και της ταχύτητάς του v, λόγω περιστροφής του τροχού. Η κατακόρυφη συνιστώσα της v έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: v y v y v "#$% v "#$(& - /) v y v µ" () () Σχήµα 3 Το σωµατίδιο εκτελεί πλάγια βολή µέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης και την στιγµή που βρίσκεται στο ανώτατο σηµείο της παραβολικής του τροχιας η y- συντεταγµένη του δίνεται από την σχέση: (),() y A y M + v y /g y A R( - "#$) + v %µ $ / g gy A Rg( - "#$) + v ( - "# $) v "# $ + Rg"#$ + gy A - Rg - v (3) H (3) αποτελεί µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς συνφ και έχει φυσικό νόη µα εφ όσον η διακρίνουσά της είναι µη αρνητική, δηλαδή πρέπει να ισχύει: 4R g - 4v (gy A - Rg - v ) R g - v gy A + Rgv + v 4 R g + Rgv + v 4 v gy A y A R g v + R + v g y R g max v + R + v g (4)

Όταν όµως το σωµατίδιο βρίσκεται στην µεγαλύρερη απόσταση h max από το έδαφος η εξίσωση (3) θα έχει διπλή ρίζα, που δίνεται από τηn σχέση: "#$ - Rg v - Rg v (5) Όµως π/<φ<π, δηλαδη -<συνφ<, η οποία συνδυαζόµενη µε την (5) δίνει: - < - Rg v < > Rg v v > Rg P.M. fysikos Tρεις απολύτως όµοιες οµογενείς σφαίρες κρατούν ται ακίνητες, ώστε ανά δύο να εφάπτονται µεταξύ τους και οι δύο από αυτές να εφάπτονται σε οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή οι σφαί ρες αφήνονται ελεύθερες και αρχίζουν να κινούνται. Εάν µεταξύ των σφαιρών δεν υπάρχει τριβή, ενώ η τριβή των σφαιρών µε το έδαφος επαρκεί ώστε να επιτρέπει σ αυτές να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση, να βρείτε τις επιταχύνσεις των κέντρων των σφαιρών σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η διάκεντρος δύο εφαπτόµενων σφαιρών µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και η ροπή αδράνειας ΙmR /5 µιας οµογενούς σφαίρας µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα όταν οι διάκενροι και σχηµατίζουν µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Την στιγµή αυτή η υπερκείµενη σφαίρα κέντρου δέχεται το βάρος της m g και τις δυνάµεις επαφής N, N από τις σφαίρες που εφάπτονται του οριζόντιου εδάφους, των οποίων οι φορείς διέρχον ται από το κέντρο (σχ. 5), διότι µεταξύ των σφαιρών δεν υπάρχει τριβή. Επειδή οι ροπές των τριών αυτών δυνάµεων περί το κέντρο είναι µηδενικές, Σχήµα 4 Σχήµα 5 η υπερκείµενη σφαίρα δεν στρέφεται περί το. Eξάλλου κατά την οριζόνια διεύθυνση η σφαίρα αυτή δεν κινείται, διότι οι οριζόντιες συνιστώσες N x, N x των N και N αλληλοαναιρούνται για λόγους συµµετρίας. Μπορεί όµως η

σφαίρα να κινείται κατα την κατακόρυφη διευθυνση y και συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει: mg - N y - N y ma mg - N "#$ - N "#$ ma mg - N"#$ ma N (mg - ma)/"#$ () όπου Ν το κοινό µέτρο των δυνάµεων N και N και a η επιτάχυνση της υπερ κείµενης σφαίρας. Εξετάζοντας την σφαίρα κέντρου διαπιστώνουµε ότι, αυτή δέχεται το βάρος της m g, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την δύναµη επαφής N ' από την υπερκείµενη σφαίρα, η οποία σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα είναι αντίθετη της N (σχ. 4). Η τριβή T έχει ροπή περί το κέντρο της σφαίρας αυτής που της προσδίνει αριστερόστροφη περιστροφική κίνηση και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης θα ισχυει: TR mr ' / 5 T mr' / 5 () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως η σφαίρα αυτή επιταχύνε ται κατά την οριζόντια διεύθυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύ τωνα θα ισχύει: () N' x - T ma N' µ" - T ma N µ" - mr#' / 5 ma (3) όπου a η επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας. Eπειδή η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύει a ω R, οπότε η (3) γράφεται: N µ" - ma / 5 ma N µ" 7ma / 5 N 7ma / 5µ" (4) Συνδυάζοντας τις () και (4) παίρνουµε την σχέση: 7ma mg - ma 5µ" #$%" a 5(g - a)µ" 4#$%" (5) Όµως το µήκος της διακέντρου παραµένει σταθερό στην διάρκεια που η υπερκείµενη σφαίρα διατηρεί την επαφή της µε τις άλλες δύο σφαίρες και αυτό µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι οι συνιστώσες των a και a κατά την διεύ θυνση της είναι ίσες, δηλαδή ισχύει: a"#$ a "#(% / - $) a a"#$ /%µ$ (6) Συνδυάζοντας τις (5) και (6) έχουµε:

a"#$ %µ$ 5(g - a)%µ$ 4"#$ a(4"# $ + 5%µ $) 5g%µ $ a 5gµ " 9#$% " + 5 (7) Συνδυάζοντας τέλος τις (6) και (7) παίρνουµε: a 5gµ " & 9#$% ( " + 5 ' #$%" µ" ) + a 5gµ"#$%" * 9#$% " + 5 µ " & 5g) 9#$% ( + " + 5 ' * P.M. fysikos Θεωρούµε τις τρεις σφαίρες του προηγούµενου θεµατος, όπου η τριβή µεταξύ των σφαιρών και του οριζοντίου εδά φους είναι ασήµαντη, ενώ η τριβή µεταξύ των σφαιρών που εφάπτον ται επαρκεί ώστε η µια να µη ολισθαίνει επί της άλλης. Αρχικά οι σφαίρες κρατούνται ακίνητες, ώστε ανά δύο να εφάπτονται µεταξύ τους και κάποια στιγµή αφήνονται ελεύθερες. Να βρείτε τις επιταχύν σεις των κέντρων των σφαιρών σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχη µατίζει η διάκεντρος δύο εφαπτόµενων σφαιρών µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας την υπερκείµενη σφαίρα κατά την στιγµή t που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο, παρατηρούµε ότι αυτή δέχεται το βάρος της m g και τις δυνάµεις επαφής από τις δύο άλλες σφαίρες, οι οποίες αναλύονται στις τριβές T, T και στις κάθετες αντιδράσεις N, N (σχ. 7). Για λόγους συµµετ ρίας µπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι ροπές των T, T περί το κέντρο είναι αντίθετες, που σηµαίνει ότι η σφαίρα δεν µπορεί να περιστρέφεται περί το κέν τρο της, αφού και οι αντίστοιχες ροπές των N, N και m g είναι µηδενικές. Σχήµα 6 Σχήµα 7 Επί πλέον οι οριζόντιες συνιστώσες των δυνάµεων T, T καθώς και των δυνά µεων N, N είναι αντίθετες, που σηµαίνει ότι η σφαίρα δεν µπορεί να κινηθεί

κατα την οριζόντια διεύθυνση. Άρα η µόνη δυνατή κίνηση της σφαίρας είναι η προς τα κάτω κατακόρυφη µετατόπισή της. Εφαρµόζοντας για την σφαίρα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: mg - T y - T y - N y - N y ma mg - T µ" - T µ" - N #$%" - N #$%" ma mg - Tµ" - N#$%" ma () όπου a η επιτάχυνση της σφαίρας κατά την στιγµή που την εξετάζουµε, φ η αντίστοιχη γωνία των διακέντρων, µε την κατακόρυφη διεύθυνση, Τ το κοινό µέτρο των δυνάµεων T, T και Ν το κοινό µέτρο των δυνάµεων N, N. Εξετάζοντας την ίδια στιγµή την σφαίρα κέντρου, παρατηρούµε ότι αυτή δέχεται το βάρος της m g, την κατακόρυφη δύναµη επαφής N από το ορι ζόντιο έδαφος και την δύναµη επαφής από την υπερκείµενη σφαίρα, η οποία αναλύεται στην τριβή T ' αντίθετη της T και την κάθετη αντίδραση N ' αντίθετη της N (αξίωµα δράσης-αντίδρασης). Η ροπή της T ' περι το κέντρο προσδίδει στην σφαίρα δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει: T' R mr ' / 5 T' mr' / 5 T mr' / 5 () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως η σφαίρα αυτή έχει µετα φορική κίνηση κατά την οριζόντια διεύθυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: N' x - T' x ma N' µ" - T' #$%" ma () Nµ" - T#$%" ma Nµ" - mr#' $%&"/ 5 ma (3) όπου a η επιτάχυνση της σφαίρας την στιγµή που την εξετάζουµε. Επειδή η σφαίρα αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύει a ω R, οπότε η (3) γράφεται: Nµ" - ma #$%"/ 5 ma 5Nµ" 5ma +ma #$%" N ma (5 +"#$)/ 5%µ$ (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: µ" mg - 4ma 5 - ma (5 +#$%")#$%" 5µ" ma 5mgµ" - 4ma µ " - ma (5 +#$%")#$%" 5maµ" 5gµ" - a (µ " + #$% " +5#$%") 5aµ"

5gµ" - a ( +5#$%") 5aµ" (5) Όµως το µήκος της διακέντρου παραµένει σταθερό στην διάρκεια που η υπερκείµενη σφαίρα διατηρεί την επαφή της µε τις άλλες δύο σφαίρες και αυτό µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι οι συνιστώσες των a και a κατά την διεύ θυνση της είναι ίσες, δηλαδή ισχύει: a"#$ a "#(% / - $) a a"#$ /%µ$ (6) Συνδυάζοντας τις (5) και (6) έχουµε: 5gµ" - a #$%" µ" ( +5#$%") 5aµ" 5gµ " - a#$%"( +5#$%") 5aµ " 5gµ " a(5µ " + 4#$%" +#$% ") & 5µ " ) a g( ' 5 + 4#$%" +5#$% + (7) "* Συνδυάζοντας τις (6) και (7) παίρνουµε: a & 5µ " ) g( ' 5 + 4#$%" +5#$% + "* #$%" µ" & 5µ"#$%" ) a g( ' 5 + 4#$%" +5#$% + g & 5µ" ) ( "* ' 5 + 4#$%" +5#$% + "* P.M. fysikos