1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ. συν40 ο = Β. 1. Από τις παρακάτω τιμές δεν μπορεί να είναι ημίτονο γωνίας η: α. 1 β 3 -. γ. δ. 1 - ε. 3. Για οποιαδήποτε γωνία : α. συν <-1, β. συν >1, γ. -1 συν 1, δ. το συν δεν ορίζεται, ε. δεν ισχύει κανένα από τα προηγούμενα. 3. Να λύσετε την εξίσωση ημ + 5συν =4 Δίνεται η συνάρτηση f ( ). ΘΕΜΑ 3 α. Να λυθεί η εξίσωση f ( ). β. Να βρείτε την περίοδο, την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g( ) f (4 ). γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του, ισχύει g( ) 1. ΘΕΜΑ 4
Η συνάρτηση f()= α + βσυν με β > 0, έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφικής της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ( 3,-5). Β1. Να βρείτε τα α και β. Β. Για α=- και β=6: i. Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f. ii.να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. iii.να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή της. vi.να βρείτε τα κοινά σημεία της συνάρτησης f με την ευθεία y=1. ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η συνάρτηση f()=ασυν β 4 όπου α,β. Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f 4π διέρχεται από τα σημεία Α(0,-) και Β(, β β τότε: α. να αποδείξετε ότι α=- και β= β. Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της γ. Να λύσετε την εξίσωση f()=1 ΘΕΜΑ 6 3 Αν και 5, τότε: Β1. Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 10 1 5 Β3. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) 5 K ΘΕΜΑ 7
3 Δίνεται η παράσταση 4 4 A 1 Γ1. Να δείξετε ότι A 1 4 Γ. Αν να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α 5 Γ3. Να λύσετε την εξίσωση 5 1 Α) Να λύσετε τις παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις: ΘΕΜΑ 8 i) ii) 1 3 Β) Να διαπιστώσετε αν ο αριθμός επαληθεύει και τις δύο παραπάνω εξισώσεις. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 4 α, [0,π] Β1. Να βρείτε την τιμή του α, αν f ( ) 5 Για την τιμή α = 3: ΘΕΜΑ 9 Β. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f και ποια η περίοδος της; Β3. Να λυθεί η εξίσωση f() = 4 Α. α) Να μετατρέψετε σε μοίρες τις γωνίες : ΘΕΜΑ 10 i) 7 5 4 rad ii) rad iii) 6 4 3 rad β) Να μετατρέψετε σε rad τις γωνίες : i) 10 ii) 135 iii) 150 Β. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) (1+ημχ) (εφχ + 3 ) = 0 β) 4συν χ 4συνχ 3 = 0 ΘΕΜΑ 11
4 Δίνεται η παράσταση 7 1 13 και η εξίσωση 0 (1) Α. Να υπολογίσετε την παράσταση K. Β. Για K= - 1, να λύσετε την εξίσωση (1). ΘΕΜΑ 1 Δίνονται οι παραστάσεις: Α=1-ημ και Β=1-συν α. Να αποδείξετε ότι: A B 3 4ημ β. Να λύσετε την εξίσωση: B 0 ΘΕΜΑ 13 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ), 0, 0 και πεδίο ορισμού Α = [0, π], που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δ1. Με βάση το σχήμα να βρείτε τα ακρότατα της f ( ) και τις τιμές του για τις οποίες παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή της. Δ. Να υπολογίσετε την περίοδο Τ της συνάρτησης f ( ) καθώς και τα ρ, ω. Δ3. Αν f ( ) 4 ( ) να λυθεί η εξίσωση f ( ) = στο διάστημα [0,π]. Δ4. Να συγκρίνετε τις τιμές f ( ), f ( ) 9 7, αιτιολογώντας την απάντησή σας. ΘΕΜΑ 14
5 Δίνεται η συνάρτηση f()= (λ κ) ημ[(3λ + 4κ) ] με κ,, (3λ + 4κ) > 0 και (λ κ) > 0. Η f έχει μέγιστη τιμή το 3 και περίοδο Τ = π. Β1. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ. Αν κ = -1 και λ =, τότε: B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f στο διάστημα [0, π] και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [0, π]. B3. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία ΘΕΜΑ 15 3 y = -. Η συνάρτηση f()=α+ β.συν με β>0, έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφικής της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ( 3,-5). Β1.Να βρείτε τα α και β. Β.Για α=- και β=6: i. Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f. ii.να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. iii.να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή της. vi.να βρείτε τα κοινά σημεία της συνάρτησης f με την ευθεία y=1. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). ΘΕΜΑ 16 α. Να λυθεί η εξίσωση f ( ). β. Να βρείτε την περίοδο, την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g( ) f (4 ). γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του, ισχύει g( ) 1. ΘΕΜΑ 17
6 Ο πληθυσμός βακτηριδίων σε ένα οργανισμό μετά τη χορήγηση φαρμάκου t αυξομειώνε ται περιοδικά σύμφωνα με τον τύπο: f ( t) 5 σε εκατομμύρια, όπου t 1 ο χρόνος σε ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. Να βρείτε: α) τον αρχικό πληθυσμό βακτηριδίων του οργανισμού. β) την περίοδο του φαινομένου. γ) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του πληθυσμού καθώς και τις αντίστοιχες ώρες που εκδηλώνονται οι ακρότατες τιμές του πληθυσμού στο πρώτο 4ωρο. δ) τις ώρες του πρώτου 4ώρου που ο πληθυσμός είναι 6 εκατομμύρια ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΘΕΜΑ 1 Δίνεται το πολυώνυμο P() = 4 +α 3 +β + 4, όπου α, β. Το P() έχει παράγοντα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το + 1 είναι το 6. Β1. Να δείξετε ότι α = 1 και β =. Μονάδες 7 Β. Να λύσετε την εξίσωση P() = 0. Μονάδες 6 Β3. Να λύσετε την ανίσωση P() > 0. Μονάδες 5 Β4. Να λύσετε την εξίσωση συν 4 συν 3 + ημ συν + = 0 στο διάστημα [ π, π). ΘΕΜΑ Δίνεται το πολυώνυμο P(), βαθμού v, για το οποίο ισχύει : 3 8( 1).P().P( 3) 5 8 6 16, για κάθε. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το -1 είναι : Γ1. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το πολυώνυμο Γ. Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P() με το πολυώνυμο ΘΕΜΑ 3 6 5 6 5. είναι το 4 :
7 α)να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(): i. με τον άξονα y y. ii.με την ευθεία y= β)να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P() είναι πάνω από την ευθεία y=. ΘΕΜΑ 4 Δίνεται το πολυώνυμο: 3 ( ) 6 11,. Α. Να βρεθεί το ώστε η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου ( ) για 1 να είναι ίση με 4. Β. Για 6 να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου ( ) με το πολυώνυμο 1. Γ. Να λυθεί η ανίσωση: ( ) 0. ΘΕΜΑ 5 Έστω το πολυώνυμο P() = α 3 + β - + α + 7. Δίνεται ότι το + είναι παράγοντας του P() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το ( + 1) είναι ίσο με 8. 1. Να αποδείξετε ότι α = 1 και β = -1.. Να κάνετε την Ευκλείδεια διαίρεση P():( ) και να γράψετε την ταυτότητα της. 3. Να λύσετε την ανίσωση P() < 8. ΘΕΜΑ 6 Έστω πολυώνυμο P(χ)= 3 +αχ +βχ+4 με α,β R το οποίο έχει παράγοντες τους χ+1,χ- α. Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0 β. Για τις παραπάνω τιμές των α, β να λύσετε την εξίσωση P(χ)=0 γ. Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(χ)=p(χ) με α=-3 και β=0 να βρείτε :(i)το σημείο τομής της C με τον άξονα y y (ii) τις τιμές του χ για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ χ ΘΕΜΑ 7
8 Δίνεται το πολυώνυμο 3 ( ). α. Να βρεθεί η τιμή του α ώστε το ( ) να έχει παράγοντα το. β. Για 5,να λυθεί η εξίσωση ( ) 0. γ. Για 5, να κάνετε την διαίρεση P ( ) ( 1) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. ΘΕΜΑ 8 Δίνεται το πολυώνυμο P() = ( +λ) +κ +5 με παράγοντα το 1 και P(-) = 3 A) Bρείτε τα κ, λ Β) Αν κ = - 1 και λ 5 1) Λύστε την εξίσωση P() = 0 ) Λύστε την ανίσωση P() 8 ΘΕΜΑ 9 Δίνεται τo πολυώνυμο P() = 3 + α + β + 6, όπου πραγματικός αριθμός. Α) Αν η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P() για = 3 είναι ίση με 30 και το 1 είναι παράγοντας του P(), να αποδείξετε ότι α = 1 και β = 7 Β) Κατόπιν αφού αντικαταστήσετε τα α, β που βρήκατε στο ερώτημα Α), να λύσετε την ανίσωση P() 0 ΘΕΜΑ 10 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = 3 + α + β 0, α, β Δ1. Αν το Ρ() έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + 1 είναι ίσο με 16 να δείξετε ότι: α = 1 και β = 6 Δ. Να λύσετε την εξίσωση: Ρ() = 0 Δ3. Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ() βρίσκεται κάτω από τον άξονα ; ΘΕΜΑ 11
9 Το πολυώνυμο ( ) = + 3 + - 3,όπου R έχει ρίζα το 1. 3 P a Α. Να βρείτε την τιμή του. Β. Γιαa = - 1, i) Να λύσετε την ανίσωση P( ) < 0. ii) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P( ) με το - iii) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 013 είναι ρίζα του πολυωνύμου P( ). ΘΕΜΑ 1 Δίνεται το πολυώνυμο P()= 3 + (α + 1) (α + β) 9 όπου α, β. Α. Αν το -3 είναι ρίζα του P() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() δια το +1 είναι -8, τότε να βρείτε τις τιμές των α και β. Β. Αν α = και β= - 5 τότε: α) Να λύσετε την εξίσωση: Ρ()=0 β) Να λύσετε την ανίσωση: P( ) 0 ΘΕΜΑ 13 Δίνεται το πολυώνυμο το οποίο έχει παράγοντα το -. Β1. Να απο δείξετε ότι a = - 3. Β. Να κάνετε την διαίρε ση του P( ) με το + + 1 και να γράψετε την ταυτότητα της. Β3. Να λύσετε την ανίσω ση P( ) < 0. ΘΕΜΑ 14
10 Δίνεται το πολυώνυμο P() = 3 + α 5 + β, με α, β Γ1. Αν το P() έχει παράγοντες το 1 και το + 3, να βρείτε τις τιμές των α και β. Αν α = 1 και β = 3 Γ. να λύσετε την εξίσωση P() = 0. Γ3. να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης P(): ( + 3 + 4). Γ4. να λύσετε την ανίσωση: P() Q() > 0, αν Q( ) 1 9 ΘΕΜΑ 15 1,, 4 3 P( ) 1 1 1 3 Θεωρούμε το πολυώνυμο 1. Αν το P( ) είναι πολυώνυμο 3 ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης P( ) : ( 1) είναι 4 να υπολογίσετε τα και.. Αν 1 και τότε : α. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P( ) : ( 1) β. Να λυθεί η εξίσωση P( ) 0 γ. Να λυθεί η ανίσωση P( ) 4 ΘΕΜΑ 16 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = (λ + 1) 3 + ( 1 ) ημλ + 1, όπου λ. α) Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το -1 να είναι ίσο με το. β) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε το Ρ() να έχει ρίζα το μηδέν. γ) Για λ=0 να λυθεί η εξίσωση: Ρ() = 1.
11 ΘΕΜΑ 17 Εστω Ρ(χ) = χ 3 +αχ +7χ-3 και Q(χ) = (β+1-χ)χ +γ(χ-1)+γ-3 1. Να βρείτε τα α, β,γ έτσι ώστε Ρ(χ)=Q(χ) και το χ-1 να διαιρεί το Ρ(χ).. Να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-1) 3. Να λυθεί η εξίσωση Ρ(χ)=0 4. Να λυθεί η ανίσωση Q(χ)>=0 ΘΕΜΑ 18 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ 4 +αχ 3-3χ +4χ -4 και το Q() που είναι 3 ο υ βαθμού. Α. ι. Nα γράψετε το βαθμό, τους συντελεστ ές και το σταθερό όρο του Ρ(χ). ιι. Να βρεθεί το α ώστε το χ+ να διαιρεί το Ρ(χ) Β. Αν α = -1, να απαντήσετε στα παρακάτω: ι. Ποιος από τους αριθμούς 1,, -1 είναι ρίζα του Ρ(χ) και γιατί; ιι. Είναι το χ-1 παράγοντας του Ρ(χ) και γιατί; ιιι. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-3) με σχήμα Horner iv. Να γίνει η διαίρεση Ρ(χ):(χ -4) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης αυτής. v. Να λύσετε την εξίσωση Ρ(χ)=0 Γ. Να βρείτε το Q() έτσι ώστε, διαιρούμενο με το χ -χ+3 δίνει πηλίκο χ-1 και υπόλοιπο χ-17. ΘΕΜΑ 19 Έστω το πολυώνυμο P() α α α α. 1) Ποιος ο βαθμός του P() για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α ; ) Ποια η τιμή του α ώστε το 1 να είναι ρίζα του P() ; 3) Πότε είναι το μηδενικό πολυώνυμο και πότε είναι μηδενικού βαθμού ; 4) Ποιο το α ώστε P(0) = 013 ;
1 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 1 Δίνεται η συνάρτηση f() = log(4 ). Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 log5. Δ. Να λύσετε την ανίσωση 1-4 1 6 4-0. 5 5 Δ3. Να λύσετε την εξίσωση f() + f( 1 ) = 1 + log - 4 1 6 4-5 5. Δ4. Να λύσετε την εξίσωση ημ = f( 5 ) + f(1) f( 3 ). Έστω η συνάρτηση f() = k+log( -3), k. ΘΕΜΑ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.. Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f()= log100. 3. Για k= : α)nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης την με την ευθεία : 1 y log 1000 β) Nα λυθεί η ανίσωση : f() >. ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 1 για κάθε. α. Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα.
13 β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και f () 4, i. Nα υπολογίσετε το α. ii. Για a να λύσετε την ανίσωση f ( 1) 8 ΘΕΜΑ 4 1 log. Δίνονται οι συναρτήσεις f log3 log50 και g Δ1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g. Δ.Να λύσετε την εξίσωση: f g. Δίνεται η συνάρτηση: f ΘΕΜΑ 5 e 1 ln. e 1 Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β. Να λυθεί η εξίσωση: f 0. Γ. Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα '. ΘΕΜΑ 6 Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=ln(3e e χ -) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln και να βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ χ γ. Να λυθεί η εξίσωση f(χ)=3χ ως προς χ
14 ΘΕΜΑ 7 Δίνεται η συνάρτηση 1 f ( ), 3 όπου πραγματικός αριθμός. i) Βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η f ( ). ii) Βρείτε για ποιες τιμές του η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα., να λύσετε την εξίσωση f ( ) f ( ) iii) Αν 7 ΘΕΜΑ 8 Δίνονται οι συναρτήσεις και g lne 1 f ( ) ln( 3). α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων. β. Να δείξετε ότι f () 3 f (1) f (3) ln 4 γ. Να λυθεί η εξίσωση f ( e ) ln 3 g( ). ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η συνάρτηση f()=ln(e -)-ln(e -1) Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 1 Β) Να αποδείξετε ότι f()=ln (1- e 1 ) Γ) Να λύσετε την εξίσωση f()=-ln Δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση ψ=χ ΘΕΜΑ 10 Δίνεται η συνάρτηση f() = α + ln(e ), όπου α πραγματικός αριθμός. Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε το α ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(ln3,1) Γ) Για α = 1 να λύσετε την εξίσωση f() = 0
15 ΘΕΜΑ 11 Δίνεται η συνάρτηση a 3 f ( ) 3 a α. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση ορίζεται σε όλο το. β. Να βρείτε τις τιμές του α,ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα στο. γ. Για α= να λύσετε την εξίσωση : f ( + 1) = f ( ) + 4 Δίνεται η συνάρτηση f() =, 1. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.. Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση. 3. Να λύσετε την εξίσωση: f() 5f() + = 0 4. Να λύσετε την ανίσωση: f( +-) < 1 ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 13 Δίνετε η συνάρτηση f()=ln(3-5). Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Δ. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα Δ3. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. ΘΕΜΑ 14 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = log(9-3) Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β. Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες ισχύει: log 6 + log a = f (1) Γ. Να λυθεί η εξίσωση f ( ) = log + log3
16 ΘΕΜΑ 15 Δίνονται οι συναρτήσεις f()= ln( e - e - 3) και g()= ln( e + 1) Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f() και g() Δ. Να λύσετε την εξίσωση f()=g() ΘΕΜΑ 16 Δίνεται η συνάρτηση f() = + ln( e 5). Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Δ. Να αποδείξετε ότι f(ln6) < f(ln10). Δίνεται επίσης η συνάρτηση Δ3.Βρείτε το πεδίο ορισμού της g ln g( ) = e + ln 3 - f ( ). Δ4. Υπάρχει τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της g περνά από το σημείο Ν(α,0); (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας) Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) log( ) ΘΕΜΑ 17 = και ( ) log( 4 - g 1 ) Α. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. Β. Να λυθεί η ανίσωση 1 g f 4. Γ. i) Να αποδείξετε ότι log 5 = 1- log f ii) Να λυθεί η εξίσωση ( ) = 5, με > 0 = -. ΘΕΜΑ 18 Δίνεται η συνάρτηση Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β. Να λύσετε την ανίσωση: Γ. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( 1)) (0) (1) f f f f.
17 ΘΕΜΑ 19 Δίνεται η συνάρτηση - 1 f ( ) = ln. - Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Γ. Να αποδείξετε ότι 1 f (3) + f (4) + f ( ) = 0. Γ3. Να λυθεί η εξί σωση ln f ( ) ln( ) e ln1. ΘΕΜΑ 0 1 4 Δίνεται η συνάρτηση f 1 Δ1. Να λυθούν οι εξισώσεις: και. Δ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Δ3. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και y y. Δ4. Να λυθεί η εξίσωση f() = ln3 ( + 1)ln.
18 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 1 Δίνεται το πολυώνυμο P() = 4 +(συνθ ημθ) 3 +(συν θ ημ θ) + ημθ, όπου θ [0,π]. Α) Αν το P() έχει ρίζα το 1, να βρείτε το θ. Β) Αν θ = π να λυθεί η ανίσωση 1-3 P( 1), για 3 ΘΕΜΑ Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 P() ( ) 3 1 Αν το πολυώνυ μο P( ) έχει παράγοντα το - 1 τότε : α. Να υπολογίσετε την τιμή τ ου θ 0, β. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο: Q( ) P( 7) διαιρείται με τ ο 4. ΘΕΜΑ 3 Δίνεται το πολυώνυμο 3 P( ) ln( ) ln(1 ) 8, όπου 0,. i. Να αποδείξετε ότι το είναι ρίζα του ( ). ii. Αν, να λύσετε την εξίσωση ( ) 0 Δίνεται το πολυώνυμο: ΘΕΜΑ 4 4 3 ln 1, 0, 0,,. Α. Αν το πολυώνυμο είναι 3 ου βαθμού και έχει παράγοντα το Χ-1, να βρεθούν τα,. 1, να βρεθούν οι τιμές του Β. Αν 3 για τις οποίες ισχύει: 0.
19 Γ. Να λυθούν: Ι) η εξίσωση ό ΙΙ) η ανίσωση 0, 0,. ln 0. ΘΕΜΑ 5 Δίνεται ο αριθμός και το σύστημα: log 5 + log + log 4-1 L= log 5 + log + log8 - ( ) y, R y 3 3 i) Να δείξετε ότι: ii) Για L =. 3 L = να υπολογίσετε τις ορίζουσες του συστήματος D, D, D 3 iii) ΓιαL = να επιλύσετε για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ το σύστημα. 3 Έστω το πολυώνυμο πραγματικός αριθμός. ΘΕΜΑ 6 3 P( ) = + 3 - a - 3καθώς και η συνάρτηση με τύπο f ( ) = log( - a), όπου α Αν είναι γνωστό πως το πολυώνυμο P() έχει ρίζα το =1, τότε: i) Να δείξετε ότι α=1. ii) Να λύσετε την εξίσωση P()=0 για πραγματικό αριθμό. iii) Να λύσετε την ανίσωση: P()<0. iv) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συναρτήσεως f. Δίνονται το πολυώνυμο P() = -6 3 + 11 5 + 1. ΘΕΜΑ 7 α) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P() : ( +1) είναι 7 και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. β) Να λύσετε την ανίσωση P() > 7 P ( 8) 7 γ) Να λύσετε την εξίσωση y
0 ΘΕΜΑ 8 4 3 3 3 Δίνεται το πολυώνυμο P() (α ln α) 3(α ln α) (α ln α) 1 ln α, με α, και α > 0. Α. Να βρεθεί ο α ώστε το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου να είναι 0 (μηδέν). Β. Αν α = 1 τότε: α) Να γίνει η διαίρεση P() 1 β) Να λυθεί η εξίσωση P(e ) ΘΕΜΑ 9 α) Να λύσετε την εξίσωση: log(-1) + 1 = log 8 (1) β) Αν ρ η ρίζα της (1),να βρεθεί η σχέση των α,β ώστε το πολυώνυμο P(χ)=αχ 3 + βχ + 3χ + 5,διαιρούμενο με χ-ρ να αφήνει υπόλοιπο 5. γ) Αν α=4 ψ-1, β= ψ-1 να βρεθεί ο ψ. Δίνεται το πολυώνυμο: ΘΕΜΑ 10 4 3 ln 1, 0, 0,,. Α. Αν το πολυώνυμο Ρ(χ) είναι 3 ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1, να βρεθούν τα θ, φ. Β. Αν Ρ(χ)=χ 3 -χ +χ-1 να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες ισχύει: 0. Γ. Να λυθούν: Ι) η εξίσωση ό ΙΙ) η ανίσωση 0, 0,. ln 0. ΘΕΜΑ 11 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = (λ+1) 3 + ( - 1) ημλ + - 1, όπου λ. α) Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το - 1 να είναι ίσο με. β) Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε το Ρ() να έχει ρίζα το μηδέν.
1 γ) Για λ = 0 να λυθεί η εξίσωση: Ρ() = 1. ΘΕΜΑ 1 1,, R. 4 3 P( ) 1 1 1 3 Θεωρούμε το πολυώνυμο Α) Αν το P( ) είναι πολυώνυμο 3 ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης P( ) : ( 1) είναι 4 να υπολογίσετε τα και. Β) Αν 1 και τότε : α. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P( ) : ( 1). β. Να λυθεί η εξίσωση P( ) 0. γ. Να λυθεί η ανίσωση P( ) 4. ΘΕΜΑ 13 P() ( ), θ 0, π Δίνεται το πολυώνυμο 3 α. Να αποδείξετε ότι το ημθ είναι παράγοντας του P( ). β. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του P( ) με το γ. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) με το 1 ημθ.. είναι το 1, να βρείτε τη γωνία θ. ΘΕΜΑ 14 Δίνεται το πολυώνυμο P 3 ( ) 5 8, όπου. Α. Αν το 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου P ( ), να υπολογιστεί η τιμή του κ. Β. Για κ = -4, να λυθεί η εξίσωση P ( ) = 0. 3 Γ. Να λυθεί η εξίσωση 5 8 4. ΘΕΜΑ 15 Δίνεται το πολυώνυμο P()= 3 +α +8 +β Α) Αν το Ρ(χ) διαιρείται με το χ-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ+1) είναι -18, να βρεθούν τα α,β. Β) Για α = -5 και β = -4 1. να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Ρ(χ):(χ+). να λύσετε την εξίσωση Ρ(χ)=0 3. να λύσετε την ανίσωση Ρ(χ)<0
4. να λύσετε την ανίσωση ln 3 (-3)-5ln (-3)+8ln(-3)-4<0