Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου αίρνουμε μια σωστή (αληθή) ισότητα. Τωρα μιλάμε για τριγωνομετρικές εξισώσεις.αό την λέξη εξισώσεις καταλαβαίνουμε ότι και εδώ θα ρέει να υολογίσουμε κάοιον «άγνωστο x». Ο ειθετικό ροσδιορισμός τριγωνομετρικές σε τί άραγε να αναφέρεται; Αναφέρεται στο ότι εμφανίζεται όχι «σχέτο» x, αλλά κάοιος τριγωνομετρικός αριθμός του x. Παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση 1 ηµ x = Μας ζητούνται οι γωνίες (θα δουλεύουμε σε rad) ου έχουν ημίτονο 1.Γνωρίζουμε ότι μια τέτοια γωνία είναι η.αρα λύθηκε η εξίσωση? Οχι λήρως, γιατί δεν είναι μόνο αυτή η γωνία λύση.εχουμε μάθει ότι οι 5 αραληρωματικές γωνίες έχουν ίδιο ημίτονο.αρα μια ακόμα λύση είναι η =. Αρα τελειώσαμε? Οχι γιατί έχουμε εί ότι γωνίες ου έχουν την ίδια τελική λευρά έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τέτοιες γωνίες ροκύτουν αν ο ημιάξονας Οx κάνει κατά την θετική ή αρνητική φορά μια ή ερισσότερες εριστροφές και διαγράψει ειλέον και μια γωνία x rad Tότε οι γωνίες +x, +x, 3 +ω, 4 +x,... καθώς και οι +x, +x, 3 +x, 4 +x... έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την x. Ολες αυτές οι γωνίες μορούν να εριγραφούν συνοτικά με τον συμβολισμό: κ +x, κ (διαβάζουμε : όου κ ανήκει στο σύνολο των ακεραίων ). Συνηθίζουμε να γράφουμε το κ ως κ. Εομένως λύσεις τις εξίσωσης είναι οι 5 x = κ + κ οι x = κ + κ Γενικότερα για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής ηµ x = α, αρκεί να βρούμε μια οοιαδήοτε γωνία θ ου να έχει ηµθ = α, οότε η εξίσωση γράφεται ηµ x = ηµθ, και οι λύσεις της δίνονται αό τους τύους: x = κ + θ ή x = κ + θ κ
Σκεφτόμενοι αρόμοια καταλήγουμε στο ότι: Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής συν x = α, αρκεί να βρούμε μια οοιαδήοτε γωνία θ ου να έχει συνθ = α, οότε η εξίσωση γράφεται συν x = συνθ, και οι λύσεις της δίνονται αό τους τύους: x = κ + θ ή x = κ θ κ Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής εφx = α, αρκεί να βρούμε μια οοιαδήοτε γωνία θ ου να έχει εφθ = α, οότε η εξίσωση γράφεται εφx = εφθ, και οι λύσεις της δίνονται αό τους τύους: x = κ + θ κ Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής σφx = α, αρκεί να βρούμε μια οοιαδήοτε γωνία θ ου να έχει σφθ = α, οότε η εξίσωση γράφεται σφx = σφθ, και οι λύσεις της δίνονται αό τους τύους: x = κ + θ κ Προσοχή! Στην εφx = α και σφx κ (ου έχει ο τύος λύσεων ημ και συν) έχουμε κ. = α δεν έχουμε δύο τύους λύσεων αλλά έναν.ομως ροσέξτε ότι αντί για Ειδικές εριτώσεις: (σχολικό Α1 i) και iii), Α ii) και iv), A5 i) και ii) ) ηµ x= 0 x= κ, κ συν x= 0 x= κ +, κ ηµ x= 1 x= κ +, κ ηµ x= 1 x= κ, κ συν x= 1 x= κ, κ *** συν x= 1 x= κ +, κ
Πως μορεί αλήθεια κάοιος να κατασκευάσει ασκήσεις στις τριγωνομετρικές εξισώσεις με αυξανόμενο βαθμό δυσκολίας; Aρχίζουμε αό αλή εφαρμογή του τύου χ. ηµ x= ηµ x= κ +, κ ή 4 4 3 x = κ + = κ +, κ 4 4 ηµ x = εδώ ααιτείται αό εμάς να γνωρίζουμε ότι = ηµ 4 Η ιο ανω μορεί να δυσκολέψει λίγο ακόμα αν χρειαστεί να λύσουμε ως ρος ημx χ. Να λυθεί η ηµ x = 0 Μια «ονηρή» είναι η.χ ηµ x = 3.Εειδή για κάθε x γνωρίζουμε ότι ισχύει 1 ηµx 1 αναγνωρίζουμε άμεσα ότι είναι αδύνατη. Γνωρίζουμε ότι α β = 0 α = 0 ή β=0.μορεί λοιόν να δούμε μια τριγωνομετρική εξίσωση ( ηµ x)( ηµ x ) 1 3 = 0 Είσης μια δευτεροβάθμια ου άγνωστος είναι το ημω. (τον άγνωστο μορούμε να τον ονομάσουμε χ, ω ότι θέλουμε) ηµ ω + ηµω 1= 0 Η ιο άνω γίνεται οιο δύσκολη (αφού φαίνεται σαν να έχουμε δύο αγνώστους) αν δοθεί ως : + + = συν ω ηµω 1 0 Εδώ με βάση την γνωστή ταυτότητα ηµ ω + συν ω = 1 ρέει αρχικά να αντικαταστήσουμε το συν ω = 1 ηµ ω να κάνουμε ράξεις και να συνεχίσουμε όως στην ροηγούμενη. 1 Να λυθεί η ηµ x + = 4 Εδώ η κυρίως δυσκολία είναι να «δείς» όλο το x + σαν το x του τύου: 4 x+ = κ +, κ x= κ + -, κ 4 4 1 ηµ x+ = ηµ x+ = ηµ ή ή 4 4 x+ = κ +, κ x= κ +, κ 4 4
3 x= κ +, κ x= κ, κ x= κ, κ 1 1 1 4 ή ή ή 1 3 7 7 x= κ +, κ x= κ +, κ x= κ +, κ 1 1 1 1 4 Θα μορούσαμε ίσως να γράψουμε ιο γενικά τον τύο λύσεων αντί του ηµ x= ηµθ x= κ + θ ή x= κ + θ, κ ως ημ = ημ = κ+ ή = κ+ όου στην μέσα στον κύκλο και μέσα στο ορθογώνιο μορεί να μεί οοιαδήοτε αράσταση και φυσικά το κ ακέραιος. Να λυθεί η ηµ x+ = ηµ x+ 4 3 x+ = κ + x+ x x= κ + 4 3 3 4 ηµ x+ = ηµ x+ ή κ ή, κ 4 3 x+ = κ + x+ x= κ + x 4 3 3 4 3 x= κ + x= κ + x= κ + 1 1 1 1 ή, κ ή, κ ή, κ 3 κ x+ x= κ + 3x= κ + x= + 3 3 3 3 9 4 Να λυθεί η ηµ 3x+ = συν ( x) Eδώ υάρχει το ρόβλημα ότι στο ο μέλος δεν έχουμε ημ. Πρέει να θυμηθούμε ότι οι συμληρωματικές γωνίες έχουν ετερώνυμους τριγωνομετρικούς αριθμούς, οότε ( x) ηµ 3x+ = ηµ x και λύνουμε κατά τα γνωστά 4 συν = ηµ x και η εξίσωση γίνεται
Φυσικά θα μορούσαμε να γράψουμε ηµ 3x+ = συν x συν 3x+ = συν x 4 4 Θα βρίσκαμε τις ίδιες λύσεις. ( ) ( ) Τέλος μορεί να μην ζητούνται όλες οι λύσεις αλλά αυτές ου βρίσκονται σε ένα δοσμένο διάστημα.μια τέτοια άσκηση είναι η Β3 του σχολικού.λύνουμε την ανίσωση ου σχηματίζεται ως ρος κ, και λαμβάνουμε υόψη ότι το κ είναι ακέραιος. Εδώ τελειώνει αυτό το ανόραμα τριγωνομετρικών εξισώσεων ου ελίζω να ήταν αολαυστικό...