Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής. () Έστω Χ οαριθµός που φέρνει το ζάρι. Η µέση τιµήτηςχ είναι: () Έστω Χ τ.µ. µεσ.π.π f( x). Ηαναµενόµενη τιµήτηςχ είναι: E( ) = + + 3 + 4 + 5 + 6 = = 3.5 6 6 6 6 6 6 6 + x x = αλλού 3 3 3 x E( ) = xf ( x) dx = xxdx = x dx = = Μέση Τιµή και Ροπές
Μέση τιµή κατανοµής Bernulli Ητ.µ Χ έχει σ.π. και µέση τιµή: Ητ.µ Χ έχει σ.π. p x= f( x) = P( = x) = q x= όπου q= - p αλλού E( ) = ( p) + ( q) = p Μέση τιµή διωνυµικής κατανοµής n x n x f ( x) = p ( p) όταν x=,,,..., n x και µέση τιµή: n n n x n x n! x n x E( ) = x p ( p) = x p ( p) = x= x x= x!( n x)! n ( y= x ) n n! x n x ( n )! y n y = p ( p) = np p ( p) = ( x )!( n x)! ( y)!( n y)! x= y= n = ( ) = ( + ) = y= y n y n y n np p p np p p np Μέση Τιµή και Ροπές
Μέση τιµή κατανοµής Poisson Ητ.µ Χ έχει σ.π. και µέση τιµή: Μέση τιµή γεωµετρικής κατανοµής Ητ.µ Χ έχει σ.π. e λ x λ f( x) = P( = x) = όταν x=,,,3,... και λ > x! λ x x ( y= x ) e λ λ λ = x = λ = E( ) e x! ( x )! x= x= y λ λ λ λ = λe = λe e = λ ( y)! y= f x P x p p x x ( ) = ( = ) = ( ) όταν =,,... και µέση τιµή: x x E( ) = x( p) p= p x( p) = p = ( + p) p x= x= Μέση Τιµή και Ροπές 3
Μέση τιµή εκθετικήςκατανοµής Ητ.µ Χ έχει σ.π. και µέση τιµή: Μέση τιµή οµοιόµορφης κατανοµής Ητ.µ Χ έχει σ.π. f f x λe λ x> ( x) = αλλού + λx E( ) = xf ( x) dx = xλe dx = α < x < β ( x) = β α αλλού λx λx λx λ λ = xe + e dx = e = και µέση τιµή: + b b x ( b a ) ( b+ a) a b a b a a ( b a) E( ) = xf ( x) dx= x dx= = = Μέση Τιµή και Ροπές 4
Μέση Τιµή (συνέχεια) Για ορισµένες τ.µ. η µέση τιµή δεν υπάρχει διότι απειρίζεται. Παράδειγµα: Έστω τ.µ. Χ µεσ.π. k x =,,3,4,... f ( x) = x αλλού Το k θα πάρει µια τιµήέτσιώστε. Η σειρά συγκλίνει (αρµονική) και το k µπορεί να οριστεί. k k Η µέση τιµήτηςτ.µ. είναι: E( ) = x =. x x Ησειρά x= x= x x x= k x = x= x= δενσυγκλίνει(αρµονική) και η µέση τιµή δεν ορίζεται. Μέση Τιµή και Ροπές 5
Θεώρηµααφηρηµένου στατιστικού Έστω Χ µια τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ή σ.π.π. της Χ. Εάν Υ = g () µια συνάρτηση της τ.µ., τότε και η Υ είναι τ.µ. καιηαναµενόµενη της τιµήυπολογίζεταισύµφωνα µε τον ορισµό: E( Y) = µ Y = yfy( y) ή E( Y) = µ Y = y fy( y) dy y Όµως εάν η σ.π. ήσ.π.πτης Υ δεν είναι γνωστή µπορεί να υπολογιστεί και µε τη βοήθεια της f Χ (x), ως εξής: E( Y) E[ g( )] g( x) f ( x) = = x E( Y) E[ g( )] g( x) f ( x) dx = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής. Μέση Τιµή και Ροπές 6
Ιδιότητες Μέσης Τιµής. Ε (αχ+β)= αε(χ)+β (γραµµική ιδιότητα). Ε (αχ+βυ)= α Ε(Χ)+β Ε(Υ) (γραµµική ιδιότητα) 3. Αν οι τ.µ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε ισχύει: Ε (ΧΥ)= Ε(Χ) Ε(Υ) Μέση Τιµή και Ροπές 7
ιασπορά Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ ιασπορά ή διακύµανση µιας τ.µ. Χ είναι ο θετικός αριθµός καιείναι µέτρο µεταβλητότητας. Σύµφωνα µε τοθεώρηµα του αφηρηµένου στατιστικού: Var( ) = σ = ( x µ ) f( x) x Var( ) = σ = ( µ ) ( ) x f x dx Τυπική απόκλιση της Χ : Var E µ ( ) = [( ) ] αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής. σ = Var( ) = E[( µ ) ] (Σηµ. Η τυπική απόκλιση µετριέται µετηµονάδα µέτρησης της Χ.) Μέση Τιµή και Ροπές 8
ιασπορά (συνέχεια) Παράδειγµα: ()Έστω τ.µ. Χ µεσ.π. f (3)=., f (4)=.6, f (5)=., και f (x)= οπουδήποτε αλλού. Αναµενόµενη τιµήτηςχ: ιασπορά της Χ: Έστω δεύτερη τ.µ. Υ µεσ.π. f ()=.4, f ()=., f (6)=.3, f (8)=. και f (x)= οπουδήποτε αλλού. Αναµενόµενη τιµήτηςy : ιασπορά της Υ: E( ) = 3(.) + 4(.6) + 5(.) = 4 Var( ) = (3 4) (.) + (4 4) (.6) + (5 4) (.) =.4 E( ) = (.4) + (.) + 6(.3) + 8(.) = 4 Var( ) = ( 4) (.4) + ( 4) (.) + (6 4) (.3) + (8 4) (.) = 8.4 = Μέση Τιµή και Ροπές 9
Ροπές r. Ροπή γύρω από την αρχή (µηδέν): µ r = E ( ) Ισχύει ότι: µ =, µ = E( ) και µ = E( ).. Κεντρικήροπήήροπήγύρωαπότηµέση τιµή: r µ r = E[( µ ) ] Ισχύει ότι: µ =, µ = και µ = E[( µ ) ] = Var( ). Σχέσεις µεταξύ ροπών k k k k k r k r k k r r k k r µ k = E[( µ ) ] = E ( µ ) = ( µ ) E( ) = ( µ ) µ r r= r r= r r= r k k µ k k k r k r k k r k E [ ] E ( µ µ ) E ( ) r r r µ µ r r µ = = + = = µ = = Μέση Τιµή και Ροπές
Ιδιότητες ιασποράς. Από τις σχέσεις µεταξύ ροπών ισχύει ότι: Var( ) = E ( µ ) = E µ + µ ( ) = E( ) E µ + µ = E( ) [ E( )]. Var( a b) a Var( ) a, b + = 3. Αν οι Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τ.µ. τότε Var( a by ) a Var( ) b Var( Y ) a, b + = + Μέση Τιµή και Ροπές
ιασπορά κατανοµής Bernulli Ητ.µ Χ έχει σ.π. Μέση τιµή: Συνεπώς: E( ) = f () = p, f () = p και f ( x) = αλλού p και Var( ) ( ) E( ) ( ) ( ) = p + p = p = p p = p p = pq ιασπορά διωνυµικής κατανοµής n x n x B( np, ) όταν f( x) = p( p) για x=,,,..., n x Μέση τιµή: E( ) = np και E( ) = n ( n ) p + np, οπότε Var( ) ( ) ( ) = n n p + np n p = np p = npq Μέση Τιµή και Ροπές
Υπολογισµός διασποράς διωνυµικής n n n x n x n! x n x E( ( )) = x( x ) p ( p) = p ( p) = x= x x= ( x )!( n x)! n ( y= x ) ( n )! x n x = nn ( ) p p ( p) = ( x )!( n x)! x= ( n )! = nn ( ) p p ( p) = nn ( ) p( p+ p) = nn ( ) p ( y)!( n y)! n y n y n y= E( ) E[ ( )] E( ) ( ) = + = n n p + np Μέση Τιµή και Ροπές 3
ιασπορά εκθετικής κατανοµής Ητ.µ Χ έχει σ.π. Mέση τιµή: E( ) = λ x f ( x) = λe λ, όταν x> και λx λx λx E( ) λ = x e dx= x e + xe dx= λx λx λx λ xe λ e dx e λ λ λ = + = = Συνεπώς ( ) = λ λ = σ = λ λ Var( ) και Μέση Τιµή και Ροπές 4
Συνδιασπορά Έστω ότι έχουµε δύο τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ από κοινού κατανεµηµένες. Ονοµάζουµε συνδιασπορά ή συνδιακύµανση την ποσότητα: [ ] Cov( Y, ) = σ = E ( µ )( Y µ ) Y Y Ισχύει ότι: Cov(, ) = Var( ) Όπως και στη περίπτωση της διασποράς η συνδιασπορά υπολογίζεται ευκολότερα από τον τύπο: Cov( Y, ) = E( Y) E( )E( Y) Μέση Τιµή και Ροπές 5
Ιδιότητες συνδιασποράς () Αν οι τ.µ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε Cov( Y, ) =. () Αν οι τ.µ. Χ και Υ είναι από κοινού κατανεµηµένες, τότε Var( ) Var( ) Var( ) Cov(, ), a ± by = a + b Y ± ab Y a b Μέση Τιµή και Ροπές 6
Συντελεστής συσχέτισης Έστω ότι έχουµε δύο τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ από κοινού κατανεµηµένες. Ονοµάζουµε συντελεστή συσχέτισης το λόγο: Ιδιότητες: () ρ( Y, ) ρ( Y, ) = Cov( Y, ) σ σ () Εάν για δύο τ.µ. Χ και Υ ισχύει ρ ( Y, ) =, τότε η Υ είναι γραµµική συνάρτηση της Χ. (3) Αν οι τ.µ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε ρ =. (4) Αν ρ =, τότε Χ και Υ ασυσχέτιστες τ.µ. Μέση Τιµή και Ροπές 7 Y
Ροπογεννήτρια συνάρτηση Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Ροπογεννήτρια της τ.µ. Χ είναι η συνάρτηση: Σύµφωνα µε το θεώρηµα του αφηρηµένου στατιστικού: tx M () t = e f( x) x tx M () t = e f( x) dx M () t = E[ e tx ] t αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής. Ισχύει ότι: µ = r r dm r dt () t t= (η σχέση αυτή δικαιολογεί το όνοµα της συνάρτησης) Μέση Τιµή και Ροπές 8
Ροπογεννήτρια συνάρτηση (συνέχεια) Θεώρηµα (µοναδικότητας) Αν οι ροπογεννήτριες δύο τ.µ. Χ και Υ ταυτίζονται για όλες τις τιµές του t σε διάστηµα γύρωαπότο µηδέν, τότε οι κατανοµές των Χ καιυ είναι ίδιες (ισόνοµες τ.µ.). Μέση Τιµή και Ροπές 9
Ροπογεννήτρια οµοιόµορφης κατανοµής Ητ.µ Χ έχει σ.π. Ροπογεννήτρια: Ροπογεννήτρια κατανοµής Poisson Ητ.µ Χ έχει σ.π. f ( x) = α x β β α < < tx tx M () t = E[ e ] = e f ( x) dx= + b tx b tx tb ta e e e b a edx a t( b a) a t( b a) = = = t e λ x λ f( x) = P( = x) = όταν x=,,,3,... και λ > x! Ροπογεννήτρια: λ x t x tx tx e λ λ ( λe ) M () t = E[ e ] = e = e = x! x! x= x= t t t = e e = e = e λ λe λe λ λ(e ) Μέση Τιµή και Ροπές
Έστω Χ τ.µ. µε Τότε Ανισότητα Chebychev E( ), ( ) = µ < Var = σ < σ ε > ισχύει P[ µ ε] ε ή σ ε > ισχύει P[ µ < ε] > ε Όταν ε = kσ P[ µ kσ ] ή P[ µ < kσ] > k k Μέση Τιµή και Ροπές
Άλλα περιγραφικά µέτρα κατανοµής -- παράµετροι θέσης -- Έστω Χ τ.µ. µε f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ και F Χ (x) ηα.σ.κ. ιάµεσος της Χ ονοµάζεται κάθε αριθµός δ για τον οποίο ισχύει: F( δ ) = P( δ) P( < δ) = F( δ ) Αντίστοιχα, p-ποσοστιαίο σηµείο είναι το σηµείο x p για το οποίο ισχύει: F( x ) = P( x ) p P( < x ) = F( x ) < p< p p p p Ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα τεταρτηµόρια: x.5, x.5, x.75 Μέση Τιµή και Ροπές
Άλλα περιγραφικά µέτρα κατανοµής (συνέχεια) Επικρατούσα τιµήήκορυφήονοµάζεται κάθε τοπικό µέγιστο της f Χ (.) όταν η Χ είναι συνεχής. Αντίστοιχα, όταν η Χ είναι διακριτή µε δυνατές τιµές: x < x < < x k <x k+ <, µια ενδιάµεση τιµή x k λέγεται κορυφή όταν f (x k ) > f (x k- ) και f (x k ) > f (x k+ ), ενώ µια ακραία τιµή είναι κορυφή όταν είναι µεγαλύτερηαπότη γειτονική της. (µονοκόρυφες, δικόρυφες ή πολυκόρυφες κατανοµές) Μέση Τιµή και Ροπές 3
Άλλα περιγραφικά µέτρα κατανοµής (συνέχεια) -- µέτρα µεταβλητότητας -- Κεντρική έκταση µιας συνεχούς τ.µ. Χ : x.75 - x.5 Ηµικεντρική έκταση µιας συνεχούς τ.µ. Χ : ( x.75 - x.5 ) / Μέση απόκλιση: ιάµεσος απόκλιση: Συντελεστής διακύµανσης: c = σ / µ (ποσοστό απόκλισης από την µέση τιµή) 3 µ 3 E[( µ ) ] Συντελεστής λοξότητας: α3 = = 3 3 σ σ Συντελεστής λοξότητας: E[ µ ] E[ δ ] α µ µ σ σ 4 4 E[( ) ] 4 = = 4 4 Μέση Τιµή και Ροπές 4