ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΑΙΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΙΚΡΗΣ ΔΙΑΚΛΑΔΙΣΜΕΝΗΣ ΑΡΤΗΡΙΑΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΑΙΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΙΚΡΗΣ ΔΙΑΚΛΑΔΙΣΜΕΝΗΣ ΑΡΤΗΡΙΑΣ Α.Σ. Σπυρογιάννη, Α.Δ. Αναστασίου, Α.Γ. Κανάρης, Σ.Β. Παράς Εργαστήριο Τεχνολογίας Χημικών Εγκαταστάσεων, Τμήμα Χημικών Μηχανικών, ΑΠΘ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία μελετάται η ροή του αίματος σε μικρο-κανάλι που προσομοιάζει μικρή διακλαδισμένη αρτηρία. Χρησιμοποιείται μη-νευτωνικό ρευστό παρόμοιας ρεολογικής συμπεριφοράς με το αίμα και γίνεται σύγκριση με Νευτωνικό ρευστό αναφοράς. Εφαρμόζεται παλμική ροή και χαμηλοί αριθμοί Reynolds, συνθήκες όμοιες με αυτές που επικρατούν στις μικρές αρτηρίες. Οι πειραματικές μετρήσεις της τοπικής ταχύτητας του ρευστού πραγματοποιούνται με τη μέθοδο micro Particle Image Velocimetry (μ-piv) και τα αποτελέσματα χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των τιμών της τοιχωματικής διατμητικής τάσης και της διακύμανσής τους κατά τη διάρκεια ενός παλμού. Η αριθμητική μελέτη της ροής γίνεται με χρήση κώδικα υπολογιστικής ρευστοδυναμικής (ANSYS CFX 12.0). Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η κοινή παραδοχή πως το αίμα συμπεριφέρεται ως Νευτωνικό ρευστό δεν ισχύει στις μικρές αρτηρίες. Διαπιστώνεται ότι το εξωτερικό τοίχωμα της διακλάδωσης υπόκειται σε μικρότερες διατμητικές τάσεις, γεγονός που αυξάνει την πιθανότητα σχηματισμού αθηρωματικής πλάκας σε αυτό. Τέλος, τα αποτελέσματα της αριθμητικής προσομοίωσης επαληθεύονται από τα πειραματικά και αυτό καθιστά τον χρησιμοποιούμενο κώδικα ένα πολύτιμο εργαλείο για περαιτέρω μελέτη βιολογικών ροών. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη και μοντελοποίηση της ροής του αίματος αποκτά ιδιαίτερη σημασία στην ιατρική και τη βιοϊατρική μηχανική, παρέχοντας βασικές πληροφορίες για τη θεραπευτική στρατηγική και το σχεδιασμό τεχνητών μοσχευμάτων και εμφυτεύσιμων ιατρικών συσκευών [1]. Πρόσφατες εργασίες [2-3] συνδέουν την αθηροσκλήρωση με τις τοπικές αιμοδυναμικές συνθήκες στις αρτηρίες, σημειώνοντας ότι η αθηρωματική πλάκα εντοπίζεται κυρίως σε περιοχές καμπύλωσης ή διακλάδωσης των αγγείων. Ειδικότερα, αναφέρεται ότι χαμηλές τιμές τοιχωματικής διατμητικής τάσης (wall shear stress, WSS) ευνοούν το σχηματισμό αθηρωματικής πλάκας [3], ενώ υψηλότερες τιμές προάγουν την απελευθέρωση δραστικών αγγειοδιασταλτικών ουσιών (όπως το νιτρικό οξείδιο και η προστακυκλίνη) [4], ασκώντας με αυτόν τον τρόπο ευεργετική δράση στα αγγεία. Στο Σχήμα 1 [2] περιγράφεται η επίδραση της WSS στο σχηματισμό και την ανάπτυξη α- θηρωματικής πλάκας. Οι χαμηλές ταχύτητες του αίματος και επομένως οι χαμηλές τιμές WSS (Σχήμα 1α) οδηγούν τοπικά σε αυξημένη συγκέντρωση των συστατικών που ευθύνονται για την αθηροσκλήρωση, όπως οι λιποπρωτεΐνες χαμηλής πυκνότητας, ενώ ταυτόχρονα προκαλούν αύξηση της διαπερατότητας της ενδοθηλιακής στιβάδας. Τα φαινόμενα αυτά ενισχύουν

τη μετανάστευση των αθηρογόνων σωματιδίων εντός της στιβάδας, με αποτέλεσμα το σχηματισμό ενός στρώματος επικαθίσεων. Η ανάπτυξη του στρώματος αυτού (Σχήμα 1β) οδηγεί σε στένωση του αγγείου, η οποία λειτουργεί ως βαθμίδα ανάβασης και κατάβασης. Είναι γνωστό [5] ότι η ελάχιστη τιμή της WSS σε μια διαμορφωμένη επιφάνεια με βαθμίδες εμφανίζεται πίσω από τη βαθμίδα κατάβασης, στην περιοχή επανασύνδεσης της ροής, γεγονός που οδηγεί στη συνέχιση ανάπτυξης πλάκας στην εν λόγω περιοχή. (Σχήμα 1γ). (α) (β) (γ) Σχήμα 1: Σχηματισμός και εξέλιξη αθηρωματικής πλάκας λόγω χαμηλής διατμητικής τάσης [2]. Από ιστολογικές και επιδημιολογικές μελέτες παρατηρείται η ύπαρξη διαφορών στους μηχανισμούς εμφάνισης και ανάπτυξης των αθηρωματικών στρωμάτων ανάμεσα σε μικρές και μεγάλες αρτηρίες. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί μερικώς από τις διαφορετικές βιολογικές ιδιότητες του ενδοθηλίου στις δύο περιπτώσεις, γεγονός που υποστηρίζεται με στοιχεία διαφόρων ερευνητών όπως αυτά συνοψίζονται από τους Aboyans et al. [6]. Επιπλέον, στις μικρές αρτηρίες, εκτός από την προφανή διαφορά στη διάμετρο, μικρότερη είναι και η παροχή του αίματος σε σχέση με τις μεγάλες αρτηρίες, με αποτέλεσμα ο αριθμός Reynolds να είναι αρκετά μικρότερος στις πρώτες (Πίνακας 1). Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, συμπεραίνεται ότι η ανεξάρτητη μελέτη της αιμοδυναμικής συμπεριφοράς μπορεί να θεωρηθεί ως ένα πρώτο βήμα προς την κατανόηση και ερμηνεία της αθηροσκλήρωσης σε μικρά αγγεία. Πίνακας 1: Γεωμετρικά χαρακτηριστικά και συνθήκες ροής σε σημαντικές ανθρώπινες αρτηρίες [7]. Ακτίνα, cm Re mean α Εγγύς αορτή 1.50 1500 21.70 Αριστερή στεφανιαία αρτηρία (Α.Σ.Α.) 0.43 270 6.14 Πρόσθιος κατιών κλάδος Α.Σ.Α. 0.17 80 2.40 Τελικοί κλάδοι αρτηριών 0.05 17 0.72 Μολονότι έχουν δημοσιευτεί πολλές εργασίες που αφορούν την αθηροσκλήρωση και την WSS σε μεγάλου και μεσαίου μεγέθους αρτηρίες, ιδιαίτερα στις στεφανιαίες (π.χ. [8-10]), η ροή στις μικρές αρτηρίες δεν έχει μελετηθεί επαρκώς. Όπως παρατηρείται από τους Aboyans et al. [6], ακόμη και ο όρος "μικρή αρτηρία" δεν έχει αποσαφηνιστεί πλήρως στην επιστημονική κοινότητα. Η πλειονότητα των εργασιών που μελετούν τις αιμοδυναμικές συνθήκες σε μικρά αιμοφόρα αγγεία αναφέρονται σε εσωτερικές διαμέτρους μέχρι 100 μm [11-14]. Σε τόσο μικρές αρτηρίες, όμως, τα ερυθρά αιμοσφαίρια μετατοπίζονται στον κεντρικό άξονα του αγγείου, με αποτέλεσμα κοντά στα τοιχώματα να ρέει πλάσμα χωρίς ερυθρά αιμοσφαίρια. Κατά συνέπεια, το φαινομενικό ιξώδες του αίματος μειώνεται σημαντικά με μείωση της διαμέτρου, συμπεριφορά γνωστή ως "φαινόμενο Fahraeus-Lindqvist". Το φαινόμενο αυτό είναι σημαντικό για αγγεία με διάμετρο μικρότερη των 300 μm [15]. Συνεπώς, η μελέτη της ροής του αίματος σε μικρές αρτηρίες με διάμετρο μεγαλύτερη των 300 μm κρίνεται απαραίτητη για την πληρέστερη αιμοδυναμική μελέτη του καρδιαγγειακού συστήματος.

Η παρούσα εργασία εστιάζει στην in vitro μελέτη της ροής του αίματος με αιματοκρίτη Ht~45%, κάτω από φυσιολογικές συνθήκες ροής, σε μοντέλο μικρής διακλαδισμένης αρτηρίας υδραυλικής διαμέτρου 600 μm. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται μη-νευτωνικό ρευστό ανάλογο του αίματος και μετρώνται οι κατανομές της ταχύτητας με χρήση micro Particle Image Velocimetry (μ-piv), ενώ παράλληλα εκτιμώνται οι τιμές της WSS στην περιοχή της διακλάδωσης. Η ίδια μελέτη γίνεται με χρήση κώδικα υπολογιστικής ρευστοδυναμικής. IN VIVO ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΡΟΗΣ Το αίμα είναι ένα πολυφασικό μίγμα ενός Νευτωνικού ρευστού, του πλάσματος, και τριών κυτταρικών ειδών: των ερυθρών αιμοσφαιρίων, των αιμοπεταλίων και των λευκών αιμοσφαιρίων. Υπό την επίδραση χαμηλών διατμητικών τάσεων τα ερυθρά αιμοσφαίρια σχηματίζουν συσσωματώματα (rouleaux) τα οποία διαταράσσουν τις ροϊκές γραμμές και αυξάνουν σημαντικά το φαινομενικό ιξώδες (μ) του αίματος. Με αύξηση του ρυθμού διάτμησης (γ ) τα συσσωματώματα αυτά σταδιακά καταστρέφονται και το φαινομενικό ιξώδες του αίματος μειώνεται τείνοντας ασυμπτωτικά προς μια οριακή τιμή (μ ). Επομένως, το αίμα συμπεριφέρεται ως μη-νευτωνικό ρευστό που για αυξανόμενο γ το ιξώδες του μειώνεται (ψευδοπλαστική συμπεριφορά, shear thinning behavior) με φθίνοντα ρυθμό μεταβολής. Το μ αίματος με αιματοκρίτη (Ht) περίπου 45% και σε θερμοκρασία 37 ο C κυμαίνεται γύρω στα 3.5 mpa s [16]. Πολλοί ερευνητές θεωρούν το αίμα Νευτωνικό ρευστό, στηριζόμενοι στους υψηλούς ρυθμούς διάτμησης που επικρατούν στις μεγάλες αρτηρίες [17-18]. Ωστόσο οι Gijsen et al. [9] θεωρούν μια τέτοια παραδοχή επισφαλή σημειώνοντας ότι οι ιξωδοελαστικές ιδιότητες του αίματος επηρεάζουν τη ρευστοδυναμική του συμπεριφορά. Στην παρούσα μελέτη διεξάγονται πειράματα τόσο με μη-νευτωνικό όσο και με Νευτωνικό ανάλογο του αίματος, ώστε να εξετασθεί η μεταξύ τους απόκλιση ως προς την ταχύτητα και τις αναπτυσσόμενες WSS για τις ίδιες συνθήκες ροής. Είναι γνωστό ότι η in vivo ροή του αίματος μεταβάλλεται μεταξύ των δύο φάσεων του καρδιακού κύκλου. Ειδικότερα, μεταβάλλονται η πίεση και η ογκομετρική παροχή με το χρόνο κατά την περίοδο της καρδιακής συστολής και διαστολής και επομένως η διάμετρος των μεγάλων αρτηριών αλλάζει σημαντικά κατά τη διάρκεια ενός παλμού. Είναι επίσης γνωστό [7] ότι η μέγιστη πίεση εξασθενεί και το εύρος του παλμού αυξάνεται όσο μεγαλώνει η απόσταση από την καρδιά. Επομένως, στις μικρές αρτηρίες δεν υπάρχει σημαντική μεταβολή της διαμέτρου τους και τα τοιχώματά τους θα μπορούσαν να θεωρηθούν σταθερά. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Μέτρηση ταχύτητας Λόγω της δυσκολίας που παρουσιάζει η in vivo μέτρηση της ταχύτητας, τα περισσότερα πειράματα που αναφέρονται στη βιβλιογραφία έχουν διεξαχθεί in vitro με μεθόδους όπως η ανεμομετρία Laser Doppler (Laser Doppler Anemometry, LDA) [9] και η ταχυμετρία υπερήχων (Ultrasonic Velocimetry) [19]. Μια σχετικά νέα μέθοδος για τη μέτρηση ταχύτητας σε μικροκανάλια είναι η μ-piv, που αποτελεί μια μη παρεμβατική μέθοδο για τη μέτρηση διδιάστατων πεδίων ταχύτητας. Η μέθοδος έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία για τη μελέτη βιολογικών συστημάτων [12-14]. Για μια μέτρηση με μ-piv στο υπό μελέτη ρευστό πρέπει να προστεθεί ορισμένη ποσότητα κατάλληλων φθοριζόντων σωματιδίων προς ιχνηθέτηση της ροής. Η επιλογή των σωματιδίων είναι κρίσιμη για την αξιοπιστία των μετρήσεων. Πρέπει να είναι αρκετά μικρά, ώστε να ακολουθούν με ακρίβεια την κίνηση του ρευστού και να μη φράσσουν τον αγωγό, ενώ ταυτόχρονα θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλα, ώστε να μπορούν να απεικονιστούν επαρκώς και να αποφεύγονται φαινόμενα όπως η κίνηση Brown. Για να προκύψει μια μέτρηση

του πεδίου ταχύτητας σε ορισμένο επίπεδο του αγωγού, απαιτείται η λήψη τουλάχιστον δύο φωτογραφιών των σωματιδίων κατά τη διάρκεια της ροής σε πολύ μικρό αλλά γνωστό χρονικό διάστημα (Δt). Κατόπιν επεξεργασίας δηλ. την απομάκρυνση των σταθερών σημείων και την ενίσχυση του σήματος, οι ληφθείσες φωτογραφίες διαιρούνται σε υποπεριοχές ανάλυσης (interrogation areas). Η μετατόπιση (Δx) μιας ομάδας σωματιδίων υπολογίζεται μέσω διαδικασίας ετεροσυσχέτισης (cross correlation) των αντίστοιχων υποπεριοχών των δύο φωτογραφιών. Τελικά, η ταχύτητα (U) μπορεί να υπολογιστεί ως ο λόγος του Δx προς Δt. Ο πιο σημαντικός περιορισμός στη χρήση της μεθόδου είναι ότι τα τοιχώματα του αγωγού πρέπει να είναι διαφανή, γεγονός που καθιστά αδύνατες τις in vivo μετρήσεις στον άνθρωπο. Υπολογισμός διατμητικών τάσεων Είναι γνωστό ότι η απευθείας μέτρηση της WSS στη μακροκλίμακα επιτυγχάνεται με τη χρήση ειδικών μετρητικών ηλεκτροδιάχυσης [20]. Ωστόσο, η τεχνική αυτή σε μ-αγωγούς ή σε αγωγούς με ελαστικά τοιχώματα είναι δύσκολο να εφαρμοστεί. Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι κοινή πρακτική η εκτίμηση της WSS να γίνεται έμμεσα μέσω μετρήσεων του πεδίου ταχύτητας [21]. Στην παρούσα εργασία γίνεται η παραδοχή ότι η κατανομή της ταχύτητας κοντά στο τοίχωμα είναι γραμμική συνάρτηση της απόστασης από το τοίχωμα. Χρησιμοποιώντας δύο μετρήσεις ταχύτητας κοντά στο τοίχωμα και τη μηδενική ταχύτητα στην επιφάνεια του τοιχώματος ως τρίτη (συνθήκη μη ολίσθησης), υπολογίζεται η κλίση της γραμμικής συνάρτησης, που εκφράζει το ρυθμό διάτμησης κοντά στο τοίχωμα (γ ). Αντικαθιστώντας την τιμή του γ σε μια κατάλληλη εξίσωση ιξώδους, η οποία εξαρτάται από το χρησιμοποιούμενο ρευστό, η WSS μπορεί να υπολογιστεί με ικανοποιητική ακρίβεια. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Λόγω των δυσκολιών που εμφανίζει η διεξαγωγή πειραμάτων με αίμα (όπως π.χ. η αδυναμία εύρεσης επαρκούς ποσότητας αίματος με ίδιες προδιαγραφές, τάση προς πήξη κλπ.), παρασκευάστηκαν στο εργαστήριο ρευστά με ρεολογικές ιδιότητες παρόμοιες με εκείνες του αίματος. Ειδικότερα, με στόχο να προσομοιωθεί η μη-νευτωνική συμπεριφορά φυσιολογικού αίματος (Ht~45%), παρασκευάστηκαν διάφορα υδατικά διαλύματα γλυκερίνης και κόμμεος ξανθάνης (Πίνακας 2). Το κόμμι ξανθάνης είναι ένας πολυσακχαρίτης που δρα ως ρεολογικός ρυθμιστής και προσδίδει στο ρευστό μη-νευτωνική συμπεριφορά. Το ιξώδες των διαλυμάτων αυτών μετρήθηκε με ρεόμετρο κώνου - πλάκας (AR-G2, TA Instruments). Στο Σχήμα 2 οι καμπύλες μ-γ των διαλυμάτων αυτών συγκρίνονται με εκείνες πραγματικού αίματος (Ht~45%) από τη βιβλιογραφία [22-23]. Το Διάλυμα 4 το οποίο αποτελείται από 79.1% v/v απεσταγμένο νερό, 20.9% v/v γλυκερίνη και 0.021% w/v κόμμι ξανθάνης είναι το πιο κατάλληλο για την προσομοίωση των ιξωδοελαστικών ιδιοτήτων του αίματος, για ρυθμούς διάτμησης από 1 έως 1000 s -1. Η σχέση της διατμητικής τάσης (τ) ως προς το ρυθμό διάτμησης για το Διάλυμα 4 μπορεί να θεωρηθεί ότι ακολουθεί το μοντέλο Herschel-Bulkley, με μέση απόκλιση 6.5%, το οποίο και χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της WSS για τον εκάστοτε γ κοντά στο τοίχωμα. Το μοντέλο περιγράφεται από την Εξ. 1: τ C = A+ B γ (1) όπου A η οριακή διατμητική τάση (yield stress) ίση με 0.02160 Pa, B ο συντελεστής ιξώδους (viscosity coefficient) που ισούται με 0.01345 Pa s 1/c και C ο δείκτης ρυθμού (rate index) που ισούται με 0.7812. Το Διάλυμα 5, το οποίο χρησιμοποιείται ως ρευστό αναφοράς, είναι ένα Νευτωνικό υδατικό διάλυμα γλυκερίνης (32.6% v/v), με μ=μ =3.5 mpa s.

Πίνακας 2: Σύσταση και ιδιότητες των ανάλογων του αίματος διαλυμάτων. Διάλυμα: 1 2 3 4 5 γλυκερίνη (% v/v) 29.90 29.90 25.30 20.90 32.60 αποστ.νερό (% v/v) 70.10 70.10 74.70 79.10 67.40 ξανθάνη (% w/v) 0.027 0.032 0.032 0.021 - ρ (kg/m 3 ) 1076 1076 1064 1052 1083 μ ap (mpa s) 4.49 5.03 4.07 3.32 3.50 Ιξώδες (mpa s) 100 10 αίμα, Ht=47% [23] αίμα, Ht=45% [22] Δ/μα 1 Δ/μα 2 Δ/μα 3 Δ/μα 4 Δ/μα 5 1 1 10 100 1000 Ρυθμός διάτμησης (s 1 ) Σχήμα 2: Σύγκριση ιξώδους μεταξύ αίματος και των ανάλογων ρευστών. Με σκοπό να αναπαραχθούν φυσιολογικές συνθήκες ροής, στο μητρικό κανάλι εφαρμόστηκε παλμική ροή με χρήση αντλίας σύριγγας (Alladdin, Al-2000), ενώ για μια αρχική εκτίμηση της κατανομής της ταχύτητας των δύο ρευστών πραγματοποιήθηκε σειρά μετρήσεων σε συνθήκες σταθερής παροχής. Δεδομένου ότι οι παροχές στις μικρές αρτηρίες εξαρτώνται από την απόσταση από την καρδιά, χρησιμοποιήθηκαν δύο διαφορετικοί παλμοί (Σχήμα 3). Ο πρώτος αντιστοιχεί σε περιοχές με σχετικά υψηλές παροχές (περίπτωση 1: 140-340 ml/hr), ενώ ο δεύτερος σε περιοχές με σχετικά χαμηλές παροχές (περίπτωση 2: 20-60 ml/hr). Και για τις δύο περιπτώσεις η συχνότητα του παλμού είναι 1 Hz (60 παλμοί/λεπτό), ενώ γι αυτές τις συνθήκες ροής, ο αριθμός Re κυμαίνεται μεταξύ 9 και 21 (περίπτωση 1) και μεταξύ 1.1 και 3.5 (περίπτωση 2). Μια σημαντική παράμετρος για την παλμική ροή είναι ο αριθμός Womersley, α, που εκφράζει το λόγο των δυνάμεων αδράνειας ως προς τις δυνάμεις ιξώδους και ορίζεται ως: α = R ωρ μ (2) όπου ω είναι η γωνιακή συχνότητα, R η ακτίνα του αγωγού, ρ η πυκνότητα και μ το δυναμικό ιξώδες του ρευστού. Ωστόσο, στην παρούσα εργασία ο α λαμβάνει σταθερή τιμή (α=0.42), καθώς τόσο η διάμετρος του μικρο-καναλιού όσο και η συχνότητα του παλμού είναι σταθερές.

(α) (β) Σχήμα 3: Απεικόνιση εφαρμοζόμενου παλμού για: α) υψηλή παροχή (περίπτωση 1) και β) χαμηλή παροχή (περίπτωση 2) Οι μετρήσεις της ταχύτητας διεξήχθησαν σε αγωγό υδραυλικής διαμέτρου 600 μm, του ο- ποίου τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά στο εξεταζόμενο τμήμα φαίνονται στο Σχήμα 4α. Η διατομή του καναλιού είναι τραπεζοειδής, μια λογική προσέγγιση για υγιείς ανθρώπινες αρτηρίες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4β [24]. Το μ-κανάλι είναι κατασκευασμένο από διαφανές πολυμερές και έχει προκύψει με χάραξη μιας πλακέτας του πολυμερούς με λέιζερ και στη συνέχεια σφράγιση της χαραγής με το ίδιο υλικό. Δεδομένου ότι η μέθοδος μ-piv επιτρέπει τη μέτρηση της ταχύτητας σε συγκεκριμένο επίπεδο στην οριζόντια τοποθέτηση του αγωγού, ως επίπεδο μετρήσεων επιλέχθηκε το επίπεδο μέγιστων τιμών ταχύτητας, το οποίο προσδιορίστηκε κατόπιν μετρήσεων σε διάφορα επίπεδα γύρω από αυτό (300 μm από το τοίχωμα). Το ενδιαφέρον εστιάστηκε στα δεδομένα της ταχύτητας από τρία σημεία, δηλ. στο μητρικό κανάλι πριν τη διακλάδωση (σημείο 1) και στο θυγατρικό κανάλι τόσο ακριβώς μετά τη διακλάδωση (σημείο 2) όσο και σε απόσταση μικρότερη της μιας διαμέτρου από αυτή (σημείο 3) (Σχήμα 4α). Τα δεδομένα της ταχύτητας για τα σημεία 2 και 3 ελήφθησαν μόνο από το ένα θυγατρικό κανάλι, καθώς και τα δύο έχουν την ίδια διάμετρο και η ροή στην είσοδο της διακλάδωσης ήταν συμμετρική όπως αποδείχτηκε από τα αντίστοιχα στιγμιότυπα. (α) (β) Σχήμα 4: α) Γεωμετρία μ-καναλιού, με τα 3 σημεία μέτρησης, β) Διατομή υγιούς ανθρώπινης αρτηρίας [24]. Για τις μετρήσεις χρησιμοποιήθηκε σύστημα backlight μ-piv και το υπό μελέτη τμήμα της ροής φωτιζόταν μέσω μιας στροβοσκοπικής φωτεινής πηγής που εξέπεμπε στα 532 nm (strobe DantecDynamics). Η καταγραφή της ροής έγινε μέσω μιας CCD φωτογραφικής μηχανής Hisense MKII, συνδεδεμένης με μικροσκόπιο Nikon Eclipse LV100. Η ροή ιχνηθετήθηκε με την προσθήκη σωματιδίων πολυστυρενίου μέσης διαμέτρου 1 μm (Invitrogen). Για τη λήψη μεγενθυμένων εικόνων των σωματιδίων, τοποθετήθηκε στο μικροσκόπιο αντικειμενικός φακός μεγέθυνσης 10x εμβαπτισμένος σε αέρα με αριθμητικό άνοιγμα (numerical aperture, ΝΑ) 0.30, που αντιστοιχεί σε βάθος πεδίου (depth of field, DOF) 37 μm. Μετρήσεις ταχύτητας σε από-

σταση από το τοίχωμα μικρότερη των 50 μm εμφανίζουν αβεβαιότητα, καθώς οι σκιές των τοιχωμάτων επηρεάζουν τις μετρήσεις στη συγκεκριμένη περιοχή. Η χρονική καθυστέρηση μεταξύ των δύο στιγμιότυπων μιας μέτρησης κυμάνθηκε μεταξύ 100-350 μs, ενώ η συχνότητα δειγματοληψίας ορίστηκε ίση με 5 Hz. Για κάθε παροχή και σε κάθε σημείο-σταθμό ελήφθησαν 200 εικόνες (δύο στιγμιότυπων έκαστη). Τέλος, η επεξεργασία των εικόνων και ο υπολογισμός της ταχύτητας έγιναν με το λογισμικό Flow Manager Software (DantecDynamics). ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Η προσομοίωση των πειραμάτων έγινε με χρήση του κώδικα Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής ANSYS CFX 12.0. Ο σχεδιασμός της γεωμετρίας του καναλιού πραγματοποιήθηκε με βάση τις εικόνες που ελήφθησαν από το μικροσκόπιο για διάφορα βάθη. Είναι γνωστό ότι η ακρίβεια της λύσης εξαρτάται από τον αριθμό και το μέγεθος των κελιών, οπότε το τελικό πλέγμα επιλέχθηκε κατόπιν μελέτης της εξάρτησης της λύσης από την πυκνότητα του πλέγματος (grid dependence study). Ειδικότερα, έγινε σύγκριση των αποτελεσμάτων της κατανομής της ταχύτητας για Re=50, όπως προέκυψαν για τέσσερα διαφορετικά πλέγματα. Βρέθηκε ότι η λύση γίνεται ανεξάρτητη του πλέγματος για 580,000 κελιά (ίδια αποτελέσματα με 660,000 κελιά). Επομένως, το τελικό πλέγμα αποτελείται από 613,000 τετραεδρικά και πρισματικά κελιά (Σχήμα 5). (α) (β) Σχήμα 5: α) Πλέγμα που χρησιμοποιήθηκε στην προσομοίωση, β) λεπτομέρεια του πλέγματος. Καθώς η ροή στην είσοδο μεταβάλλεται με το χρόνο, η προσομοίωση έγινε σε συνθήκες μη μόνιμης (transient) κατάστασης. Το χρονικό βήμα για κάθε προσομοίωση ήταν 0.05 s επομένως ο συνολικός αριθμός των χρονικών στιγμών που προσομοιώθηκαν ήταν 20 ώστε να περιοριστεί ο απαιτούμενος αριθμός των υπολογιστικών βημάτων για τις χρονοβόρες προσομοιώσεις χωρίς να θυσιαστεί η ακρίβεια στην αναπαράσταση της μεταβολής του πεδίου ροής με το χρόνο. Η παλμική ροή περιγράφεται αριθμητικά με ένα πολυωνυμικό μοντέλο 6 ου βαθμού το οποίο προσαρμόστηκε στα πειραματικά δεδομένα της ταχύτητας στην είσοδο του μητρικού αγωγού και χρησιμοποιήθηκε ως οριακή συνθήκη εισόδου (Σχήμα 6). Εξαιτίας των χαμηλών αριθμών Re της ροής, δεν χρησιμοποιήθηκε κάποιο μοντέλο τυρβώδους ροής, αλλά εφαρμόστηκε απευθείας αριθμητική προσομοίωση (Direct Numerical Simulation, DNS) για όλες τις προσομοιώσεις. Οι προσομοιώσεις πραγματοποιήθηκαν σε συστοιχία υπολογιστών υψηλής απόδοσης (High Performance Cluster, HPC) για παράλληλη επεξεργασία, η οποία αποτελούνταν από δεκαοκτώ επεξεργαστές 64-bit και 16 GB RAM.

U (m/s) 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 t (s) Σχήμα 6: Γραφική απεικόνιση της έκφρασης της μέσης ταχύτητας ως οριακή συνθήκη εισόδου. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η κατανομή της ταχύτητας ως προς την απόσταση από το τοίχωμα του αγωγού αναπαριστάται χρησιμοποιώντας την ανηγμένη ταχύτητα και απόσταση ως προς τη μέγιστη τιμή της ταχύτητας στην εκάστοτε κατανομή (U norm ) και τη διάμετρο του μ-καναλιού (D), αντίστοιχα. Στο Σχήμα 7α συγκρίνεται η κατανομή της ταχύτητας του μη-νευτωνικού ρευστού σε σχέση με το Νευτωνικό στο ευθύγραμμο τμήμα του αγωγού (σημείο 1) για συνθήκες σταθερής παροχής και, όπως είναι αναμενόμενο, το πρώτο εμφανίζει κατανομή εμβολικής μορφής σε σχέση με την παραβολική κατανομή των Νευτωνικών ρευστών. Στο Σχήμα 7β φαίνονται οι διαφορές της κατανομής της ταχύτητας ανάμεσα στα τρία σημεία για το Νευτωνικό ρευστό σε συνθήκες σταθερής παροχής. Παρατηρείται ότι η κατανομή της ταχύτητας στο ευθύγραμμο τμήμα του καναλιού (σημείο 1) είναι παραβολική, όπως αναμενόταν για στρωτή ροή. Στο θυγατρικό κανάλι ακριβώς μετά τη διακλάδωση (σημείο 2) το μέγιστο της κατανομής μετατοπίζεται προς το εσωτερικό τοίχωμα, ενώ η ροή επανέρχεται στην αρχική παραβολική κατανομή σε απόσταση μικρότερη της μιας διαμέτρου από τη διακλάδωση. 1.0 0.8 1.0 0.8 U norm 0.6 0.4 0.2 0.0 Νευτωνικό μη Νευτωνικό y/d (a) (β) Σχήμα 7: Κατανομές της U norm από πειραματικά δεδομένα για συνθήκες σταθερής παροχής: α) για το Νευτωνικό και το μη Νευτωνικό ρευστό στο σημείο 1 και β) για το Νευτωνικό στα σημεία 1, 2 και 3. Για καμπυλώσεις αγωγών είναι γνωστό ότι η μετατόπιση αυτή του μεγίστου της παραβολικής κατανομής οφείλεται στην ανάπτυξη εγκάρσιων δευτερευουσών ροών ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των φυγόκεντρων δυνάμεων με τις δυνάμεις ιξώδους. Δεδομένου, όμως, ότι η φυγόκεντρος δύναμη είναι τετραγωνική συνάρτηση, ενώ οι ιξώδεις δυνάμεις είναι γραμ- U norm 0.6 0.4 0.2 0.0 Σημείο 1 Σημείο 2 Σημείο 3 y/d

μική συνάρτηση της μέσης ταχύτητας του ρευστού, οι δευτερεύουσες ροές στις χαμηλές ταχύτητες εξαλείφονται γρήγορα. Σύμφωνα μάλιστα με τον Paras [25] ο οποίος διεξήγαγε πειράματα για την προσομοίωση της ροής στο ανθρώπινο αναπνευστικό σύστημα, για Re<30 η δευτερεύουσα ροή εξαφανίζεται σε απόσταση μικρότερη της μιας διαμέτρου από τη διακλάδωση, γεγονός που επιβεβαιώνεται στην παρούσα εργασία. Συνεπώς, στις μεγάλες αρτηρίες (μεγαλύτεροι Re) η επαναφορά της κατανομής της ταχύτητας στην αρχική παραβολική της μορφή γίνεται σε μεγαλύτερη απόσταση από τη διακλάδωση αυτό επιβεβαιώνεται και από την εργασία των Chen & Lu [26] που αναφέρουν ότι για Re=92.2 απαιτείται απόσταση έξι διαμέτρων. Λόγω της ιδιομορφίας της ροής στην περιοχή ακριβώς μετά τη διακλάδωση (σημείο 2) κρίνεται σκόπιμη η μελέτη της σε αυτό το σημείο καθ όλη τη διάρκεια του παλμού. Στο Σχήμα 8 παρατίθενται οι κατανομές της ταχύτητας των δύο αναλόγων του αίματος (Νευτωνικού και μη- Νευτωνικού) στο σημείο 2, για τρία χαρακτηριστικά στιγμιότυπα του παλμού και την περίπτωση 1 (Re=9 ως 21), όπως προέκυψαν τόσο από τα πειράματα όσο και από την προσομοίωση. Διαπιστώνεται ότι τα αποτελέσματα της προσομοίωσης είναι σε καλή συμφωνία με τα αντίστοιχα πειραματικά. Παρατηρείται επίσης ότι το μέγιστο της κατανομής για το Νευτωνικό ανάλογο μετατοπίζεται προς το εσωτερικό τοίχωμα καθ όλη τη διάρκεια του παλμού, ενώ για το μη-νευτωνικό η μετατόπιση αυτή δεν είναι τόσο έντονη και η κατανομή επανέρχεται στην αρχική της μορφή στο τέλος του παλμού. Επιπλέον, η κατανομή του μη-νευτωνικού ρευστού φαίνεται να εμφανίζει στοιχεία εμβολικής ροής. 1.0 1.0 0.8 0.8 U norm 0.6 0.4 0.2 0.0 Νευτωνικό, πειρ. μη Νευτωνικό, πειρ. Νευτωνικό, CFD μη Νευτωνικό, CFD (α) U norm 0.6 0.4 0.2 0.0 Νευτωνικό, πειρ. μη Νευτωνικό, πειρ. Νευτωνικό, CFD μη Νευτωνικό, CFD (β) 1.0 y/d y/d 0.8 U norm 0.6 0.4 0.2 0.0 Νευτωνικό, πειρ. μη Νευτωνικό, πειρ. Νευτωνικό, CFD μη Νευτωνικό, CFD y/d (γ) Σχήμα 8: Κατανομές της U norm για τα δύο ρευστά, για τρία στιγμιότυπα του παλμού (Re=9 ως 21) από πειραματικά δεδομένα και αποτελέσματα CFD: α) t=0.2 s, β) t=0.4 s, γ) t=0.8 s.

Στο σημείο 2 υπολογίζονται επίσης οι τιμές της WSS τόσο για το εσωτερικό όσο και για το εξωτερικό τοίχωμα, αριθμητικά και πειραματικά. Η διακύμανση της WSS στο εσωτερικό τοίχωμα κατά τη διάρκεια του παλμού (περίπτωση 1) για τα δύο ρευστά φαίνεται στο Σχήμα 9. Οι τιμές της WSS ανήχθησαν ως προς τη μέγιστη τιμή του Νευτωνικού ρευστού: τnorm = τw τ (3) w,max N ενώ η απόκλιση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης με τα πειραματικά είναι της τάξης του 5%. Παρατηρείται ότι οι τιμές της τοιχωματικής τάσης του μη Νευτωνικού ανάλογου είναι πάντα χαμηλότερες από τις αντίστοιχες του Νευτωνικού. Η διαφορά αυτή μπορεί να συσχετιστεί με την έντονη μετατόπιση της κατανομής της ταχύτητας του Νευτωνικού αναλόγου προς το εσωτερικό τοίχωμα, καθώς και με τα στοιχεία εμβολικής ροής του μη-νευτωνικού ρευστού. Στο Σχήμα 10 φαίνεται η κατανομή της τ norm για το μη-νευτωνικό ρευστό στη στιγμή 2, όπως προέκυψε από την προσομοίωση. 1.0 0.8 τ norm 0.6 0.4 0.2 0.0 Νευτωνικό, πειρ. Νευτωνικό, CFD μη Νευτωνικό, πειρ. μη Νευτωνικό, CFD t(s) Σχήμα 9: Σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων (σημείο 2, περίπτωση 1) της τ norm στο εσωτερικό τοίχωμα (γραμμές σφάλματος 5%) κατά τη διάρκεια του παλμού. (α) (β) Σχήμα 10: Τυπικές κατανομές της τ norm (στιγμή 2) για το μη-νευτωνικό ρευστό: α) στο εσωτερικό τοίχωμα, β) στο εξωτερικό τοίχωμα.

Επιπλέον, από υπολογισμούς του λόγου της WSS του εξωτερικού τοιχώματος ως προς το εσωτερικό (λ=τ w,εξωτ. /τ w,εσωτ. ) κατά τη διάρκεια ενός παλμού προκύπτει ότι κατά μέσο όρο για το Νευτωνικό ανάλογο ισχύει λ=0.50, ενώ για το μη-νευτωνικό λ=0.75. Η απόκλιση στην τιμή του λ μεταξύ αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων είναι της τάξης του 10%. Στο εξωτερικό τοίχωμα, επομένως, η WSS είναι μικρότερη από την αντίστοιχη στο εσωτερικό. Η διαφορά αυτή είναι μεγαλύτερη για το Νευτωνικό ρευστό, λόγω της προαναφερόμενης εντονότερης μετατόπισης του μεγίστου της κατανομής της ταχύτητας. Αντίστοιχα αποτελέσματα ταχύτητας και WSS παρατηρήθηκαν και στην περίπτωση 2. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η μελέτη της ροής του αίματος και των δυναμικών χαρακτηριστικών της αποτελεί σημαντικό βήμα προς την κατανόηση, πρόβλεψη, διάγνωση και θεραπεία πολλών καρδιαγγειακών ασθενειών. Σκοπός της παρούσας εργασίας ήταν η μελέτη της παλμικής ροής ενός ρευστού ανάλογου του φυσιολογικού αίματος (Ht~45%) σε μ-κανάλι που προσομοιώνει μια μικρή διακλαδισμένη αρτηρία στην οποία το φαινόμενο Fahraeus-Lindqvist είναι αμελητέο. Εφαρμόστηκαν χαμηλές τιμές Re, παρόμοιες με αυτές που επικρατούν στις μικρές αρτηρίες. Πειράματα με τη χρήση τόσο ενός Νευτωνικού όσο και ενός μη-νευτωνικού ρευστού έ- δειξαν ότι η συνήθης παραδοχή πως το αίμα συμπεριφέρεται ως Νευτωνικό ρευστό δεν ισχύει για τη ροή σε μικρές αρτηρίες. Αυτό αποδίδεται στις ιξωδοελαστικές ιδιότητες του αίματος, οι οποίες στους χαμηλούς ρυθμούς διάτμησης που εμφανίζονται στις μικρές αρτηρίες έχουν ως αποτέλεσμα σημαντική μεταβολή της κατανομής της ταχύτητας και συνεπώς των αναπτυσσόμενων τιμών WSS και των αιμοδυναμικών δυνάμεων. Ειδικότερα, αποδείχτηκε ότι με την ανωτέρω παραδοχή γίνεται υπερεκτίμηση της WSS και ως εκ τούτου υποτιμάται η πιθανότητα σχηματισμού αθηρωματικής πλάκας στις μικρές αρτηρίες. Διαπιστώθηκε ότι το εξωτερικό τοίχωμα της διακλάδωσης υπόκειται σε χαμηλότερες διατμητικές τάσεις από το εσωτερικό, εμφανίζοντας έτσι μεγαλύτερη προδιάθεση σχηματισμού αθηρωματικής πλάκας. Σε αντίθεση με όσα είναι γνωστά για τις μεγάλες αρτηρίες, στα μικρά αγγεία, η αναπτυσσόμενη στην περιοχή της διακλάδωσης δευτερεύουσα ροή, εξασθενεί γρήγορα (σε απόσταση μιας διαμέτρου από τη διακλάδωση). Επομένως, η έκταση της επιφάνειας των χαμηλών τιμών WSS είναι αναλογικά μικρότερη. Τέλος, η συμφωνία των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης με τα πειραματικά δεδομένα καθιστά τον χρησιμοποιούμενο κώδικα CFD ένα πολύτιμο εργαλείο για την εκτενέστερη μελέτη βιολογικών ροών, απαλλαγμένη από τις πρακτικές δυσκολίες των πειραμάτων. Ευχαριστίες: Οι συγγραφείς επιθυμούν να ευχαριστήσουν τον Καθηγητή Γ. Γιαννόγλου, την Επ. Καθηγήτρια Α.Α. Μουζά και τον Δρ. Θ. Γκουδούλα για τις πολύτιμες παρατηρήσεις και προτάσεις τους. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Thieret, M., Biology and Mechanics of Blood Flows Part II, Springer, 2008. [2] Chatzizisis, Y.S. and Giannoglou, G.D., Pulsatile flow: A critical modulator of the natural history of atherosclerosis, Med Hypotheses 67:2 (2006) pp.338-340. [3] Shaaban, A.M. and Duerinckx, A.J., Wall Shear Stress and Early Atherosclerosis: A Review, Am J Roentgenol 174:6 (2000) pp.1657-1665. [4] John, L.C.H., Biomechanics of Coronary Artery and Bypass Graft Disease: Potential New Approaches, Ann Thorac Surg 87:1 (2009) pp.331-338.

[5] Mouza, A.A., Pantzali, M.N., Paras, S.V., Tihon, J., Experimental and numerical study of backward-facing step flow, In: 5ο Πανελλήνιο Επιστημ. Συνέδριο Χημ. Μηχανικής, Θεσσαλονίκη (2005). [6] Aboyans, V., Lacroix, P., Criqui, M.H., Large and Small Vessels Atherosclerosis: Similarities and Differences, Prog Cardiovasc Dis 50:2 (2007) pp.112-125. [7] Truskey, G.A., Yuan, F., Katz, D.F., Transport phenomena in biological systems: Pr. Hall, 2009. [8] Artoli, A.M., Hoekstra, A.G., Sloot, P.M.A., Mesoscopic simulations of systolic flow in the human abdominal aorta, J Biomech 39:5 (2006) pp.873-884. [9] Gijsen, F.J.H., Allanic, E., van de Vosse, F.N., Janssen, J.D., The influence of the non-newtonian properties of blood on the flow in large arteries: unsteady flow in a 90 curved tube, J Biomech 32:7 (1999) pp.705-713. [10] Gijsen, F.J.H., van de Vosse, F.N., Janssen, J.D., The influence of the non-newtonian properties of blood on the flow in large arteries: steady flow in a carotid bifurcation model, J Biomech 32:6 (1999) pp.601-608. [11] Fujiwara, H., Ishikawa, T., Lima, R., Matsuki, N., Imai, Y., Kaji, H., Red blood cell motions in high-hematocrit blood flowing through a stenosed microchannel, J Biomech 42:7 (2009) pp.838-843. [12] Lima, R., Wada, S., Takeda, M., Tsubota, K.-i., Yamaguchi, T., In vitro confocal micro-piv measurements of blood flow in a square microchannel: The effect of the haematocrit on instantaneous velocity profiles, J Biomech 40:12 (2007) pp.2752-2757. [13] Lee, J.Y., Ji, H.S., Lee, S.J., Micro-PIV measurements of blood flow in extraembryonic blood vessels of chicken embryos, Physiol Meas 28:10 (2007) pp.1149-1162. [14] Vennemann, P., Kiger, K.T., Lindken, R., Groenendijk, B.C.W., Stekelenburg-de Vos, S., ten Hagen, T.L.M., et al., In vivo micro particle image velocimetry measurements of blood-plasma in the embryonic avian heart, J Biomech 39:7 (2006) pp.1191-1200. [15] Pries, A.R. and Secomb, T.W., Blood Flow In Microvascular Networks: San Diego, 2008. [16] Fournier, R.L., Basic transport phenomena in biomedical engineering, Taylor & Francis, 2007. [17] Mabotuwana, T.D.S., Cheng, L.K., Pullan, A.J., A model of blood flow in the mesenteric arterial system, Biomed Eng Online 6:1 (2007) pp.17-17. [18] Stamatopoulos, C., Papaharilaou, Y., Mathioulakis, D.S., Katsamouris, A., Steady and unsteady flow within an axisymmetric tube dilatation, Exp Therm Fluid Sci 34:7 (2010) pp.915-927. [19] Siouffi, M., Pelissier, R., Farahifar, D., Rieu, R., The effect of unsteadiness on the flow through stenoses and bifurcations, J Biomech 17:5 (1984) pp.299-315. [20] Pantzali, M.N., Mouza, A.A., Paras, S.V., Counter-current gas-liquid flow and incipient flooding in inclined small diameter tubes, Chem Eng Sci 63:15 (2008) pp.3966-3978. [21] Lou, Z., Yang, W.-J., Stein, P.D., Errors in the estimation of arterial wall shear rates that result from curve fitting of velocity profiles, J Biomech 26:4-5 (1993) pp.383-390. [22] Cho, Y.I. and Kensey, K.R., Effects of the non-newtonian viscosity of blood on flows in a diseased arterial vessel. Part 1: Steady flows, Biorheology 28:3-4 (1991) pp.241-262. [23] Shin, S. and Keum, D.-Y., Measurement of blood viscosity using mass-detecting sensor, Biosens Bioelectron 17:5 (2002) pp.383-388. [24] Ford, J.C., O'Rourke, K., Veinot, J.P., Walley, V.M., The histologic estimation of coronary artery stenoses: Accuracy and the effect of lumen shape, 10:2 (2001) pp.91-96. [25] Paras, S.V., Secondary flow near bifurcations at low Reynolds numbers, Msc Thesis, Univ. of Washington, 1979. [26] Chen, J. and Lu, X.-Y., Numerical investigation of the non-newtonian blood flow in a bifurcation model with a non-planar branch, J Biomech 37:12 (2004) pp.1899-1911.