Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην. Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό ελάχιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ ειαρίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό ειάρηζην ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Έλα ηνπηθό ειάρηζην κπνξεί λα είλαη κεγαιύηεξν από έλα ηνπηθό κέγηζην Σά άθξα θιεηζηνύ δηαζηήκαηνο είλαη πάληα ηνπηθά αθξόηαηα Σα (νιηθά) αθξόηαηα είλαη πάληνηε ηνπηθά αθξόηαηα ελώ ηα ηνπηθά δελ είλαη πάληα νιηθά Αλ κηα ζπλάξηεζε έρεη κέγηζην ηόηε απηό ζα είλαη ην κεγαιύηεξν από ηα ηνπηθά κέγηζηα. Αληίζηνηρα αλ κηα ζπλάξηεζε έρεη ειάρηζην απηό ζα είλαη ην κηθξόηεξν από ηα ηνπηθά ειάρηζηα. ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT Έζηω ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε δηάζηεκα Δ. Καη Αλ ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην ζεκείν απηό θαη είλαη θαη παξαγωγίζηκε ζην ζεκείν απηό ηόηε: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έζηω όηη Επεηδή ην είλαη εζωηεξηθό ηνπ Δ θαη κέγηζην ππάξρεη δ>0 ώζηε θαη θαη επεηδή ε είλαη παξαγωγίζηκε ζην ηζρύεη: Αλ ρϵ( Αλ ρϵ( Άξα Παξόκνηα γηα ην ηνπηθό ειάρηζην. 1

2 ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Από ην πξνεγνύκελν ζεώξεκα ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα εζωηεξηθά ζεκεία ελόο δηαζηήκαηνο ζηα νπνία κεδελίδεηαη ε πξώηε παξάγωγνο είλαη πηζαλά ηνπηθά αθξόηαηα ΓΕΝΙΚΑ νη ζέζεηο ηωλ ηνπηθώλ αθξνηάηωλ είλαη 1. Σα εζωηεξηθά ζεκεία ελόο δηαζηήκαηνο ζηα νπνία κεδελίδεηαη ε πξώηε παξάγωγνο( ηα νπνία νλνκάδνληαη θαη ζηάζηκα ζεκεία) 2. Σα εζωηεξηθά ζεκεία ηνπ δηαζηήκαηνο ζηα νπνία ε ζπλάξηεζε δελ παξαγωγίδεηαη. 3. Σά άθξα ηνπ Δ αλ αλήθνπλ ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Σα εζωηεξηθά ζεκεία όπνπ κεδελίδεηαη ε πξώηε παξάγωγνο καδί κε ηα εζωηεξηθά ζεκεία ζηα νπνία δελ ππάξρεη ε πξώηε παξάγωγνο απνηεινύλ ηα κρίζιμα ζημεία ΘΕΩΡΗΜΑ Εζηω ζπλάξηεζε ε νπνία είλαη παξαγωγίζηκε ζην (α,β), κε εμαίξεζε ίζωο έλα ζεκείν ζην νπνίν όκωο απαξαίηεηα είλαη ζπλερήο. Σόηε ηζρύνπλ: 1. Αλ (ρ)>0 κε ρϵ(α, θαη (ρ)<0 κε ρϵ(, ηόηε ην ( είλαη ηνπηθό κέγηζην ηεο 2. Αλ (ρ)<0 κε ρϵ(α, θαη (ρ)>0 κε ρϵ(, ηόηε ην ( είλαη ηνπηθό ειάρηζην ηεο 3. Αλ ε (ρ) δηαηεξεί ζπαζεξό πξόζεκν ζην (α, ηόηε ην ( δελ είλαη ηνπηθό αθξόηαην ηεο θαη ε είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην (α,β) 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να κειεηεζεί ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηα ε ζπλάξηεζε κε ηύπν Λύζη Άξα δελ είλαη παξαγωγίζηκε ζην 1(θξίζηκν ζεκείν). Γηα ηελ εύξεζε ηωλ αθξνηάηωλ δελ είλαη απαξαίηεην λα εμεηάζνπκε ηελ παξάγωγν ζην 1. ρ - 0 1 2 + (ρ) + 0 + - 0 + 2

3 Παξαηεξνύκε όηη ζην ρ=0 δελ αιιάδεη πξόζεκν ε έλώ ζην ρ=1 παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ην (1)=1 θαη γηα ρ=2 ηνπηθό ειάρηζην ην (2)=0 Παράδειγμα 2 Να κειεηεζεί ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ε ζπλάξηεζε κε ηύπν κε ρϵ[0,5] Λύζε Οη ηηκέο ηεο ζηα θξίζηκα ζεκεία θαη ζηα άθξα ηνπ δηαζηήκαηνο είλαη (1)=30 (4)=3 (0)=19 (5)=14 Η μέγιςτη τιμή τησ είναι η μεγαλύτερη από όλεσ δηλ η (1)=30 και η ελάχιςτη η μικρότερη από όλεσ (4)=3 ΑΚΗΕΙ 1. Αν για κάθε χϵ(1,+ ) ιςχύουν όπου f,g ςυνεχείσ και παραγωγίςιμεσ ςτο [1,+ ) με f(1)=g(1) να δειχθεί ότι για κάθε x>1 2. Δίνεται η ςυνάρτηςη με τύπο με ρίζεσ Α. Να δειχθεί ότι αϵ(-,-2)υ(0,+ ) Β. Να δειχθεί ότι η f παρουςιάζει τοπικό ελάχιςτο και τοπικό μέγιςτο ςτα ςημεία αντίςτοιχα και (1+ 3. Δίνεται η ςυνάρτηςη f:(0,+ ) R με f(x)=. Aν η εφαπτομένη τησ ςτο (α, τέμνει τουσ άξονεσ και ςτα ςημεία Β,Γ αντίςτοιχα, να βρεθεί η τιμή του α ώςτε το άθροιςμα ΟΒ +ΟΓ να γίνεται ελάχιςτο 4. Να δειχθεί ότι για κάθε χϵ(0,+ ) 5. Να μελετηθεί η ςυνάρτηςη f(χ)= -χ,0<α<1 ωσ προσ τη μονοτονία και τα ακρότατακαι κατόπιν να βρεθούν οι τιμέσ του λϵr που ικανοποιούντην ςχέςη 3

4 6. Δίνεται η ςυνάρτηςη f η οποία είναι δύο φορέσ παραγωγίςιμη με ςτο [α,β]. Να μελετηθεί ωσ προσ τη μονοτονία η ςυνάρτηςη f αν η ςυνάρτηςη g με g(χ)=f(χ)- παρουςιάζει ςτο ςημείο με τετμημένη τοπικό ακρότατο 7. Δίνεται πολυώνυμο (χ) νιοςτού βαθμού με όλεσ τισ ρίζεσ πραγματικέσ και διαφορετικέσ ανά δύο. Α. διάςτημα του πεδίου οριςμού τησ Β 8. (β) και κ>1 I. Να μελετηθεί η ωσ προσ τη μονοτονία II. Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη β έχει μοναδική λύςη 9. Δίνεται η ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη τέτοια ώςτε να ιςχύει (χ)>. Αν ( και (χ)>0 για κάθε χϵr να δειχθεί ότι η εξίςωςη (χ)=1-χ έχει μία λύςη ςτο [0, 10. Έςτω δύο φορέσ παραγωγίςιμη ςτο R και I. (χ)<0 με χ II. (χ)>0 με χ<1 Αν (1)=0 να δειχθεί ότι η είναι γνηςίωσ φθίνουςα. 11. Δίνεται η ςυνάρτηςη I. Να μελετηθεί ωσ προσ τη μονοτονία και τα ακρότα II. Αν α>0 να δειχθεί ότι 4

5 12. Δίνεται η ςυνάρτηςη :(0,+ ) R με τύπο και αϵ(0,+ ) I. Να δειχθεί ότι η παρουςιάζει ακρότατο ςτο II. Αν (α) είναι το ακρότατο τησ να βρεθεί η τιμή του α ώςτε το (α) να γίνεται ελάχιςτο 13. Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύουν για κάθε χϵr (0)- (0)=1 Να μελετηθεί ωσ προσ τη μονοτονία η ςυνάρτηςη 14. Αν α>0 και β>0 να δειχθεί ότι 15. Έςτω ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη ςτο R με (χ) για κάθε χϵr. Αν ιςχύει: και (1)=0 να βρείτε τον αριθμό α. 16. Έςτω ςυνάρτηςη :[0,4] R η οποία είναι παραγωγίςιμη ςτο [0,4] και ιςχύει: (1)< (0)< (4)< (3). Να δειχθεί ότι υπάρχουν )=0 17. Έςτω ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη ςε ανοικτό διάςτημα Δ και Κ(α,β) ςταθερό ςημείο του επιπέδου. Αν είναι το πληςιέςτερο ςημείο τησ γραφικήσ παράςταςησ τησ προσ το Κ να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ευθεία (ε) τησ γραφικήσ παράςταςησ τησ ςτο είναι κάθετη προσ την ευθεία 18. Εςτω ςυνάρτηςη, η οποία είναι ςυνεχήσ ςτο [α,β], και (χ)>0 για κάθε χϵ(α,β). Να δείξετε ότι η ςυνάρτηςη g με τύπο 19. H αξία μιασ μηχανήσ που τυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο t ςύμφωνα με τη ςυνάρτηςη 5

6 όπου Α ένασ θετικόσ αριθμόσ. Ο ρυθμόσ μεταβολήσ του κέρδουσ Κ(t) από την πώληςη βιβλίων που εκτυπώνει η ςυγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη ςυνάρτηςη, t 0 και υποθέτουμε ότι Κ(0)=0 Να βρεθεί η χρονική ςτιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτςι ώςτε το ςυνολικό κέρδοσ P(t) από τα βιβλία που πουλήθηκαν ςυν την αξία τησ μηχανήσ να γίνεται μέγιςτο 20 Ένασ γεωργόσ προςθέτει Χ μονάδεσ λιπάςματοσ ςε μια αγροτική καλλιέργεια και ςυλλέγει g(χ) μονάδεσ του παραγόμενου προΰόντοσ Αν g(χ)=, χ 0, όπου είναι θετικέσ ςταθερέσ να εκφράςετε το ρυθμό μεταβολήσ του παραγόμενου προΰόντοσ ωσ ςυνάρτηςη του g(χ). Ποια είναι η ςημαςία τησ ςταθεράσ 21 Την χρονική ςτιγμή t=0 χορηγείται ςε έναν αςθενή φάρμακο. Η ςυγκέντρωςη του φαρμάκου ςτο αίμα του αςθενούσ δίνεται από τη ςυνάρτηςη f(t)= όπου α,β θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνοσ t μετράται ςε ώρεσ. Η μέγιςτη τιμή τησ ςυγκέντρωςησ είναι 15 μονάδεσ και επιτυγχάνεται ςε 6 ώρεσ μετά τη χορήγηςη του φαρμάκου. Α. Να βρείτε τισ τιμέσ των ςταθερών α και β Β. Με δεδομένο ότι η δράςη του φαρμάκου είναι αποτελεςματική όταν η τιμή τησ ςυγκέντρωςησ είναι τουλάχιςτον 12 μονάδεσ να βρείτε το χρονικό διάςτημα που το φάρμακο δρα αποτελεςματικά 6