ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον ορισµό της διαµέσου ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων. ( µονάδες 3 ) Γ ) Να διατυπώσετε το νόµο των µεγάλων αριθµών ( µονάδες ) ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε την ένδειξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ ( µονάδες 6 ) ι ) η µέση τιµή ενός δείγµατος είναι πάντα τιµή της µεταβλητής ιι ) η µέση τιµή µπορεί να είναι αρνητικός αριθµός ιιι ) αν P( A) + P( B) = τότε B= A Ε ) Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας την σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις ( µονάδες 6 ) ι ) σε µια κανονική κατανοµή µε διάµεσο και κύµανση 44 το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερο του 4 είναι : α ) 6% β ) 8,5% γ ),5% δ ) 84% ιι ) αν A B και Ρ(Α)=.3 και Ρ(Β) =,8 τότε η P( A B) είναι : α ),3 β ), γ ),5 δ ),8 ΘΕΜΑ Ο 3 3 Έστω συνάρτηση ( x) = x a x + 6x+ 9 µε x R. 3 Α ) Επίσης Ω = {,,3,4,5,6} ο δειγµατικός χώρος της ρίψης ενός αµερόληπτου ζαριού και τα ενδεχόµενα : Α = { a Ω η συνάρτηση ( x ) έχει ακρότατο στο x = }. Β = { a Ω η εφαπτοµένη της ( x ) στο x = έχει κλίση θετική } α ) Να βρεθούν τα : A, B, A B ( µονάδες 8 ) β ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες : P( A B), P( A B) ( µονάδες 4 ) Β ) Αν ισχύει για την συνάρτηση ( x ) ισχύει (3) = τότε : α ) Να βρεθούν οι δυνατές τιµές της παραµέτρου α. ( µονάδες 4 ) β ) Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας όπου α η τιµή του παραπάνω ερωτήµατος και να βρεθεί το εύρος του δείγµατος ( µονάδες 9 ) Σελίδα από 3
Κλάσεις [, ) x N F % F % [ 5, 5 ) [5, 5 ) α,6 [5, 35 ) 34 [35, 45 ) 9 [45, 55 ) Σύνολο ΘΕΜΑ 3 Ο Α ) Έστω συνάρτηση x 4, x [, 4) (4, + ) x ( x) = k, x= 4 α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( µονάδες ) β ) Αν η ( x ) είναι συνεχής στο x = 4 τότε να αποδείξετε ότι κ = 8 ( µονάδες 6 ) Β ) Έστω δείγµα 8 παρατηρήσεων. Αν για τις 7 από αυτές ισχύει 7 t = 5, = 7 t = 4 8 και επιπλέον η όγδοη έχει τιµή 6 τότε : = α ) Να βρεθεί η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση ολόκληρου του δείγµατος ( µονάδες 8 ) β ) Να εξετάσετε εάν το δείγµα είναι οµοιογενές ( µονάδες 3 ) γ ) Να προσδιοριστεί η ελάχιστη θετική τιµή της παραµέτρου α που πρέπει να προστεθεί σε κάθε µια από τις παρατηρήσεις έτσι ώστε το δείγµα που θα προκύψει να είναι οµοιογενές ( µονάδες 6 ) Σελίδα από 3
ΘΕΜΑ 4 Ο Σε ένα δείγµα ν ατόµων έχουµε : α άτοµα έχουν πάρει στεγαστικό δάνειο. β άτοµα έχουν πάρει καταναλωτικό δάνειο. γ άτοµα έχουν πάρει και τα δυο δάνεια. δ άτοµα έχουν πάρει στεγαστικό ή καταναλωτικό δάνειο. Τα άτοµα που έχουν πάρει στεγαστικό δάνειο είναι διπλάσια από αυτά που έχουν πάρει καταναλωτικό. Το δείγµα των αριθµών α, β, γ, δ έχει διάµεσο ίση µε 5. Α ) να δείξετε ότι α = και β =. ( µονάδες 8 ) Β ) να δείξετε ότι η µέση τιµή του δείγµατος α, β, γ, δ είναι ίση µε 5. ( µονάδες 7 ) Γ ) Αν επιπλέον ο συντελεστής µεταβολής του παραπάνω δείγµατος είναι ίσος 6 και επίσης γνωρίζουµε ότι όλα τα άτοµα του δείγµατος έχουν πάρει κάποιο δάνειο τότε αν επιλεγεί ένα άτοµο στην τύχη να βρεθούν το µέγεθος ν του δείγµατος καθώς και οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων. Κ : να έχει πάρει στεγαστικό ή καταναλωτικό δάνειο Λ : να έχει πάρει µόνο στεγαστικό δάνειο Μ : να έχει πάρει µόνο ένα από τα δυο δάνεια Ν : να µην έχει πάρει κανένα δάνειο Ξ : να έχει πάρει στεγαστικό ή όχι καταναλωτικό δάνειο ίνεται ο τύπος s = t = = t ( µονάδες ) Σελίδα 3 από 3
ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο Γ ) ι ) Λ ιι ) Σ ιιι ) Λ ) ι ) α ιι ) α ΘΕΜΑ Ο Α ) Έχω ( x) = x (a 3) x+ 6 α ) Α : για να έχει η συνάρτηση µακρότατο στο θα πρέπει () = 4 4a + 6+ 6 = a = 9 a = ± 3 όµως 3 Ω άρα Α = { 3 } Β : για να έχει η εφαπτοµένη θετική κλίση στο ₐ θα πρέπει () > a + 3+ 6> a < a < οπότε Β = {,, 3 } Παρατηρώ ότι A B= {3} β ) Οπότε Α Β= {,,3} και Α Β=Ω Από τον κλασικό ορισµό πιθανότητας έχω : N( A Β) 3 N( A Β) P( A Β ) = =, P( A Β ) = = N( Ω) 6 N( Ω) Β ) α ) (3) = 9 6a + 39+ 6 = a = 9 a = ± 3 β ) Αφού το α είναι συχνότητα άρα α = 3 Κλάσεις [, x N F % F % ) [ 5, 5 ) 7,4 7,4 4 4 [5, 5 ) 3,6, 6 [5, 35 ) 3,34 7,54 34 54 7 [35, 45 ) 4,36 45,9 36 9 8 [45, 55 ) 5 5, 5 Σύνολο - 5 ₐ - - - 3,6 = = = 5 Σελίδα από 3
ΘΕΜΑ 3 Ο x 4, x [, 4) (4, + ) x Α ) α ) ( x) = k, x= 4 µε A = [, + ) β ) αφού είναι συνεχής στο 4 θα πρέπει να ισχύει x 4 ( x ) ( )( ) ( )( ) lm ( x) = (4) x 4 ( )( ) x 4 x 4 x+ x 4 x+ lm ( x) = lm = lm = lm = x 4 x 4 x x 4 x 4 x x+ x 4 = lm + = 4 k (4) = 4 = 4 k = 8 Β ) α ) 8 7 t t + t = = = = 7 8 8 8 8 = = 5+ 6 t 8 7 t t + t8 = = 48+ 36 = = 7 = 49= 9 άρα s= 3 8 8 8 s 3 CV = = =,43 ή 43% < % άρα δεν είναι οµοιογενές το δείγµα. t 7 γ ) προσθέτω στην κάθε τιµή έναν σταθερό θετικό αριθµό α x = t + a β ) s ( x) οπότε x= t+ a= 7+ a και s = s= 3. Θα πρέπει : s x x CV,, 3, 7+,a a 3 οπότε α = 3 x ΘΕΜΑ 4 Ο Α: Τα άτοµα που έχουν πάρει στεγαστικό δάνειο ( α = Ν(Α) ). Β: Τα άτοµα που έχουν πάρει καταναλωτικό δάνειο ( β = Ν(Β) ). A B Τα άτοµα έχουν πάρει και τα δυο δάνεια ( γ = Ν( A B ) ) A B Τα άτοµα έχουν πάρει στεγαστικό ή καταναλωτικό δάνειο (δ = Ν( A B ) ). Α ) a+ β Ξέρω ότι A B A B A B άρα γ α β δ οπότε δ = α+ β = 3 ή A B Β Α A B άρα γ β α δ οπότε δ = α+ β = 3 άρα α + β = 3 µε α = β οπότε α = και β =. Σελίδα από 3 a+ β
N( A B) Ν( A) N( B) N( A B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + Β ) έχω ότι N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( Ω) N( A B) = N( A) + N( B) N( A B) δ = α+ β γ γ + δ = 3 α+ β + γ + δ 3+ 3 x= = = 5 4 4 s 5 5 Γ ) είναι CV = = s= άρα s = 6 x 6 5 a + β + γ + δ 5 5 + γ + (3 γ ) 5 s = ( x) = 5= 4 4 5+ γ + γ 6γ + 9 575 = γ 6γ + 4= 5 γ 6γ + 5= 4 Άρα γ = 5 οπότε δ = 5 ή γ = 5 οπότε δ = 5 που απορρίπτεται αφού γ δ Επιπλέον αφού όλα τα άτοµα του δείγµατος έχουν πάρει κάποιο δάνειο άρα το µέγεθος του δείγµατος είναι ίσο µε το πλήθος των στοιχειών της ένωσης =Ρ( Α Β ) = δ = 5 5 5 Συνολικά έχω P( A) =, P( B) =, P( A B) =, P( A B) = = 5 5 5 5 P( K) = P( A B) = 5 P( Λ ) = P( A B) = P( A) P( A B) = 5 5 P( M ) = P[ ( A B) ( B A) ] = P( A B) + P( B A) = + P( B) P( A B) = 5 5 P( N) = P ( A B) = P( A B) = = P( Ξ ) = P( A B ) = P( A) + P( B ) P( A B ) = P( A) + P( B) P( A B) = 5 Σελίδα 3 από 3