Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε Î (α, ]. () Εειδή f () < για κάθε Î (, β) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β). Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε Î [, β). () Εομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f() f( ), για κάθε Î (α, β), ου σημαίνει ότι το f( ) είναι μέγιστο της f στο (α, β) και άρα τοικό μέγιστο αυτής. A. Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο εδίο ορισμού Α και για κάθε Î A ισχύει f() = g(). Α3. Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] αραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) τότε υάρχει ένα τουλάχιστον ξ Î (α, β) τέτοιο, ώστε: f(β) f(α) f(ξ) - =. β-α Σελίδα / 4
Ο αριθμός f(ξ) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφατομένης της C f στο σημείο της M( ξ, f(ξ) ), ενώ ο f(β) -f(α) αριθμός είναι ο συντελεστής διεύθυνσης β-α της ευθείας ΑΒ ου διέρχεται αό τα σημεία Β β, f(β) της C. Η ύαρξη ενός Α( α, f(α) ) και τουλάχιστον ξ Î (α, β), ώστε ένα τουλάχιστον σημείο M( ξ, f(ξ) ) της αράλληλη στην ευθεία ΑΒ. f f(β) f(α) f(ξ) - =, γεωμετρικά σημαίνει ότι υάρχει β-α C f στο οοίο η εφατομένη της C f είναι A4. α) ΛΑΘΟΣ Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[α, β], αν G είναι μια αράγουσα της f στο [α, β], τότε το α β ò f(t)dt = G(β) -G(α). β) ΣΩΣΤΟ (Θεώρημα ο, αό τις ιδιότητες ορίων - Όριο και διάταξη) γ) ΛΑΘΟΣ Για αράδειγμα, έστω η συνάρτηση: ì-, < f() =í ï. ï ïî, > Παρατηρούμε ότι, αν και f () = για κάθε Î( -, ) È (, + ), εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο (-, ) È (, + ). δ) ΣΩΣΤΟ (Το ίδιο ερώτημα υήρξε σχετικά ρόσφατα στα θέματα του ) ε) ΣΩΣΤΟ (Είναι το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής) Θέμα Β Β. f() =, Î. + Η f() είναι αραγωγίσιμη στο ως ρητή. Για κάθε Î : 3 3 f + - + - () = = = ( + ) ( + ) ( + ). Το ρόσημο και οι ρίζες της f εξαρτώνται μόνο αό την αράσταση, διότι ( + ) > για κάθε Î. Είναι: Σελίδα / 4
f () = Û = f () > Û > f () < Û < Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα: Συνεώς: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, ] Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο =, το f() =. Β. Η f () είναι αραγωγίσιμη στο ως ρητή. Για κάθε Î : ( + ) ( + ) -4 f () = = ( + ) ( + ) ( + ) - ( + ) 4 4 ( + ) -3-3 = = ( + ) ( + ) 4 3 Το ρόσημο και οι ρίζες της f εξαρτώνται μόνο αό την αράσταση διότι 3 ( + ) > για κάθε Î. Είναι: - 3, f () = Û- 3 = Û =- 3 ή = 3 3 3 æ f () 3, 3ö æ 3 ö < Û - < Û Î - - È, + ç 3 è ø èç 3 ø æ f () 3 3, 3ö > Û - > Û Î ç - çè 3 3 ø Έτσι έχουμε τον αρακάτω ίνακα: Σελίδα 3 / 4
Συνεώς: Η f είναι κοίλη στο æ ç ç-, - çè 3 ù, κυρτή στο 3 úû é - êë 3 3, 3 3 ù úû και κοίλη στο é 3 ö, +. êë 3 ø Η f έχει σημεία καμής τα æ A 3, f 3 ö æ ö - - ç 3 ç 3 è è øø και æ B 3 æ, f 3ö ö ç 3 èç 3 ø, δηλαδή τα è ø σημεία æ A 3, ö ç - çè 3 4 ø και æ B 3, ö ç çè 3 4 ø. Β3. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες. Είναι: και ομοίως - lim f() = lim = lim = + + + + lim f() =, εομένως η οριζόντια ευθεία y= είναι ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f στο - και στο +. Β4. Με βάση τις ααντήσεις στα ερωτήματα Β, Β και Β3 η γραφική αράσταση της f είναι η ακόλουθη: Σελίδα 4 / 4
Θέμα Γ Γ: ος τρόος Θεωρώ την συνάρτηση Z() = - - ου είναι αραγωγίσιμη στο ως ράξεις και συνθέσεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων. Παρατηρώ ότι Z() = -- = - = Για κάθε Î είναι: = Z () - = - Για την οσότητα - ισχύουν τα εξής: - = Û = = Û = Û = - > Û > Û > Û ¹ Άρα για κάθε Î : - ³ Έτσι αφού = Û =, το ρόσημο της Z () στο εξαρτάται μόνο αό την οσότητα οότε: Άρα η συνάρτηση Z() έχει στο ολικό min τον. Άρα Z() ³ για κάθε Î με το "=" να ισχύει μόνο στο =. Άρα το = είναι η μόνη λύση της (E) : - - = ος τρόος (ήταν ιδέα αρκετών μαθητών) Έστω η συνάρτηση g() = - - αραγωγίσιμη στο ως ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων. Παρατηρώ ότι g() = Για κάθε Î : g () = - g () = Û - = Û = Σελίδα 5 / 4
Και: Άρα η g() έχει στο = ολικό min τον. Άρα όμοια: g() ³ για κάθε Î με το "=" να ισχύει μόνο στο =. Έτσι η αρχική (Ε) γίνεται: - - = Û g = Û = Û =. Σχόλιο: Αυτή η ροσέγγιση ενώ καλύτει το Γ δεν υοστηρίζει την κυρτότητα αυτής καθεαυτής της Z() = - - στο Γ3, ενώ χρειάζεται ένα μικρό σχόλιο για να αιτιολογήσει ότι - - ³ για το Γ. f () = - -, Î Γ: Ισχύει Άρα f() = - - = - -, Î καθώς αό Γ ισχύει - - ³ Γνωρίζοντας είσης ως η Z() = - - μηδενίζει μόνο στο = είναι Z() > για κάθε Î *. Άρα η συνεχής στο συνάρτηση f() δεν μηδενίζει, άρα διατηρεί σταθερό ρόσημο σε, +. κάθε ένα αό τα διαστήματα (-,) και Φυσικά το ρόσημο δεν είναι ααραίτητο να είναι το ίδιο. Έτσι μορεί: = - - Î -, È, + ή = - - f(), για κάθε f(), για κάθε Î( -,) È (, + ) ή =-( - - ) f(), για κάθε Î( - ) f(), για κάθε Î( - ) ή =-( - - ) Συνυολογίζονται ότι η f είναι συνεχής στο. Δηλαδή ότι f() = lim f() = lim f() = limf(). + -, και =-( - - ) f(), για κάθε Î (, + ), και = - - f(), για κάθε Î (, + ) Σελίδα 6 / 4
Τελικά οι συναρτήσεις μορεί να είναι: f() = f() = - -, για κάθε Î ή f() =- - -, για κάθε Î ή - - -,< - -, ³ ή f() = - -, < - - -,³ Ας σημειωθεί ως στις τελευταίες το "=" μαίνει και στον άλλο κλάδο λόγω συνέχειας. Γ3: Για την f() = - - ισχύει: είναι αραγωγίσιμη στο ως ράξεις και συνθέσεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με Η = ( - ) f () = - = - f () είναι αραγωγίσιμη στο ως ράξεις και συνθέσεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με: ος τρόος f () = - + Û f () = - + 4 Γνωρίζουμε ότι - ³ αό το Γ, 4 ³ για κάθε Î και >, Î Άρα συνολικά: f () ³ για κάθε Î με το "=" να ισχύει μόνο στο = στις οσότητες και - Þ f είναι κυρτή σε όλο το Σελίδα 7 / 4
ος τρόος f () = - + 4 είναι αραγωγίσιμη στο ως ράξεις και συνθέσεις Η αραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έτσι: f () = + 8 + 4 3 3 = 4 + 8 + 8 = + 8 = 4 3+ Το ρόσημο και ρίζες της f () εξαρτώνται μόνο αό την οσότητα καθώς 4 > και + 3>, Î. Έτσι Άρα η f () έχει στο ολικό min τον οότε f () ³ για κάθε Î με το "=" να ισχύει μόνο στο =. Άρα η f είναι κυρτή στο. Γ4: Έστω η συνάρτηση h() = f( + 3) -f() με ³ Έτσι η (Ε): f( ημ + 3) - f( ημ ) = f( + 3) -f() Û h ημ = h(), ³ Η h() ως ράξεις και συνθέσεις των αραγωγίσιμων συναρτήσεων f, + 3 είναι αραγωγίσιμη στο άρα και στο [, + ) με: h () = f ( + 3) - f () >, για κάθε ³ καθώς + 3> και f είναι γνήσια αύξουσα αφού η f είναι κυρτή στο. Άρα Þh() γνήσια αύξουσα στο [, + ) άρα και «ένα ρος ένα» Συνεώς ροκύτει: ημ =, ³ Γνωρίζουμε ως ημ για κάθε Î με το = μόνο στο. Εδώ με ³ ισχύει ημ με το = να ισχύει μόνο στο. Έτσι η μόνη λύση της (Ε) είναι το =. Σελίδα 8 / 4
Σχόλιο: Όσοι μαθητές δεν θυμούνται εδώ την ιδιότητα ημ, Î ειχειρούν να αντιμετωίσουν της (Ε) ημ = ως εξής: Παρατηρώ ροφανή λύση το = Θεωρώ συνάρτηση K() = ημ -, ³ Το ημ ³, Î [ κ,κ + ],κ Î ενώ [ ] ημ, Î κ -,κ,κ Î Έτσι αντιμετωίζουν την συνάρτηση Κ() = ημ - αραγωγίσιμη στα διαστήματα του συνόλου [ κ,κ + ] Í [, + ] με K () = συν - ÞK() είναι γνησίως αύξουσα άρα και ένα ρος ένα (το "=" σε ολλά, άλλα μεμονωμένα σημεία). Όμοια την Κ() =-ημ - αραγωγίσιμη στα διαστήματα του συνόλου [ κ -,κ] Í [, + ] με K () = συν -... κλ. Βέβαια αυτή η ροσέγγιση κάνει το Γ4 να φαντάζει αρκετά ιο δύσκολο. Θέμα Δ Δ: Είναι: f() + f () ημd = f() ημd + f () ημd ( ) ( ) ò ò ò ò ò = f() ημd + éf () ημù ë û - f () συνd ò ò [ ] = f() ημd + f () ημ - f () ημ- f() συν + f() -ημ d Άρα: f() + f() = ò ò = f() ημd - f() ημd - f() (-) -f() f() Γνωρίζουμε ότι lim =. Έτσι για κάθε ολύ κοντά στο θεωρούμε την συνάρτηση: ημ f() A() =, με lima() = ημ Έτσι f() = ημ A() για κάθε ολύ κοντά στο. limf() = lim ημ A() = lim ημ lima() = ημ = = Άρα Σελίδα 9 / 4
Καθώς η f είναι αραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο άρα είναι και συνεχής στο. Οότε: limf() = f() =. Άρα f() = οότε αό την ροηγούμενη σχέση είναι είσης f() =. Σχόλιο: Ιδέες μαθητών ήταν οι εξής: éf() ù f() f συνεχής στο άρα f() = limf() = lim ημ = lim lim( ημ) = = êημ ú ημ ë û f() Είσης κάοιοι ροχώρησαν σε διερεύνηση άνω στο lim =, καθώς lim ( ημ) = ημ και limf() = f() Î λέγοντας ως αν f() ¹ τότε το όριο αυτό δεν μορεί να κάνει αφού f() lim ημ + f() < θα ήταν = + αν f() >, f() lim =- και ημ + άτοο άρα f() =. Κατόιν: Αφού η f έχει η συνεχή αράγωγο στο είναι: Άρα f () =. Είσης σκέψη μαθητή ήταν η εξής: f() lim =- αν f() >, ενώ αντίστοιχα με - ημ f() lim = + κάτι ου σε κάθε ερίτωση είναι - ημ f() f () f () A = lim = lim = = f () ημ DLH συν συν f() - f() f() æf() ημö f () = lim = lim = lim = - çè ημ ø æf() ημö f() ημ = lim ç = lim lim = = çèημ ø ημ f() Δ: Με την f αραγωγίσιμη στο οι συναρτήσεις,f f() αραγωγίσιμες στο ως συνθέσεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων και καθώς οι, αραγωγίσιμες στο ισχύει: f() + = f f() + Þ f() + = f f() + f () f f() f () + = +, f() Άρα: ( ) Σελίδα / 4
Έστω ως η f έχει στο Î ακρότατο. Τότε ικανοοιούνται οι ροϋοθέσεις στο Θ. Frmat Άρα Þ f ( ) = Θέτοντας στην σχέση = έχουμε: f f + = f f f + Άρα = Û = δηλαδή f () = Άτοο Καθώς f () =. Άρα δεν υάρχει κανένα Î στο οοίο η f να έχει ακρότατο. Στην συνέχεια: Με την αραγωγίσιμη f να μην έχει ακρότατα στο λόγω του ότι δεν μορεί να υάρξει Î με f ( ) = είναι f () ¹ για κάθε Î, f συνεχής στο, άρα η f διατηρεί ρόσημο στο και αφού f () = > άρα f () > για κάθε Î, άρα f γνήσια αύξουσα στο. Σχόλια: τα ερωτήματα α) και β) του Δ είναι καθαρά και έχουν καθαρές σκέψεις. Το εριστατικό «ότε μια αραγωγίσιμη συνάρτηση δεν έχει ακρότατα σε εσωτερικό διαστήματος» και το τι σημαίνει f () ¹ είναι αό τα βασικά θέματα συζήτησης με όλους τους μαθητές. Αν κάοιος ήθελε να κάνει το Δ λίγο ιο δύσκολο θα μορούσε να μην δώσει το f () = στο Δ (η έτοιμη ληροφορία f () = ήταν μια αόφαση το θέμα Δ να «κατεβάσει ταχύτητα») ή να ζητηθεί κατευθείαν χωρίς το α) να δειχθεί ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο (ροφανώς με ερισσότερα μόρια). Έτσι ίσως το Δ και όλο το Δ θα αοκτούσε «αέρα» 4 ου ζητήματος και χωρίς υερβολές θα ξεχώριζε μαθητές ου μορούν να ελιχθούν ερισσότερο. Άλλωστε το στο θέμα Γ υήρχε ακριβώς το ίδιο ερώτημα αλλά σε ιο «ήια» συναρτησιακή σχέση. Δ3: Είναι æημ συνö æημ συνö lim + = lim + ç è f() ø çèf() f() ø + + Όμως f( )= δηλαδή το σύνολο τιμών της συνεχούς f στο είναι το άρα f (-, + ) (-, + ) οότε lim f() = + και + lim = + f() Οότε: ημ = ημ f() f() f() Σελίδα / 4
Άρα: ημ - f() f() f() Με δεδομένο ότι lim = ικανοοιούνται οι ροϋοθέσεις του Κριτηρίου + f() ημ Παρεμβολής άρα: lim = + f() Όμοια: συν = συν f() f() f() Άρα: συν - f() f() f() Έχοντας άλι lim = και το Κριτήριο Παρεμβολής είναι: f() + συν lim = f() + Άρα: æημ συνö ημ συν lim + ç = lim + lim = çè f() ø f() f() + + + Δ4. Να δείξετε ότι: f(ln) < ò d < ος τρόος Στο ολοκλήρωμα ò f(ln) d θέτω ln = u Άρα d = du για = : u=, για = : u= Άρα θα δείξω ότι < f(u)du < ò Η f ως συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,] [ f(),f() ] = [,] δηλαδή f() για κάθε Î [,], το "=" μόνο για = και = Άρα f() ³ και f() - Þ f()d > ò και ò f() - d < Σελίδα / 4
Άρα Άρα Άρα ò f()d > και f()d - d < ò ò ò f()d > και ò f()d < ( - ) ò < f()d < ος τρόος f Με Û ln Û f() f(ln) f() Û f(ln), με το "=" να ισχύει μόνο στο και στο. Διαιρούμε τα μέλη με Î é, ù ê ë ú û οότε f(ln) άρα f(ln) ³ και f(ln) - Þ f(ln) æf(ln) ö ò d > και d ò - < çè ç ø... το "=" δεν ισχύει αντού Άρα: f(ln) d > f(ln) d < d = ln = ln - ln = = ò και é ù ò ò ë û Τελικά: f(ln) < ò d < 3 ος τρόος Έστω F() μια αρχική συνάρτηση της f() στο Και G() = F(ln) τότε: é, ù êë úû f(ln) d = F (ln) ln d = G ()d = ò ò ò = - = - = - G G() F(ln ) F(ln) F() F() Η F() έχει ροϋοθέσεις (Θ.Μ.Τ.Δ.Λ.) στο [, ] άρα υάρχει ένα τουλάχιστον ξ Î (,) F() F() ώστε F(ξ) - = άρα f(ξ) = F() - F() Σελίδα 3 / 4
f(ln) Άρα θα αοδειχθεί ότι: < ò d < Û < F() - F() < < f(ξ) < Û < f(ξ) < Û f() < f(ξ) < f() f Û < ξ<, ου ισχύει. Φυσικά η ροσέγγιση με (Θ.Μ.Τ.Δ.Λ.) σε αρχική είναι ιο άμεση για κάοιον ου ήδη έχει κάνει αντικατάσταση ln = u αό την αρχή. Κάοιοι μαθητές είσης ειχείρησαν να αοδείξουν την ανισότητα "σαστά" ενώ ιδέα ου είσης ειχειρήθηκε ήταν ο "υολογισμός" του ολοκλήρωση. ò f(ln) d με την αραγοντική Το Δ4 είναι ένα καλό εύστοχο βασικό θέμα στις διλές ανισότητες ολοκληρωμάτων. Περιστατικό ου εριγράφεται στις τελευταίες γενικές ασκήσεις του σχολικού βιβλίου, το ξαναείδαμε στο Γ3 των 4 μονάδων 5 ίσω αό την συνάρτηση ολοκλήρωμα, δεν στηρίζεται σε κάοια "κρυφή" ανισότητα κάοιου ερωτήματος και είναι αό τα εριστατικά ου ολλές φορές λέμε ως θα ήταν ιο "γρήγορα" αν στην ύλη υήρχε είσημα το (Θ.Μ.Τ.Ο.Λ.)... κάτι ου ακόμη και ως συζήτηση φαντάζει ροκλητικό μροστά στην αουσία όλων των Θεωρημάτων ύαρξης και όχι μόνο. ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ! ειμέλεια Γιάννης Ανδρεάδης Ηλίας Ντεϊρμεντζίδης Ελένη Χατζηαοστόλου Σελίδα 4 / 4