ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η εξίσωση 3+=1 επαληθεύεται από το ζεύγος των α- ριθμών (,) οπότε λέμε ότι αυτό το ζεύγος είναι μία λύση της. Η εξίσωση αυτή δεν έχει μοναδική λύση το παραπάνω ζεύγος αριθμών, αλλά έχει ά- πειρες λύσεις. Για κάθε τιμή του που δίνουμε βρίσκουμε και μια τιμή του. Δίνοντας τιμές στο βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές του και δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών. Αν σ ένα σύστημα αξόνων προσδιορίσουμε τα σημεία που καθένα έχει συντεταγμένες μια λύση της εξίσωσης 3+=1, παρατηρούμε στο παρακάτω σχήμα ότι βρίσκονται σε μια ευθεία (ε). 0 7 1 3+=1 - - - - Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας και αντιστρόφως. Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή. Ειδικές περιπτώσεις Η εξίσωση = k Η εξίσωση = k παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο ( 0, k).
0 ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ =5 - - - - Η εξίσωση = k Η εξίσωση = k παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο ( k, 0). =5 - - - - H εξίσωση α +β = γ με α = β = 0 Η εξίσωση 0 + 0 = 5 δεν παριστάνει ευθεία, αφού δεν υπάρχει ζεύγος αριθμών (, ) που να είναι λύση της ( αδύνατη εξίσωση ). Η εξίσωση 0 + 0 = 0 επαληθεύεται για κάθε ζεύγος αριθμών (, ) (αόριστη εξίσωση ).Τα σημεία όμως, που οι.συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Άρα η εξίσωση 0 + 0 = 0 δεν παριστάνει ευθεία. Κάθε εξίσωση της μορφής α + β = γ ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και και παριστάνει ευθεία, εφόσον α 0 ή β 0.
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Ποια από τα ζεύγη (3,), (1,5), (0,), ( 3,10), (,) είναι λύσεις της εξίσωσης + 3 = 1; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για να βρούμε ποιο από τα ζεύγη είναι λύση της εξίσωσης θα εξετάσουμε ποιο την επαληθεύει : Για το ζεύγος (3,) έχουμε : 3+3 = 1+ =1 είναι λύση της εξίσωσης. Για το ζεύγος (1,5) έχουμε : 1+3 5 = +15 =19 1 δεν είναι λύση της εξίσωσης. Για το ζεύγος (0,) έχουμε : 0+3 = 0+1 =1 είναι λύση της εξίσωσης. Για το ζεύγος ( 3,10) έχουμε : ( 3)+3 10 = 1+30 =1 είναι λύση της εξίσωσης. Για το ζεύγος (,) έχουμε : ( )+3 = + =1 1 δεν είναι λύση της εξίσωσης.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Το σημείο (3, ) ανήκει στην ευθεία ε : 3 = 7. β) Η ευθεία ε :5 + =-10 τέμνει τον άξονα στο σημείο (, 0). γ ) Η ευθεία ε : +5 = 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. δ ) Η ευθεία ε : 3 + = τέμνει τον άξονα στο σημείο (0, 3). ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Το σημείο (3, ) δεν ανήκει στην ευθεία ε : 3 = 7 γιατί είναι 3.3-(-)=9+=11 7 άρα είναι λάθος (Λ). β) Η ευθεία ε :5 + =-10 τέμνει τον άξονα στο σημείο (, 0),γιατί για =- είναι 5.(-)+=-10 ή =-10+10 ή =0 άρα είναι σωστή (Σ). γ ) Η ευθεία ε : +5 = 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων, γιατί για =0 και =0 έχουμε.0+5.0=0 άρα είναι σωστή (Σ). δ ) Η ευθεία ε : 3 + = τέμνει τον άξονα στο σημείο (0, 3) γιατί για =0 είναι 3+0= ή 3=ή = 3 άρα είναι λάθος (Λ). 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε ευθεία της πρώτης γραμμής την εξίσωσή της από τη δεύτερη γραμμή. α. β. γ. δ. 1. = 1. = 1 3. =. = 1
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α β γ δ ΑΠΑΝΤΗΣΗ α β γ δ 3 1. Οι ευθείες δ1, δ διχοτομούν τις γωνίες των αξόνων. i) Η εξίσωση της δ 1 είναι α. = 1 β. = 1 γ. = δ. = ii) Η εξίσωση της δ είναι α. = 1 β. = 1 γ. = δ. = Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Η εξίσωση της δ 1 είναι η περίπτωση γ δηλ. = ii) Η εξίσωση της δ είναι η περίπτωση δ δηλ. = 5. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i) Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (, 3) και είναι παράλληλη στον άξονα.έχει εξίσωση α) =, β) = γ) = -3 δ) = 3 ε) 3 = 0. ii) Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (, ) και είναι παράλληλη στον άξονα έχει εξίσωση α) = β) = γ) = δ) = ε) = 0. ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Η ζητούμενη ευθεία είναι η περίπτωση δ) = 3 i) Η ζητούμενη ευθεία είναι η περίπτωση β) =
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 3 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Nα σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες α) ε 1 : = β) ε : + = 10 γ) ε 3 : 10 5 = 0. Τι παρατηρείτε ; Θα φτιάξουμε πίνακα τιμών για κάθε μία των εξισώσεων α) ε 1 : = Για = 0 τότε 0 = ή = ή = Για =0 τότε 0 = ή = ή = 1 -= A(1,0) 0 1 0 - B(0,-) - - - β) ε : + = 10 10 Για = 0 τότε 0 + = 10 ή = 10 ή = = 5 Για = -1 τότε (-1) + = 10 ή + = 10 ή = 10- = ή = = 3 B(-1,3) A(0,5) -+=10-1 0 3 5 - - - - γ) ε 3 : 10 5 = 0.
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 0 Για = 0 τότε 10 0-5 = 0 ή -5 = 0 ή = = 5 0 Για = 0 τότε 10-5.0 =0 ή 10= 0 ή 10 = 0 ή = = 10 10-0=5 A(,0) 0-0 - - - B(0,-) - Αν σχεδιάσουμε τώρα και τις τρεις ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων διαπιστώνουμε ότι είναι παράλληλες -= -+=10 (-1,3) (0,5) 10-5=0 A(1,0) (,0) B(0,-) - - (0,-) - - ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η ευθεία ε : + = λ. α) Να βρείτε τον αριθμό λ, ώστε η ευθεία (ε) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Για λ = να σχεδιάσετε την ευθεία ε. α) Για να διέρχεται η ευθεία ε από την αρχή των αξόνων πρέπει λ = 0 ή λ = ή λ = =
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 5 β) Επομένως σύμφωνα με τα παραπάνω η ε διέρχεται από την αρχή των α- ξόνων δηλαδή από το σημείο (0,0), και έχει εξίσωση + = 0 ή = ή = 3 Θα βρούμε και ένα δεύτερο σημείο. Για = 1 τότε = 3 1= 3 =-3 O(0,0) 0-0 - - A(1,-3) - - ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν η ευθεία ε : + 3 = 1 τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, τότε : α) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των α- ξόνων. α) Για να προσδιορίσουμε την συντεταγμένη που η ευθεία ε τέμνει τον άξονα θέτουμε =0 στην εξίσωση της ευθείας ε και έχουμε: +3.0=1 ή =1 ή =3 άρα Α(3,0). Ομοίως για να προσδιορίσουμε την συντεταγμένη που η ευθεία ε τέμνει τον άξονα θέτουμε =0 στην εξίσωση της ευθείας ε και έχουμε:.0+3.=1 ή 3=1 ή = άρα Β(0,). β) Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και το εμβαδόν του είναι: 1 Ε = ΟΑ. ΟΒ = 1.3. = τ.μ B(0,) +3=1 A(3,0) O(0,0) -5 5 10 15 - -
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες ε 1 : = και ε : 3 = και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου. β) Ποια από τις παρακάτω ευθείες διέρχεται από το προηγούμενο σημείο ; ζ 1 : =, ζ :3 + = 10 και ζ 3 : 5 + 3 = 1. α) Η εξίσωση της ευθείας ε 1 γράφεται και = και αντίστοιχα της ε γράφεται =. =- A(-,) = -5 5 10 15 Επομένως όπως διαπιστώνουμε και από το σχήμα το κοινό σημείο των ευθειών είναι το (, ) β) Θα εξετάσουμε ποια από τις εξισώσεις επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου (, ) Για την ευθεία ζ 1 έχουμε ( ) = =. Άρα η ζ 1 δεν διέρχεται από το (, ) Για την ευθεία ζ έχουμε 3 ( )+ = + =. Άρα η ζ δεν διέρχεται από το (, ) Για την ευθεία ζ 3 έχουμε 5 ( )+3 = 10+ = 1. Άρα η ζ 3 διέρχεται από το (, ) ΑΣΚΗΣΗ 5 α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες με εξισώσεις = 1, = 5, = και = 3. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου που σχηματίζεται. α) Στο διπλανό σχήμα φαίνονται όλες οι ευθείες με εξισώσεις = 1, = 5, = και = 3. Β(-1,3) Α(5,3) β) Το τετράπλευρο που δημιουργήθηκε είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν - -5 5 10 15 Γ(-1,-) - - Δ(5,-)
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 7 Ε = ΑΒ. ΒΓ = [5 ( 1)][3 ( )] = (5 + 1)(3 + ) =.5 = 30 τ.μ Α ΑΣΚΗΣΗ Nα βρείτε την τιμή του λ, ώστε η εξίσωση (λ ) + (λ 1) = να παριστάνει ευθεία που να είναι: α) Παράλληλη στον άξονα. β) Παράλληλη στον άξονα. Να σχεδιάσετε την αντίστοιχη ευθεία σε κάθε περίπτωση. α) Για να είναι παράλληλη προς τον άξονα πρέπει ο συντελεστής της μεταβλητής να είναι μηδέν. Άρα λ = 0 ή λ = β) Για να είναι παράλληλη στον άξονα πρέπει ο συντελεστής της μεταβλητής να είναι μηδέν. Άρα λ 1 = 0 ή λ = 1 Για λ= η εξίσωση γίνεται (-)+(-1)= ή 0+= ή = Και για λ=1 η εξίσωση γίνεται (1-)+(1-1)= ή -+0= ή =- = =- O(0,0) -10-5 5 10 15 - ΑΣΚΗΣΗ 7 Κάποιος περπάτησε από το σημείο Α στο σημείο Β με ταχύτητα K m / h και μετά κολύμπησε με ταχύτητα K m / h μέχρι να φτάσει στο σημείο Γ.Αν ο συνολικός χρόνος που μεσολάβησε μέχρι να φτάσει στο σημείο Γ είναι μια ώρα, τότε : α) Να βρείτε τη γραμμική σχέση με την οποία συνδέονται οι αποστάσεις,. β) Αν περπάτησε 3 K m, πόσο χρόνο κολύμπησε ;.
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α) Αν ο χρόνος που περπάτησε κατά την διαδρομή του από το Α στο Β είναι t 1 ώρες και ο χρόνος που περπάτησε κατά την διαδρομή του από το Β στο Γ S είναι t ώρες τότε :t 1 +t = 1 ώρα. Σύμφωνα με τον τύπο S=υ.t έχουμε t =, υ επομένως t 1 = και t =. Άρα είναι t1 + t = 1 + =. β) Αφού περπάτησε =3km και είναι +=, για =3 βρίσκουμε 1 =. Επομένως κολύμπησε μισό χιλιόμετρο και ο χρόνος που το έκανε ήταν 15 λεπτά. ΑΣΚΗΣΗ Σ ένα ξενώνα υπάρχουν δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια. Αν ο ξενώνας έχει συνολικά 5 κρεβάτια,τότε να βρείτε τη γραμμική εξίσωση που συνδέει τα,. Να χαράξετε σε τετραγωνισμένο χαρτί την αντίστοιχη ευθεία και από τη γραφική παράσταση να διαπιστώσετε πόσα δίκλινα και πόσα τρίκλινα δωμάτια είναι δυνατό να έχει ο ξενώνας ; Η γραμμική εξίσωση που συνδέει τα, είναι + 3 = 5 και περνάει 5 5 από τα σημεία Α 0, και Β,0 3 10 Α(0,5/3)=Α(0,,33) (,7) +3=5 (5,5) (,3) O(0,0) Β(1,5,0) (11,1) 15-10 -5 5 10 15 - - Από το παραπάνω σχήμα είναι φανερό ότι ο ξενώνας μπορεί να διαθέτει: δίκλινα και 7 τρίκλινα. 5 δίκλινα και 5 τρίκλινα. δίκλινα και 3 τρίκλινα. 11 δίκλινα και 1 τρίκλινα.
ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 9 1. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε ευθεία ε 1, ε,ε 3, ε, ε 5 του διπλανού σχήματος την αντίστοιχη εξίσωση α) -=. β) -=0 γ) = - δ) = -1 ε) += ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ε ε 5 ε 3 ε ε 1 ε 1 ε ε 3 ε ε 5 - - - - Είναι ε 1 ε ε 3 ε ε 5 γ ε β α δ. Η ευθεία ε: α-= -1 διέρχεται από το σημείο (,5). α) Να βρεθεί η τιμή του α β) Να βρεθεί το σημείο τομής της με τον άξονα. α) Εφόσον η ευθεία ε: α-= -1 διέρχεται από το σημείο (,5) οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της δηλαδή, α - 5 = -1 α = -1+ 5 α = α =. β) Η εξίσωση της ευθείας γίνεται τώρα - = -1 και για να βρούμε το σημείο τομής της με τον άξονα θέτουμε στην εξίσωση της ευθείας =0 ο- πότε έχουμε.0 = 1 = 1 άρα το ζητούμενο σημείο είναι το (0,1). 3. Η ευθεία ε: -= β διέρχεται από το σημείο (1,3). α) Να βρεθεί η τιμή του β β) Να σχεδιάσετε την ευθεία και να βρείτε το σημείο τομής της με τον άξονα. α) Εφόσον η ευθεία ε: -= β διέρχεται από το σημείο (1,3) οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της δηλαδή,.1 3 = β β = -1. β) Η εξίσωση της ευθείας γίνεται τώρα ε: -= -1 και για να βρούμε το σημείο τομής της με τον άξονα θέτουμε στην εξίσωση της ευθείας =0
70 ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 οπότε έχουμε. 0 = 1 = 1 = άρα το ζητούμενο σημείο 1 είναι το, 0. Η γραφική παράσταση της ευθείας είναι: Θα φτιάξουμε πίνακα τιμών για ευθεία ε : = -1 Για = 0 τότε 0 = -1 ή =-1 ή = 1 1 Για =0 τότε 0 = -1 ή = -1 ή = -=-1 Β(-1/, 0) Α(0,1) 0 1 1 0 - - - -