Η Μονοπωλιακή Αγορά Υπολογισμοί με το Maxima ΜΗ ΕΙΝΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ Αθανάσιος Σταυρακούδης http://stavrakoudis.econ.uoi.gr 1 / 33

Οι τσίχλες δίπλα από το ταμείο Ερώτημα Γιατί σε όλα τα παντοπωλεία ακριβώς πριν ή δίπλα από το ταμεία πωλούνται τσίχλες; 2 / 33

Treatise on Demonstration of Problems The second species. A square and a number equal a root. It is necessary in this class that the number should not be greater than the square of half the number of roots, otherwise the problem would be impossible to solve. If the number is equal to the square of half the root-number, then half the root-number is equal to the root of the square. If the number is less than the square of half the root, subtract it from the square of half of roots or subtracting it from the latter. The sum, in case of addition, or the remainder, in case of subtraction, is the root of the square. The arithmetical proof of this theorem is known when its geometrical demonstration is known. 3 / 33

Treatise on Demonstration of Problems The second species. A square and a number equal a root. It is necessary in this class that the number should not be greater than the square of half the number of roots, otherwise the problem would be impossible to solve. If the number is equal to the square of half the root-number, then half the root-number is equal to the root of the square. If the number is less than the square of half the root, subtract it from the square of half of roots or subtracting it from the latter. The sum, in case of addition, or the remainder, in case of subtraction, is the root of the square. The arithmetical proof of this theorem is known when its geometrical demonstration is known. x 2 + c = b x ή x 2 bx + c = 0 x = b + b 2 4c 2 4 / 33

Επισκόπηση 1 1 Η μονοπωλιακή αγορά 2 Το κέρδος του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος 3 Μεγιστοποίηση κέρδους στη μονοπωλιακή αγορά 4 Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά 5 Διακριτή πολιτική τιμών στη μονοπωλιακή αγορά 5 / 33

Monopoly 6 / 33

Παράδειγμα μονοπωλιακής αγοράς Ολικό κόστος: TC (q) = 3 10 q + 25 q 2 (1) Ζήτηση του προϊόντος: D (q) = 40 20 q (2) Οριακό έσοδο: MR (q) = 40 40 q (3) Αγορά του μονοπωλίου 1 Δεν υπάρχει καμπύλη προσφοράς. 2 Το μονοπώλιο επιλέγει το επίπεδο παραγωγής: MC(q) = MR(q) 7 / 33

Γράφημα μονοπωλιακής αγοράς 8 / 33

Επισκόπηση 2 1 Η μονοπωλιακή αγορά 2 Το κέρδος του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος 3 Μεγιστοποίηση κέρδους στη μονοπωλιακή αγορά 4 Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά 5 Διακριτή πολιτική τιμών στη μονοπωλιακή αγορά 9 / 33

Γράφημα κέρδους του μονοπωλητή Το κέρδος (π) του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος. 10 / 33

Υπολογισμός στο Maxima του κέρδους του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος 1 D(q) := 40-20*q; 2 MR(q) := 40-40*q; 3 TC(q) := 3-10*q + 25*q^2; 4 MC(q) := (diff(tc(q), q); 5 TR(q) := (q*d(q)); 6 pi(q) := (TR(q) - TC(q)); 7 plot2d([mc, MR, pi], 8 [q, 0, 1.2], [y, 0, 30], 9 [xlabel, "q"], [ylabel, "p"], 10 [style, [lines, 2,1], [lines, 4,2], [lines, 8,3]], 11 [gnuplot_preamble, "set grid;"]); 11 / 33

Επισκόπηση 3 1 Η μονοπωλιακή αγορά 2 Το κέρδος του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος 3 Μεγιστοποίηση κέρδους στη μονοπωλιακή αγορά 4 Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά 5 Διακριτή πολιτική τιμών στη μονοπωλιακή αγορά 12 / 33

Μεγιστοποίηση κέρδους στη μονοπωλιακή αγορά Λύνουμε την εξίσωση: π (q) = 0 1 D(q) := 40-20*q; 2 MR(q) := 40-40*q; 3 TC(q) := 3-10*q + 25*q^2; 4 MC(q) := (diff(tc(q), q)); 5 TR(q) := (q*d(q)); 6 pi(q) := (TR(q) - TC(q)); 7 sol : solve(diff(pi(q)=0, q)); 8 q0 : rhs(sol[1]); 9 diff(pi(q), q, 2); 13 / 33

Επισκόπηση 4 1 Η μονοπωλιακή αγορά 2 Το κέρδος του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος 3 Μεγιστοποίηση κέρδους στη μονοπωλιακή αγορά 4 Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά 5 Διακριτή πολιτική τιμών στη μονοπωλιακή αγορά 14 / 33

Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά Η περιοχή FDH ορίζεται ως F (q 1, p 1 ), D(q 2, p 2 ) και H(q 3, p 3 ). Το εμβαδόν της μπορεί να υπολογιστεί 1 2βάση ύψος, εφόσον πρόκειται για γραμμικές συναρτήσεις. 15 / 33

Επίλυση στο Maxima Βήμα 1 Ορίζουμε τα δεδομένα του προβλήματος: 1 D(q) := 40-20*q; 2 MR(q) := 40-40*q; 3 TC(q) := 3-10*q + 25*q^2; 4 MC(q) := (diff(tc(q), q)); 16 / 33

Επίλυση στο Maxima Βήμα 2 Υπολογίζουμε το σημείο F : 1 sol : solve(mc(q)=mr(q), q); 2 q1 : rhs(sol[1]); 3 p1 : MR(q1); Υπολογίζουμε το σημείο D: 1 q2 : q1; 2 p2 : D(q2); Υπολογίζουμε το σημείο H: 1 sol : solve(d(q)=mc(q)); 2 q3 : rhs(sol[1]); 3 p3 : D(q3); 17 / 33

Επίλυση στο Maxima Βήμα 3 Ισοδύναμοι υπολογισμοί, ένας αρκεί: 1 DWL : (1/2) * (p2-p1) * (q3-q1); 2 DWL : (1/2) * (D(q2)-MR(q1)) * (q3-q1); 3 DWL : integrate(d(q)-mc(q), q, q1, q3); DWL = 1 2 βάση ύψος = 1 2 (p 2 p 1 ) (q 3 q 1 ) DWL = q3 q 1 D(q) dq q3 q 1 MC(q) dq Περισσότερες σχετικές ασκήσεις: http://stavrakoudis.econ.uoi.gr/stavrakoudis/?iid=622 18 / 33

Επισκόπηση 5 1 Η μονοπωλιακή αγορά 2 Το κέρδος του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος 3 Μεγιστοποίηση κέρδους στη μονοπωλιακή αγορά 4 Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά 5 Διακριτή πολιτική τιμών στη μονοπωλιακή αγορά 19 / 33

Μονοπώλιο με δύο αγορές Εστω πως η επιχείρηση παράγει ένα προϊόν με ολικό κόστος που δίνεται από τη συνάρτηση: TC(q) = 25 + 10 q (4) Η επιχείρηση πουλά σε δύο αγορές το προϊόν της με διακριτές (αντίστροφες) συναρτήσεις ζήτησης: D 1 (q 1 ) = 40 4 q 1 D 2 (q 2 ) = 160 5 q 2 (5αʹ) (5βʹ) Ισχύει q 1 + q 2 = q. Για λόγους υπολογισμών μας βολεύει να γράψουμε τη συνάρτηση κόστους ως: TC(q 1, q 2 ) = 25 + 10 (q 1 + q 2 ) (6) 20 / 33

Συνάρτηση κέρδους του μονοπωλίου Συνάρτηση ολικού εσόδου: TR(q) = TR(q 1 ) + TR(q 2 ) = p 1 q 1 + p 2 q 2 (7) Ως συνάρτηση δύο μεταβλητών: TR(q 1, q 2 ) = D 1 (q 1 )q 1 + D 2 (q 2 )q 2 (8) Συνάρτηση κέρδους: π(q 1, q 2 ) = TR(q 1, q 2 ) TC(q 1, q 2 ) = D 1 (q 1 ) q 1 + D 2 (q 2 ) q 2 25 10 (q 1 + q 2 ) (9) Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε τις ποσότητες q 1 q 2 που μεγιστοποιούν το κέρδος της μονοπωλιακής επιχείρησης. 21 / 33

Τριδιάστατο γράφημα μονοπωλιακού κέρδους 1 plot3d(pi(q1,q2), [q1,0,20], [q2,0,20], [z,0,1300], 2 [zlabel, "pi"], [legend, false]); 22 / 33

Γράφημα ισοϋψών καμπυλών μονοπωλιακού κέρδους 1 contour_plot(pi(q1,q2), [q1,0,20], [q2,0,20], 2 [palette, false], [legend, false], 3 [gnuplot_preamble, "set cntrparam levels 20;"]); 23 / 33

Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών Εξετάσουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης, δηλαδή τις εξισώσεις μερικών παραγώγων πρώτης τάξης για να βρούμε το στάσιμο σημείο π q 1 = 0 και π q 2 = 0 Εξετάσουμε τις συνθήκες δεύτερης τάξης, δηλαδή τις εξισώσεις μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης για να ελέγξουμε αν πρόκειται για μέγιστο, ελάχιστο ή σαγμοειδές σημείο. 24 / 33

Μεγιστοποίηση κέρδους μονοπωλίου Βήμα 1 Ορίζουμε τη συνάρτηση ολικού κόστους του μονοπωλίου: 1 TC(q1,q2) := 25 + 10*(q1+q2); Ορίζουμε τις (αντίστροφες) συναρτήσεις: 1 D1(q1) := 50-4*q1; 2 D2(q2) := 160-5*q2; 25 / 33

Μεγιστοποίηση κέρδους μονοπωλίου Βήμα 2 Ορίζουμε τις αντίστοιχες συναρτήσεις ολικού εσόδου: 1 TR1(q1) := (D1(q1)*q1); 2 TR2(q2) := (D2(q2)*q2); Τώρα μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση κέρδους: 1 pi(q1,q2) := (TR1(q1) + TR2(q2) - TC(q1,q2)); Αυτή είναι η συνάρτηση που θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε: π (q 1, q 2 ) = 10 (q 1 + q 2 )+(50 4 q 1 ) q 1 +(160 5 q 2 ) q 2 25 26 / 33

Μεγιστοποίηση κέρδους μονοπωλίου Βήμα 3 Υπολογίζουμε την πρώτη μερική παράγωγο ως προς q 1 π(q 1, q 2 ) q 1 = d d q 1 ( 10 (q 1 + q 2 ) + (50 4 q 1 ) q 1 + (160 5 q 2 ) q 2 25) = 40 8 q 1 και λύνουμε την εξίσωση 40 8 q 1 = 0 1 pi1(q1) := (diff(pi(q1,q2), q1)); 2 sol : solve(pi1(q1)=0, q1); 3 q1m : rhs(sol[1]); 27 / 33

Μεγιστοποίηση κέρδους μονοπωλίου Βήμα 4 Υπολογίζουμε την πρώτη μερική παράγωγο ως προς q 2 π(q 1, q 2 ) q 1 = d d q 1 ( 10 (q 1 + q 2 ) + (50 4 q 1 ) q 1 + (160 5 q 2 ) q 2 25) = 150 10 q 2 και λύνουμε την εξίσωση 150 10 q 2 = 0 1 pi2(q2) := (diff(pi(q1,q2), q2)); 2 sol : solve(pi2(q2)=0, q2); 3 q2m : rhs(sol[1]); 28 / 33

Μεγιστοποίηση κέρδους μονοπωλίου Βήμα 4 Οι ποσότητες q 1m = 5 και q 2m = 15 που έχουμε βρει αντιστοιχούν στις ποσότητες προϊόντος που πρέπει να διαθέσει το μονοπώλιο στις δύο αγορές προκειμένου να μεγιστοποιήσει τα έσοδά του. Θα πρέπει ωστόσο να διαπιστώσουμε πως πρόκειται για μέγιστο, χρησιμοποιώντας τις συνθήκες δεύτερης τάξης. Ο πιο απλός και γρήγορος τρόπος είναι να εξετάσουμε την εσσιανή μήτρα της συνάρτησης κέρδους: 1 hessian(pi(q1,q2), [q1,q2]); Από το αποτέλεσμα: ( ) 8 0 0 10 συμπεραίνουμε πως η συνάρτηση έχει μέγιστο. 29 / 33

Γράφημα μεγιστοποίησης μονοπωλιακού κέρδους q 1 = 5 και q 2 = 15 30 / 33

Το άλογο και το νερό http://humanities.byu.edu/elc/student/idioms/ proverbs/horsetowater.html 31 / 33

Ασκήσεις 1 Να υπολογιστεί η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο βέλτιστης παραγωγής του μονοπωλίου. 2 Να βρεθεί πόσο απέχει, σε ποσότητα και τιμή προϊόντος, από τη σημείο μοναδιαίας ελαστικότητας το σημείο παραγωγής του μονοπωλίου. 3 Υπάρχει μονοπωλιακή παραγωγή σε περιοχές ανελαστικής ζήτησης; 4 Υπάρχει οικονομική ανάπτυξη χωρίς μονοπώλια; 5 Υπάρχει απώλεια κοινωνικής ευημερίας όταν σε κρατικό μονοπώλιο; 6 Τι είναι ο δείκτης Lerner; Σημείωση: Απαντήσεις γεωμετρίας, όχι θρησκευτικών. 32 / 33

Σχόλια και ερωτήσεις Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας Είμαι στη διάθεσή σας για σχόλια, απορίες και ερωτήσεις 33 / 33