Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Μάθημα 3 ΑΣΚΗΣΗ Εστω ότι έχουμε δύο νομίσματα. Στο νόμισμα A η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Στο νόμισμα B 4 3 η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Δεν είστε σίγουροι ποιο νόμισμα είναι ποιο, οπότε ρίχνετε κάθε 4 νόμισμα από μια φορά, διαλέγοντας τυχαία το νόμισμα που θα ρίξετε πρώτο, οπότε η σειρά ρίψης είναι είτε A, B είτε B, A. Εστω K i το ενδεχόμενο να έρθει κορώνα στην ρίψη i και Γ i το ενδεχόμενο να έρθουν γράμματα στην ρίψη i. Εστω A το ενδεχόμενο να ρίξετε πρώτο το νόμισμα A και B το ενδεχόμενο να ρίξετε πρώτο το νόμισμα B. (i) Βρείτε την πιθανότητα P (K, K ) (ii) Είναι τα K, K ανεξάρτητα; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. ΛΥΣΗ (i) Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε δέντρο, αλλά δεν είναι απαραίτητο. Κύριες χρήσιμες παρατηρήσεις: Μπορούμε να ρίξουμε με δύο πιθανές σειρές, οι οποίες είναι ισοπίθανες. Τα αποτελέσματα των δύο ρίψεων είναι ανεξάρτητα εφόσον ξέρουμε ποια νομίσματα χρησιμοποιήθηκαν, με άλλα λόγια είναι υπό συνθήκη ανεξάρτητα. P (K, K ) = P (K, K, A ) + P (K, K, B ) = = P (K, K A )P (A ) + P (K, K B )P (B ) Λόγω της υπό συνθήκη ανεξαρτησίας των K, K : P (K, K ) = P (K A )P (K A )P (A ) + P (K B )P (K B )P (B ) = = P (K A)P (K B)P (A ) + P (K B)P (K A)P (B ) = = 3 4 4 + 3 4 4 = 3 6 (ii) Υπολογίζουμε τις P (K ), P (K ) P (K ) = P (K, A ) + P (K, B ) = = P (K A )P (A ) + P (K B )P (B ) = = 4 + 3 4 = P (K ) = P (K, A ) + P (K, B ) = = P (K A )P (A ) + P (K B )P (B ) = = 3 4 + 4 =
Και έχουμε ότι P (K, K ) P (K )P (K ), οπότε δεν είναι ανεξάρτητα. Διαισθητικά, η γνώση του ότι ήρθε κορώνα σε κάποια ρίψη αυξάνει την πιθανότητα αυτή η ρίψη να έγινε με το νόμισμα B, που με την σειρά της αυξάνει την πιθανότητα η άλλη ρίψη να έγινε με το νόμισμα A. Ετσι η γνώση του αποτελέσματος της μιας ρίψης επηρεάζει την πιθανότητα του αποτελέσματος της άλλης.
ΑΣΚΗΣΗ Τα γεγονότα X, Y, Z είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματοχώρου Ω. Για κάθε μια από τις παρακάτω συνθήκες πείτε αν οι προτάσεις που ακολουθούν είναι αναγκαία αληθής βάση της συνθήκης και δικαιολογήστε την απάντησή σας (τουλάχιστον μια είναι σωστή, πιθανόν και όλες). (i) Αν P (X + Y ) = P (X) + P (Y ) τότε (αʹ) P (XY ) = P (X)P (Y ) (βʹ) X + Y = X + X Y (γʹ) P (Y ) = (δʹ) P (XY ) = (ii) Αν P (XY ) = P (X)P (Y ) και P (X),P (Y ), τότε: (αʹ) P (X Y ) = P (Y X) (βʹ) P (X + Y ) = P (X) + P (Y ) P (XY ) (γʹ) P (XY ) (δʹ) X Y εκτός αν X =Ω (iii) Αν P (XY Z) = και X,Y,Z τότε: (αʹ) P (XY ) = (βʹ) Z =Ω (γʹ) P (XY Z) = P (Z) (δʹ) P (X Z) = (iv) Αν P (X + Y Z) = και X,Y,Z τότε: (αʹ) P (XY Z) = (βʹ) P (X + Y ) < (γʹ) P (X Y Z) = (δʹ) P (X Z) < ΛΥΣΗ (i) Η συνθήκη μας λέει ότι τα X, Y είναι ξένα. (αʹ) Δεν ισχύει. Η σχέση απαιτεί να είναι ανεξάρτητα, ενώ δυο ξένα ενδεχόμενα είναι εξαρτημένα (P (X Y ) = P (X)) (βʹ) Ισχύει. Εφόσον τα δύο ενδεχόμενα είναι ξένα X Y = Y (γʹ) Δεν ισχύει. Δεν είναι κάτι που απαιτείται από την συνθήκη. (δʹ) Ισχύει. Η τομή δύο ξένων ενδεχομένων είναι το κενό σύνολο και η πιθανότητά του είναι μηδέν. (ii) Η συνθήκη μας δίνει ότι τα X, Y είναι ανεξάρτητα. (αʹ) Δεν ισχύει. P (X Y ) = P (Y X) P (X) = P (Y ), που δεν είναι απαραίτητα αληθές. (βʹ) Ισχύει πάντα, άσχετα αν είναι ανεξάρτητα τα ενδεχόμενα. (γʹ) Ισχύει. Αν η πιθανότητα της τομής ήταν μηδέν, τότε τα ενδεχόμενα θα ήταν ξένα, δηλαδή εξαρτημένα. (δʹ) Ισχύει. Αν X = Y, η συνθήκη γίνεται P (XX) = P (X)P (X) P (X) = P (X) P (X) = X =Ω (iii) Η συνθήκη μας λέει ότι το ενδεχόμενο Z είναι υποσύνολο της τομής των X, Y
(αʹ) Δεν ισχύει. Για να ισχύει θα απαιτούσε X = Y =Ω, που δεν είναι απαραίτητα αληθές. (βʹ) Δεν ισχύει. Αν ίσχυε, τότε η τομή XY σαν υπερσύνολο του Z θα ήταν επίσης Ω X = Y = Z =Ω (γʹ) Ισχύει. P (XY Z) = P (XY Z)P (Z) = P (Z) (δʹ) Ισχύει. Το Z είναι υποσύνολο του X, οπότε X Z = P (X Z) = (iv) Η συνθήκη μας λέει ότι το ενδεχόμενο Z είναι υποσύνολο της ένωσης των X, Y (αʹ) Δεν ισχύει. P (XY Z) = P ((X + Y ) Z) = P (X + Y Z), αλλά X + Y Z P (X + Y Z) P (X + Y Z) (βʹ) Δεν ισχύει. Αν Z =Ω τότε P (X + Y ) = (γʹ) Ισχύει. P (X Y Z) = P ((X + Y ) Z) = P (X + Y Z) = (δʹ) Δεν ισχύει. Η αρχική συνθήκη θα ισχύει ακόμα και αν P (X Z) = Z X
ΑΣΚΗΣΗ 3 Εστω οι τυχαίες μεταβλητές x και y οι οποίες είναι από κοινού κατανεμημένες. Απαντήστε εάν ισχύουν τα παρακάτω. Για κάθε σχέση που ισχύει δικαιολογήστε την απάντησή σας. Αν κάποια από αυτές δεν ισχύει πάντα, πείτε πότε θα ισχύει. (i) E[x + y] = E[x] + E[y] (ii) E[xy] = E[x]E[y] (iii) E[ x y ] = E[x]E[ y ] (iv) E[xy y = 3] = 3E[x] (v) Εάν οι x, y είναι ανεξάρτητες, ισχύει ότι E[y x] = E[y]; Εξηγήστε. (vi) Υποθέστε ότι ισχύουν y = x με πιθανότητα E[Y X] = E[Y ]; Είναι τα x, y ανεξάρτητα; και y = x με πιθανότητα / επίσης. Ισχύει ότι ΛΥΣΗ (i) Ισχύει πάντα, λόγω της γραμμικότητας της μέσης τιμής. (ii) Η συνθήκη απαιτεί οι x, y να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. (iii) Η συνθήκη είναι της μορφής E[g(x)h(y)] = E[g(x)]E[h(y)], που για να ισχύει απαιτεί οι x, y να είναι στατιστικά ανεξάρτητες. (iv) Ισχύει πάντα. E[xy y = 3] = E[3x] = 3E[x] (v) Ισχύει. Αντικαθιστώντας από τον ορισμό της μέσης τιμής έχουμε: + yf y x (y x) dy = + yf y (y) dy Που ισχύει, καθώς για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές έχουμε ότι f y x (y x) = f y (y). (vi) Ισχύει ότι y = g(x). Αναπτύσσουμε την ζητούμενη σχέση: E[Y X] = E[Y ] E(X) + E( X) = E(X) E(X) = = + + yf y (y) dy xf x (x) dx + + ( x)f x (x) dx Άρα ισχύει. Οι τυχαίες μεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες, καθώς η x καθορίζει τις πιθανές τιμές της y, δηλαδή δεν ισχύει ότι P (y x) = P (y)
ΑΣΚΗΣΗ 4 Εστω οι τυχαίες μεταβλητές x και y οι οποίες παίρνουν τιμές ή και έχουν από κοινού μάζα πιθανότητας P x,y (x, y) που παίρνει τις τιμές: P x,y (, ) = a, P x,y (, ) =, P x,y (, ) = c, P x,y (, ) = d. Γράψτε την ικανή και αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ισχύει μεταξύ των a,, c, d ώστε οι τυχαίες μεταβλητές x, y να είναι ασυσχέτιστες. ΛΥΣΗ Για να είναι ασυσχέτιστες, θέλουμε E[xy] = E[x]E[y]. Μια πρώτη συνθήκη είναι η a + + c + d = καθώς η από κοινού πρέπει να ολοκληρώνει στο. Επίσης πρέπει το καθένα από αυτά να είναι θετικό και μικρότερο του, καθώς είναι πιθανότητες. Μπορούμε να υπολογίσουμε τις οριακές πιθανότητες των x, y μέσω της από κοινού: P x () = P x,y (, ) + P x,y (, ) = a + P x () = P x,y (, ) + P x,y (, ) = c + d P y () = P x,y (, ) + P x,y (, ) = a + c P y () = P x,y (, ) + P x,y (, ) = + d Και υπολογίζουμε τις αναμενόμενες τιμές: E[xy] = a + + c + d = d E[x] = (a + ) + (c + d) = c + d E[y] = (a + c) + ( + d) = + d Αντικαθιστούμε στην ζητούμενη σχέση: E[xy] = E[x]E[y] d = (c + d)( + d) d = c + (c + )d + d = d + (c + )d + c Αντικαθιστούμε από την σχέση a + + c + d = και: d + ( a d)d + c = d ad d + c = ad = c a c d =
ΑΣΚΗΣΗ Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της Τ.Μ. Α είναι: 3 εάν a = - p A (a) = 3 εάν a = αλλού Η υπό συνθήκη συνάρτηση μάζας πιθανότητας της Τ.Μ. Β δεδομένου της Α είναι: 3 εάν = p B A ( ) = 3 εάν = αλλού εάν = p B A ( ) = εάν = αλλού (i) Ποιά είναι η από κοινού συνάρτηση μάζας πιθανότητας p A,B (a, ); (ii) Άν A = υπολογίστε την υπό συνθήκη αναμενόμενη τιμή E[B A = ]. (iii) Υπολογίστε την συνδιασπορά σ A,B των A, B. ΛΥΣΗ (i) Εχουμε τον παρακάτω πίνακα για την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας: A \ B 3-9 Άρα η από κοινού συνάρτηση μάζας πιθανότητας p A,B (a, ) είναι: 9 εάν a = - και = 9 εάν a = - και = p B,A (a, ) = 3 εάν a = και = 3 εάν a = και = αλλού (ii) Για την αναμενόμενη τιμή E[B A = ] ισχυεί ότι: 3 9 E[B A = ] = p B A ( ) + p B A ( ) = + = (iii) Για να υπολογίσουμε την συνδιασπορά σ A,B = E[AB] E[A]E[B]: E[A] = 3 + 3 = 3 E[B] =E[B A = ]P (A = ) + E[B A = ]P (A = ) = 3 + 3 3 = 3 + 3 = 9
Άρα ισχύει ότι: E[AB] = P (A =, B = ) ( ) + P (A =, B = ) ( ) = + P (A =, B = ) ( ) + P (A =, B = ) ( ) = = 3 + ( ) 9 = 9 σ A,B = 9 9 3 = 7
ΑΣΚΗΣΗ 6 Ο φοιτητής X έχει πιθανότητα % να περάσει το μάθημα αν δεν αντιγράψει. Εάν αντιγράψει (και εφόσον δεν μηδενιστεί η κόλλα του για αντιγραφή) η πιθανότητα να περάσει το μάθημα είναι 7%. Εφόσον ο επιτηρητής Y επιβλέπει την διεξαγωγή του διαγωνίσματος τότε η πιθανότητα να μηδενιστεί η κόλλα του X εφόσον αντιγράψει κατά τη διάρκεια του διαγωνίσματος είναι %, ενώ εάν δεν επιτηρεί ο Y η πιθανότητα αυτή είναι %. Εφόσον η κόλλα του X δεν μηδενιστεί απο τους επιτηρητές και ο X έχει αντιγράψει, υπάρχει πιθανότητα 8% να μηδενιστεί από τον διδάσκοντα κατά τη διάρκεια διόρθωσης του διαγωνίσματος. α) Ποια είναι η καλύτερη στρατηγική για τον X ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να περάσει το διαγώνισμα; β) Εστω ότι η πιθανότητα να αντιγράψει ο X είναι % και η πιθανότητα να επιτηρήσει ο Y είναι επίσης %. Υπολογίστε την πιθανότητα έχει να περάσει ο φοιτητής το μάθημα. γ) Ποια είναι η πιθανότητα να αντέγραψε ο φοιτητής δεδομένου ότι πέρασε το μάθημα (χρησιμοποιήστε τα δεδομένα του ερωτήματος β); δ) Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός εξεταστικών που θα χρειαστεί ο φοιτητής για να περάσει το μάθημα άμα δεν αντιγράψει; Το ίδιο άμα αντιγράψει (η πιθανότητα να επιτηρεί ο Y είναι % για κάθε εξεταστική). ΛΥΣΗ Ορίζουμε ενδεχόμενα: A = {ο φοιτητής αντιγράφει} Y = {ο Y επιτηρεί} k e = {το γραπτό μηδενίζεται από τους επιτηρητές} k k = {το γραπτό μηδενίζεται από τον καθηγητή} p = {ο φοιτητής περνά το μάθημα} Οπότε οι πιθανότητες που δίνονται στην εκφώνηση είναι οι: P (p A ) =. P (p k e, k k) =.7 P (k e Y, A) =. P (k e Y, A) =. P (k k k e, A) =.8 α) Σχηματίζουμε το δέντρο του πειράματος. Για αυτό το ερώτημα, το κατά πόσο ο φοιτητής θα αντιγράψει δεν είναι τυχαίο, όπως και το αν θα είναι επιτηρητής ο Y. Οπότε σχηματίζουμε 3 χωριστά δέντρα για να καλύψουμε όλες τις περιπτώσεις: να μην αντιγράψει ο φοιτητής να αντιγράψει και να επιτηρεί ο Y να αντιγράψει και να μην επιτηρεί ο Y
P (p A ) P (p A ) p A p A Y P (k e A, Y ) P (k e A, Y ) k e p P (k k k e, A) k k p k e P (k k k e, A) P (p k e, k k, A) p k k P (p k e, k k, A) p A Y P (k e A, Y ) P (k e A, Y ) k e p P (k k k e, A) k k p k e P (k k k e, A) P (p k e, k k, A) p k k P (p k e, k k, A) p
Επειτα υπολογίζουμε την πιθανότητα να περάσει σε κάθε περίπτωση: P (p A ) =. P (p A, Y ) = P (p, k e, k k A, Y ) = P (p k e, k k, A, Y ) P (k k k e, A, Y ) P (k e A, Y ) = = P (p k e, k k, A) P (k k k e, A) P (k e A, Y ) = =.7.. =.7 P (p A, Y ) = P (p, k e, k k A, Y ) = P (p k e, k k, A, Y ) P (k k k e, A, Y ) P (k e A, Y ) = = P (p k e, k k, A) P (k k k e, A) P (k e A, Y ) = =.7..8 =. Οπότε η βέλτιστη στρατηγική που μπορεί να ακολουθήσει ο φοιτητής είναι: να αντιγράψει αν δεν επιτηρεί ο Y, να μην αντιγράψει αν επιτηρεί ο Y.
β) Σε αυτό το ερώτημα όλα ορίζονται ως τυχαία, οπότε δημιουργούμε ένα δέντρο που είναι η ένωση των δέντρων του προηγούμενου ερωτήματος. P (k e A, Y ) k e p P (A) A P (Y ) P (Y ) Y P (k e A, Y ) P (k e A, Y ) k e P (k k k e, A) P (k k k e, A) k e p k k p k k P (p k e, k k, A) P (p k e, k k, A) p p P (A ) P (p A ) Y p P (k e A, Y ) k e P (k k k e, A) P (k k k e, A) k k p P (p k e, k k, A) p k k P (p k e, k k, A) A P (p A ) p p Και η πιθανότητα να περάσει το μάθημα θα είναι: γ) P (p) = P (p, A) + P (p, A ) = = P (p, A, Y ) + P (p, A, Y ) + P (p, A ) = = P (p A, Y )P (A)P (Y ) + P (p A, Y )P (A)P (Y ) + P (p A )P (A ) = =.7.. +... +.. = =.9 Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας ώστε να εκφράσουμε την ζητούμενη πιθανότητα συναρτήσει πιθανοτήτων που ξέρουμε: δ) P (A p) = P (p, A) P (p) =.4.9 =.476 Εχουμε από την εκφώνηση την πιθανότητα να περάσει σε μια εξεταστική αν δεν αντιγράψει P (p A ) =., P (p, A) ενώ αν αντιγράψει P (p A) = =.4 =.9 P (A).
Εστω n τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό της εξεταστικής στην οποία θα περάσει ο φοιτητής και q η πιθανότητα να περάσει σε μια οποιαδήποτε εξεταστική. Τότε: P n (n ) = ( q) n q Δηλαδή ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας q και η αναμενόμενη τιμή της είναι: Απόδειξη E(n) = q E(n) = + np n (n) = + n= n= n( q) n q ( q)e(n) = + Αφαιρούμε κατά μέρη τις παραπάνω σχέσεις: E(n) ( q)e(n) = = = n( q) n q = + n= n= + n= + n= + n= qe(n) = (n )( q) n q [ n( q) n q (n )( q) n q ] = ( q) n q = P n (n) = E(n) = q Οπότε οι απαντήσεις στα ερωτήματα είναι: E(n A) =.9 =.99 E(n A ) =. =
ΑΣΚΗΣΗ 7 Εστω το τ.δ. x = [x, x, x 3, x 4 ] T που ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή με αναμενόμενη τιμή µ x και πίνακα συνδιασποράς Σ x, δηλαδή x N (µ x, Σ x ): 4 µ x = Σ x = 4 α) Υπολογίστε την από κοινού Σ.Π.Π. και τον συντελεστή συσχέτισης των τ.μ. x, x 3. β) Εστω το τ.δ. y = [y, y ] T που προκύπτει ως μετασχηματισμός του τ.δ. στο προηγούμενο παράδειγμα ως εξής: y = x + x 3, y = x + x 4. Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή, τον πίνακα συνδιασποράς και την Σ.Π.Π. του τ.δ. y. ΛΥΣΗ α) Ορίζουμε τυχαίο διάνυσμα z = [x, x 3 ] T, που είναι υποδιάνυσμα του διανύσματος x. Για να υπολογίζουμε την μέση τιμή και τον πίνακα συνδιασποράς του z αρκεί να επιλέξουμε τα αντίστοιχα στοιχεία από τα µ x, Σ x. [ ] [ ] µ x µ z = = µ x3 Σ z = [ σ x σ xx 3 σ xx 3 σ x 3 ] = [ 4 ] Καθώς ξέρουμε πως κάθε υποδιάνυσμα του x θα ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή: ([ ] [ ]) 4 f x,x 3 (x, x 3 ) = N (µ z, Σ z ) = N, Και ο συντελεστής συσχέτισης: β) ρ x,x 3 = σ x x 3 σ x σ x3 = Το διάνυσμα y είναι γραμμικός μετασχηματισμός του x, της μορφής y = Ax. Οπου ο πίνακας A θα έχει δύο γραμμές (όσες οι μεταβλητές του y), τέσσερις στήλες (όσες οι μεταβλητές του x) και η κάθε γραμμή του θα περιλαμβάνει τους συντελεστές του συστήματος y = Ax. Οπότε: A = [ Ως γραμμικός συνδυασμός ενός διανύσματος που ακολουθεί την πολυδιάστατη κανονική κατανομή, το y θα ακολουθεί και αυτό την πολυδιάστατη κανονική κατανομή με μέση τιμή και διασπορά: ]
µ y = Aµ x = [ ] [ = ] [ ] 4 [ Σ y = AΣ x A T = 4 = 3 7 ([ ] [ ]) 3 Και η κατανομή του y είναι η πολυδιάστατη κανονική κατανομή N, 7 ]
ΑΣΚΗΣΗ 8 α) X(t) είναι στάσιμη υπό την ευρεία έννοια (W SS) Gaussian διαδικασία με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X (r) και μέση τιμή µ X. Ορίζουμε το τυχαίο σήμα Y (t) = X(t) X(t ). Χαρακτηρίστε το Y (t)(ως προς τη στασιμότητα). β) Ποιές από τις ακόλουθες συναρτήσεις δεν είναι έγκυρες συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης; Δικαιολογείστε την απάντηση σας. i)r X (r) =.e. r, r R {, r < T ii)r X (r) =, r R., αλλού iii)r X (r) = cos(w o r), r R ΛΥΣΗ α) Για να χαρακτηρίσουμε την διαδικασία ως προς την στασιμότητα ξεκινάμε από την μέση τιμή της E(Y (t)) = E(X(t) X(t )) = µ X µ X = µ X = σταθερή Επειτα υπολογίζουμε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης: R Y (t, t + τ) = E((X(t) X(t ))(X(t + τ) X(t + τ ))) = = 4E(X(t)X(x + τ)) E(X(t )X(t + τ)) E(X(t)X(t + τ )) + E(X(t )X(t + τ ))) = = 4R X (τ) R X (τ + ) R X (τ ) + R X (τ) = = R X (τ) R X (τ + ) R X (τ ) = ανεξάρτητη της χρονικής στιγμής t Καθώς η μέση τιμή είναι σταθερή και η διαδικασία αυτοσυσχέτισης εξαρτάται μόνο από την διαφορά των χρονικών στιγμών, η διαδικασία είναι W SS. Αλλά ξέρουμε ότι όταν μια Gaussian διαδικασία είναι W SS, τότε είναι και SSS, οπότε η διαδικασία είναι SSS. β) Για να ελέγξουμε θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης W SS διαδικασιών, καθώς και την πυκνότητα φάσματος ισχύος που προκύπτει ως F ourier της αυτοσυσχέτισης. i) δεν είναι έγκυρη, καθώς R X () < που σημαίνει αρνητική μέση ισχύ. ii) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μπορεί να μετασχηματιστεί σε R X (r) = rect( r ), οπότε η πυκνότητα φάσματος ισχύος είναι: S X (f) = sinc(f). Η συνάρτηση sinc παίρνει και αρνητικές τιμές, κάτι που είναι αδύνατο για την πυκνότητα φάσματος ισχύος, άρα δεν είναι έγκυρη. iii) έγκυρη
ΑΣΚΗΣΗ 9 Λευκός κανονικός θόρυβος με πυκνότητα φάσματος ισχύος S N (f) = N μεταφοράς: H(f) = +jπf περνάει από φίλτρο με συνάρτηση α) Υπολογίστε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X (τ) του σήματος X(t) στη έξοδο του φίλτρου. β) Βρείτε την πυκνότητα φάσματος ισχύος του X(t). γ) Ποια είναι η μέση ισχύς του σήματος X(t); ΛΥΣΗ Μας συμφέρει να αντιστρέψουμε την σειρά των ερωτημάτων και να λύσουμε πρώτα το β) β) S X (f) = S N (f) H(f) = N H(f)H (f) = N + jπf jπf = N + 4π f α) R X (τ) = F (S X (f)) = N ( ) F + 4π f Από πίνακες μετασχηματισμού F ourier έχουμε ότι: ( ) F a a + 4π f = e a τ Οπότε: R X (τ) = N ( ) 4 F + 4π f = N 4 e τ γ) P Y = R X () = N 4
ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα τυχαία σήματα X(t), Y (t) με τις πιθανές απεικονίσεις (realizations) που φαίνονται στα ακόλουθα σχήματα: X(t) Y (t) y (t) = t x 3 (t) = x (t) = x (t) = y 4 (t) = y 3 (t) = y (t) = y (t) = t x (t) με πιθανότητα 3 X(t) = x (t) με πιθανότητα 3 x 3 (t) με πιθανότητα 3 Y (t) = y (t) με πιθανότητα y (t) με πιθανότητα y 3 (t) με πιθανότητα y 4 (t) με πιθανότητα y (t) με πιθανότητα (i) Βρείτε τα µ X (t), R X (t). Είναι το X(t) στατικό υπό την ευρεία έννοια; (ii) Επαναλάβετε το προηγούμενο ερώτημα για το Y (t). ΛΥΣΗ (i) E(X(t)) = 3 x (t) + 3 x (t) + 3 x 3(t) = 3 + 3 = Αλλά X(t) = X(t + τ), οπότε: R X (t, t + τ) = E(X(t)X(t + τ)) R X (t, t + τ) = E(X (t)) = 3 x (t) + 3 x (t) + 3 x 3(t) = 3 + 3 = 3 Η μέση τιμή είναι σταθερή και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι ανεξάρτητη της θέσης t, οπότε η διαδικασία είναι W SS. (ii) E(Y (t)) = y (t) + y (t) + y 3(t) + y 4(t) + y (t) = R Y (t, t + τ) = E(Y (t)y (t + τ))
Σε αυτή την περίπτωση η κατανομή του Y (t) αλλάζει με τον χρόνο, έχει διαφορετικές πιθανές τιμές σε κάθε στιγμή. Ισχύει όμως και πάλι ότι αν κάποια στιγμή παίρνει τιμή από την απεικόνιση y j (t) τότε και σε όλες τις υπόλοιπες στιγμές θα παίρνει τιμές από την ίδια απεικόνιση. Οπότε μπορούμε να γράψουμε την από κοινού κατανομή χρονικών στιγμών: P Y (t),y (t+τ) (a, a ) = a = y (t) = t, a = y (t + τ) = (t + τ) a = y (t) =, a = y (t + τ) = a = y 3 (t) =, a = y 3 (t + τ) = a = y 4 (t) =, a = y 4 (t + τ) = a = y (t) = t, a = y (t + τ) = t + τ Και μέσω αυτής την κατανομή του γινομένου Y (t)y (t + τ) P Y (t)y (t+τ) (a ) = a = y (t)y (t + τ) = t(t + τ) a = y (t)y (t + τ) = a = y 3 (t)y 3 (t + τ) = a = y 4 (t)y 4 (t + τ) = a = y (t)y (t + τ) = t(t + τ) = a = a = a = t(t + τ) Οπότε: R Y (t, t + τ) = E(Y (t)y (t + τ)) = t(t + τ) + + = t(t + τ) + Η μέση τιμή είναι σταθερή, αλλά η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δεν εξαρτάται μόνο από την διαφορά των χρονικών στιγμών, οπότε δεν είναι W SS.
ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται το νομοτελειακό σήμα πληροφορίας X(t) = a sin(πf c t) το οποίο αφού παραμορφωθεί από προσθετικό θόρυβο με πυκνότητα φάσματος ισχύος που φαίνεται στο σχήμα, διέρχεται από δύο Γ.Χ.Α. συστήματα με κρουστικές αποκρίσεις: h (t) = δ(t t ), t > { e t t h (t) = t <, > H (f) Y (t) S N (f) X(t) + N N(t) H (f) Y (t) W W f (i) Βρείτε το λόγο σήματος προς θόρυβο στην έξοδο του πρώτου συστήματος (ii) Επαναλάβετε για το δεύτερο σύστημα. (iii) Συγκρίνετε τις σηματοθορυβικές σχέσεις και δώστε τις συνθήκες για τις παραμέτρους f c,, W ώστε η σηματοθορυβική σχέση του συστήματος να είναι καλύτερη. ΛΥΣΗ (i) Υπολογίζουμε την συνάρτηση μεταφοράς, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της χρονικής μετατόπισης στον μετασχηματισμό F ourier. H (f) = F(δ(t t )) = e jπft Και H (f) = H (f)h (f) = e jπft e +jπft = e = Η έξοδος του συστήματος, καθώς πρόκειται για ΓΧΑ σύστημα, μπορεί να διαιρεθεί στην έξοδο που αντιστοιχεί στο σήμα και σε αυτήν που αντιστοιχεί στον θόρυβο. Εστω Y (t) η έξοδος που αντιστοιχεί στο σήμα: Y (t) = a H (f c ) sin(πf c t + φ) = a sin(πf c t + φ), με ισχύ:
P Y = Tc Y (t) dt = T c = Tc a sin (πf c t + φ) dt = T c = a T c = a T c = a T c Tc Tc sin(πf c t + φ)sin(πf c t + φ) dt = [cos() cos(4πf ct + φ)] dt = [ Tc ] Tc dt cos(4πf c t + φ) dt = = a (T c ) = a T c Και N o (t) η έξοδος που αντιστοιχεί στον θόρυβο, με πυκνότητα φάσματος ισχύος: Οπότε η μέση ισχύς είναι: S No (f) = S N (f) H(f) = N, f < W P No = Συνολικά η σηματοθορυβική σχέση θα είναι: (ii) W W N df = W N SNR = P a Y a = = P No W N W N Ομοίως με το προηγούμενο ξεκινάμε από την συνάρτηση μεταφοράς: Και H (f) = F(e t u(t)) = H (f) = H (f)h (f) = + jπf + jπf jπf = + 4π f Εστω Y (t) η έξοδος που αντιστοιχεί στο σήμα: Y (t) = a H (f c ) sin(πf c t + φ), με ισχύ: P Y = Tc Y (t) dt = a H (f c ) T c = a + 4π f Και N o (t) η έξοδος που αντιστοιχεί στον θόρυβο, με πυκνότητα φάσματος ισχύος: Οπότε η μέση ισχύς είναι: S No (f) = S N (f) H(f) = N P No = N = N W W W W + 4π f + 4π f df = + ( πf ) df, f < W
Εφαρμόζουμε αντικατάσταση μεταβλητής: x = πf df = π dx P No = N πw πw πw + x π dx = = N π πw + x dx = = N [ ( ) πw arctan arctan 4π = N ( ) πw 4π arctan = = N ( ) πw π arctan ( πw )] = Και τελικά: (iii) SNR = P Y P No = = a +4π f N π arctan ( πw πa ) = N ( + 4π f ) arctan ( πw ) Θέλουμε: SNR > SNR πa N ( + 4π f ) arctan ( ) > πw π ( + 4π f ) arctan ( πw a W N ) > W
ΑΣΚΗΣΗ Το ληφθέν σήμα σε έναν αποδιαμορφωτή AM είναι Y (t) = A(t)cos(πf c t + θ) + N(t), όπου A(t) W SS τυχαίο σήμα, θ ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή στο [, π] και N(t) ζωνοδιαβατός θόρυβος με πυκνότητα φάσματος ισχύος: S N (f) = { N f f c < W αλλού S N (f) N f c w f c f c + w f c w f c f c + w f Ο αποδιαμορφωτής φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα: Y (t) X Low Pass Filter [ W, W ] Z(t) cos(πf c t + φ) Οπου φ τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφη στο [, π] και f c > W Υπολογίστε το λόγο σήματος προς θορύβου στην έξοδο του αποδιαμορφωτή, θεωρώντας ότι το σήμα πληροφορίας είναι το A(t) με μέση ισχύ P A = +W W S A(f) df ΛΥΣΗ Εστω X(t) = A(t)cos(πf c t + θ)cos(πf c t + φ) το σήμα πληροφορίας όπως φτάνει στο φίλτρο και G(t) = A(t)cos(πf c t + θ) το σήμα πληροφορίας όπως φτάνει στον πολλαπλασιαστή. Υπολογίζουμε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης: R G (t, t + τ) = E[A(t)cos(πf c t + θ)a(t + τ)cos(πf c (t + τ) + θ)] = = E[A(t)A(t + τ)(cos(πf cτ) + cos(πf c (t + τ) + θ))] = = E[A(t)A(t + τ)]cos(πf cτ) + E[A(t)A(t + τ)cos(πf c(t + τ) + θ)] = = R A(τ)(cos(πf c τ) + R A(τ)E[cos(πf c (t + τ) + θ)] = = R A(τ)cos(πf c τ)
Ομοίως: R X (t, t + τ) = E[G(t)cos(πf c t + φ)g(t + τ)cos(πf c (t + τ) + φ)] = = 4E[G(t)cos(πf c t + φ)g(t + τ)cos(πf c (t + τ) + φ)] = = 4 R G(τ)(cos(πf c τ) = = R A (τ)cos (πf c τ) Και η πυκνότητα φάσματος ισχύος θα είναι: S X (f) = F(R X (τ)) = F(R A (τ)cos (πf c τ)) = F(R A ) F(cos(πf c τ)) F(cos(πf c τ)) = = S A (f) [ (δ(f f c) + δ(f + f c ))] [ (δ(f f c) + δ(f + f c ))] Ο F ourier γινομένου είναι η συνέλιξη των F ourier. Η συνέλιξη με το δ μεταφράζεται σε μετατόπιση, οπότε: S X (f) = [S A (f f c ) + S A (f + f c )] [ (δ(f f c) + δ(f + f c ))] = = [S A(f f c ) + S A (f) + S A (f) + S A (f + f c )] = = S A (f) + [S A(f f c ) + S A (f + f c )] Που θα είναι μια μορφή σαν την παρακάτω, καθώς ξέρουμε ότι η πυκνότητα φάσματος ισχύος της A(t) ορίζεται στο [ w, w] : S X (f) f c w f c f c + w w w f c w f c f c + w f Τέλος στην έξοδο, το φίλτρο θα κόψει τους δύο ακραίους λοβούς αφήνοντας μόνο τον κεντρικό: S Z (f) = S X (f) H(f) = S A (f), f [ w, w] P Z = P A Ομοίως για τον θόρυβο, ξεκινάμε από την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της μορφής που φτάνει στο φίλτρο: R N (t, t + τ) = E[N(t)cos(πf c t + φ)n(t + τ)cos(πf c (t + τ) + φ)] = = R N(τ)(cos(πf c τ) Η πυκνότητα φάσματος ισχύος είναι: S N (f) = F(R N (τ)) = = S N(f) (δ(f f c ) + δ(f + f c )) = = 4 [S N(f f c ) + S N (f + f c )]
Αν εκφράσουμε μαθηματικά την πυκνότητα φάσματος ισχύος S N (f), έχουμε: N w f c < f < w + f c N S N (f) = w f c < f < w + f c αλλού Οπότε: N w f c < f < w N S N (f f c ) = w f c < f < w αλλού N w < f < w + f c N S N (f + f c ) = w < f < w + f c αλλού S N (f) N 4 N 8 f c w w f c w w w + f c f c + w f Το φίλτρο θα κόψει ότι είναι εκτός του διαστήματος [ w, w], ενώ ξέρουμε πως τα διαστήματα [w f c, w] και [ w, w + f c ] επικαλύπτονται σε ολόκληρο το [ w, w] (f c > w w + f c > w) Οπότε στην έξοδο του φίλτρου έχουμε: Τέλος για την σηματοθορυβική σχέση: S Z (f) = S N (f) H(f) = N, f [ w, w] 4 P Z = N 4 w = N w SNR = P Z P Z = P A N W