Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 6-7 Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά νάλυση Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις

Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς κι ληροφορικής Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 6.7 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή μέσω διδικτύου ροορίζετι γι σχολική χρήση κι είνι ελεύθερη γι ξιοοίηση ρκεί ν μην λλάξει η μορφή της Μίλτος Πγρηγοράκης Μθημτικός M.Ed. Χνιά 6

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 6 ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Μι συνάρτηση f : R R με f έχει την ιδιότητ Ν οδείξετε ότι f. f γι κάθε R.. Έστω μι συνεχής συνάρτηση f : R R κι F μι ρχική της f στο R. Αν f κι f F γι κάθε R, τότε Ν ρείτε τον τύο της f. * Έστω F μι ρχική της συνεχούς συνάρτησης f : R R, με την ιδιότητ: F F F γι κάθε R, όου. Ν οδειχθεί ότι: Α) F F μι τουλάχιστον ρίζ στο R., Β) η εξίσωση f έχει. Bρείτε συνάρτηση f : R R ν ισχύει f f συν, R f κι.5 Έστω f : R R συνεχής συνάρτηση κι F μι ράγουσά της στο R. Αν F, R κι F F, R, ν λύσετε την εξίσωση f.6 N ρείτε τις ρχικές συνρτήσεις της συνάρτησης f με R.7 Ν ρείτε μι ρχική της συνάρτησης ln, f,.8 Αν η συνάρτηση f με την ιδιότητ f y f f y,, y R έχει ρχική, τότε υτή είνι της μορφής f c R.9 Στη δεκετί του 98 ο γκόσμιος ρυθμός κτνάλωσης ετρελίου σε εκτομμύρι ρέλι ετησίως δινότν ό τον τύο R(t) = k (ln)t, όου t είνι ο ριθμός των ετών μετά το 98. Στις ρχές του 98 ο ρυθμός ήτν εκτ. ρέλι τον χρόνο. Ν ρείτε: Α) την γκόσμι κτνάλωση ετρελίου t χρόνι μετά το 98, Β) σε όσ εκτομμύρι ρέλι νερχότν η γκόσμι κτνάλωση ετρελίου κτά τη ερίοδο 98-99. ( ln,7). Μι ετιρεί έχει διιστώσει ότι το ορικό κόστος λειτουργίς της είνι, 5 8 δολάρι την ημέρ, όου είνι ο ριθμός των μονάδων ροϊόντος ου ράγοντι ημερησίως. Αν η ετιρεί έχει άγι έξοδ δολάρι την ημέρ, ν ρείτε: Α) το ημερήσιο κόστος ργωγής μονάδων ροϊόντος, Β) την ύξηση του κόστους, ν ντί μονάδων ρχθούν 6 μονάδες ροϊόντος σε μι ημέρ.. Νερό φεύγει ό την ρύση έτσι ώστε t min μετά το άνοιγμ της ρύσης ν χύνετι με ρυθμό 8t 5 dm/min. Πόσο νερό έφυγε κτά την διάρκει των τριών ρώτων λετών ;. 'Εν κινητό κινείτι άνω σε άξον κι η τχύτητά του σε cm/sc τη χρονική στιγμή t δίνετι ό τον τύο υ(t) t(t ). Αν τη χρονική στιγμή t το κινητό ρίσκετι σε όστση cm ό την ρχή των ξόνων, ν ρεθεί η θέση του τη στιγμή t Σχ. Έτος 6-7

6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ TO ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ. H συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει ότι f d, f d 5 ν υολογίσετε τ : f u du, f d, f d κι f d. Αν f()d 5, g()d, ρείτε τ: Α) [f() g()]d Β) [g() f() 5]d.5 Αοδείξτε ότι 5 d d.6 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,, γ, δ R δ γ δ f d f d f d γ f d ν δείξετε ότι:.7 Έστω ότι f()d κι g()d 5. Ν υολογίσετε το f g t dt d.8 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,, γ, δ R γ δ γ δ f d f d f d f d δ γ f d f d ν δείξετε ότι:.9 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,, γ, δ R δ γ δ f d f d f d γ f d ν οδείξετε ότι:. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R. Γι κάθε,, γ, δ R f t d dt f t dt d δ δ γ γ ν οδείξετε ότι:. Έστω ότι f()d κι g()d 5. Ν υολογίσετε το f g t dt d http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 65 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() f(t)dt. Βρείτε τo εδίο ορισμού κι την ράγωγο των συνρτήσεων: ln tdt K G F t dt N ln t t t ln tdt dt ln t. Ν ρείτε τo εδίο ορισμού κι την ράγωγο των συνρτήσεων: M() dt ln t, F t dt 5, G H() t t dt ln t dt t. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, ν ρείτε όου υάρχει την ράγωγο των συνρτήσεων G F f t dt με, t H f dt tf t dt.5 Ν ρείτε τo εδίο ορισμού κι την ράγωγο της συνάρτησης t dt G G G ω t du t dt K t ημ t dt.7 N οδείξετε ότι: συν(t) συν(t) dt dt,, R.8 Ν ρεθεί η F Α) Β) ν ln t F ln tdt dt u y du dy 6 6 F συν tdt ημ tdt 9 6.9 Αν f συνεχής στο R, ν δείξετε ότι: t f u du dt u f u du t Α) f u ημ ημu du συνu f(t)dt du u Β). Υολογίστε το t dt d t. Ν οδειχτεί ότι ντιστρέφοντι οι συνρτήσεις: κι F() t dt G() ημ t dt. Δείξτε ότι δεν υάρχει συνάρτηση f, y f συνεχής στο R ώστ ν ισχύει: f tdt, f y, y R.6 Ν ρείτε τη δεύτερη ράγωγο της y F() dt dy t ημ t Σχ. Έτος 6-7

66 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ f d Fd F F Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ:. Α) ( ) d Β) ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ d Γ) 5 ημ συν d ημ 6 5 d 6 d. Α) 6 d Β) d Γ) 5 d d.5 A) d B) ( ) d Γ) d 6 d.6 Α) ln d B) d Γ) ( )d.7 Α) d Β) ln Γ) d g f u du - με ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: u g g ΣΥΝΘΕΣΗ fg() g ()d.8 A) ( ) d B) ή ln(ln ) d Γ) d ln d.9 Α) d Β) d Γ) ( ) d d. Α) d Β) 7 6 d Γ) 5 d ln ln(ln ) ln d. Α) d Β) d Γ) d ln( ) d. Α) 5 d Β) ( ) d Γ) (ln ) d d. Α) ln( ) d Β) 6 d Γ) d d http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 67 f,ln d Τότε θέτω: u ln ΜΟΡΦΗ: ln. Α) d Β) d Γ) ln ln d ( ln ) d Ε) ln d ΜΟΡΦΗ: f ημ συν d ή.5 Α) d Β) 6 f συν ημ d Τότε θέτω u ημ ή u συν ντίστοιχ d Γ) 6 6 d d λ ν ΜΟΡΦΗ: f P, d όου ν Ρητός. κ 7.6 Α) ( ) d Β) d Γ) ( ) ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ P ολυώνυμο Τότε θέτω u, ( ) d ( ) ( ) d Α Περίτωση: θμός P < θμός Q. Ελέγχω ρώτ μήως ο ριθμητής είνι η ράγωγος του ρονομστή = Q'() d Q() P() Q () δηλδή ν Q P τότε d d ln Q() ln Q() ln Q() Q() Q() ΜΟΡΦΗ: ν κ λ μ γ d, με γ. Τότε εργάζομι όως στο ράδειγμ:.7 Ν υολογισθεί το ολοκλήρωμ d. 5 6 ΛΥΣΗ = ln Q() c Η συνάρτηση f() 5 6 έχει Af R {, } κι είνι f() ( )( ). Ανζητούμε τους A,B R, ώστε ν ισχύει A B, γι κάθε R {,}, όου έχουμε (A B ) A B ( )( ), R {,}. Η τελευτί ισότητ ισχύει γι κάθε R {,}, ν κι μόνο ν Εομένως, A B ή, A B 5 7 d d d... 5 ln 7 ln... 5 6 A 5. B 7 ν Αν ο ρονομστής είνι της μορφής Q ρ ρ... ρ, τότε:... ν P() A Α Α Q() ρ ρ ρ ν..8 Α) d Β) Β) 7 d Γ) d 6 7 d λ P() ΜΟΡΦΗ: d με P() ολυώνυμο θμού κι γ, τότε κάνουμε τη διίρεση κλ κ γ Σχ. Έτος 6-7

68 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.9 Α) d Β) d Γ) d d ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ λ f, d Τότε: κ ΜΟΡΦΗ:.5 Α) d Β) u, ln u, du d ( συνήθως κτλήγω σε ρητή ) d Γ) d d.5 Α) d Β) d Γ) d ( )ln( ) d ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ f()g '()d f()g() f ()g()d ν λ λ ΜΟΡΦΗ P() d όου P ολυώνυμο του. Τότε χρησιμοοιώ ράγουσ της την κ Συνήθως ως άση έχουμε το.5 Α) d Β) d λ λ ln. ΜΟΡΦΗ.5 Α) P()ημ(λ )d ή ( ) ( )d Β) P()συν(λ )d Τότε χρησιμοοιώ ρχική της ημλ ( )d Γ) ( συνλ συνd λ λ λ ΜΟΡΦΗ I συν(γ δ)d, I ημ(γ δ)d. Χρησιμοοιούμε ρχική γι την οότε κάνοντς ργοντική ολοκλήρωση δυο φορές, εμφνίζετι άλι το I. Προκύτει έτσι εξίσωση με «άγνωστο» το I..5 Α) ( )d Β) d Γ) d d ΜΟΡΦΗ f()ln( )d. Τότε χρησιμοοιώ ράγουσ της ) f κι οφεύγουμε τον ράγοντ ln Μορεί ο λογάριθμος ν είνι υψωμένος σε δύνμη κι η ν έχουμε συνάρτηση ιο σύνθετη ό την..55 Α) ln d Β) ln( )d Γ) ln ( )d ln d..56 Α) ln( )d Β) ln( )d Γ) 5 ln( 9)d http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 69 ΡΙΖΕΣ λ ΜΟΡΦΗ: f ν,.57 Α) d Τότε: u ν, u κ d Β), ν u, d Γ) ν νu du d vu δηλδή d d v du.58 Α) d Β) d Γ) d.59 Α) d Β) d λ κ EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Α ν μ f,, d Τότε θέτω u λ 8.6 Α) d Β) d Γ) 6 λ κ EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Β λ κ f, d ή όου λ ΕΚΠν,μ d f, d Τότε εφu με u, τότε d du συν u d.6 Α) d Β) d Γ) d λ κ EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Γ f, d. Τότε: ημu με u,.6 Α) d Β) d Γ) λ κ EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Δ d τότε d συνudu f, d,, ή,τότε με u, συνu ή u,, ημu d du συν u.6 Α) d Σχ. Έτος 6-7

7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΕΣ.6 Α) ( ) d Β) d d Γ) d 5.65 Α) ln d Β) σφln( )d Γ) 6 d ln( ) d.66 Α) d Β) d Γ) d d.67 Α) ( ) d Β) ( ) d Γ) d ( ) d ( ).68 Α) d Β) ln d Γ) d d.69 Α) ln d Β) d Γ) d d.7 Α) d Β) d Γ) (ln )d d.7 Α) d Β) d Γ) d d ημ.7 Α) d Β) d Γ) d d.7 Α) d Β) ln d Γ) ln d 5 d.7 Α) d Β) d Γ) d d.75 A) d Β) ln d Γ) d ln ln d.76 Α) d Β) ln d Γ) d d http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 7 d Β).77 Α) d Γ) d ln d.78 Α) d Β) d Γ) 6 ( )d d.79 Α) d Β) ln d Γ) d d.8 Α) log d Β) d Γ) d d.8 Α) ln d Β) d Γ) ln d ln d.8 A) d B) -t (- t) dt d Γ) ln d d.8 Α) ln d Β) d Γ) d ln d.8 Α) d Β) d Γ) ln - d d.85 Ν υολογίσετε τ I, J ότν I d J d.86 A).87 Α) ln d B) d Β) d Γ) 5 εφ εφ d Γ) - t t dt d d.88 Α) συν ημ d Β) ημ συν d Γ) t dt d.89 Α) d Β) d Σχ. Έτος 6-7

7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.9 Α) d Β) ln d **.9 Α) d ** Β) 6 5 d.9 Α) d Β) ln d ln f +- d κι ρείτε τ.9 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο,. δείξτε ότι f d ημ συνd, 6 συν d, συν ημ 6 6 συνt ημt I dt, J dt συνt ημt συνt ημt,.9 Εστω η συνάρτηση f(), ln,.95 Δίνετι η συνάρτηση f(), ολοκλήρωμ. Ν ρείτε το I f()d κι στη συνέχει ν υολογίστε το I.96 Έστω η συνάρτηση f, συν, f d. Ν ρείτε γι οι τιμή του R ορίζετι το. Ν ρείτε το.97 Βρείτε τις ρχικές συνρτήσεις των συνρτήσεων f d κι g f, R ημ, R.98 N υολογιστούν τ ολοκληρώμτ ημ d ημ συν d.99 Ν οδειχτεί ότι: συν ημ ημ συν ημ συν d. Αν η συνάρτηση f : [,] (, ) ολοκλήρωμ I f () f () d f() έχει συνεχή ράγωγο κι f, f, ν υολογίσετε το. N οδειχτεί ότι ln d ln 6 http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 7 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Εστω η ν f() ν Α) Αοδείξτε ότι η f είνι συνεχής στο Β) Ν ρείτε το f d ln,. Έστω η συνάρτηση f(), A) Ν ρείτε γι οι τιμή του R ορίζετι το ολοκλήρωμ συνέχει ν το υολογίσετε. I f()d κι στη. Ν ρείτε τις ρχικές των συνρτήσεων f g ln ln, λ, k g ημ.5 N ρείτε τη συνάρτηση F ν με F t ln t dt.6 Βρείτε τον τύο της ημ F t tdt.7 Έστω ργωγίσιμη συνάρτηση f :, R με f, f f κι f. Ν ρείτε το f f d.8 Έστω μι συνάρτηση f με f συνεχή κι γι την οοί ισχύει ( f() f ()) ημd. Αν f(), ν υολογίσετε το f()..9 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο ν οδείξετε ότι f d f f f f. Έστω f ργωγίσιμη στο R με f κι f, R.Υολογίστε το, f d. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο ν οδείξετε ότι y y f f f ftdt dy. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f γι την οοί ισχύει f f, γι κάθε R Ν οδείξετε ότι Α) f f, γι κάθε R. Β) 5 6 f( 5)d f()d.. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, με f f,,. Αοδείξτε ότι: f d f d f d. Αοδείξτε ότι.5 * Αν f ότι η f είνι συνεχής κι ότι f d f f, ν οδείξετε f d Σχ. Έτος 6-7

7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.6 Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, ν οδείξετε ότι f ημd f ημd κι ν υολογίσετε το I.7 ***Yολογίστε το ημ d t dt d t.8 Έστω συνάρτηση f, ργωγίσιμη στο, κι γι την οοί ισχύει ότι: f ()d f() κι f() c f( ) Α. Ν υολογίσετε την τιμή του c. Β. Ν δείξετε ότι Γ. Ν υολογίσετε το f( )d f()d f()d.9 Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο,, ν οδείξετε ότι f d f d. Έστω η συνάρτηση, f συν, Α) Αοδείξτε ότι η f είνι συνεχής στο R Β) Ν ρείτε το f d. * Αν f συνεχής κι g ργωγίσιμη στο R, κι υάρχουν, R ώστε f f g γι κάθε R, ν δείξετε ότι: f(t)dt g() g() ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ... Τζουρς κτευθυνσης 5 7 /8. Αν η συνάρτηση συνεχης κι εριττη τότε f :, R εινι f()d. Αν η συνάρτηση f :, R εινι συνεχης κι άρτι τότε f()d f()d. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R με την ιδιότητ f( ) f( ) f() γι κάθε R. Ν οδειχθούν τ εξής: Α) Η συνάρτηση f, είνι άρτι, Β) 996 997 f()d f()d. 995.5 Η συνάρτηση f : R R είνι συνεχής, άρτι κι έχει ερίοδο T. Ν οδείξετε ότι: T T T f()d f()d.6 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, κι άρτι. Ν οδείξετε ότι: A) B) f(ημ)d f(ημ)d f(συν)d f(συν)d.7 Ν οδείξετε ότι d συν http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 75 ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ.8 Αν ν ν τότε ν Ι εφ d, ν N * οδείξετε ότι γι κάθε v ισχύει Ι Ι ν ν ν κι ν ν υολογίσετε το Ι 5. ν.9 Αν I ν οδείξετε ότι I d, ν Ν ν ν ν I ν ν, ν Ν * ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Ν ρείτε τον τύο συνάρτησης f, ου είνι ορισμένη κι συνεχής στο, κι ισχύει ότι: f f() d. Δίνετι η συνάρτηση f, συνεχής στο[,] γι την οοί ισχύουν: f d κι f d. Ν δείξετε ότι: f(), [,]. Ν ρεθεί ο τύος της συνάρτησης f ου είνι συνεχής στο R κι ισχύει ότι f d f d d. Ν ρείτε τον τύο της συνάρτησης f : R R γι την οοί ισχύει ότι f κι f f f tdt γι κάθε R. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση f : [,] R γι την οοί ισχύει ότι f () f () f() 5 f () γι κάθε [,]. N οδείξετε ότι f.5 Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : R R ν ισχύει ότι f() ( ) F, f() R όου F είνι ρχική της y με F..6 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο,, ώστε ln f()d ln f()d κι 5 f,,. Αοδείξτε ότι f, κι υολογίστε το, f() d f( ) f() Σχ. Έτος 6-7

76 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΠΑΡΧΕΙ.7 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο,. Ν οδείξετε ότι υάρχει of o f(t)dt o o (, ) ώστε.8 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο,. Ν οδείξετε ότι υάρχει γ (, ) ώστε f γ ημγ συνγ f(t)dt γ.9 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ, κι ισχύει: ότι υάρχει ξ, f(t)dt f(ξ) εφξ ώστε ξ f t dt. Δείξτε. Η συνάρτηση f : R R είνι συνεχής κι t f u du dt, R ισχύει. Ν δείξετε ότι η εξίσωση f(), έχει ρίζ στο(,).. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f :, R Ν οδείξετε ότι υάρχει, o f t dt f o τέτοιος ώστε:. Αν f,g είνι συνρτήσεις συνεχείς στο οδείξτε ότι υάρχει τουλάχιστον έν ξ, ξ τέτοιο ώστε: f ξ f t dt g ξ f t dt ξ. Αν f συνεχής στο, ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον έν ξ, τέτοιο ώστε:. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ, ξ ln t lnξ dt ξ t ξ με.5 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, κι ισχύει ότι Α) o Β) γ (,) f()d (,) ώστε f(t)dt f o. Δείξτε ότι υάρχουν: γ ώστε f(t)dt γf γ ν,.6 Η συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο R κι ισχύει f κι f d f o. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ, ώστε fξ f ξ.7 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο,. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ (, ) ώστε ξ f(t)dt ξ ln ξ f ξ.8 **Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο,. Ν οδείξετε ότι υάρχει, f f d o o ώστε.9 Έστω συνάρτηση f συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο R. Ν οδείξετε ότι η εξίσωση f f t dt f t dt f t dt έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, ξ ξ ξ ξ f ξ ξ ξ f t dt http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 77 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ.5 Ν οδείξετε τις νισότητες: Α) Β) Γ) d 5 ημ ln γι κάθε ln d.5 *Δείξτε ότι 5 5 d d.5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι f, R τότε f() d f().5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ, με f() γι κάθε, κι ισχύει f ()d ν οδείξετε ότι f()d..5 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, με f γι κάθε,. Ν οδείξετε ότι γι κάθε, f t dt t f t dt.55 Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο R. 6 Α) Δείξτε ότι f tdt Β) Ν λυθεί η νίσωση f t dt f t dt.56 Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνήσι ύξουσ στο R. Δείξτε ότι f tdt f t dt.57 Η συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείες στο, με f γι κάθε, η g είνι γνησίως ύξουσ,. Ν οδείξετε ότι,, g f t dt g t f t dt.58 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, με f γι κάθε, f d f d f d f d. Ν οδείξετε ότι.59 Έστω ότι η συνάρτηση f έχει γνήσι ύξουσ ράγωγο στο, με. Ν οδείξετε ότι f tdt f.6 Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο,. f d f d Δείξτε ότι.6 Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις f,g :,, ώστε ν ισχύει ότι g, κι η g είνι φθίνουσ στο,. Αοδείξτε ότι: Α) f g d f d f g d τότε υάρχει Β) Αν ξ, ώστε ξ f d

78 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.6 Α) Η συνάρτηση f είνι ορισμένη στο,, -, με συνεχή ρώτη ράγωγο στο f() Δείξτε ότι f()d f ()d f f Β) Αν f() Γ) N δείξετε ότι 5 f ρείτε το,. f ()d. ln d d.6 Έστω η συνάρτηση f ημ, Ν ρείτε το ολοκλήρωμ I f ()d.6 Αν t f dt, R, ν οδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ κι ν λύσετε την εξίσωση: f f ()..65 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση f : R R τέτοι ώστε f f γι κάθε R. A) Ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ B) Ν δείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον o, f. τέτοιο ώστε o o o Γ) Ν υολογίσετε το f d ΟΡΙΑ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ.65... Τζουάρς δεσμες 8.6/.66 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση κι η g f : R, οδείξετε ότι tf(t)dt f(t)dt Ν Α) η g ργωγίσιμη στο R κι ότι g Γ) η g είνι γνήσι ύξουσ..67 Ν υολογίσετε το όριο: lim ln dt ln t.68 Ν υολογίσετε το όριο:, lim t dt.69 Ν δείξετε ότι, t,, κι ότι.7 Ν οδείξετε ότι: lim t γι κάθε t t t ημ t t lim dt ln t ημt t dt dt εφ t ημt tσυνt dt dt.7 Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο, κι η συνάρτηση g f t dt ν f ν Α) Αοδείξτε ότι η g είνι συνεχής στο Β Αν η f είνι ργωγίσιμη στο o δείξτε ότι η g είνι ργωγίσιμη στο,. http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 79 ΕΜΒΑΔΑ.7 Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων g, f κι h().7 Δίνετι η συνάρτηση f(). Ν υολογιστεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C f, την λάγι σύμτωτη της C f τις ευθείες, κι τον άξον.7 Δίνετι η συνάρτηση με τύο f() ln. Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφτομένων της γρφικής ράστσης της f στ σημεί με τετμημένες κι. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω, ου ερικλείετι ό τη C f κι τις δύο εφτόμενες..75 Έστω E(λ) το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κμύλη y, τον άξον κι τις ευθείες, λ (λ ). Ν ροσδιορίσετε την ευθεί ου χωρίζει το ράνω χωρίο σε δύο ισεμδικά χωρί..76 Δίνετι η συνάρτηση f() ( ) Α) Ν υολογίσετε το εμδόν Et του μέρους του ειέδου, τ σημεί M, y του οοίου, ικνοοιούν τις σχέσεις: t με t κι y f() Β) Ν υολογίσετε το lim E(t) t.77 Αν f κι F ρχική της f με ό τη γρφική ράστση της F κι τους άξονες, y y.78 Έστω η συνεχής συνάρτηση f με Df F ν ρείτε το εμδο του χωρίου ου ερικλείετι R ώστε f() ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη.79 Έστω οι συνρτήσεις f, g με Af Ag R Αν γνωρίζουμε ότι η κι f f γι κάθε R. Ν C f τον κι τις ευθείες κι / / f g γι κάθε R. κι ισχύει C h της συνάρτησης h() f() g() διέρχετι ό το σημείο A(, ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις C f,c g.8 Δίνετι η συνάρτηση f ln Ν υολογίσετε τ εμδά E των χωρίων ου ερικλείοντι ό τη C f τον άξον κι την ευθεί

8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.8 Αν f ln εφ,, ) N οδείξετε ότι f f ln γι κάθε, ) Ν υολογίσετε το εμδόν του είεδου χωρίου ου ορίζετι ό την γρφική ράστση της f κι τις ευθείες y, κι.8 Έστω η συνάρτηση f, δύο φορές ργωγίσιμη με f τοικό κρόττο στο o με τιμή μηδέν κι γι κάθε R. Αν η f ρουσιάζει f f ν ρείτε το εμδόν του χωρίου μετξύ της γρφικής ράστσης της συνάρτησης f, του άξον κι των ευθειών κι, R.8 Η συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη κι ισχύει f f d f Α) Ν ρείτε τον τύο της f Β) Ν ρείτε την οριζόντι σύμτωτη της C f στο f κι Γ) Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C f την ράνω σύμτωτη κι τις ευθείες κι. ημ.8 Δίνετι η συνάρτηση f,, Ν οδείξετε ότι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f τον άξον κι τις ευθείες κι είνι Ε ln..85 Δίνετι η συνάρτηση f με τύο, f ln. Ν οδείξετε ότι η f είνι συνεχής κι ν, υολογίσετε το εμδόν του χωρίου, το οοίο ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις κι..86 N ρείτε το εμδόν του χωρίου ου εριέχει τ σημεί Μ, y με κι ln y.87 N οδείξετε ότι το εμδόν του χωρίου ου εριέχετι νάμεσ στην κμύλη y κι την ευθεί y ισούτι με 6 http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 8 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ t συνt.88 Δίνετι η συνάρτηση: f() dt, R. Ν οδείξετε ότι: t Α) f ημ γι κάθε R. Β) ορίζετι η f :,,. Γ) το εμδόν του χωρίου μετξύ των C f κι C κι των ευθειών κι είνι Ε τμ. f.89 Η συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο R με f κι ισχύει: Α) Μελετήστε την f ως ρος τη μονοτονί. Β) Αοδείξτε ότι η f ντιστρέφετι. Γ) Ν λύσετε τις εξισώσεις f κι f. f ln f() γι κάθε R Υολογίστε το άθροισμ. I f ()d f()d.9 Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, R γι την οοί ισχύει ότι f y f y yf με, y, f. Α) Ν οδείξετε ότι f Β) Ν λύσετε την εξίσωση ln,, f γι κάθε Γ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων h f, g κι την ευθεί..9 Θεωρούμε την συνάρτηση f συνεχή το Δ, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει: Αν F είνι μι ράγουσ της f στο Δ, ν οδείξετε ότι: A) F Fd B) Γ) f d f d F() d F()d f()d 8 f(t)dt.

8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.9 Α) Aνισότητ Bunyakovsky-Cauchy- Schwarz: Αν f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο,, f g d f() d g() d. ν δείξετε ότι Β) Ν οδείξετε ότι ) f()d f ()d ) f()d f ()d.9 Δίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ,, ργωγίσιμη δύο φορές στο διάστημ, γι την οοί είσης γνωρίζουμε ότι f κι f f f γι κάθε, Αοδείξτε ότι: Α) H f δεν έχει σημεί κμής Β) Γ) H f είνι κοίλη f,, Ε) f () f() (f() )d.9 Η συνάρτηση f : R R είνι συνεχής κι γι κάθε R, ισχύει: f f Α) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη μονοτονί. γ Ν λύσετε τις εξισώσεις: f κι δ Ν οδείξετε ότι f d f.95 * Έστω η συνάρτηση f : R R κι F μι ρχική της με την ιδιότητ f F γι κάθε R. Αν f ν οδείξετε ότι: f Τ εόμεν ΘΕΜΑΤΑ είνι ό ΔΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (Οι ηγές νφέροντι όου υάρχουν).96 Έστω f δύο φορές ργωγίσιμη στο R με f()=γι την οοί ισχύουν : f () γι κάθε R () f() - im = - () - Α. Ν ρείτε την εξίσωση εφτομένης της γρφικής ράστσης της f στο σημείο Α(,f()) Β. Δείξτε ότι υάρχει μονδικό ξ(,) στο οοίο η f ρουσιάζει ελάχιστο. Γ. Ν λυθεί στο [,+ ) η εξίσωση f =f ημ συν. Δ. Αν Ε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της f, την y κι τις ευθείες, δείξτε ότι. http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 8.97 Δίνετι συνάρτηση f : (,+ )R ργωγίσιμη με συνεχή ράγωγο στο (,+ ) γι την οοί ισχύουν : F είνι μι ράγουσ της f στο (,+ ) f 7 -F(7) > f(6)-f(6) f -f() + γι κάθε (,+ ) f im + όου είνι η μεγλύτερη ρίζ της εξίσωσης + Α. Δείξτε ότι f (μονάδες 5) κι στη συνέχει ότι f n-, γι κάθε, Β. Μελετήστε την f ως ρος τη κυρτότητ κι τ σημεί κμής (μονάδες 5) κι στη συνέχει δείξτε ότι υάρχει 5 ξ, : f = f + f ξ ξ ξ Γ. Δείξτε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,+ ) κι στη συνέχει δείξτε ότι ln f() ln f() d.98 Δίνετι συνάρτηση f ργωγίσιμη στο R με f ράστση τέμνει τον y y σε σημείο με τετγμένη. Ισχύει κόμ η σχέση ( ) f() f f() γι κάθε R. Α) Ν ρεθεί ο τύος της f. Β) Αν f γι κάθε R κι έστω ότι η γρφική της i) Ν οδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ότι η γρφική της ράστση έχει με τον άξον συμμετρίς υτής κι της f έν μόνο κοινό σημείο με θετική τετμημένη. ii) Υλικό σημείο M κινείτι κτά μήκος της C f ξεκινώντς ό το σημείο ου η C f τέμνει τον y y κι η ροολή του M στον Ο ομκρύνετι με τχύτητ cm /s.ν οδείξετε ότι ο ρυθμός f '( ) μετολής της γωνίς την χρονική στιγμή ου ισούτι με rad/s. iii) Αν g() f () ν υολογίσετε το εμδόν κι τις ευθείες κι, κθώς κι το lim E του χωρίου ου ερικλείετι ό την. C g τον

8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.99 Δίνοντι οι συνρτήσεις f(), R, g() ln, 8 A) Ν μελετήσετε ως ρος την μονοτονί κρόττ την συνάρτηση () f() g(), κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της. Β) Γι οιες τιμές του R οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f,g έχουν : δύο έν κνέν κοινό σημείο. Γ) Στην ερίτωση όου οι C f, C g δεν έχουν κοινά σημεί δείξτε ότι στο σημείο όου η κτκόρυφη όστση των C f, C g ρουσιάζει κρόττο, οι εφτομένες των γρφικών ρστάσεων των f,g είνι μετξύ τους ράλληλες. Ν μελετήσετε ως ρος τ κοίλ την y=δ() κι ν οδείξετε ότι : i) γι κάθε, με ισχύει ότι : f g( ) g( ) g f( ) f( ) ii) 5 ()d ()d Δούκς. Έστω συνάρτηση f : f f lim 5 κι lim. Ν οδείξετε ότι Α Η f είνι γνησίως ύξουσ Β f,, Γ f f lim η οοί είνι γνησίως μονότονη, συνεχής κι τέτοι ώστε Δ Υάρχει μονδικός ριθμός, τέτοιος ώστε f Ε Υάρχει, τέτοιος ώστε f f f f f f Μντουλίδης. Δίνετι συνάρτηση f δύο φορές ργωγίσιμη στο, με το,. Ν οδείξετε ότι: Α. Υάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές,, με f Β Υάρχει τουλάχιστον έν, τέτοιο ώστε f, f κι σύνολο τιμών, τέτοι ώστε Γ. Υάρχει τουλάχιστον έν, τέτοιο ώστε f f f f f. Δ Η ευθεί y τέμνει την C f σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ν νήκει στο διάστημ,. Ε Υάρχουν,, με τέτοι ώστε f f Μντουλίδης. http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 85. Δίνετι η συνάρτηση f με τύο: Α. Ν ρείτε το εδίο ορισμού της f. f = Β. Ν οδείξετε ότι υάρχουν κριώς δυο σημεί Α, f, B, f με οοί οι εφτόμενες της γρφικής ράστσης της f είνι ράλληλες στον οριζόντιο άξον Γ. Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον έν σημείο Γ ξ, f ξ ράστσης της f είνι ράλληλη στον οριζόντιο άξον. Δ. Ν οδείξετε ότι υάρχει διάστημ της μορφής ύξουσ. < < στ στο οοίο η εφτομένη της γρφικής, με > στο οοίο η f είνι γνήσι Ε. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της f κι τους άξονες συντετγμένων. ημf ημ ημ ΣΤ. Ν ρείτε τ όρι : i) lim κι ii) lim + f + ln. Θεωρούμε την ργωγίσιμη συνάρτηση f : f f. η οοί γι κάθε ικνοοιεί τη σχέση Α. Ν γίνει μελέτη κι γρφική ράστση γι τη συνάρτηση g. Β. Ν δείξετε ότι f,. Γ. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως ρος την μονοτονί κι τ κρόττ. f Δ. Ν οδείξετε ότι d f d f. Ε. Έστω F μι ράγουσ της f στο, με ΣΤ. Έστω h στο f,. F F d. ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ i. Ν δείξετε ότι η h ντιστρέφετι κι ν ρείτε την h ii. Αν το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C h, τους άξονες, y y κι την ευθεί κι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη κτκόρυφες ευθείες στ άκρ του διστήμτος ου ορίζετι η C h, τον άξον κι τις h, ν δείξετε ότι. Μντουλίδης

86 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση f : f :, με < f() <, ώστε ν ισχύει: f () = f () f() +5 γι κάθε,. Α. Ν μελετήσετε την f ως ρος τη μονοτονί, τ κρόττ κι το ρόσημο. Β. Ν δείξετε ότι: f. Γ. Ν δείξετε ότι η γρφική ράστση της f έχει κριώς έν σημείο κμής. Δ. Αν δίνετι ότι : f = κι f f d =, ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι = d f.5 Γι την φορές ργωγίσιμη συνάρτηση f : f = f = ισχύουν: f f f f f f γι κάθε. Ν οδείξετε ότι: Α. f f,. Β. f κι στη συνέχει ότι η εξίσωση,. Γ. Η f είνι γνήσι ύξουσ. f f d f Δ. i) ii) f f έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ iii) Αν f, τότε f.6 Δίνετι η συνάρτηση f γι την οοί ισχύουν f γι > κι Α. Ν δείξετε ότι f ln, f B. Ν δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μονδική λύση στο, Γ. Αν g ln, ) Ν ορίσετε τη συνάρτηση f g ) Ν λύσετε την νίσωση f g Δ. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες, = Αρσάκειο http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 87.7 Δίνετι η δύο φορές ργωγίσιμη συνάρτηση f στο κι τέτοι ώστε ; f, f f f f, Α. Ν δείξετε ότι f, Β.) Ν ρείτε την εφτομένη (ε) της γρφικής ράστσης της f στο σημείο A,f ) Ν δείξετε ότι υάρχει μονδικό, της f στο ν είνι ράλληλη στον άξον Γ) τέτοιο ώστε η εφτομένη της γρφικής ράστσης Ν ρείτε το εμδόν Ε() του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f, τον άξον, την εφτομένη της στο κι τις ευθείες = κι ) Αν το μετάλλετι με ρυθμό 5cm /sc, ν ρείτε το ρυθμό του τη χρονική στιγμή ου είνι cm Δ. ) Αν η g είνι κυρτή στο κι g, ν δείξετε ότι oι γρφικές ρστάσεις των f,g τέμνοντι το ολύ σε έν σημείο στο, ) Αν F ρχική της f στο κι, ν δείξετε ότι ισχύει : F F γι κάθε, Αρσάκειο.8 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση f :,, η οοί ικνοοιεί τις σχέσεις: f ln f f, γι κάθε, f, γι κάθε, f() = Α. Ν οδείξετε ότι f,, () Β. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν ορίσετε τη συνάρτηση f. Γ. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη μονοτονί, την κυρτότητ κι ν οδείξετε ότι, Δ. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ f d ln 7 5 Ε. Ν οδείξετε ότι. Αρσάκειο

88 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.9 Έστω η ργωγίσιμη στο [,] συνάρτηση f με f f Ν δείξετε ότι : κι γι κάθε, f f f Α. Η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι ότι f. Β. f κι f f γι κάθε, Γ. f d ln Δ. Αν f, τότε : i) Η f είνι κυρτή.. ii) Ν ρείτε, ώστε το εμδόν ου ορίζετι ό την εφτομένη της C f στο σημείο C f τις ευθείες =, = κι την,f ν γίνετι ελάχιστο Αρσάκειο. Έστω συνάρτηση f με f γι κάθε, της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό την ρχή των ξόνων. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει : Α. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ Β. Ν δείξετε ότι f Γ. f f γι κάθε, τότε y du με, y, u Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος την κυρτότητ, ν ρείτε το σημείο κμής της κι ν δείξετε ότι f, γι κάθε Δ. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f, την ευθεί με εξίσωση y κι την οριζόντι σύμτωτης της C f στο. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση f : με f, η οοί ικνοοιεί τη σχέση.θεωρούμε είσης συνάρτηση f f ά F είνι ρχική της f. Α. Ν οδείξετε ότι : f, g F F, όου Β. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι κυρτή κι ότι η f f f Γ. Ν λύσετε στο διάστημ, την εξίσωση Δ. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση g ως ρος την κυρτότητ κι τ σημεί κμής. Ε. Ν οδείξετε ότι Λεόντιος f t dt f t dt http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 89. Δίνετι η δύο φορές ργωγίσιμη στο R συνάρτηση f γι την οοί ισχύουν : Δεν υάρχει εφτομένη της γρφικής ράστσης της f ου ν είνι ράλληλη στην ευθεί : y, κι (f () ) f () γι κάθε R Aν η εφτομένη της γρφικής ράστσης της f στο σημείο της, έχει κλίση y ln είνι σύμτωτη της γρφικής ράστσης της f στο, τότε: κι η ευθεί Α Β Ν οδείξετε ότι η f είνι κοίλη Ν οδείξετε ότι f '(), R Γ Ν υολογίσετε το lim ( f()) Δ Αν E το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες =, =, ν δείξετε ότι : E < Ε Αοδείξτε ότι d d γι κάθε R Δούκς. Δίνετι η ργωγίσιμη συνάρτηση f : f f, γι κάθε Α. Ν ρείτε τις ρίζες της f κι το ρόσημο της. Β. Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ότι f με σύνολο τιμών το η οοί ικνοοιεί τη σχέση, γι κάθε. Γ. Ν ρείτε τ κοινά σημεί της γρφικής ράστσης της συνάρτησης f κι της ευθείς : y. Δ. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f κι την ευθεί : y. Ε. Ν δείξετε ότι dt. Αρσάκειο f t. Έστω f :, δύο φορές ργωγίσιμη συνάρτηση με f γι κάθε, f f f κι γι κάθε. Α. Ν οδείξετε ότι f Β. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της Γ. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιμη κι ν ρείτε την ντίστροφή της Δ. Αν f,,, ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης g f ln, τον άξον κι την ευθεί

9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.5 Δίνοντι οι συνρτήσεις f,g : γι τις οοίες ισχύουν, κι g f. Aν οι γρφικές ρστάσεις των f,g δέχοντι σε κοινό τους σημείο, κοινή εφτομένη (ε) ου διέρχετι ό την ρχή των ξόνων, τότε : Α. Ν δείξετε ότι κι η κοινή εφτομένη είνι η : y. Β. Αν είνι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f, την ευθεί (ε) κι την ευθεί με εξίσωση t, t, ν δείξετε ότι : t t t t t, t κι ν υολογίσετε το t lim E t Γ. Αν είνι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης g, την ευθεί (ε) κι την ευθεί με εξίσωση Δ. Ν δείξετε ότι t t, t, ν δείξετε ότι : t t 7 t t t, t t E t t, γι κάθε t Αρσάκειο..6 Θεωρούμε συνρτήσεις f,g γι τις οοίες ισχύουν f(), g ορισμένη κι ργωγίσιμη στο (, ) με g() ln g() ln, Α. Ν μελετηθεί η f ως ρος τη μονοτονί κι ν δειχθεί ότι g() ln, Έστω F ρχική της f με F() τότε Β.) Ν λυθεί η νίσωση F( ) F( ln ) στο (, ) όου F ρχική της f ) Ν υολογισθεί το όριο lim F() Γ. Η εξίσωση f() g() έχει κριώς μι ρίζ στο (,) Δ. Δείξτε ότι F κυρτή στο (, ).7 Δίνοντι οι συνρτήσεις : f ln ln,,, με g ln, f γι κάθε κι Α Ν δείξετε ότι Β ) Ν δείξετε ότι Γ Ν δείξετε ότι g, γι κάθε, γι κάθε > ) Ν δείξετε ότι Δ ) Ν δείξετε ότι η g έχει κτκόρυφη σύμτωτη ) Αν h g f γι, ν ρείτε το lim h Αρσάκειο http://usrs.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 9.8 Έστω συνάρτηση g :, γι την οοί ισχύουν g κι, γι κάθε, g g Έστω είσης η κυρτή συνάρτηση f :,, τέτοι ώστε :.. f g d. κι g ln f f Α. Ν οδείξετε ότι g ln γι κάθε > κι ότι g γι κάθε > Β. Ν οδείξετε ότι f, f κι ότι υάρχει ξ, τέτοιο ώστε: Γ.. Ν οδείξετε ότι: f f γι κάθε, f f. Έστω f κι Ε το εμδόν του χωρίου ου σχημτίζετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f, τον άξον, τον άξον y y κι την ευθεί. Ν οδείξετε ότι f() < γι κάθε, κι ότι: f E d Αρσάκειο.9 Θεωρούμε συνάρτηση f, δύο φορές ργωγίσιμη στο με συνεχή δεύτερη ράγωγο f '()f ''() f ''() f '(), Α Ν οδειχθεί f '() f() f '() f() Β. Δείξτε ότι υάρχουν, (,) : f '( ) f ''( ) Ειλέον ν ισχύει f '() f ''()d κι f ''( ) Γ.) Δείξτε ότι f είνι κοίλη ) Δείξτε ότι f ''()d γ) Δείξτε ότι υάρχει (,) : f ''( ) Δ. Αν η εξίσωση (fof )( ) f ''() ln έχει ρίζ την (,) τότε ν οδειχθεί ότι ln

9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Έστω μι μη στθερή συνάρτηση f : R R τέτοι ώστε: f ( ) f( ) κι F μι ράγουσ της f στο R τέτοι ώστε F (f f )d γι κάθε R Α. i) Αοδείξτε ότι η f είνι συνεχής στο ότι είνι ντιστρέψιμη κι ν ρείτε την ντίστροφη της f. ii) Ν ρείτε το f d B. Αν δίνετι ότι η f είνι δυο φορές ργωγίσιμη στο R με f ν υολογίσετε τ όρι: lim F lim f() ln( ) Γ. Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f τη C κι την ευθεί =. f. Έστω f :, κι g : R R ργωγίσιμη τέτοι ώστε γι κάθε R ν ισχύει: R τέτοι ώστε γι κάθε R ν ισχύει:, g κι g ( ) g( ) g f () f () f () Α. Ν ρείτε τ f κι f κθώς κι τον τύο της f Β. Ν ρείτε τον τύο της g, ν τη μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί κι ν ρείτε το εδίο τιμών της. Γ. Αν f() κι g εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη Δ. Ν υολογίσετε τ ολοκλήρωμτ: ν λύσετε την εξίσωση f g (Μονάδες ) κι ν ρείτε το C f τη C g κι τις ευθείες κι συν d ημ d ln d. Έστω συνάρτηση f : R R ργωγίσιμη στο R με f( ) f ( ) f ( ) γι κάθε R f Έστω h ράγουσ της f στο R τέτοι ώστε h. f f Α. i) Ν ρείτε τον τύο της f ii) Γι f ν ρείτε την κυρτότητά της f (Μονάδες ) κι το ρόσημο της h Β. Ν οδείξετε ότι f d 6. Γ. Αν g() g() f g() f g() g' ξ ν οδείξετε ότι υάρχει μονδικό ξ ( ξ) ώστε h( Δ. Ν ρείτε το λήθος ριζών της εξίσωσης ) f f γι τις διάφορες τιμές του R http://usrs.sch.gr/mipapagr