Β3. Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 cm θα κατασκευαστεί ένα δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη συνέχεια διπλωθούν προς τα επάνω οι πλευρές. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του δοχείου, ώστε να έχει το μέγιστο όγκο. Αν είναι το μήκος της πλευράς των τετραγώνων που θα αποκοπούν, τότε η βάση του δοχείου θα είναι τετράγωνο πλευράς ( 6 ) cm και το ύψος του όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.προφανώς θα είναι > και < 6 < 3 και τελικά < < 3. Αρα ο όγκος του δοχείου θα είναι: ( 6 ) V = < < 3 Η συνάρτηση V( ) έχει πεδίο ορισμού (, 3 ) (που δεν επιβάλλεται από τον τύπο της αλλά από την φυσική πραγματικότητα). Ζητάμε λοιπόν το μέγιστο της V( ). V = ( 6 ) = ( 6 ) + ( 6 ) = (εφαρμόσαμε τον κανόνα παραγώγισης γινομένου) 6 6 + 6 = (παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης) ( )( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( )( + ) = ( )( + ) 6 6 4 6 6 6 4 6 6 6 6 Το V είναι ένα παραγοντοποιημένο τριώνυμο κι έτσι μπορούμε εύκολα να βρούμε τις ρίζες του: 6 V = ( 6 )( 6+ 6) = 6 = ή 6 + 6 = = = 3 ή Η τιμή 3 απορρίπτεται αφού δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συναρτησης. To α του τριωνύμου ( ο συντελεστής του διωνυμικό παράγοντα δηλαδή ( )( 6) = 6 = = 6 ) είναι το γινόμενο των συντελεστών του σε κάθε Αρα σύμφωνα με την θεωρία που διδαχτήκαμε στην Α Λυκείου το τριώνυμο έξω από τις ρίζες θα είναι ομόσημο του α δηλαδή εδώ θετικό και ανάμεσα στις ρίζες ετερόσημο του α δηλαδή αρνητικό. Μπορούμε πλέον να καταστρώσουμε το πινακάκι που μας δίνει την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
3 V + V ( ) f() = 6. μέγιστο 3 3 V = 6 = 6 = 4 = 6 = 6 cm = 6 dm β τρόπος (μάλλον πιο απλός) ( 6 ) 6 6 ( ) ( 36 4 4 ) V = = + = + = 3 4 4 + 36 3 ( 4 4 36 ) 48 36 ( 4 3) V = + = + = + Βρίσκω τις ρίζες του τριωνύμου 4+ 3. = ( 4) 4 3 = 6 = 4, β ± 4 ± = = α 4 + 6 = = = 3 απορρίπτεται αφού το =3 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού. 4 = = = Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Β3. γενίκευση Β3. Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς α cm θα κατασκευαστεί ένα δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη συνέχεια διπλωθούν προς τα επάνω οι πλευρές. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του δοχείου, ώστε να έχει το μέγιστο όγκο. Αν είναι το μήκος της πλευράς των τετραγώνων που θα αποκοπούν, τότε η α β τρόπος (μάλλον πιο απλός) α V = α = α α + = α 4α+ 4 = α 4α + 4 Προφανώς πρέπει: > > α α < < α > > 3 3 V = α 4α + 4 = α 8α+ = 8α+ α Βρίσκω τις ρίζες του τριωνύμου 8α+ α. 8α 4 α 64α 48α 6α = = =, β ± 8α ± 4α = = α 8α + 4α α α = = = απορρίπτεται αφού 4 4 α < 8α 4α 4α α = = = 4 4 6 3 V α α α α α α α α α α α α α α = = = = = α = 6 6 6 6 6 3 6 3 6 3 6 3 3 4α α α α = = 9 6 9 3 7 Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
α 6 α V + V ( ) 3 3 V α α α = = 6 7 3 Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4
Β4. Θέλουμε να περιφράξουμε μια περιοχή 6. m σχήματος ορθογωνίου με μεταβλητές διαστάσεις και να τη χωρίσουμε στη μέση. Ο φράχτης για την περίφραξη κοστίζει 9 δρχ./m και ο φράχτης για το χώρισμα 6 δρχ./m. Να βρείτε ποιές πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε, να έχουμε το ελάχιστο κόστος για την περίφραξη μαζί με το χώρισμα. (γενίκευση) y Εστα Ε m το εμβαδό του ορθογωνίου.εστω ότι η περίφραξη κοστίζει α /m (το α από το ακριβό) και το χώρισμα φ /m (το φ από το φθηνό) Εστω το πλάτος και y το μήκος του ορθογωνίου ( η διάσταση η παράλληλη προς το χώρισμα).τότε η περίμετρός του είναι Π=+y και το κόστος της περίφραξης ( ) είναι ϕ. Αρα το συνολικό κόστος είναι ( ) Ε y =Ε y = Κ= + y α + ϕ Ε Ε α ( ) Εα Κ = + α + ϕ = α + + ϕ = α + ϕ + Εα Κ = α + ϕ ( Εα Εα ) Εα Εα Κ = α + ϕ = α + ϕ = = = α + ϕ α + ϕ Ε Ε Ε α + ϕ Ε α + ϕ y = = = = = Εα Εα α α + ϕ Επαλήθευση για Ε=6 α=9 και φ=6 + y α.to κόστος του χωρίσματος Εα 6 9 6 9 6 9 6 3 = = = = = = α + ϕ 8 + 6 4 4 8 6 3 4 = 4 3 = 4 3 = 3 Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5
Β5. Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ να εγγράψετε το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν. Αν και y είναι οι πλευρές του ορθογωνίου, τότε το εμβαδόν του είναι Ε=y. Επειδή η γωνία του ορθογωνίου είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο και ορθή, το τόξο στο οποίο βαίνει θα είναι 8 μοίρε οπότε η αντίστοιχη χορδή θα είναι διάμετρος του κύκλου. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε + y = 4ρ οπότε y = 4ρ ().Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου εκφράζεται ως συνάρτηση του με τον τύπο: 4ρ Ε = < < ρ ( 4ρ ) Ε = 4ρ = 4ρ + 4ρ = 4ρ + = 4ρ + 4ρ 4ρ 4ρ = = 4ρ 4ρ 4ρ 4ρ 4ρ 4ρ 4ρ = = 4ρ 4ρ 4ρ 4ρ 4ρ Ε = = 4ρ = = 4ρ = ρ = ρ = ρ 4ρ H ρίζα στο παρονομαστή είναι θετικός αριθμός 4ρ Ε > > 4ρ > < 4ρ < ρ 4ρ > < ρ < ρ ρ ρ Ε + Ε ( ρ) ρ Ε ma = Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6
Eπομένως για = ρ το ορθογώνιο έχει το μέγιστο εμβαδό που είναι: Ε ma ρ = ρ 4ρ ρ = ρ 4ρ ρ = ρ ρ = ρ ρ = ρ Oταν όμως ρ = τότε από την () έχουμε: y = ρ ρ = ρ ρ = ρ = ρ 4 4 Δηλαδή y= οπότε από όλα τα ορθογώνια που μπορούν να εγγραφούν σε έναν κύκλο ακτίνας ρ, το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. Β6. Ένα σύρμα μήκους λ κόβεται σε δύο τμήματα με τα οποία σχηματίζουμε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο αντιστοίχως. Να δείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι ελάχιστο, όταν η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με τη διάμετρο του κύκλου. Aν είναι το μήκος του κύκλου τότε η περίμετρος του τετραγώνου είναι λ. Αν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου τότε έχουμε = πρ ρ = π Το άθροισμα των εμβαδών των δύο τμημάτων είναι ( λ) ( λ) λ λ λ πρ π π π Ε= + = + = + = + = + 4 π 4 π 4 4π 6 4π 6 Aρα το άθροισμα των εμβαδών ως συνάρτηση του γράφεται: ( λ ) Ε = + με λ 4π 6 ( λ) ( λ)( λ) ( λ)( ) λ 4 ( λ) π Ε = + = + = + = + = + 4π 6 4π 6 π 8 π 8 8π 8π ( ) + π λπ ( 4 ) 4 λ π 4 + π λπ = + = = 8π 8π 8π 8π ( 4 π ) λ + λπ λπ Ε = + = = ( 4+ π ) λπ = = π 8 8π 4 + π ( 4 ) + π λπ λπ Ε > > ( 4+ π ) λπ > > 8π 4 + π Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7
λπ 4 + π λ Ε - + Ε λ 6 λπ λ Ε min = 4+ π 4 4+ ( π) λ 4π ( π) λπ λ 4 + π λπ 4λ λ λπ λπ 4 π λ π 4 π 4 π λ π + + + 4+ π Ε = + = + = + 4 + π 4 + π 4π 6 4+ 4π 6 44+ 6 ( π) 6λ ( + π ) λπ 4+ π λπ 6λ λπ 4λ λ π + 4 λ = + = + = + = = 44+ π 6 44+ π 64+ π 44+ π 44+ π 44+ π 4 4 λπ H διάμετρος του κύκλου είναι 4 λπ λ δ = ρ = = = + π = = π π π π 4 + π 4 + π και η πλευρά του τετραγώνου είναι επίσης: ( 4 ) λ λπ λπ λ + π λπ 4λ + λπ λπ 4λ λ α = = λ = λ = = = = 4 4 4+ π 4 4+ π 4 4+ π 4+ π 4 4+ π 4 4+ π 4+ π Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 8
Β7.. Η έρευνα έχει δείξει ότι αν σε έναν ασθενή γίνει μια υποδόρια ένεση, τότε ύστερα από χρόνο t η kt kt συγκέντρωση y του φαρμάκου στο αίμα του δίνεται από τη συνάρτηση y( t) = ( e e ) Α, k και k θετικές σταθερές με k > k. Να βρείτε το χρόνο t στον οποίο το φάρμακο θα παρουσιάσει τη μέγιστη συγκέντρωση. A kt kt A kt kt A kt kt y ( t) = ( e e ) ( e e ) e ( kt ) e ( kt) = k k k k = k k A A = e k e k = ke + ke k k k k ( ) kt k t kt k t k A k kt A kt kt kt kt kt kt e k kt k k e k y t = ke + ke = ke + ke = ke = ke = ( ) k k k k k e = e = kt+ kt= t k k = t= k tkt k t+ kt ln ln ln k k k k k k k όπου kt k > k e > kt A kt kt kt kt kt kt e k kt k k e k A> y t > ke + ke > ke + ke > ke > ke > k > k > k ln γνησίως αύξουσα k k< kt ( kt ) kt+ kt e e kt kt t k k t k k k k k > > + > ln ( ) > ln < ln k k k k k k k Σημείωση k k k k ln = ln = ln = ln k k k k k k k k k k k k ln k k k k ρ ρ y ( t) + - y( t ) A yma t e e k k kt kt = ( ) Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 9
k k k k k k k ln ln ln ln A k k k k k k k k A k k k k k k yma ln = e e = e e k k k k k k k k k k k ln A ln kk k kk k = e e k k Β8. Ένα ορισμένο όχημα όταν ταξιδεύει με ταχύτητα υ km/h, καταναλώνει την ώρα 6 +,υ 3 λίτρα καύσιμα. i) Να βρείτε τη συνολική ποσότητα καυσίμων που χρειάζεται για να διανύσει μια απόσταση km με σταθερή ταχύτητα υ km/h. ii) Να βρείτε την τιμή του υ για την οποία έχουμε την οικονομικότερη κατανάλωση καυσίμων, καθώς και την ποσότητα καυσίμων που χρειάζεται το όχημα για να διανύσει τα km. Να σχολιάσετε αν η απάντηση στο ερώτημα ii) είναι εφαρμόσιμη λόγω της μεγάλης απόστασης. Ο χρόνος ταξιδιού για να διανύσει την απόσταση km με σταθερή ταχύτητα υ km/h είναι: t = h και αφού σε κάθε ώρα καταναλώνει 6 +,υ 3 λίτρα, χρειάζεται συνολικάαρα θα υ καταναλώσει ( 6,υ ) 3 + λίτρα υ Παρατηρούμε ότι η κατανάλωση είναι συνάρτηση της ταχύτητας επομένως γράφουμε 6 Κ ( υ) = ( 6 +,υ 3 ) = +,υ υ υ 6 6 6 Κ ( υ) = +,υ = +, υ =,υ υ υ υ 6 3 3 6 3 6. Κ ( υ) =, υ =, υ 6 = υ = υ = υ, 3 3 υ = 3. υ = 3. = 3,733 3km/h 6 3 3 6 3 6. Κ ( υ) >, υ >, υ 6 > υ > υ > υ, 3 3 υ > 3. υ > 3. Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
υ 3 3. 3 + ( υ ) Κ + Κ ( υ ) f Κ 3 3 3 = 3 Αρα για υ=3km/h έχουμε την μικρότερη κατανάλωση Δεν είναι εφαρμόσιμη διότι το όχημα θα χρειάζεται περίπου 3 ώρες δηλαδή πολύ μεγάλο 3 χρόνο. 6 Κ υ = +,υ.ηθελα να δώ τι γίνεται στις ακραίες τιμές και παρατήρησα ότι όταν η υ Σημείωση: ταχύτητα τείνει στο η κατανάλωση τείνει στο άπειρο.αρα μήπως ο τύπος ισχύει για κάποιο διάστημα ταχυτήτων και όχι απόλυτα? Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Β9. Δύο ηλεκτρικές αντιστάσεις πρέπει να έχουν άθροισμα 45 Ω. Πως πρέπει να επιλεγούν ώστε όταν συνδεθούν «εν παραλλήλω να δίνουν τη μέγιστη ολική αντίσταση; Aν R, R είναι οι δύο αντιστάσεις τότε έχουμε R+ R = 45 Ω απο την οποία παίρνουμε R = 45 R. Προφανώς είναι R > και R > 45 R > R < 45. Γνωρίζουμε από την Φυσική ότι αν δύο αντιστάσεις συνδεθούν παράλληλα η ολική αντίστασή τους έστω RR R δίνεται από τον τύπο R = R + R Απόδειξη του τύπου R.Το R γράφεται R = R + R R R οπότε αφού R + R < είναι R< R. V V V R R R + R R R I = I+ I = + = + = + = R = R R R R R R R RR RR R RR R + R ( R ) + R R 45 R R 45 R R 45 R 45R R R R R R 45 45 45 45 = = = = 45R R R R = R = R 45 45 Γράψαμε λοιπόν την ολική αντίσταση είναι συνάρτηση του R : = R οπότε R ( R ) = = R R R 45 R R 45 5 R R R ( R) = = = R = 5 5 5 R R R ( R) > > < R < 5 5 5 R 5 45 R ( R ) + R( R ) R( R ) =,5 R R R 5 5 5 5 5 5 5 = R = 5 = 5 = 5 = = =,5 45 45 45 Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
f Β. Το μεσημέρι ένα ιστιοφόρο βρίσκεται χιλιόμετρα βορείως ενός φορτηγού πλοίου. Το ιστιοφόρο ταξιδεύει νότια με 4 km/h, και το φορτηγό ανατολικά με km/h. Αν η ορατότητα είναι km, θα έχουν οι άνθρωποι των δύο πλοίων οπτική επαφή σε κάποια στιγμή; Αν Ι και Φ είναι ο θέσεις του Ιστιοφόρου και του Φορτηγού αντίστοιχα ύστερα από t ώρες, τότε ΟΙ = 4t και ΟΦ = t οπότε ( 4t) ( t) ΙΦ = + H ελάχιστη απόσταση θα παρουσιαστεί όταν το υπόριζο ( 4t) ( t) α < β α < β ). Θεωρούμε λοιπόν την συνάρτηση ( 4 ) ( ) f t = t + t t> Εχουμε: + γίνει ελάχιστο (αφού f ( t) = ( 4t) + ( t) = ( 4t)( 4t) + ( t)( t) = 4t 4 + t =8 4t + 8t = 6 + 3t+ 8t = 4t 6 f ( t) = 4t 6 = 3 V + f + f Κ = 3 3 3 3 f() = 6 ελάχιστο + ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
Αν μια συρμάτινη ράβδος είναι ομογενής, τότε η γραμμική της πυκνότητα ρ ορίζεται ως η μάζα της ανά μονάδα μήκο Αθανασίου Δημήτρης asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4