. Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 A Oµάδας. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R ( ( ( στ. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D ( R ( ( ( στ ( ( ( ( ( ( ( (.i Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R Κντά στ είναι ( ( ηµ ηµ ηµ στ ηµ ηµ ηµ ( ( ( ηµ. ηµ
. Να βρείτε (αν υπάρχει την παράγωγ της συνάρτησης ( D R Για είναι ( ( στ ( ( (. Να βρείτε (αν υπάρχει την παράγωγ της συνάρτησης ( D R Για είναι ( ( στ ( ( ( ( ( ( ( ( Από τις (, ( συµπεραίνυµε ότι η δεν είναι παραγωγίσιµη στ.i Να βρείτε (αν υπάρχει την παράγωγ της συνάρτησης ( D R Πρόσηµ τυ τριωνύµυ Κντά στ είναι ( ( ( - - ( ( ( (( ( στ
.iv Να βρείτε (αν υπάρχει την παράγωγ της συνάρτησης ( στ ( ( ( ( ( ( <,, ( ( ( ( Από ( και ( έχυµε ( ( (. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στ, να απδείξετε ότι η συνάρτηση g( ( είναι παραγωγίσιµη στ. είναι συνεχής στ Για είναι Άρα g( g( g( g( ( ( ( ( ( ( ( g ( ( 4. Αφύ µελετήσετε ως πρς τη συνέχεια στ τη συνάρτηση, < (, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στ σηµεί αυτό. ( ( και ( Άρα δεν υπάρχει τ (, πότε η δεν είναι συνεχής στ, άρα ύτε παραγωγίσιµη σ αυτό.
4 4. Αφύ µελετήσετε ως πρς τη συνέχεια στ τη συνάρτηση ( να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στ σηµεί αυτό. D R ( και ( Άρα ( (, πότε συνεχής στ ( Για < είναι Οπότε Για > είναι Οπότε ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Από (, ( συµπεραίνυµε ότι η δεν είναι παραγωγίσιµη στ
5 5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτµένης της C (αν ρίζεται στ σηµεί Α(, ( για κάθε µία των ασκήσεων και. Για την άσκηση (, απδείχθηκε ( και ( Οπότε ε : y ( (( y ( y Για την άσκηση (, απδείχθηκε ( και ( Οπότε ε : y ( (( y ( y y Για την άσκηση (i, απδείχθηκε ( και ( Οπότε ε : y ( (( y ( y Για την άσκηση (, απδείχθηκε ( και ( Οπότε ε : y ( (( y ( y Για την άσκηση (, απδείχθηκε ότι η δεν είναι παραγωγίσιµη στ άρα δεν ρίζεται εφαπτµένη της C στ σηµεί (, ( (, Για την άσκηση (i, απδείχθηκε ( και ( Οπότε ε : y ( (( y ( y y Για την άσκηση (iv, απδείχθηκε (. και ( Οπότε ε : y ( (( y ( y
6 B Oµάδας. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R Κντά στ είναι ( ( ( ( ( ηµ ( ηµ ηµ ηµ στ σηµεί ( ηµ ηµ. Αν για µια συνάρτηση ισχύει (, για κάθε R, να απδείξετε ότι : ( ( Για, η υπόθεση δίνει ( ( ( Για κάθε είναι ( ( Άρα ( (
7. Αν (, < ηµ,, να απδείξετε ότι ρίζεται εφαπτµένη της C στ σηµεί Α(, και σχηµατίζει µε τν άξνα των γωνία ( ( Για < είναι ( ( ( ( ( Άρα ( ( ( ηµ ηµ Για > είναι ( ( ηµ Άρα ( π 4 ( ( Από (, ( ( Άρα, στ σηµεί Α(, ρίζεται εφαπτµένη της ( εφ 4 π C µε συντελεστή διεύθυνσης
8 4. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( Για είναι ( ( ( ( ( συν συν (συν (συν (συν συν (συν ηµ ( ηµ (συν. συν,, ( συν ηµ συν στ συν
9 5. Αν ( ( ( ( για κάθε R, να απδείξετε ότι : ( ( για κάθε < για κάθε > i ( Για η υπόθεση ( και ( ( ( ( ( ( ( Για <, η ( ( ( ( ( ( Για >, η ( ( ( ( ( ( i Επειδή (, µε κριτήρι παρεµβλής στη ( θα έχυµε ( ( (4 Οµίως, µε κριτήρι παρεµβλής στη ( θα έχυµε ( ( (5 Από τις (4, (5 ( ( (
6. Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής στ σηµεί και για κάθε R ισχύει ηµ 4 ( ηµ 4 να απδείξετε ότι : ( ( συνεχής στ σηµεί Αρκεί να βρύµε τ Για >, η υπόθεση Αλλά ηµ ( ( ηµ ηµ ηµ 4 ηµ ± ηµ ± ( ( ( ( ( ηµ ( Με τ κριτήρι παρεµβλής στη ( θα έχυµε Για η υπόθεση Αλλά ηµ [(. ηµ ηµ ηµ 4 ηµ ( ( ( ( 4 ηµ ( ηµ ηµ ( ηµ ηµ ( ( ( ηµ ± ] ± Με κριτήρι παρεµβλής στην ( θα έχυµε Άρα ( 4 ( ( ( (
7. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στ και ( ( 4 είναι συνεχής στ ( ( ( ( ( ( ( (. 4 [ 4, να απδείξετε ότι : ( ] 4. 8. Να απδείξετε ότι, αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στ, τότε ( ( ( ( o ( ( παραγωγίσιµη στ ( ( ( ( o u u ( ( ( ( ( ( u u ( ( ( ( ( u u ( ( ( ( (όπυ θέτυµε u πότε και u [ ( ( ( ( ] ( ( (, ( ( ( ( ( (