Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την έννοια της εφαπτοµένης σε µια καµπύλη ή την έννοια της ταχύτητας ενός αντικειµένου. Το πρόβληµα της εφαπτοµενης Η λέξη εφαπτοµένη προέρχεται απο την λεξη εφαπτοµαι ή αγγιζω. Ετσι µια εφαπτοµένη µιας καµπυλης ειναι µια ευθεία που αγγίζει την καµπύλη. Πως όµως µια τέτοια ιδεα µπορει να γινει κατανοητή Για τον κυκλο π.χ. ϑα µπορουσαµε να ακολουθήσουµε τον Ευκλειδη και να πουµε οτι µια εφαπτοµενη ειναι µια γραµµή η οποια τεµνει τον κυκλο σε ενα και µονο σηµειο. Οµως, για καµπυλες οχι τοσο απλες οπως ο κυκλος αυτος ο ορισµος ειναι ανεπαρκης. Για να γινουµε πιο ακριβης, ας δουµε πως µπορουµε να ϐρουµε την εφαπτο- µενη στην καµπυλη του γραφηµατος της παραβολης y = x 2 στο σηµειο, ). Παράδειγµα Να ϐρεθεί η εξισωση της εφαπτοµενης ευθειας της καµπυλης στο σηµειο P =, ). Για να ϐρουµε την εξισωση, ϑα πρεπει να ξερουµε την κλιση m της ευθειας. Η δυσκολια εγκειται στο γεγονος οτι ξερουµε µονο ενα σηµειο, το P, ενω ϑελουµε δυο σηµεια για να ϐρουµε την κλιση m. Οµως, µπορουµε να ϐρουµε µια προσεγγιση της κλισης διαλεγοντας ενα σηµειο Q = x, x 2 ) πολυ κοντα στο P, µε x. Υπολογιζουµε λοιπον την κλιση m P Q της ευθειας που διερχεται απο τα σηµεια P, Q. Εχουµε : m P Q = x2 x Για παραδειγµα, οταν x =.00 ή x = 0.999 παιρνουµε οτι m P Q = 2.00 ή.999 αντίστοιχα. Οσο πιο κοντα ειναι το Q στο P, που σηµαινει το x ειναι κοντα στο, τόσο ϕαινεται οτι το m P Q ειναι πιο κοντα στο 2. Θα λέµε λοιπον οτι, η κλίση m της εφαπτοµενης είναι το όριο της εκφρασης m P Q οταν το Q τεινει στο P και γραφουµε : m x 2 P Q = m ή Q P x x

Υποθετοντας λοιπον οτι η κλιση ειναι 2 τοτε η εξισωση της εφαπτοµενης ειναι η y = 2x. Το προβληµα της ταχυτητας Παράδειγµα 2 Εστω ενα µπαλακι του golf αφηνεται να πεσει στο εδαφος απο την κορυφη του πυργου των Αθηνων. Να ϐρεθει η ταχυτητα της µπαλας επειτα απο 5 δευτερολεπτα. Ακολουθώντας τον νοµο του Galileo, αν st) ειναι η αποσταση τη µπάλας απο το σηµειο που ερριφθει µετα απο χρονο t δευτερολεπτων, τοτε st) = 4.9t 2. Η δυσκολια του να ϐρουµε την ταχυτητα την χρονικη στιγµη t = 5, εγκειται στο γεγονος οτι µιλαµε για την δεδοµενη χρονικη στιγµη t = 5 και δεν εχουµε καποιο διαστηµα χρονου για να υπολογισουµε π.χ. την µεση ταχυτητα. Οµως, οπως και στο προηγουµενο παραδειγµα, µπορουµε να προσεγγισουµε την στιγµιαια ταχυτητα υπολογιζοντας την µεση ταχυτητα ΜΤ) σε ενα χρονικο διαστηµα της µορφης [5,5.]. Βρισκουµε λοιπον, διανυθεισα αποσταση MT = = χρονο s5.) s5) 5. 5 = 49.49 Φαινεται λοιπον οτι η στιγµιαια ταχυτητα την χρονικη στιγµη t = 5 ειναι πολυ κοντα στο 49. Για να χρησιµοποιησουµε την γλωσσα του ορίου ϑα εχουµε οτι η στιγµιαια ταχυτητα οταν t = 5 ειναι s5 + h) s5) h 0 h Ας δωσουµε λοιπον τωρα τον µαθηµατικο ορισµο της εννοιας του ορίου 2 Οριο συνάρτησης και Ιδιότητες Ορισµός 2. Εστω f πραγµατικη συναρτηση και a ΙR. Τοτε ϑα λεµε οτι το οριο της fx), οταν το x τείνει στο a, ειναι το b ΙR, και ϑα γραφουµε fx) = b οταν x a και µονο οταν για καθε ϑετικο αριθµο ɛ υπαρχει { ενας ϑετικος δ ετσι ωστε οταν 0 < ɛ > 0 δ > 0 : x a < δ τοτε fx) b < ɛ ή συµβολικα 0 < x a < δ fx) b < ɛ Παράδειγµα 3 Να ϐρεθει το x 2 x x. Λυση: Εστω e > 0. Τοτε ϑεωρουµε δ = ɛ και εχουµε οταν 0 < x < δ τοτε x2 x 2 x 2 = x < δ = ɛ και αρα x x = 2. Ορισµός 2.2 Εστω µια συναρτηση f : ΙR ΙR, και εστω b ΙR. Τοτε το όριο της fx) ειναι το b, οταν το x τεινει στο a απο αριστερα και ϑα συµβολιζουµε µε x a fx) = b εαν και µονον εαν : 2

{ ɛ > 0 δ > 0 : a δ < x < a fx) b < ɛ Ορισµός 2.3 Εστω µια συναρτηση f : ΙR ΙR, και εστω b ΙR. Τοτε το ό- ϱιο της fx) ειναι το b, οταν το x τεινει στο a απο δεξια και ϑα συµβολιζουµε µε fx) = b εαν και µονον εαν : x a { + ɛ > 0 δ > 0 : a < x < a + δ fx) b < ɛ Θεώρηµα 2. Εστω µια πραγµατικη συναρτηση f και αν a ΙR. Εστω b πραγµατικος. Τοτε : = b fx) = b x a x a και fx) = b x a + Πόρισµα 2.2 Εστω f, a όπως παραπάνω, και υποτεθειστω οτι ειτε καποιο απο τα fx), fx) δεν υπάρχει ή δεν ειναι ισα. Τοτε το fx) δεν υπαρχει. x a x a + x a Σηµείωση 2.. Απο τον ορισµό του ορίου, δες 2., δεν προκύπτει ότι το a πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης. 2. Το µήκος των διαστηµάτων α, c) c, β) στα οποία αναζητούµε το όριο µιας συνάρτησης στο a, δεν παίζει ϱόλο στην εύρεση του ορίου, για τον λόγο αυτό µπορούµε να πάµε όσο καοντά ϑέλουµε στο a. 3. Η µαθηµατική ανάλυση είναι ο κλάδος των µαθηµατικών στον οποίο η ολική και η τοπική ιδιότητα ενός µαθηµατικού αντικειµένου είναι πολύ σηµαντική. Για παράδειγµα, λέµε ότι η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο ή τοπικό ελάχιστο. Για να περιορισθούµε τοπικά πρέπει να µιλήσουµε για περιοχές. Η περιοχή όµως είναι µια έννοια που είναι λάθος να την ϑεωρήσουµε διαισθητικά. Παρ όλα αυτά είµαστε αναγκασµένοι να το κάνουµε. Στην γενική παιδεία λέµε για παράδειγµα ότι η συνάρτηση fx) έχει για x 0 του πεδίου ορισµού της τοπικό ελάχιστοαν fx) fx 0 ) για κάθε x που ανήκει σε µια περιοχή του x 0. Αυτό, να το ϑεωρήσετε αρκετό και για την κατεύθυνση. Μόνο που εδώ ϑα προσθέσουµε και κάτι άλλο, που δεν είναι ανάγκη να είναι κατανοητό στην πολυπλοκότητά του. Θα λέµε περιοχή του x 0 κάθε ένωση διαστηµάτων x 0 δ, x 0 ) x 0, x 0 + δ) µε δ έναν ϑετικό πραγµατικό. Ετσι, ϑα λέµε ότι µια συνάρτηση f έχει µια ιδιότητα κοντά κοντά στο x 0, αν έχει µια από τις τρείς ιδιότητες : α ) είτε να είναι ορισµένη στο x 0 δ, x 0 ) x 0, x 0 + δ) για κάποιο δ και να έχει την ιδιότητα στο x 0 δ, x 0 ) x 0, x 0 + δ), ϐ ) είτε να είναι ορισµένη στο x 0 δ, x 0 ) για κάποιο δ και να έχει την ιδιότητα στο x 0 δ, x 0 ), γ ) είτε να είναι ορισµένη στο x 0, x 0 + δ) για κάποιο δ και να έχει την ιδιότητα στο x 0, x 0 + δ). 3

Πουθενά δεν ϑα δούµε πως περνάµε απο το µέρος στο όλο ή το αντίστρο- ϕο. Ευτυχώς... Εν πάση περιπτώσει, µια κορυφαία στιγµή της µαθηµατικής µεθοδολογίας. 2. Υπολογισµος Ορίων Σε αυτη την παραγραφο ϑα δουµε µερικα απο τα πιο γνωστα ϑεωρηµατα υπολογισµου οριων. Το πρωτο ϑεωρηµα µας δειχνει οτι το διατηρει της πραξεις της προσθεσης και του πολλαπλασιασµου. Θεώρηµα 2.3 Εστω fx), gx) συναρτήσεις µε fx) = A, gx) = B, A, B x a x a ΙR και εστω σταθερές b, c. Τοτε. x a [bfx) ± cgx)] = ba ± cb 2. x a [fx) gx)] = A B fx) 3. x a gx) = A, όταν B 0. B Σηµείωση 2.2 Εστω px) και qx) δυο πολυώνυµα και a ΙR. Τοτε x a px) = pa). Και συνεπώς px) x a qx) = pa), µε qa) 0 qa) Σηµείωση 2.3 Εστω δυο συναρτησεις fx), gx) µε fx) gx) για x α δ, α) α, α + δ), δ > 0. ηλαδή το γραφηµα της fx) ϐρισκεται κατω απο το γραφηµα της gx) κοντα στο a. Αν τα ορια των δυο συναρτησεων υπαρχουν οταν x a τότε είναι λογικο να ισχυριστουµε οτι : fx) gx) x a x a Θεώρηµα 2.4 Οριο σύνθετης συνάρτησης) Εστω δύο συναρτήσεις f και g έτσι ώστε να υπάρχει η σύνθεση f g. Αν x x0 gx) = u 0, τότε το όριο της f g στο x 0 είναι : ) fgx) = fu) u u 0 Το εποµενο ϑεωρηµα ειναι παρα πολυ χρησιµο για τον υπολογισµο οριων και ϑα το χρησιµοποιησουµε αρκετες ϕορες στη συνεχεια, οπως για παραδειγµα στην ευρεση του όριου ηµ και x 0 x xηµ x 0 x 4

Θεώρηµα 2.5 Sandwich) Εστω fx), gx), hx) µε fx) hx) gx) για ολα τα x α δ, α) α, α + δ), και υποτεθειστω οτι fx) = gx) = A ΙR. x a x a Τοτε το hx) υπαρχει και ειναι ισο µε το A. x a Για τα παρακατω ϑα χρειαστουµε την εξης παρατηρηση η ισοτητα ισχυει µονο οταν x = 0. Παράδειγµα 4. ηµ x = ηµ x 0 2. συν x = συν x 0 Αποδειξη : Θα δείξουµε αρχικά οτι ηµ x x, x ΙR ) ηµ x = 0 και συν x = 0 x 0 x 0 Συµφωνα µε την ), x ηµ x x. Απο το ϑεωρηµα.4, επειδή x ) = ηµ x = 0. x = 0, έχω, x 0 x 0 x 0 Επίσης, συν x = ηµ 2 x για x π 2, 0 ) Εποµενως, 0, π 2 ). Αρα, x 0 συν x = x 0 ηµ 2 x = = 0 = ηµ x = = ηµ x 0 + h) h 0 = ηµ x 0 συν h + συν x 0 ηµ h) h 0 = ηµ x 0 συν h + συν x 0 ηµ h h 0 h 0 2) = ηµ x 0 + συν x 0 0 = ηµ x 0 5

συν x = = συν x 0 + h) h 0 = συν x 0 συν h ηµ x 0 ηµ h) h 0 = συν x 0 συν h ηµ x 0 ηµ h h 0 h 0 2) = συν x 0 ηµ x 0 0 = συν x 0 Παράδειγµα 5. x 0 ηµ x x = συν x 2. = 0 x 0 x Ασκήσεις. Για να δείτε το πόσο προσεκτικοί πρέπει να είµαστε όταν επικαλούµαστε την ορολογία του ορίου και την διαισθητική παγίδα που κρύβει µε το παιχνίδι των µεταβλητών ɛ και δ, σας προτείνουµε να αιτιολόγησετε την αντίφαση στο εξής παράδοξο : Θεωρείστε µια ηµιπεριφέρεια κύκλου ακτίνας µ. Τότε, το µήκος αυτής είναι ίσο µε π. ιαιρέστε την ακτίνα του κύκλου και πάρτε µια ακολουθία ηµιπεριφερειών όπως στο σχήµα. Τότε, η ηµιπεριφέρεια µε µήκος π έναι ίση µε το άθροισµα των 2 ηµιπερι- ϕρειών ακτίνας το οποίο είναι ίσο µε το άθροισµα των 4 ηµιπεριφρειών µε 2 ακτίνα, το οποίο είναι ίσο µε το άθροισµα των 8 ηµιπεριφρειών µε ακτίνα 4, το οποίο είναι ίσο µε το άθροισµα των 6 ηµιπεριφρειών µε ακτίνα 6 8 κοκ. Σε µια ϑέση στο άπειρο το άθροισµα του µήκους των ηµιπεριφερειών ϑα είναι ίσο µε την διάµετρο του αρχικού κύκλου. Άρα, π = 2. 2. Να ϐρεθούν τα όρια : x 2 α ) x 0 x 2 Πολλαπλασιάζω µε την + x 2 τους ορους του κλασµατος. Το όριο είναι /2. 6

Σχήµα : Το παράδοξο του κύκλου που ϑέλει να γίνει ευθεία. ηµ x ) ϐ ) x 0 x 3 + x { ηµ x x 3 +x = ηµ x x x 2 + ηµ x xx 2 +) = συν 2 x γ ) x 0 ηµ 2x { συν 2 x ηµ 2x = ηµ 2 x 2ηµ xσυν x = ηµ x συν x δ ) x 0 ηµ 5x 5x + 4 2 } Πολλαπλασιάζω τους ορους του κλασµατος µε 5x + 4+ 2. Το όριο είναι 4. 3. Να ϐρεθεί το x 0 fx) αν, α ) x 2 fx) + x 2 x ΙR ϐ ) x 4 fx) συν 2 x x π 2, π ) 2 4. x 5 α ) x 2 ) = και + x 2 ) = x 0 x 0 ϐ ) x 2 ) ) = και x 0 x 0 συν 2 = x x2 + 0x + 25 x + 5 } 7

x2 + 0x + 25 = x + 5) 2 = x + 5 {, x < 5 Αρα, το όριο ειναι :, x > 5 5. x 5 x 5 + x 2 4x 5 x 5 Εξετάστε την περίπτωση x < 5. Το όριο είναι 5. x 2 x 6. x x Θετουµε x = y, αρα x = = y x y Αρα το εν λογω όριο ειναι ισο µε το 7. Να ϐρείτε το x fx), αν α ) x 4fx) + 2 4x) = 0 ϐ ) x fx) x = y yy2 + y + ) = 3. α ) Θετω gx) = 4fx) + 2 4x. Αρα, fx) = /4gx) + x /2 και x fx) = 2 ϐ ) Θετω fx) = gx). Αρα, fx) = x )gx) και x fx) = 0 x 8. Να ϐρείτε το x 3 fx), αν α ) x 3 fx) 2x 2 + x ) = 4 fx) + ϐ ) = 2 x 3 x 3 fx) 2x γ ) x 3 2x 2 8 = 5 α ) Οπως ασκηση 9α). Το όριο ειναι 20. ϐ ) Οπως ασκηση 9α). Το όριο ειναι -. γ ) Οπως ασκηση 9α). Το όριο ειναι 6. 8

9. Αν η συναρτηση f ειναι άρτια και x 2 fx) + 3x + 4 ) = 5 να ϐρείτε το x 2 fx). Αν εργαστουµε οπως στην 9α), ϑα ϐρουµε x 2 fx) = 5. Θετω x = t, οποτε, 0. Να ϐρείτε τα όρια α ) x 0 ηµ 3x ηµ x, ηµ x 2) ϐ ) x 2 x2 + 5 3, 0, π ). Χρησιµοποιηστε τον µετασχηµα- 2 α ) D f = π ) 2, 0 τισµο : Το όριο είναι 3. fx) x 2 = t 2 = f t) t 2 = ft) = 5 t 2 ηµ 3x ηµ x = 3 ηµ 3x 3x ηµ x x ϐ ) D f = ΙR { 2, 2}. Χρησιµοποιήστε τον µετασχηµατισµο : ηµ x 2) x2 + 5 3 = Το όριο τότε ειναι 3/2. ηµ x 2 x 2) x 2) x2 + 5 3 2x 2 + ax + b, x. Αν, 3x +, < x < 2 να ϐρείτε τις τιµές των a, b, ωστε x 2 bx + a 2, x 2 να υπάρχουνε τα fx) και fx). x x 2 fx) = 2 a b x x x 2 + fx) = 2 2b + a Εξισώνοντας εχω : fx) = 2 fx) = 7 + { x 2 2 a + b = 2 2 2b + a = 7 fx) fy) 2. # Για την συνάρτηση f ισχύει k για καθε x, y ΙR µε x y x y. Να αποδειχθεί οτι : α ) αν k = 0, τοτε η f είναι σταθερη, 9

3. # ϐ ) fx) = fx 0 ) για καθε x 0 ΙR α ) Αν k = 0 τοτε fx) = fy) για καθε x y. Αρα f σταθερη. ϐ ) k x y fx) fy) k x y ή fy) k x y fx) fy) + k x y. Αρα, fx) = fx 0 ), αν ϑεσω y = x 0 στην τελευταια ισοτητα και χρησιµοποιησω το Θ. sandwich. α ) Να αποδειξετε οτι για καθε x ±3 ισχυει x + 3) 2 ηµ x 2 x + 3) 2 9 ϐ ) Να υπολογισετε το [ x + 3) 2 ηµ x 3 ] x 2. 9 γ ) Να υπολογισετε το 4. # Αν ισχυει [ 2x + 5 + x + 3) 2 ηµ x 3 ] x 2. 9 α ) Πολλαπλασιάστε την γνωστη σχεση ηµ x + 3) 2. ϐ ) Με κριτηριο παρεµβολης και a).... = 2x + 3)+ x 3 [ γ ) 2x + 5 + x + 3) 2 ηµ x 3 + 0 = ] x 2 = 9 2 x + 2 fx) x + 3, x 2, να υπολογειστε το fx). x Με κριτηριο παρεµβολης, προκύπτει 2. x 2 9 µε 5. # Αν fx) µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το ΙR, να υπολογισετε το x 2 2 x x 2 + f 2 x) 0

Η συναρτηση εχει πεδιο ορισµου, 2). Αρα, x 2 = 2 x, και συνεπως το όριο ειναι 0. 6. # Αν ισχυει fx) = l ΙR και f 2 x) + fx) ) = 2, να αποδειχθει οτι l 4. 7. # Προκυπτει l 2 + l = 2, αρα l = 3, 4. Και στις δυο περιπτωσεις εχω l 4. α ) Για µια συνάρτηση f µε πεδιο ορισµου A να αποδειξτε οτι : i. fx) fx) fx), x A. ii. αν fx) = 0 τοτε fx) = 0. fx) fx) ϐ ) Αν ισχυει = 0, να αποδειξετε οτι ισχυει και x 2 x 2 x 2 x 2 = 0. α ) i. Είναι γνωστη ιδιοτητα απολύτων τιµών. ii. Απο κριτηριο παρεµβολης. fx) ϐ ) Αφού x 2 x 2 = 0 επεται fx) fx) = 0, αρα και = 0. Απο 7α )ii εχω x 2 x 2 x 2 x 2 το αποτελεσµα. bx 3 + a + 4 8. # Αν ισχυει = 2, να ϐρεθουν τα a και b. x 2 x + 2 Αν fx) = bx3 + a + 4 x + 2 συνεπάγεται 8b+a+4 = 0. Αρα, x 2 ή b x 2 x2 2x + 4) = 2 ή b =. Αρα a = 4. fx) 9. # Αν ισχυει = 3, να υπολογισετε το όριο : x 0 x x 2 bx3 + a + 4) = fx)x + 2) = 0 x 2 bx 3 + 8b x + 2 xfx)ηµ x + f 3 x) x 2 fx) x 0 xf 2 x) + fx)ηµ 2 x + x 3 = 2 ή x 2 bx3 + 8 x + 2 = 2 20. # ιαιρουµε τους ορους µε x 2 fx) και προκυπτει 27.

α ) Εστω 0 x fx) 0 x + x 2 για καθε x ΙR. Να αποδειχθει οτι η παρασταση fx) f0) x δεν εχει όριο καθως x 0. ϐ ) Αν x 0, 3) ισχυει 2 fx) 2 + 9 x 2, να υπολογισετε το x 3 fx) α ) Αφου f0) = 0, διακρινεται περιπτώσεις µε x < 0 και x > 0. Αν x < 0 απο κριτηριο παρεµβολης το όριο για x 0 είναι -0, ενω στην αλλη περιπτωση x 0 + ειναι 0. ϐ ) Το όριο ειναι 2, απο κριτηριο παρεµβολης. 2. ύο συναρτήσεις f[ και g είναι ορισµένες ] στο σύνολο [ A = α,] 2) 2, β), α, β ΙR. Αν fx) + xgx) = 5 και xfx) gx) = 0. Να x 2 x 2 ϐρείτε τα fx) και gx). x 2 x 2 22. ίνεται η συνάρτηση f : ΙR ΙR τέτοια ώστε : για κάθε x ΙR να ισχύει ft ) = 4t 3 + 2t 2 9t + ). Θεωρούµε τη συνάρτηση gx) g : gx) = f f f)ηµ x). Να ϐρεθεί το x 0 x. Υπόδειξη : Είναι γνωστό απο την Β τάξη ότι : ηµ 3x) = 4ηµ 3 x + 3ηµ x.) 23. Αν για τη συνάρτηση f : ΙR ΙR έχουµε : α ) υπάρχει το fx) και είναι πραγµατικός αριθµός. x + y + z ) ϐ ) Ισχύει : fx) + fy) + fz) f, x, y, z ΙR. 3 Να αποδειχθεί ότι για τον µιγαδικό w = a + bi µε a ΙR + και b = fx) ισχύει : w i w +. 24. Εστω δύο συναρτήσεις : fx) = + x 4, gx) = να ϐρείτε τις τιµές του α ώστε να ισχύει fx) α = 0 x 0 gx) { x 5, x < 0, x 0 2