ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ

Εισαγωγή Μοντελοποίηση αεροδυναμικών φαινομένων: Το σημαντικότερο ίσως ζήτημα στη μελέτη της δυναμικής πτήσης: Αναγνώριση και ποσοτική περιγραφή της αεροδυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους ώστε να ενσωματωθεί στις εξισώσεις κίνησης. Αφορά την εξέλιξη μαθηματικών μοντέλων που κατ αρχήν θα περιγράφουν τις αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές που επιδρούν στο σκάφος. Πολύπλοκο πεδίο ροής γύρω από το αεροσκάφος: Μαθηματική περιγραφή των αεροδυναμικών φαινομένων εισάγοντας απλοποιήσεις, διατηρώντας παράλληλα ικανοποιητική ακρίβεια. Απλούστερο και συνηθέστερο μοντέλο: Αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας και ελέγχου: Μέσο συσχέτισης των δυναμικών χαρακτηριστικών του αεροσκάφους με τις κυρίαρχες αεροδυναμικές ιδιότητες.

Ψευδοστατικές παράγωγοι ευστάθειας Εξισώσεις κίνησης μικρών διαταραχών γύρω από μια θέση αντισταθμισμένης ισορροπίας: Οι παράγωγοι ευστάθειας προσδιορίζουν την κίνηση του αεροσκάφους μόνο όταν εκείνο βρίσκεται στην κατάσταση «δυναμικής διαταραχής» σε σχέση με την αρχική κατάσταση ισορροπίας. Π.χ. η παράγωγος που εκφράζει τη μεταβολή στην κάθετη δύναμη Ζ, λόγω διαταραχής του ρυθμού πρόνευσης q του αεροσκάφους: Z q = Z q Συνιστώσα της κάθετης δύναμης λόγω διαταραχή του q : Z Z = q dq = Z q q Γενικά, η διαταραχή κατά την πτήση που προκάλεσε τη μεταβολή στον ρυθμό πρόνευσης, είναι φυσικό να προκαλέσει ανάλογες μεταβολές και σε άλλες κινηματικές μεταβλητές - που με τη σειρά τους θα προκαλέσουν μεταβολές της κάθετης δύναμης Ζ.

Ψευδοστατικές παράγωγοι ευστάθειας Εξ ορισμού περιορισμένη κίνηση: Μπορεί να ληφθεί το όριο στο οποίο τείνει η δυναμική κατάσταση διαταραχής όταν οι διαταραχές τείνουν στο μηδέν και το οποίο είναι η κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας. Κοινή πρακτική: Προσδιορισμός των παραγώγων ευστάθειας στην κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας και υπόθεση ότι ο υπολογισμός εφαρμόζεται στη μικρή διαταραγμένη κίνηση περί αυτής της κατάστασης. Ψευδοστατικές παράγωγοι ευστάθειας: Ποσότητες που βασίζονται και προκύπτουν από μόνιμες αεροδυναμικές συνθήκες, αλλά τελικά χρησιμοποιούνται στην περιγραφή δυναμικά μεταβλητών, αεροδυναμικών συνθηκών. Παραδοχή υποηχητικής πτήσης: Ο αέρας θεωρείται ασυμπίεστος. Παραδοχή της «ψευδοστατικής ροής» ( quasi-steady flow ): Οι διαταραχές διαδίδονται ακαριαία επάνω στο αεροσκάφος. Στην πραγματικότητα, η διάδοση των διαταραχών δεν είναι άμεση, καθώς επηρεάζεται από την επίδραση της «φαινόμενης μάζας», δηλαδή τη μάζα του αέρα που επιταχύνεται σε κάθε διαταραχή κίνησης του αεροσκάφους. Αυτές οι παράγωγοι ευστάθειας παρέχουν ικανοποιητικά αποτελέσματα για τη δυναμική μελέτη μικρών διαταραχών. Όταν όμως το εύρος της κίνησης μεγαλώνει, τα αποτελέσματα που προκύπτουν γίνονται ανεπαρκή και μάλιστα με αυξανόμενο ρυθμό.

Ψευδοστατικές παράγωγοι ευστάθειας Π.χ. Επίδραση οπισθέλκουσας D, στην αξονική δύναμη X κατά τη διαταραχή: Στο αεροδυναμικό σύστημα αναφοράς: X = -D. Μετά από διαταραχή ± u ορίζεται: X u = X U X V T Θεωρώντας διαταραχή απειροστά μικρή (u 0) V T V Te : X u = 1 ρv Te S C D + V Te C D V T όπου C D V T και C D υπολογίζονται στην κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας e με βάση τις τιμές της V Te. όπου : U = U e + u = V Te + u = V T X u = D V T Kλίση του διαγράμματος V T (D) στο σημείο e: Ψευδοστατική τιμή της X u στη συνθήκη πτήσης που αντιστοιχεί στην ταχύτητα αντιστάθμισης V Te. Υποθέτοντας σταθερή πυκνότητα κατά τη διαταραχή, αντικαθιστώντας τη σχέση ορισμού της οπισθέλκουσας: D V T = 1 ρv TS C D + V T C D V T

Εισαγωγικοί ορισμοί και υπολογισμοί Ο υπολογισμός των παραγώγων ευστάθειας πραγματοποιείται στο αεροδυναμικό σύστημα αναφοράς για απλοποίηση της ανάλυσης. Σχήμα: Αεροσκάφος, το οποίο υπόκειται σε μία διαμήκη, μικρή διαταραχή. Οι αρχικές συνθήκες προκύπτουν από τη μόνιμη, συμμετρική, αντισταθμισμένη, οριζόντια πτήση με ταχύτητα V Te = U e. Η διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης προκύπτει ως: w α = atan U e + u w α σε rad V Te όπου Κατά τη διαταραχή η ολική ταχύτητα V T μεταβάλλεται με συνιστώσες U και W κατά μήκος των αξόνων Ox και Oz αντίστοιχα. V T = U + W U = U e + u W = w

Εισαγωγικοί ορισμοί και υπολογισμοί Οι μερικές παράγωγοι ως προς τις ταχύτητες U και W: U = u = 1, U e u U e W = w = 1 U e α Προκύπτει ότι οι διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων λόγω μεταβολής της αξονιής ταχύτητας U, ουσιαστικά ισοδυναμούν με διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων, λόγω διαταραχής του λόγου u/u e. Οι διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων λόγω μεταβολής της κάθετης ταχύτητας W ουσιαστικά ισοδυναμούν με διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης α. Παραγωγίζοντας την εξίσωση της V T, στο σημείο e αντισταθμισμένης ισορροπίας: V T V T V T = = 1 = U U e u e u e e V T W e = V T α e = 0 V T w e = 0

Εισαγωγικοί ορισμοί και υπολογισμοί Οι παράγωγοι της δύναμης αντίστασης D: D D u = = ρsu e U U e e C Du + C D και D w = D = ρsu e C D = ρsu e W e W e Οι αεροδυναμικοί συντελεστές που εμφανίζονται στις σχέσεις: C D C D C Du = και C U Dα = e α e Όμοια οι παράγωγοι της άνωσης L και της ώσης Τ στο σημείο e: L L u = = ρsu e L U U e e C Lu + C L και L w = = ρsu e W e C L α T u = T U e και T w = T = 1 T 0 W e U e α e Για μικρές γωνίες πρόσπτωσης α : X = T D + L α και Ζ = D α L 1 U e C D α e = ρsu e C D α Κατά τη διαταραχή η μεταβατική ροπή πρόνευσης είναι μη μηδενική και δίνεται από τη σχέση: Μ = 1 ρv T cc m

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής u της αξονικής ταχύτητας X u διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής του μέτρου της ταχύτητας: X U = T U D U + α L U X u = ρsu e C D U e C D u + ρsu e T u Z u διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω της διαταραχής του μέτρου της ταχύτητας: Z U = L U α D U Z u = L = L U u = ρsu e e U e C L u + C L M u : Διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω της διαταραχής του μέτρου της ταχύτητας: M U = 1 ρv T S c C m U + ρv TS c C m M u = M = 1 U e ρv T e S cc m u Σε χαμηλούς αριθμούς Mach ο συντελεστής της ροπής πρόνευσης C m είναι σχεδόν ανεξάρτητος από την ταχύτητα και επομένως η παράγωγος Μ u πολύ συχνά υποτίθεται ότι είναι αμελητέα για αυτές τις συνθήκες πτήσης.

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής a της γωνίας πρόσπτωσης X w διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης: X W = T W D W + α L W + L α W X W = ρsu e C L C D α Z w διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης: Z D = α W W D α W L W Ζ 1 L Z W = = D W e = ρsw e C e U e W e D + C L α M w διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης: M M W = = ρv W Te S cc m α e Από το κεφάλαιο, για ένα στατικά ευσταθές αεροσκάφος: C mα = dc m dα < 0 Η Μ w παρέχει ένα μέτρο της ακαμψίας πρόνευσης του αεροσκάφους. Ισοδυναμεί δηλαδή με ένα στροφικό ελατήριο επαναφοράς σε διαταραχές της γωνίας πρόσπτωσης. Κατά συνέπεια είναι μία από τις σημαντικότερες παραγώγους ευστάθειας και διαδραματίζει ένα σημαντικό ρόλο στον καθορισμό της βραχυπρόθεσμης διαμήκους δυναμικής.

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής q του ρυθμού πρόνευσης Μια μικρή διαταραχή ως προς τον ρυθμό πρόνευσης q, έχει σημαντική επίδραση κυρίως στην αεροδυναμική του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου. Εμφάνιση μίας συνιστώσας κατακόρυφης ταχύτητας στο οριζόντιο ουραίο σταθερό πτερύγιο. Διαταραχή α t qστην τοπική γωνία πρόσπτωσης α t του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου: α t q = tan α tq = q l t V T

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής q του ρυθμού πρόνευσης Χ q διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης: Η διαταραχή Χ t της αξονικής δύναμης Χ προκύπτει από τη διαταραχή της οπισθέλκουσας του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου και συνεπώς: X t = D t = 1 ρv T S t C Dt ενώ ισχύει C Dt q = C D t α t α t q = l t C Dt V T α t Υποθέτοντας ότι η V Τ είναι ανεξάρτητη του ρυθμού πρόνευσης q: X t X q = = 1 q e ρv T e S t l t C Dt α όπου C = C Dt Dt α α e Επειδή ο ρυθμός μεταβολής της οπισθέλκουσας του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου σε σχέση με τη γωνία πρόσπτωσης είναι συνήθως μικρός, η παράγωγος ευστάθειας X q είναι μικρή και έτσι συνήθως αμελείται στην ανάλυση ευστάθειας και ελέγχου του αεροσκάφους.

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής q του ρυθμού πρόνευσης Ζ q διαταραχή τους κάθετης δύναμης Ζ λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης: Z t = L t = 1 ρv T S t C L t ενώ τότε C Lt q = C L t α t α t q = l t V T C Lt α t Z q = Z t q e = 1 ρv T e S t l t C Lt α Μ q διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης: M q = l t Z q = 1 ρv T e S t l t C Lt α Η Μ q χαρακτηρίζει την απόσβεση της πρόνευσης ( Στροφικός αποσβεστήρας ). Αν και αυτό το απλό μοντέλο επισημαίνει τον σημαντικό ρόλο που παίζει το οριζόντιο ουραίο πτερύγιο στον καθορισμό των χαρακτηριστικών απόσβεσης του αεροσκάφους ως προς την πρόνευση, πρέπει να σημειωθεί ότι πολλές φορές η επίδραση της ατράκτου και των πτερύγων είναι εξίσου σημαντική.

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής a του ρυθμού της γωνίας πρόσπτωσης Υστέρηση λόγω κατωρεύματος (downwash lag effect): Η διαταραχή w προκαλεί μια διαταραχή α στην κύρια πτέρυγα και κατά συνέπεια μια μεταβατική διαταραχή στο κατώρευμα πίσω από την κύρια πτέρυγα, η οποία μετά από σύντομο χρονικό διάστημα διαδίδεται στο κατάντη πεδίο ροής και διέρχεται πάνω από το οριζόντιο ουραίο πτερύγιο. Το συνολικό αποτέλεσμα που προκαλείται στην άτρακτο δεν μπορεί να είναι αμελητέο. Μια διαταραχή στο σημείο Α του πεδίου ροής γύρω από την κύρια πτέρυγα φτάνει στο σημείο Β του πεδίου ροής γύρω από το ουραίο οριζόντιο πτερύγιο με μία χρονική καθυστέρηση: T d = l t /V Te

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης a Θεωρώντας ότι στην κύρια πτέρυγα εξελίσσεται ένα φαινόμενο διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης με σταθερό ρυθμό, η τιμή της γωνίας πρόσπτωσης α w στην κύρια πτέρυγα: όπου: α w t = α w t T d dα w dt = w V Te + dα w dt T d Η γωνία πρόσπτωσης του οριζόντιου σταθερού τη χρονική στιγμή t: α t t = α w t i w ε t + i t όπου η γωνία κατωρεύματος: ε t = ε 0 + dε dα (t T d) Στην περίπτωση ελλειπτικής κατανομής της άνωσης, η κλίση της γωνίας κατωρεύματος προκύπτει: Τότε ε = C L w πar w rad dε da = C L α w πar w α t t = α w t i w ε 0 + dε dα α w t + i t dε wt d dα V Te Ενώ μετά την πάροδο της διαταραχής (κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας): α t e = α we i w ε e + i t = α e i w ε 0 + dε dα α e + i t Συμπεραίνεται ότι ο w προκαλεί μία διαταραχή α t w στην τοπική γωνία πρόσπτωσης α t του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου: α tw t = dε dα wl t α t w = α t w w = dε dα V Te l t V Te

Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής a του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης X w διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης: Βάσει της τελευταίας σχέσης προκύπτει: C Dt C Dt = w e α t e α t = dε w e dα l t V C D t α Te X t X w = = 1 w e ρv T C Dt e S t w X w = 1 ρs dε tl t C Dt α dα Επειδή ο C Dt είναι συνήθως μικρός, η παράγωγος α ευστάθειας X w είναι μικρή και έτσι συνήθως αμελείται. Z w διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης: Όμοια ο συντελεστής άνωσης του οριζόντιου ουραίου: C Lt C Lt = w e α t Z t Z w = = 1 w e ρs tv C L t Te w e α t = dε w e dα l t V C L t α Te Z w = 1 ρs dε tl t C Lt α dα Η Z w μπορεί να πάρει σημαντικές τιμές, λόγω του μεγέθους της άνωσης του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου. M w διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης: M w = 1 ρs tl dε t dα C L t α Η παράγωγος M w είναι σχεδόν πάντοτε σημαντική ποσότητα και αποτελεί σημαντικό παράγοντα στην απόσβεση της ταλάντωσης της μικρής περιόδου, σε αντίστοιχο ρόλο με τη ροπή Μ q.

Αεροδυναμικές παράγωγοι ελέγχου λόγω εκτροπής δ e του πηδαλίου ανόδου-καθόδου Με την προϋπόθεση ότι η εξεταζόμενη επιφάνεια ελέγχου είναι μια απλή διάταξη τύπου απλού πτερυγίου (flap-like) και ότι οι αεροδυναμικές του ιδιότητες μπορούν να μοντελοποιηθούν με σχετική ακρίβεια, μπορούν να προκύψουν οι παράγωγοι ευστάθειας της συγκεκριμένης επιφάνειας αεροδυναμικού ελέγχου. Για μια μικρή απόκλιση δ e υποτίθεται ότι οι Χ, Ζ και Μ, προκαλούνται από τη μεταβολή στην οπισθέλκουσα και την άνωση του οριζόντιου ουραίου πτερυγίου και μόνον από αυτό. Ο συντελεστής άνωσης για το οριζόντιο ουραίο με πηδάλιο ανόδου-καθόδου, τυπικά δίνεται από τη σχέση : C Lt = C L0 t (α w i w ε + i t ) Ο αντίστοιχος συντελεστής οπισθέλκουσας μπορεί να εκφραστεί από τη σχέση: C Dt = C D0t + k t C Lt με όλες τις παραμέτρους στη σχέση αυτή να εξαρτώνται από το οριζόντιο ουραίο πτερύγιο.

Παράγωγοι λόγω του πηδαλίου ανόδου-καθόδου X δe διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής της κλίσης του πηδαλίου ανόδου-καθόδου: X δe = 1 ρv T S t C Dt δ e Αντικαθιστώντας το C Dt από την τελευταία σχέση: X δe = ρv T S t k t C Lt C Lt δ e Για μικρές διαταραχές, στο όριο της μόνιμης αντισταθμισμένης πτήσης: X δe = ρv T S t k t C Lt C Lαt τ Z δe διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω διαταραχής της κλίσης του πηδαλίου ανόδουκαθόδου: Ακολουθώντας την ίδια λογική: Z δe = ρv T S t C Lαt τ M δe διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ λόγω διαταραχής της κλίσης του πηδαλίου ανόδουκαθόδου: Προκύπτει άμεσα από την Z δe ως: M δe = l t Z δe = l t ρv T S t C Lαt τ τ: αποδοτικότητα του πηδαλίου ανόδου καθόδου.