Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις................... 3 2.2 Σημασιολογία της Γ 0................................. 4 2.3 Επάρκεια (Πληρότητα) προτασιακών συνδέσμων.................. 5 2.3.1 Μονομελή επαρκή σύνολα συνδέσμων................... 6 2.3.2 Μη επαρκή σύνολα συνδέσμων....................... 7 2.4 Προτασιακός Λογισμός................................ 7 2.5 Εγκυρότητα και Πληρότητα του Προτασιακού Λογισμού.............. 10 2.6 Ασκήσεις....................................... 13 3 Κατηγορηματική Λογική 15 3.1 Συντακτικό και σημασιολογία............................ 15 3.2 Κατηγορηματικός Λογισμός............................. 20 3.3 Εγκυρότητα-Πληρότητα του Κατηγορηματικού Λογισμού............. 22 3.4 Μη-συμβατικά μοντέλα της αριθμητικής Peano................... 24 3.5 Ασκήσεις....................................... 25 4 Μη-συμβατική ανάλυση 27 4.1 Στοιχεία θεωρίας μοντέλων.............................. 27 4.2 Η γλώσσα των πραγματικών αριθμών........................ 29 4.3 Μη-συμβατικά μοντέλα των πραγματικών αριθμών................. 29 4.4 Ασκήσεις....................................... 35 I Λύσεις επιλεγμένων ασκήσεων 37 Βιβλιογραφία 47 i

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ii Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η Μαθηματική Λογική με λίγα λόγια είναι η μαθηματική θεώρηση της μαθηματικής προσέγγισης. Στην Μαθηματική Λογική εξετάζουμε την μαθηματική γλώσσα, δηλαδή την γλώσσα που μέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε για να αποδεικνύουμε θεωρήματα, μέσα σε ένα εντελώς αυστηρό (μαθηματικό) πλαίσιο. Η μαθηματική γλώσσα λοιπόν είναι το αντικείμενο του μαθήματος. Ο πρακτικός στόχος αυτού του μαθήματος είναι η καλύτερη κατανόηση της μαθηματικής προσέγγισης. Ο μη πρακτικός στόχος του (και ο σημαντικότερος) είναι να καταλάβουμε τι σημαίνει μαθηματική απόδειξη και μαθηματική αλήθεια, να εξετάσουμε αν αυτά τα δύο ταυτίζονται και τέλος να κατανοήσουμε τι σημαίνει αλγοριθμικότητα των μαθηματικών. Στο μάθημα θα γίνεται χρήση δύο γλωσσών: της γλώσσας αντικείμενο, δηλαδή της γλώσσας υπό μελέτη, και της Μεταγλώσσας, δηλαδή της γλώσσας με την οποία θα μιλάμε εμείς για την γλώσσα αντικείμενο (π.χ Ελληνικά, Αγγλικά κλπ.). Η διάκριση πρέπει να είναι απολύτως σαφής για να μπορέσει κάποιος να παρακολουθήσει το μάθημα. Σε αυτό το μάθημα πολύ συχνά θα συγχέουμε το όνομα του αντικειμένου με το ίδιο το αντικείμενο, π.χ. πολλές φορές θα λέμε ο τύπος φ, θα επικαλούμαστε δηλαδή το όνομα του τύπου, και θα εννοούμε την συντακτική μορφή του τύπου. Τέλος, όπως έχουμε συνηθίσει στα μαθηματικά να χρησιμοποιούμε μεταβλητές x, y, z, οι οποίες μπορούν εν δυνάμει να πάρουν οποιαδήποτε τιμή μέσα από ένα σύνολο, σε αυτό το μάθημα θα χρησιμοποιούμε συντακτικές μεταβλητές, δηλαδή μεταβλητές φ, ψ, χ που θα παίρνουν εν δυνάμει οποιαδήποτε μορφή μπορεί να πάρει ένας σωστός συντακτικά τύπος. 1

2 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

Κεφάλαιο 2 Προτασιακή Λογική Ορισμός 2.0.1. Με Γ 0 συμβολίζουμε την γλώσσα του προτασιακού λογισμού η οποία θα περιέχει: Μία αριθμήσιμη άπειρη ακολουθία από προτασιακές (λογικές) μεταβλητές p 0, p 1,.... Τους λογικούς συνδέσμους (άρνηση), (σύζευξη), (διάζευξη), (συνεπαγωγή), (διπλή συνεπαγωγή). Τις παρενθέσεις (, ). Παρατήρηση. Στον παραπάνω ορισμό χρησιμοποιήσαμε ορισμένα στοιχεία της μεταγλώσσας, συγκεκριμένα τα σύμβολα, και.... 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις Ορισμός 2.1.1. Έκφραση είναι μία πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολα της Γ 0 (π.χ. p 0 (). Θα συμβολίζουμε με E(Γ 0 ) το σύνολο των εκφράσεων. Ορισμός 2.1.2. Μία έκφραση θα ονομάζεται προτασιακός τύπος αν και μόνον αν: είναι προτασιακή μεταβλητή, είναι της μορφής ( φ), (φ ψ) (φ ψ) (φ ψ) (φ ψ) όπου φ και ψ προτασιακοί τύποι 1. Παρατήρηση. Για λόγους ευκολίας γραφής θα κάνουμε την ακόλουθη σύμβαση: το θα είναι ισχυρότερο όλων, τα, θα είναι ισχυρότερα από τα,,τα, θα είναι το ίδιο ισχυρά, και τέλος τα, θα είναι το ίδιο ισχυρά. Δηλαδή π.χ. θα γράφουμε p 0 p 1 p 3 p 4 αντί για ((( p 0 ) p 1 ) (p 3 p 4 )). Ορισμός 2.1.3 (Επαγωγική απόδειξη). Για να δείξουμε ότι μία ιδιότητα ισχύει για κάθε προτασιακό τύπο πρέπει να δείξουμε: 1. Βάση επαγωγής: Την αποδεικνύουμε για τις προτασιακές μεταβλητές 2. Δεχόμενοι ότι η ιδιότητα ισχύει για τους προτασιακούς τύπους φ, ψ, την αποδεικνύουμε για τους ( φ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ). 1 Ας σημειώσουμε ότι οι εκφράσεις φ και ψ του προηγούμενου ορισμού είναι συντακτικές μεταβλητές. 3

2.2. ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ Γ 0 2.2 Σημασιολογία της Γ 0 Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε το συντακτικό της Γ 0, δηλαδή πως συντάσσονται οι προτασιακοί τύποι. Σε αυτήν την παράγραφο θα δούμε πως αποκτούν νόημα. Ορισμός 2.2.1. Αποτίμηση (ή απονομή αληθείας) είναι μια συνάρτηση a : M(Γ 0 ) {A, Ψ} (ή {0, 1}). Η αποτίμηση μπορεί να επεκταθεί σε μία συνάρτηση ā : T (Γ 0 ) {A, Ψ} αναδρομικά σύμφωνα με τους ακόλουθους πίνακες αληθείας: ā(φ) ā(ψ) ā( φ) ā(φ ψ) ā(φ ψ) ā(φ ψ) ā(φ ψ) A A Ψ A A A A A Ψ Ψ Ψ A Ψ Ψ Ψ A A Ψ A A Ψ Ψ Ψ A Ψ Ψ A A Παρατήρηση. Στα επόμενα (καταχρηστικά) θα χρησιμοποιούμε πολλές φορές τον συμβολισμό a αντί του ā για λόγους ευκολίας γραφής. Ωστόσο πρέπει να είναι σαφές ότι στην πραγματικότητα αυτό είναι μία σύμβαση, αφού η συνάρτηση ā είναι επέκταση της a. Ορισμός 2.2.2. Έστω T T (Γ 0 ). Θα λέμε ότι: 1. ο προτασιακός τύπος φ είναι ικανοποιήσιμος αν υπάρχει τουλάχιστον μία αποτίμηση a με ā(φ) = A. Σε αυτήν την περίπτωση θα λέμε επίσης ότι η a ικανοποιεί τον φ. 2. η αποτίμηση a ικανοποιεί το T, αν και μόνον αν η a ικανοποιεί κάθε στοιχείο του T. 3. το T είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν υπάρχει μία αποτίμηση που το ικανοποιεί 2 4. ο φ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν κάθε αποτίμηση ικανοποιεί τον φ. 5. ο φ είναι αντίφαση αν και μόνον αν ο φ είναι ταυτολογία. 6. το T συνεπάγεται ταυτολογικά το φ, και θα γράφουμε T φ αν και μόνον αν κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το T ικανοποιεί και το φ. Παρατήρηση. Στον παραπάνω ορισμό, αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του ā(φ) εξαρτάται μόνον από τιμή που δίνει η a στις προτασιακές μεταβλητές που εμφανίζονται στον φ. Παρατήρηση. Εύκολα συμπεραίνουμε ότι φ αν και μόνο αν ο φ είναι ταυτολογία 3. Θεώρημα 2.2.1. T φ T { φ} δεν είναι ικανοποιήσιμο Απόδειξη. ( ) Υποθέτουμε ότι το T { φ} είναι ικανοποιήσιμο. Άρα υπάρχει αποτίμηση a που ικανοποιεί όλους τους τύπους του T { φ}. Άρα υπάρχει a που δίνει την τιμή A σε όλα τα στοιχεία του T και την τιμή Ψ στο φ. Άτοπο. 4 2 Γιατί είναι λάθος να πούμε ότι το σύνολο T είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν κάθε στοιχείο του T είναι ικανοποιήσιμο; 3 Θεωρούμε ότι όλες οι αποτιμήσεις ικανοποιούν το κενό σύνολο. 4 Στην παραπάνω απόδειξη, χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο της είς άτοπον απαγωγής για να αποδείξουμε την είς άτοπον απαγωγή. Κάτι τέτοιο μπορούμε να το κάνουμε, γιατί χρησιμοποιήσαμε την είς άτοπον απαγωγή στη μεταγλώσσα. 4 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ( ) Υποθέτουμε ότι το T { φ} δεν είναι ικανοποιήσιμο και θα δείξουμε ότι T φ. Έστω a αποτίμηση που ικανοποιεί τα στοιχεία του T. Αφού το T { φ} δεν είναι ικανοποιήσιμο αναγκαστικά η a θα δώσει τιμή Ψ στο φ, και συνεπώς τιμή Aστο φ, άρα η a θα ικανοποιεί και το φ. Παρατήρηση. Έστω T μη ικανοποιήσιμο και φ τυχών προτασιακός τύπος. Τότε T φ, αφού η μη ικανοποιησιμότητα του T μας λέει ότι δεν υπάρχει αποτίμηση που να ικανοποιεί όλους τους προτασιακούς τύπους του T. Θεώρημα 2.2.2. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ταυτολογίες: φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ φ (ψ χ) (φ ψ) χ φ (ψ χ) (φ ψ) χ φ (ψ χ) (φ ψ) (φ χ) φ (ψ χ) (φ ψ) (φ χ) φ φ (φ ψ) φ ψ (φ ψ) φ ψ (φ ψ) φ ψ φ φ (Αντιμεταθετικότητα) (Προσεταιριστικότητα) (Επιμεριστικότητα) (Διπλή άρνηση) (Άρνηση συνεπαγωγής) (Νόμοι De Morgan) (Νόμος απόκλεισης του τρίτου) (φ ψ) ( ψ φ) (Νόμος αντιθετοαναστροφής) (φ ψ) φ ψ (Νόμοι αντικατάστασης) (φ ψ) (φ ψ) (ψ φ) (φ ψ) ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Παρατήρηση. Στο παραπάνω Θεώρημα το μπορεί να αντικατασταθεί με το, σύμφωνα με το 2. της άσκησης 2.6.5. 2.3 Επάρκεια (Πληρότητα) προτασιακών συνδέσμων Ορισμός 2.3.1. Ένα σύνολο προτασιακών συνδέσμων C θα λέγεται επαρκές (ή πλήρες), αν κάθε προτασιακός τύπος είναι ισοδύναμος με έναν προτασιακό τύπο, στον οποίο εμφανίζονται σύνδεσμοι μόνον από το C Θεώρημα 2.3.1. Το σύνολο {,, } είναι επαρκές. Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 5

2.3. ΕΠΑΡΚΕΙΑ (ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ) ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ Απόδειξη. Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή: Για τις προτασιακές μεταβλητές το θεώρημα ισχύει (αφού οι προτασιακές μεταβλητές δεν έχουν συνδέσμους). Υποθέτουμε ότι το θεώρημα ισχύει για τους προτασιακούς τύπους φ και ψ. Έστω φ, ψ δύο προτασιακοί τύποι με συνδέσμους από το υπό εξέταση σύνολο, ώστε φ φ και ψ ψ. Τότε έχουμε ότι: φ φ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ (φ ψ) (ψ φ) 2.3.1 Μονομελή επαρκή σύνολα συνδέσμων Στα όσα έχουμε δει μέχρι τώρα, έχουμε συναντήσει μόνο έναν μονοθέσιο προτασιακό σύνδεσμο, το 5. Αποδεικνύεται πως κανένα σύνολο συνδέσμων που αποτελείται μόνο από έναν μονοθέσιο σύνδεσμο δεν είναι επαρκές. Θα παρουσιάζουμε δύο ακόμη διθέσιους συνδέσμους και στη συνέχεια θα δείξουμε ότι κάθε ένας από αυτούς αποτελεί και επαρκές σύνολο προτασιακών συνδέσμων. Οι δύο σύνδεσμοι που μας απασχολούν είναι ο NAND ( ή ) και ο NOR ( ), των οποίων τους πίνακες αληθείας παρουσιάζουμε παρακάτω: ā(φ) ā(ψ) ā(φ ψ) ā(φ ψ) A A Ψ Ψ A Ψ A Ψ Ψ A A Ψ Ψ Ψ A A Θεώρημα 2.3.2. Τα σύνολα προτασιακών συνδέσμων { } και { } είναι επαρκή Απόδειξη. Έχουμε δείξει (Άσκηση 2.6.6) ότι το σύνολο {, } είναι επαρκές. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι μπορούμε να εκφράσουμε τους δύο αυτούς προτασιακούς συνδέσμους μόνο με τον. Πράγματι: φ φ φ φ ψ (φ ψ) (φ ψ) Αντίστοιχα δουλεύουμε και για τον. 5 Υπάρχουν άλλοι μονοθέσιοι προτασιακοί σύνδεσμοι; Και αν ναι, τότε ποιοι είναι οι πίνακες αληθείας τους; Υπάρχουν μηδενοθέσιοι προτασιακοί σύνδεσμοι; Και αν ναι, τότε ποιοι είναι; 6 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 2.3.2 Μη επαρκή σύνολα συνδέσμων Για να δείξουμε ότι ένα σύνολο προτασιακών συνδέσμων δεν είναι επαρκές, αρκεί να βρούμε μία ιδιότητα που έχουν οι προτασιακοί τύποι που χρησιμοποιούν στοιχεία μόνον από αυτό το σύνολο, την οποία δεν έχουν όλοι οι προτασιακοί τύποι. Παραδείγματα θα δούμε ευθύς αμέσως. Πρόταση 2.3.1. Το { } δεν είναι επαρκές. Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι ένας προτασιακός τύπος φ που περιέχει μόνο τον σύνδεσμο έχει την ακόλουθη ιδιότητα: P = Για κάθε αποτίμηση a που δίνει στις μεταβλητή του φ τιμή A ισχύει ότι ā(φ) = A. Θα αποδείξουμε με επαγωγή τον παραπάνω ισχυρισμό. Για την βάση της επαγωγής, θεωρούμε ότι ο φ είναι μία προτασιακή μεταβλητή 6, και επομένως προφανώς ο φ έχει την P. Για το επαγωγικό βήμα θεωρούμε ότι ο φ έχει την μορφή ψ χ όπου για τους ψ, χ ισχύει P. Αφού από την επαγωγική υπόθεση ισχύει ότι ā(ψ) = A και ā(χ) = A, από τον πίνακα αληθείας του προκύπτει ότι ā(φ) = A. Παρατηρούμε ότι ο p δεν έχει την P, άρα το { } δεν είναι επαρκές. Ορισμός 2.3.2. Ορίζουμε τον τριθέσιο προτασιακό σύνδεσμο π(φ, ψ, χ) που ορίζεται ως η πλειοψηφία των τιμών των φ, ψ, χ 7. 2.4 Προτασιακός Λογισμός Ορισμός 2.4.1. Ένα αξιωματικό σύστημα A αποτελείται από 1. ένα σύνολο αξιωμάτων A T (Γ 0 ), και 2. ένα σύνολο κανόνων παραγωγής (ή αποδεικτικών κανόνων) K, όπου κανόνας παραγωγής κ K είναι μια διμελής σχέση μεταξύ πεπερασμένων συνόλων προτασιακών τύπων και προτασιακών τύπων. Αν (B, φ) κ, τότε λέμε ότι ο φ είναι άμεσο συμπέρασμα της εφαρμογής του κ στα στοιχεία του B. Ορισμός 2.4.2. Έστω A = A, K ένα αξιωματικό σύστημα, B T (Γ 0 ), και φ προτασιακός τύπος. Θα λέμε ότι ο φ αποδεικνύεται τυπικά από τα στοιχεία του B (σύνολο υποθέσεων) στο A, και θα γράφουμε B A φ, αν υπάρχει μία πεπερασμένη ακολουθία από προτασιακούς τύπους τ 1,..., τ n, όπου τ n = φ, και για κάθε τ i ισχύει ένα από τα ακόλουθα: 1. τ i A B, είναι δηλαδή αξίωμα ή υπόθεση, ή 2. το τ i είναι άμεσο συμπέρασμα της εφαρμογής κανόνα κ K σε κάποια τ j, όπου j < i. Ορισμός 2.4.3. Ορίζουμε το αξιωματικό σύστημα A 0 με A το ακόλουθο σύνολο 8 : ΑΣ1 φ (ψ φ) 6 Μηδέν εμφανίσεις του. 7 Ποιος είναι ο πίνακας αληθείας του π; 8 Χρησιμοποιούμε μόνον συνδέσμους από το {, }, καθώς όπως έχουμε δείξει είναι επαρκές Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 7

2.4. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣ2 (φ (ψ χ)) ((φ ψ) (φ χ)) ΑΣ3 ( φ ψ) (( φ ψ) φ) και K που περιέχει μόνον έναν κανόνα, τον Modus Ponens (<<τρόπος του ισχυρού>>) 9 : φ φ ψ ψ Παράδειγμα. Θα δείξουμε ότι A0 φ φ (εννοούμε ότι A0 φ φ), δηλαδή θα αποδείξουμε στη μεταγλώσσα ότι υπάρχει τυπική απόδειξη στο A 0 του τύπου φ φ. Αυτό θα το κάνουμε δίνοντας μία τυπική απόδειξη: 1 (φ ((φ φ) φ)) ((φ (φ φ)) (φ φ)) ΑΣ2 2 φ ((φ φ) φ) ΑΣ1 3 (φ (φ φ)) (φ φ) 1,2,MP 4 φ (φ φ) ΑΣ1 5 φ φ 3,4, MP Θεώρημα 2.4.1 (Απαγωγής). Για προτασιακούς τύπους φ, ψ και σύνολο προτασιακών τύπων T ισχύει ότι 10 T {φ} A0 ψ αν και μόνον αν T A0 φ ψ Απόδειξη. ( ) Έστω ότι T φ ψ. Θα δείξουμε ότι T {φ} ψ. Από την υπόθεση υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία 1 τ 0 k + 1. τ k = φ ψ Τα τ i, είναι αξιώματα ή στοιχεία του T ή προκύπτουν από εφαρμογή του MP. Η τυπική απόδειξη του ψ από το T {φ} είναι η εξής: 1 τ 0. k + 1 τ k = φ ψ k + 2 φ Υπόθεση k + 3 ψ k + 1, k + 2, MP 9 Ο Modus Ponens (MP) στη ουσία είναι η εξής πρακτική που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά: αν π.χ. έχουμε δείξει ότι αν η f είναι συνεχής τότε και η g είναι συνεχής, και στην συνέχεια της απόδειξης δείξαμε ότι η f είναι συνεχής, τότε έχουμε δείξει ότι και η g είναι συνεχής. 10 Σε όσα ακολουθούν το A 0 θα παραλείπεται χάριν απλότητας. 8 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ( ) Υποθέτουμε ότι το T {φ} ψ. Θα δείξουμε ότι T φ ψ. Από υπόθεση 11 υπάρχει όπως πριν πεπερασμένη ακολουθία 1 τ 0 k + 1. τ k = ψ στην οποία μπορεί να χρησιμοποιείται ως υπόθεση 12 ο φ Θα αποδείξουμε ότι T φ τ i για κάθε i = 0,..., k με επαγωγή στο μήκος της απόδειξης. Έστω ότι ισχύει το ζητούμενο για i < λ, θα το αποδείξουμε και για το λ 13 Θα δείξουμε δηλαδή ότι T φ τ λ. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: 1. Το τ λ είναι ΑΣ1, ΑΣ2 ή ΑΣ3. Κάνουμε την τυπική απόδειξη: 1 τ λ (φ τ λ ) ΑΣ1 2 τ λ Αφού το τ λ είναι αξίωμα 3 φ τ λ 1,2, MP 2. Το τ λ είναι το φ. Είδαμε ότι φ φ, άρα και T φ φ 3. τ λ T. Η τυπική απόδειξη είναι όμοια με την περίπτωση 1 μόνο που στο βήμα 2 η δικαιολογία είναι ότι το τ λ είναι υπόθεση 4. Το τ λ προκύπτει από εφαρμογή του MP, δηλαδή όπου τ i τ λ και τα τ i εμφανίζονται προηγουμένως. Απο την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι T φ τ i και T φ (τ i τ λ ). Η τυπική απόδειξη που πρέπει να κάνουμε, αφήνεται ως άσκηση. Παρατήρηση. Βάσει των παραπάνω μπορούμε πλέον να ανταλλάσσουμε τo T φ ψ με το T {φ} ψ και αντίστροφα. Πόρισμα 1. {φ ψ, ψ χ} φ χ Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απαγωγής, αρκεί να δείξουμε ότι {φ ψ, ψ χ, φ} χ 1 φ ψ Υπόθεση 2 φ Υπόθεση 3 ψ 1,2,MP 4 ψ χ Υπόθεση 5 χ 3,4,MP 11 Προσοχή: Αυτή η υπόθεση είναι μεταγλωσσική. 12 Προσοχή: Αυτή η υπόθεση είναι της γλώσσας, δηλαδή στοιχείο του συνόλου των υποθέσεων 13 Τι έγινε η επαγωγική βάση? Η μορφή της επαγωγής: (( i < λ)p (i)) P (λ) δεν χρειάζεται επαγωγική βάση. Γιατί? Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 9

2.5. ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Πόρισμα 2. φ φ Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απαγωγής, αρκεί να δείξουμε ότι { φ} φ 1 ( φ φ) (( φ φ) φ) ΑΣ3 2 φ Υπόθεση 3 φ ( φ φ) ΑΣ1 4 φ φ 2,3,MP 5 ( φ φ) φ 1,4,MP 6 φ φ Τυπικό θεώρημα 14 7 φ 5,6,MP Θεώρημα 2.4.2 (Αντιθετοαναστροφής). T {φ} ψ αν και μόνον αν T {ψ} φ Απόδειξη. ( ) Από θεώρημα απαγωγής έχουμε ότι T φ ψ ισχύει ότι (φ ψ) (ψ φ) (βλ. παραπάνω άσκηση). Με μία εφαρμογή του MP, προκύπτει ότι T ψ φ και επομένως από το θεώρημα απαγωγής προκύπτει ότι T {ψ} φ. ( ) Αφήνεται ως άσκηση. Ορισμός 2.4.4. Ένα σύνολο προτασιακών τύπων T λέγεται αντιφατικό αν υπάρχει προτασιακός τύπος ψ τέτοιος ώστε T ψ και T ψ. Το T θα λέγεται συνεπές αν δεν είναι αντιφατικό. Θεώρημα 2.4.3 (Εις άτοπον απαγωγή). Αν T {φ} αντιφατικό τότε T φ. Διαφορετικά διατυπωμένο T { φ} αντιφατικό αν και μόνον αν T φ Απόδειξη. ( ) Υποθέτουμε ότι T {φ} είναι αντιφατικό, επομένως υπάρχει προτασιακός τύπος ψ τέτοιος ώστε T {φ} ψ και T {φ} ψ. Από το θεώρημα της απαγωγής έχουμε ότι T φ ψ και T φ ψ. Χρησιμοποιώντας το τυπικό θεώρημα (φ ψ) ((φ ψ) φ) και εφαρμόζοντας δύο φορές το MPπροκύπτει ότι T φ. ( ) Υποθέτουμε ότι T φ. Θα δείξουμε ότι το T {φ} είναι αντιφατικό. Παρατηρούμε ότι T {φ} φ, αφού από (μεταγλωσσική) υπόθεση T φ αλλά και ότι T {φ} φ αφού το φ είναι γλωσσική υπόθεση. Άρα το T {φ} είναι αντιφατικό. Η άλλη διατύπωση αποδεικνύεται με εφαρμογή αυτής της διατύπωσης και του τυπικού θεωρήματος φ φ. 2.5 Εγκυρότητα και Πληρότητα του Προτασιακού Λογισμού Θεώρημα 2.5.1 (Γενικευμένο θεώρημα Εγκυρότητας-Πληρότητας). T φ T φ Πόρισμα 3 (Θεώρημα Εγκυρότητας-Πληρότητας). Ο προτασιακός τύπος φ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν ο φ είναι τυπικό θεώρημα. 14 Πιο τυπικά πρέπει να συμπεριλάβουμε στην τυπική απόδειξη, την απόδειξη της πρότασης φ φ. 10 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Παρατήρηση. Εγκυρότητα ενός αποδεικτικού συστήματος έχουμε ό,τι αποδεικνύεται από το σύστημα είναι αληθές (δηλαδή η αντίστροφη κατεύθυνση του πορίσματος). Πληρότητα έχουμε όταν όλες οι αλήθειες μπορούν να αποδειχθούν στο σύστημα (δηλαδή η ευθεία κατεύθυνση του πορίσματος). Απόδειξη. (Εγκυρότητας) Έστω ότι φ. Θα δείξουμε ότι o φ είναι ταυτολογία. Από την υπόθεση έχουμε ότι υπάρχει μία ακολουθία τ 0,..., τ k = φ που είναι τυπική απόδειξη. Θα δείξουμε ότι κάθε τ i είναι ταυτολογία. Έστω ότι τ i ταυτολογία για κάθε i < λ. Θα δείξουμε ότι το τ λ είναι ταυτολογία. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για το τ λ. 1. Το τ λ είναι αξίωμα. Δείχνουμε με αληθοπίνακες ότι όλα τα αξιώματα είναι ταυτολογίες (αφήνεται ως άσκηση). 2. Το τ λ προκύπτει από εφαρμογή του MPστα τ i τ λ και τ i. Από την επαγωγική υπόθεση γνωρίζουμε ότι τα τ i και τ i τ λ είναι ταυτολογίες και συνεπώς κοιτώντας τους πίνακες αληθείας των τ i και τ i τ λ συμπεραίνουμε ότι το τ λ είναι ταυτολογία (αφήνεται ως άσκηση). Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη του Θεωρήματος της Πληρότητας θα πρέπει να αποδείξουμε το ακόλουθο Λήμμα 2.5.1. Έστω a μία αποτίμηση και φ ένας προτασιακός τύπος. Θα ορίσουμε έναν άλλο προτασιακό τύπο φ a (και θα διαβάζουμε φ ως προς την a) ως εξής: φ a = { φ αν ā(φ) = A φ αν ā(φ) = Ψ Αν οι προτασιακές μεταβλητές που εμφανίζονται στον φ είναι μεταξύ των p 0, p 1,..., p n, τότε { p a 0, p a 1,..., p a n} φ a Απόδειξη. Απόδειξη με επαγωγή 15 στην πολυπλοκότητα του τύπου φ: Επαγωγική Βάση: Έστω φ προτασιακή μεταβλητή, δηλαδή φ = p i για κάποια από τις προτασιακές μεταβλητές p 0, p 1,..., p n. Τότε φ = p i, συνεπώς p i φ. Επαγωγική Βήμα: Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις: φ = χ και φ = χ ψ, όπου χ και ψ δύο προτασιακοί τύποι, για τους οποίους ισχύει η επαγωγική υπόθεση 16, δηλαδή { p 0, p 1,..., p n } χ και { p 0, p 1,..., p n } ψ 1. φ = χ: 15 Επειδή σε όλη τη διάρκεια της απόδειξης, έχουμε σταθεροποιήσει την αποτίμηση a (αλλά και για λόγους ευκολίας γραφής), θα γράφουμε φ αλλά θα εννοούμε φ a. 16 Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι οι προτασιακές μεταβλητές βρίσκονται μεταξύ των p 0,..., p n. Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 11

2.5. ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1.1. Αν a(χ) = A, τότε a( χ) = Ψ, οπότε a(φ) = Ψ, συνεπώς φ = χ. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι { p 0, p 1,..., p n } χ. Όμως χ = χ και χ χ. Επομένως με μία εφαρμογή του MP προκύπτει το ζητούμενο. 1.2. Αν a(χ) = Ψ αντίστοιχα. 2. φ = χ ψ: 2.1. Αν a(χ ψ) = Ψ, τότε (χ ψ) = (χ ψ). Επίσης (βλ. πίνακα αληθείας) ā(χ) = A και ā(ψ) = Ψ. Δηλαδή χ = χ και ψ = ψ, οπότε χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση, αρκεί να δείξουμε ότι {χ, ψ} (χ ψ) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα 2.4.2 προκύπτει το ζητούμενο ως εξής: 1 χ Υπόθεση 2 ψ Υπόθεση 3 χ ( ψ (χ ψ)) Τυπικό θεώρημα 4 ψ (χ ψ) 1,3,MP 5 (χ ψ) 2,4,MP 2.2. Αν a(χ ψ) = A, τότε (χ ψ) = (χ ψ). Αρκεί να εξετάσουμε τις εξής δύο περιπτώσεις 17 : 2.2.1. ā(χ) = Ψ Άρα χ = χ οπότε από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι { p 0,..., p n } χ και χρησιμοποιώντας το τυπικό θεώρημα χ (χ ψ) με μία εφαρμογή του MP προκύπτει το ζητούμενο. 2.2.2 ā(ψ) = A. Δηλαδή ψ = ψ, οπότε από την επαγωγική υπόθεση προκύπτει ότι { p 0,..., p n } ψ) και χρησιμοποιώντας το ΑΣ1 και με μία εφαρμογή του MP προκύπτει το ζητούμενο. Απόδειξη. (Πληρότητας) Έστω ότι οι προτασιακές μεταβλητές του φ βρίσκονται ανάμεσα στις p 0,..., p n και έστω a,, a τέτοιες ώστε a(p n ) = A, a (p n ) = Ψ a(p j ) = a (p j ), j = 0,... n 1. Από υπόθεση ο φ είναι ταυτολογία, συνεπώς a(φ) = a (φ) = A. Άρα φ a = φ και φ a = φ. Επίσης p a n = p n και p a n = p n. Άρα { p a 0,..., p a n 1, p n } φ Από το Θεώρημα της Απαγωγής προκύπτει ότι { p a 0,..., p a n 1, p n } φ { p a 0,..., p a n 1} p n φ { p a 0,..., p a n 1} p n φ Από τον τρόπο επιλογής των a και a προκύπτει ότι 17 Σκεφτείτε λίγο γιατί... { p a 0,..., p a n 1} p n φ 12 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Συνεπώς χρησιμοποιώντας το τυπικό θεώρημα αποδεικνύεται ότι { p a 0,..., p a n 1} p n φ (φ ψ) (( φ ψ) ψ) { p a 0,..., p a n 1} φ Επαναλαμβάνουμε αυτή την διαδικασία 18 έως ότου απαλειφθούν όλες οι προτασιακές μεταβλητές από το σύνολο των υποθέσεων και να προκύψει ότι φ. Το παρακάτω θεώρημα δίνεται χωρίς απόδειξη. Θεώρημα 2.5.2 (Συμπάγειας). Έστω T σύνολο προτασιακών τύπων. Τότε το T είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του T είναι ικανοποιήσιμο. Λήμμα 2.5.2. Έστω T σύνολο προτασιακών τύπων. Τότε το T δεν είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν το T είναι αντιφατικό. Απόδειξη. Υπάρχει στο βοηθητικό σύγγραμμα του μαθήματος. 2.6 Ασκήσεις Άσκηση 2.6.1. Δείξετε ότι για κάθε προτασιακό τύπο, ο αριθμός των δεξιών παρενθέσεων ισούται με τον αριθμό των αριστερών. Άσκηση 2.6.2. Έστω φ προτασιακός τύπος χ και n χ = # διθέσιων συνδέσμων του χ (εδώ το σύμβολο # θα δηλώνει το πλήθος) και m χ = # προτασιακών μεταβλητών του χ. Δείξετε ότι m χ = n χ + 1 Άσκηση 2.6.3. Δείξετε ότι δεν υπάρχουν προτασιακοί τύποι με αριθμό συμβόλων 2, 3 ή 6 αλλά ότι για κάθε n > 0, 2, 3, 6 είναι δυνατόν. Άσκηση 2.6.4. Δείξετε ότι σε κάθε προτασιακό τύπο ο αριθμός των παρενθέσεων του είναι διπλάσιος του αριθμού των συνδέσμων του. Άσκηση 2.6.5. 1. φ ψ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν φ ψ 2. φ ψ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν φ ψ Άσκηση 2.6.6. Τα σύνολα {, } και {, } είναι επαρκή. Άσκηση 2.6.7. Δείξτε ότι το {π} δεν είναι επαρκές. Άσκηση 2.6.8. Δείξτε ότι το {, π} δεν είναι επαρκές. Άσκηση 2.6.9. Ορίζουμε τον προτασιακό σύνδεσμο (ή XOR) της αποκλειστικής διάζευξης, που έχει πίνακα αληθείας 18 Μέσα στη διαδικασία αυτή συμπεριλαμβάνεται και η επιλογή των αποτιμήσεων a και a. Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 13

2.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ᾱ(φ) ᾱ(ψ) ᾱ(φ ψ) A A Ψ A Ψ A Ψ A A Ψ Ψ Ψ Δείξτε ότι τα σύνολα συνδέσμων { }, {, } δεν είναι επαρκή. Άσκηση 2.6.10. Δείξτε ότι οι ακόλουθοι προτασιακοί τύποι είναι τυπικά θεωρήματα: 1. φ φ 2. φ (φ ψ) 3. ( ψ φ) (φ ψ) 4. (φ ψ) ( ψ φ) 5. (φ ψ) (ψ φ) 6. φ ( ψ (φ ψ)) 7. (φ ψ) (( φ ψ) ψ) 8. (φ ψ) ((φ ψ) φ) Άσκηση 2.6.11. Έστω T, Σ σύνολα προτασιακών τύπων, με T συμβολίζουμε το σύνολο {φ T (Γ 0 ) T φ}. Δείξτε ότι α) T = T β) T Σ T Σ γ) Δείξτε ότι υπάρχουν σύνολα T, Σ τέτοια ώστε ο εγκλεισμός στο β) να είναι αυστηρός. Άσκηση 2.6.12 (Αρχή του Δυϊσμού). Έστω προτασιακός τύπος φ στον οποίο εμφανίζονται μόνο οι σύνδεσμοι,,, και φ ο προτασιακός τύπος που προκύπτει από τον φ αν αντικαταστήσουμε το με, το με, και τις προτασιακές μεταβλητές με την άρνησή τους. Δείξτε ότι φ φ. 14 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

Κεφάλαιο 3 Κατηγορηματική Λογική 3.1 Συντακτικό και σημασιολογία Ορισμός 3.1.1. Μία πρωτοβάθμια γλώσσα Γ 1 αποτελείται από Μία άπειρη ακολουθία μεταβλητών: v 0, v 1,... Τους λογικούς συνδέσμους:, Τις παρενθέσεις: (, ) Το σύμβολο της ισότητας: Τον καθολικό ποσοδείκτη: Για κάθε φυσικό n 0 ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από n-μελή κατηγορηματικά σύμβολα (ή σύμβολα ιδιοτήτων): P ni Για κάθε φυσικό n 0 ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από n-θέσια συναρτησιακά σύμβολα: f ni Ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από σύμβολα σταθερών: c k Παρατήρηση. Οι λογικοί σύνδεσμοι,, καθώς και ο υπαρξιακός ποσοδείκτης θα εισαχθούν αργότερα ως συντομεύσεις των, και. Επίσης πολλές φορές θα χρησιμοποιούμε καταχρηστικά το κλασικό σύμβολο της ισότητας = αντί του χάριν απλότητας. Παρατήρηση. Συνήθως μία πρωτοβάθμια γλώσσα έχει πεπερασμένο πλήθος κατηγορηματικών και συναρτησιακών συμβόλων, και πεπερασμένο πλήθος σταθερών. Ορισμός 3.1.2. Έκφραση είναι μία πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολα της Γ 1. Θα συμβολίζουμε με E(Γ 1 ) το σύνολο των εκφράσεων. Ορισμός 3.1.3. Μία έκφραση θα ονομάζεται όρος της Γ 1 αν και μόνον αν: είναι προτασιακή μεταβλητή, είναι σταθερά, 15

3.1. ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΟ ΚΑΙ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑ είναι της μορφής ft 1,..., t n, όπου t 1,..., t n όροι και f n-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο της Γ 1. Το σύνολο των όρων της Γ 1 το συμβολίζουμε με O(Γ 1 ). Παρατήρηση. Θα γράφουμε τον όρο ft 1,..., t n και ως f(t 1,..., t n ) για να μας θυμίζει το συνήθη τρόπο γραφής των συναρτήσεων. Ορισμός 3.1.4. Μία έκφραση θα ονομάζεται τύπος της Γ 1 αν και μόνον αν: είναι της μορφής t 1 t 2, όπου t 1, t 2 O(Γ 1 ), είναι της μορφής Rt 1,..., t n όπου t 1,..., t n O(Γ 1 ) και R n-μελές κατηγορηματικό σύμβολο της Γ 1, είναι της μορφής ( φ), (φ ψ), ( xφ) όπου φ, ψ τύποι της Γ 1 και x μεταβλητή της Γ 1 στην τελευταία περίπτωση λέμε ότι οι εμφανίσεις της μεταβλητής x στον ( xφ) βρίσκονται στο πεδίο αναφοράς του καθολικού ποσοδείκτη. Οι τύποι της μορφής 1 και 2 ονομάζονται ατομικοί τύποι. Το σύνολο των τύπων της Γ 1 το συμβολίζουμε με T (Γ 1 ). Παρατήρηση. Θα γράφουμε τον τύπο Rt 1,..., t n και ως R(t 1,..., t n ), ή ακόμα και ως t 1 Rt 2 ή (t 1 Rt 2 ) για διμελή κατηγορηματικά σύμβολα, για να μας θυμίζει το συνήθη τρόπο γραφής των σχέσεων. Παρατήρηση. Όπως και στην Προτασιακή Λογική οι παρενθέσεις θα παραλείπονται αν δεν υπάρχει κίνδυνος παρανόησης. Παρατήρηση. Οι τύποι ( xφ), (φ ψ), (φ ψ) θεωρούνται συντομογραφίες των ( ( x( φ))), ( (φ ( ψ))), (( φ) ψ), αντίστοιχα και ο (φ ψ) συντομογραφία του ((φ ψ) (ψ φ)). Παράδειγμα. Συμβολίζουμε με Γ θσ 1 την πρωτοβάθμια γλώσσα της θεωρίας συνόλων, που έχει ένα διμελές κατηγορηματικό σύμβολο, το (με προτιθέμενη ερμηνεία τη σχέση του ανήκειν), δεν έχει συναρτησιακά σύμβολα, και έχει ένα σύμβολο σταθεράς το (με προτιθέμενη ερμηνεία το κενό σύνολο) 1. Οι εκφράσεις u 0, αποτελούν όρους της Γ θσ 1, ενώ οι εκφράσεις v 0v 7 (γράφεται v 0 v 7 ) και (v 2 v 3 ) αποτελούν τύπους της Γ θσ 1 (ο πρώτος μάλιστα είναι ατομικός). Η Γλώσσα της Θεωρίας Αριθμών (Γ θα 1 ) περιλαμβάνει τη σταθερά 0 (σύμβολο μηδέν), το μονοθέσιο συναρτησιακό σύμβολο (με προτιθέμενη ερμηνεία την πράξη του επόμενου, +1), και τα διθέσια συναρτησιακά σύμβολα και 2. Ορισμός 3.1.5. Μία εμφάνιση μίας μεταβλητής x σε έναν τύπο θα καλείται ελεύθερη, αν δεν βρίσκεται στο πλαίσιο αναφοράς ενός καθολικού ποσοδείκτη. Μία εμφάνιση μεταβλητής που δεν είναι ελεύθερη θα ονομάζεται δεσμευμένη. Είναι δυνατόν η ίδια μεταβλητή να έχει ελεύθερες και δεσμευμένες εμφανίσεις στον ίδιο τύπο. Επίσης, επειδή ο υπαρξιακός ποσοδείκτης ορίστηκε ως συντομογραφία του καθολικού, δεσμευμένες είναι και οι εμφανίσεις μεταβλητών στο πεδίο αναφοράς υπαρξιακού ποσοδείκτη (ως πλαίσιο αναφοράς υπαρξιακού ποσοδείκτη ορίζεται το πλαίσιο αναφοράς του αντίστοιχου καθολικού). 1 Πολλοί συγγραφείς δεν συμπεριλαμβάνουν το στην Γ θσ 1. 2 Στη συνέχεια πολλές φορές θα χρησιμοποιούμε καταχρηστικά, χάριν απλότητας, τον ίδιο τυπογραφικό χαρακτήρα για ένα σύμβολο (κατηγορηματικό, συναρτησιακό ή σταθεράς) και την ερμηνεία του. Ο αναγνώστης θα πρέπει να είναι προσεκτικός να διακρίνει τις δύο περιπτώσεις. 16 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Παραδείγματα. 1. ( x 1 )( x 2 )( x 3 )((x 1 + x 4 = x 3 ) (x 2 = 1)) Στο παράδειγμα αυτό οι εμφανίσεις των μεταβλητών x 1,x 2 και x 3 είναι δεσμευμένες ενώ η x 4 είναι ελεύθερη, αφού η x 4 δεν εμφανίζεται στο πλαίσιο αναφοράς καθολικού ποσοδείκτη. 2. (( x 1 )(x 1 = x 1 )) (x 2 x 1 = x 3 ) Στο παράδειγμα αυτό οι εμφανίσεις των μεταβλητών x 2 x 3 είναι ελεύθερες. Ωστόσο η μεταβλητή x 1 εμφανίζεται και ελεύθερη και δεσμευμένη. Συγκεκριμένα η εμφάνιση στο είναι δεσμευμένη ενώ η εμφάνιση στο (( x 1 )(x 1 = x 1 )) (x 2 x 1 = x 3 ) είναι ελεύθερη, αφού δεν κείται στο πλαίσιο αναφοράς καθολικού ποσοδείκτη. 3. Στον ορισμό του ορίου συνάρτησης lim f(x) = y ɛ > 0 δ > 0 : x(0 < x c < δ f(x) y < ɛ) x c οι μεταβλητές ɛ, δ είναι δεσμευμένες. 4. Στο ολοκλήρωμα f(x)dx η μεταβλητή x είναι δεσμευμένη. Ορισμός 3.1.6. Θα ονομάζουμε δομή (ή ερμηνεία) A για μία πρωτοβάθμια κατηγορηματική γλώσσα ένα σύστημα αποτελούμενο από: 1. A μη κενό σύνολο. Γράφουμε A = A (το σύμπαν της δομής). 2. Σχέσεις: P A A n για κάθε n μελές κατηγορηματικό σύμβολο P. 3. Συναρτήσεις f A : A n A για κάθε n θέσιο συναρτησιακό σύμβολο. 4. c A A για κάθε σύμβολο σταθεράς c. Παράδειγμα. Για την Γ θα 1 έχουμε τα εξής σύμβολα,,, 0. Κύρια (προτιθέμενη) Ερμηνεία: N = N,, +,, 0 όπου N είναι το σύμπαν, a = a + 1, και a + b, a b, 0 η συνήθης πρόσθεση, ο συνήθης πολλαπλασιασμός και το μηδέν αντίστοιχα. Εναλλακτική Ερμηνεία: N = Z,, +,, 3 όπου Z είναι το σύμπαν, a = a 2, + και είναι οι συνήθεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός αντίστοιχα και το μηδέν της ερμηνείας είναι το 3. Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 17

3.1. ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΟ ΚΑΙ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑ Ορισμός 3.1.7. Θα ονομάζουμε αποτίμηση κάθε αντιστοίχιση των μεταβλητών στο σύμπαν μίας ερμηνείας v : M(Γ 1 ) A Παρατήρηση. Μία αποτίμηση επεκτείνεται σε κάθε όρο με μονοσήμαντο τρόπο ώστε να ικανοποιεί τα εξής: v(c) = c A v(f t 1,..., t n ) = f A ( v(t 1 ),..., v(t n )) Παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε την αποτίμηση v με v(u 0 ) = v(u 1 ) =... = 1. Τότε στην N έχουμε ότι v(0 0 ) = 3 και v(u 0 u 1 ) = 4 ενώ στην N έχουμε ότι v(0 0 ) = 12 και v(u 0 u 1 ) = 2. Ορισμός 3.1.8. Έστω v μία αποτίμηση, x μία μεταβλητή και a A. Θεωρούμε μία νέα αποτίμηση v(x a)(y) η οποία ορίζεται ως εξής: { v(y), y x v(x a)(y) = a, αν y = x Αν έχουμε μία γλώσσα, μία δομή, μία αποτίμηση και έναν τύπο, τότε ορίζουμε: Ορισμός 3.1.9 (Αληθείας του Tarski). Θα λέμε ότι η ερμηνεία A ικανοποιεί τον τύπο φ για την αποτίμηση v και θα συμβολίζουμε A φ[v], αν: 1. φ είναι t 1 t 2, όπου t 1, t 2 O(Γ 1 ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν v(t 1 ) = v(t 2 ). 2. φ είναι Rt 1,..., t n, τότε A φ[v], αν και μόνον αν ( v(t 1 ),..., v(t n )) R A. 3. φ είναι ( χ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν δεν ισχύει ότι A χ[v]. 4. φ είναι (χ ψ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν A χ[v] ή A ψ[v] (ή ισοδύναμα αν A χ[v] τότε A ψ[v]). 5. φ είναι ( xχ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν για κάθε a A, A χ[v(x a)]. Παρατήρηση. Συχνά αντί για ( v(t 1 ),..., v(t n )) R A θα γράφουμε απλά R A ( v(t 1 ),..., v(t n )). Επίσης, ας επισημάνουμε για μία ακόμα φορά, ότι συχνά θα ταυτίζουμε για λόγους απλότητας συμβολισμού τα σύμβολα μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας με τις ερμηνείες τους δηλαδή αντί για f A, R A, c A συχνά θα γράφουμε απλώς f, R, c. Παρατήρηση. Ο ορισμός του Tarski επεκτείνεται και στους συνδέσμους που εισάγαμε σαν συντομεύσεις με τον φυσιολογικό τρόπο, δηλαδή αν: 6. φ είναι (χ ψ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν A χ[v] και A ψ[v]. 7. φ είναι (χ ψ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν είτε A χ[v] είτε A ψ[v]. 8. φ είναι (χ ψ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν A (χ ψ)[v] και A (ψ χ)[v]. 9. φ είναι ( xχ), τότε A φ[v], αν και μόνον αν υπάρχει a A, A χ[v(x a)]. 18 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ορισμός 3.1.10. Πρόταση καλείται ένας τύπος που δεν έχει ελεύθερες εμφανίσεις μεταβλητών, όπως π.χ. ο x y(x y y x). Θεώρημα 3.1.1. Έστω τύπος φ, ερμηνεία A, και αποτιμήσεις v 1, v 2 στη A που συμφωνούν στις ελεύθερες μεταβλητές του φ, τότε A φ[v 1 ] ανν A φ[v 2 ]. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. (Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή, και θα πρέπει πρώτα να αποδειχθεί, πάλι με επαγωγή, το ακόλουθο λήμμα: αν v 1, v 2 είναι αποτιμήσεις που συμφωνούν στις μεταβλητές του όρου t, τότε v 1 (t) = v 2 (t)). Παρατήρηση. Έστω πρόταση φ και ερμηνεία A. Τότε το αν ισχύει ότι A φ[v] δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη αποτίμηση v, γιατί είτε για όλες τις αποτιμήσεις v θα ισχύει ότι A φ[v], είτε για καμία. Συνήθως γράφουμε στην περίπτωση αυτή A φ, και καλούμε τη A μοντέλο της φ. Παράδειγμα. N x 1 x 2 (x 2 x 1 x 2 ). Αρκεί να δείξουμε ότι N x 1 ( x 2 (x 2 x 1 x 2 )), δηλαδή ότι N x 1 ( x 2 (x 2 x 1 x 2 )). Από τον ορισμό του Tarski, πρέπει να δείξουμε ότι δεν ισχύει για κάθε n N ότι N x 2 (x 2 x 1 x 2 )[x 1 n], δηλαδή ότι υπάρχει n N τέτοιο ώστε N x 2 (x 2 x 1 x 2 )[x 1 n]. Άρα πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε m N να ισχύει N (x 2 x 1 x 2 )[x 1 n, x 2 m], δηλαδή από τον ορισμό του Tarski ότι υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε m N να ισχύει m + n = m. Παρατηρούμε ότι υπάρχει τέτοιο n, το 0 N, άρα όντως N x 1 x 2 (x 2 x 1 x 2 ). Παρατήρηση. Έστω x μεταβλητή, t όρος, και φ τύπος της Γ 1. Συμβολίζουμε με φ x t τον τύπο που προκύπτει από τον φ, με αντικατάσταση όλων των ελεύθερων εμφανίσεων της x από τον όρο t. Π.χ. αν φ = ( xr(x, y) S(x)) τότε φ x c = ( xr(x, y) S(c)). Ορισμός 3.1.11. Η μεταβλητή x καλείται αντικαταστάσιμη από τον όρο t στον τύπο φ, αν με την αντικατάσταση των ελεύθερων εμφανίσεων της x από τον t στον φ, δεν δεσμεύονται μεταβλητές του t. Π.χ. στον τύπο ( xr(x, y) S(x)) η x είναι αντικαταστάσιμη από την σταθερά c, η ακόμα και από την μεταβλητή y, όμως στον τύπο ( xr(x, y)) ( ys(x, y)) η x δεν είναι αντικαταστάσιμη από την y. Ορισμός 3.1.12. Έστω T {φ} σύνολο τύπων. Θα λέμε ότι το T έχει σαν λογική συνέπεια τον φ (ή αλλιώς το T συνεπάγεται ταυτολογικά το φ), και θα γράφουμε T φ, αν για οποιαδήποτε ερμηνεία A και αποτίμηση v, (A ψ[v], για κάθε ψ T ) (A φ[v]). Παραδείγματα. 1. x 1 Q(x 1 ) Q(x 2 ) Έστω ερμηνεία A, και αποτίμηση v τέτοιες ώστε A x 1 Q(x 1 )[v]. Από τον ορισμό του Tarski προκύπτει ότι για κάθε a A έχουμε A Q(x 1 )[v(x 1 a)], αυτό ισχύει ανν για κάθε a A έχουμε Q A (a), συνεπώς θα ισχύει και Q A (v(x 2 )), άρα A Q(x 2 )[v]. 2. Q(x 1 ) x 1 Q(x 1 ) Έστω ερμηνεία A με σύμπαν A = {0, 1}, και ερμηνεία του κατηγορηματικού συμβόλου Q την Q A = {0}, και έστω αποτίμηση v με v(x 1 ) = 0. Παρατηρούμε ότι A Q(x 1 )[v] καθώς Q A (v(x 1 )) δηλαδή Q A (0), αλλά δεν ισχύει ότι A x 1 Q(x 1 )[v] γιατί θα έπρεπε για κάθε a {0, 1} να ίσχυε A Q(x 1 )[v(x 1 a)], δηλαδή για κάθε a {0, 1} να ίσχυε Q A (a), όμως δεν ισχύει Q A (1). Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 19

3.2. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.2 Κατηγορηματικός Λογισμός Ορισμός 3.2.1. Ένα Αξιωματικό Σύστημα για μία πρωτοβάθμια γλώσσα A 1 = A 1, K 1 αποτελείται από ένα σύνολο αξιωμάτων A 1, και ένα σύνολο κανόνων K 1. Το A 1 χωρίζεται σε δύο σύνολα A 1 = Λ 1 M 1, όπου Λ 1 είναι το σύνολο των λογικών αξιωμάτων, που είναι το ίδιο για κάθε γλώσσα, και M 1 το σύνολο των μη λογικών αξιωμάτων που διαφέρει για κάθε γλώσσα. Ορισμός 3.2.2. Γενίκευση ενός τύπου φ καλείτε οποιοσδήποτε τύπος της μορφής x 1 x n φ, για n 0. Το αξιωματικό σύστημα A 1 για την κατηγορηματική λογική που θα χρησιμοποιήσουμε, έχει ως λογικά αξιώματα όλες τις γενικεύσεις των ακόλουθων αξιωματικών σχημάτων: ΑΣ1 Οι τύποι που προκύπτουν από ταυτολογίες της Προτασιακής Λογικής 3, αντικαθιστώντας τις προτασιακές μεταβλητές με τύπους, όπως π.χ. στην Γ θα 1 ο τύπος x 1 x 2 x 1 x 2. ΑΣ2 xφ φ x t, με την προϋπόθεση 4 ότι η μεταβλητή x είναι αντικαταστάσιμη από τον όρο t στον φ. ΑΣ3 x(φ ψ) ( xφ xψ) 5 ΑΣ4 φ xφ, με την προϋπόθεση ότι η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στον φ. ΑΣ5 x x ΑΣ6 x y (φ φ ), όπου φ ατομικός τύπος, και φ ο ατομικός τύπος που προκύπτει από τον φ αντικαθιστώντας μερικές (ή και όλες) τις εμφανίσεις της x από την y. Στα ακόλουθα παραδείγματα παρουσιάζονται τα μη λογικά αξιώματα για την Γ θα 1, και την Γθσ που είναι ευρύτερα αποδεκτά. Παράδειγμα. Τα (μη λογικά) αξιώματα του Peano για την Γ θα 1 είναι τα ακόλουθα6 : P1 x 1 (x 1 = 0) P2 x 1 x 2 (x 1 = x 2 x 1 = x 2 ) P3 x 1 (x 1 0 = x 1 ) P4 x 1 x 2 (x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) ) P5 x 1 (x 1 0 = 0) P6 x 1 x 2 (x 1 x 2 = x 1 x 2 x 2 ) P7 x 1 x n (φ(x 1,..., x n, 0) x 0 (φ(x 1,..., x n, x 0 ) φ(x 1,..., x n, x 0 )) x 0 φ(x 1,..., x n, x 0 )) 3 Αντί για το ΑΣ1, θα μπορούσαμε να προσθέσουμε στο A 1 τα τρία αξιωματικά σχήματα του Προτασιακού Λογισμού. Γιατί; 4 Χωρίς την υπόθεση της αντικαταστασιμότητας, ο τύπος x y(x y) ( y(x y)) x y θα ήταν αξίωμα, που ασφαλώς δεν είναι «λογικό». 5 Θα ήταν «λογικό» αξιωματικό σχήμα το x(φ ψ) ( xφ xψ); 6 Ποια είναι η προτιθέμενη ερμηνεία τους; 1, 20 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Παράδειγμα. Τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel για την Γ θσ 1 είναι τα ακόλουθα: ZF1 x 1 x 2 (x 1 = x 2 x 3 (x 3 x 1 x 3 x 2 )) (Αξίωμα Έκτασης) ZF2 x 1 x 2 (x 2 / x 1 ) (Αξίωμα του Κενού Συνόλου) ZF3 x 1 x 2 x 3 x 4 (x 4 x 1 x 4 = x 2 x 4 = x 3 ) (Αξίωμα του Δισυνόλου) 7 ZF4 z 1 z n x 1 x 2 x 3 (x 3 x 2 x 3 x 1 φ(x 3, z 1,..., z n )) (Αξίωμα Διαχωρισμού) ZF5 x 1 x 2 x 3 (x 3 x 2 x 4 (x 4 x 3 x 4 x 1 )) (Αξίωμα του Δυναμοσυνόλου) ZF6 x 1 x 2 x 3 (x 3 x 2 x 4 (x 4 x 1 x 3 x 4 )) (Αξίωμα της Ένωσης) ZF7 x 1 ( x 1 x 3 (x 3 x 1 x 4 (x 3 x 4 x 4 x 1 )) (Αξίωμα Απείρου) Στα αξιώματα αυτά αργότερα προστέθηκε το Αξίωμα Επιλογής 8 : ZF8 x 1 f(η f είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού x 1 x 3 (x 3 x 1 x 3 f(x 3 ) x 3 )) (Αξίωμα Επιλογής 9 ) Ορισμός 3.2.3. Η έννοια του «αποδεικνύεται τυπικά από ένα σύνολο υποθέσεων» ορίζεται όπως και στον Προτασιακό Λογισμό, μόνο που όταν θα γράφουμε B A1 φ, θα εννοούμε ότι to φ αποδεικνύεται τυπικά από το B σε οποιοδήποτε πρωτοβάθμιο αξιωματικό σύστημα (δηλαδή για όλα τα M 1 ). Τα ακόλουθα τρία «Μεταθεωρήματα» είναι ίδια με αυτά του Προτασιακού Λογισμού, γι' αυτό και οι αποδείξεις τους παραλείπονται. Θεώρημα 3.2.1 (Απαγωγής). Για τύπους φ, ψ και σύνολο τύπων T ισχύει ότι T {φ} ψ ανν T φ ψ Θεώρημα 3.2.2 (Αντιθετοαναστροφής). T {φ} ψ ανν T {ψ} φ Θεώρημα 3.2.3 (Απαγωγής σε άτοπο). Αν T {φ} αντιφατικό τότε T φ. Θεώρημα 3.2.4 (Γενίκευσης). Αν T φ και η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στο T τότε T xφ. Απόδειξη. Έστω φ 1,..., φ n = φ απόδειξη του φ από το T. Θα δείξουμε με επαγωγή ότι T xφ i, για i = 1,..., n. Υποθέτουμε ότι T xφ k για κάθε k < i, και θα δείξουμε ότι T xφ i. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. φ i λογικό αξίωμα: Τότε το ζητούμενο ισχύει γιατί το xφ i είναι γενίκευση αξιωματικού σχήματος. 2. φ i T : Τότε το ζητούμενο προκύπτει από την τυπική απόδειξη: 1 φ i xφ i ΑΣ4 10 2 φ i Υπόθεση 3 xφ i 1,2 MP 7 Το Αξίωμα του Κενού Συνόλου και το Αξίωμα του Δισυνόλου συνήθως ομαδοποιούνται σε ένα αξίωμα. 8 Το Αξίωμα Επιλογής παρουσιάζεται με ένα πιο άτυπο τρόπο, καθώς για να γραφτεί τυπικά πρέπει να «ορισθούν» οι έννοιες του διατεταγμένου ζεύγους, του καρτεσιανού γινομένου και της συνάρτησης από τύπους της Γ θσ 1. 9 Στην πραγματικότητα αυτή είναι μια ισοδύναμη μορφή του Αξιώματος Επιλογής, που δηλώνει ότι κάθε σύνολο επιδέχεται συνάρτηση επιλογής. 10 Παρατηρήστε ότι η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στον φ i, αφού η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στο T. Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 21

3.3. ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ-ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3. φ i προκύπτει από εφαρμογή του MP: Επομένως υπάρχει τύπος φ k με k < i, τέτοιος ώστε T φ k και T φ k φ i. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι T xφ k και T x(φ k φ i ). Το ζητούμενο προκύπτει από την ακόλουθη τυπική απόδειξη: 1 x(φ k φ i ) ( xφ k xφ i ) ΑΣ3 2 x(φ k φ i ) Επαγωγική υπόθεση 3 xφ k xφ i 1,2 MP 4 xφ k Επαγωγική υπόθεση 5 xφ i 3,4 MP Τα ακόλουθα «μεταθωρήματα» δίνονται χωρίς απόδειξη. Θεώρημα 3.2.5 (Εισαγωγής τυχαίας σταθεράς). Αν T φ y c τότε T yφ, με την προϋπόθεση ότι η σταθερά c δεν εμφανίζεται ούτε στο T, ούτε στον φ. Θεώρημα 3.2.6 (Σταθεροποίησης του υπαρξιακού ποσοδείκτη). Αν T {φ y c} ψ τότε T { yφ} ψ, με την προϋπόθεση ότι η σταθερά c δεν εμφανίζεται ούτε στο T, ούτε στον φ, ούτε στον ψ. 3.3 Εγκυρότητα-Πληρότητα του Κατηγορηματικού Λογισμού Θεώρημα 3.3.1 (Εγκυρότητας-Πληρότητας). Έστω T σύνολο τύπων και φ τύπος. Ισχύει ότι T φ T φ Παρατήρηση. Η κατεύθυνση του θεωρήματος λέγεται εγκυρότητα του αξιωματικού συστήματος, και η αντίθετη κατεύθυνση λέγεται πληρότητα. Απόδειξη. (Εγκυρότητας) Με επαγωγή στο μήκος της απόδειξης: Έστω φ 1,..., φ n = φ απόδειξη του φ από το T. Θα αποδείξουμε ότι T φ i, για κάθε i. Έστω ότι για κάθε j < i ισχύει ότι T φ j. Θα δείξουμε ότι T φ i. Διακρίνουμε περιπτώσεις: 1. φ i λογικό αξίωμα. Ισχύει ελέγχοντας ότι όλα τα λογικά αξιώματα είναι λογικά αληθή. 2. φ i T, τότε προφανώς T φ i 3. Υπάρχουν προηγουμένως στην απόδειξη φ j, φ j φ i και το φ i προκύπτει από εφαρμογή του MP. Από την επαγωγική απόδειξη προκύπτει ότι T φ j και T φ j φ i, και από τον ορισμό του Tarski προκύπτει ότι T φ i. Απόδειξη. (Πληρότητας) Το T φ είναι ισοδύναμο με το ότι το σύνολο T { φ} είναι μη ικανοποιήσιμο. Το T φ είναι ισοδύναμο με το ότι το T { φ} είναι αντιφατικό. Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι αν ένα σύνολο τύπων T είναι μη ικανοποιήσιμο τότε το T είναι αντιφατικό, και βάσει του θεωρήματος της αντιθετοαντιστροφής στην μεταγλώσσα, αρκεί να δείξουμε ότι αν το T είναι συνεπές, τότε το T είναι ικανοποιήσιμο. 22 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Θα σκιαγραφήσουμε την απόδειξη που έδωσε ο Leon Henkin το 1949, και όχι αυτή που έδωσε ο Kurt Gödel το 1929. Έστω λοιπόν ότι το T είναι ένα συνεπές σύνολο τύπων. Παρατηρούμε ότι μια δομή A και μία αποτίμηση v χωρίζουν το σύνολο όλων των τύπων σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα: T (Γ 1 ) = {φ A φ[v]} {φ A φ[v]} όπου το δεύτερο σύνολο περιέχει τις αρνήσεις των προτάσεων του πρώτου συνόλου. Έχοντας αυτό κατά νου, θα ορίσουμε μία δομή A και μία αποτίμηση v από το T, ορίζοντας ένα σύνολο Σ, το οποίο: θα περιέχει ως υποσύνολο το T, ούτως ώστε η A και η v να ικανοποιούν το T, θα είναι συνεπές, γιατί αλλιώς δεν θα μπορέσουμε να εκμαιεύσουμε δομή και αποτίμηση από αυτό, για κάθε τύπο, ο ίδιος ή άρνησή του θα ανήκει στο Σ, τα στοιχεία του θα αποτελούν τους τύπους που θα ικανοποιούνται από την A και την v. Η δομή A θα έχει σαν σύμπαν το σύνολο O(Γ 1 ), δηλαδή στοιχεία του θα είναι οι όροι της γλώσσας, επομένως θα έχουμε την ερμηνεία: 1. P A (t 1,..., t n ) ανν P (t 1,..., t n ) Σ 2. f A (t 1,..., t n ) = f(t 1,..., t n ) 3. c A = c και η αποτίμηση v θα είναι η αποτίμηση με v(x) = x. Παρατηρούμε πρώτα ότι από τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί το Σ, προκύπτει ότι αν T yφ, τότε A yφ[v]. Τότε όμως από τον τρόπο που ορίσαμε την την A θα πρέπει κάπως να εξασφαλίσουμε ότι αν T yφ, τότε θα υπάρχει στοιχείο στο σύμπαν της A, δηλαδή όρος t της γλώσσας, τέτοιος ώστε A φ[v(y t)] ή ισοδύναμα φ y t Σ. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται εισάγοντας στην γλώσσα ένα άπειρο πλήθος καινούριων σταθερών c H 0, ch 1,..., τις λεγόμενες «μάρτυρες του Henkin», οι οποίες θα μας διασφαλίσουν, ότι αν ο τύπος yφ έχει εισαχθεί στο Σ, τότε και ο τύπος φ y θα έχει εισαχθεί στο Σ, για κάποιον μάρτυρα c H, συνεπώς τον ρόλο του όρου c H t στο φ y t Σ θα παίξει ο μάρτυρας ch. Θα απαιτήσουμε λοιπόν από το Σ να περιέχει όλους τους τύπους της μορφής yφ φ y, όπου c H φ τύπος, y μεταβλητή και c H μάρτυρας. Συνεπώς θα επεκτείνουμε την γλώσσα μας στην Γ 1 που εκτός από τις σταθερές της Γ 1 θα περιέχει τους μάρτυρες Henkin. Στην απόδειξη προκύπτει ακόμα ένα τεχνικό θέμα με το σύμβολο της ισότητας, το οποίο λύνεται χρησιμοποιώντας ένα καινούριο κατηγορηματικό σύμβολο E με ερμηνεία: E A (t 1, t 2 ) ανν t 1 t 2 Σ, και το οποίο θα εξασφαλίσει ότι το ερμηνεύεται σαν ταυτότητα στην δομή A. Συνεπώς θα δουλέψουμε στην γλώσσα Γ E 1 που περιέχει και το E. Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 23

3.4. ΜΗ-ΣΥΜΒΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ PEANO Για να ολοκληρώσουμε τις ιδέες της απόδειξης θα δείξουμε πώς ορίζεται το Σ. Ο ορισμός του θα είναι αναδρομικός. Έστω φ 0, φ 1,... μία απαρίθμηση των τύπων της Γ E 1. Ορίζουμε: Σ 0 = T { Σ n {φ n } Σ n+1 = Σ n { φ n } Σ = n N Σ n, αν Σ n { φ n } αντιφατικό, αλλιώς Όταν τελικά καταφέρουμε να κατασκευάσουμε την δομή A και την αποτίμηση v θα χρειαστεί να τις περιορίσουμε στην αρχική μας γλώσσα, δηλαδή στην Γ 1, και έτσι η απόδειξη θα έχει ολοκληρωθεί. Το ακόλουθο Θεώρημα δίνεται χωρίς απόδειξη. Θεώρημα 3.3.2 (Συμπάγειας). Έστω T άπειρο σύνολο τύπων. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του T είναι ικανοποιήσιμο, τότε το T είναι ικανοποιήσιμο. 3.4 Μη-συμβατικά μοντέλα της αριθμητικής Peano Θα δώσουμε τώρα μία εφαρμογή του θεωρήματος της Συμπάγειας. Θα αποδείξουμε την ύπαρξη μη-συμβατικών ( non-standard) μοντέλων της αριθμητικής Peano. Πρώτα θα ξεκινήσουμε δίνοντας μερικές συντομογραφίες. Θεωρούμε τη γλώσσα Γ θα 1 της θεωρίας αριθμών, με το αξιωματικό σύστημα Peano. Συμβολίζουμε με n τον όρο που αντιστοιχεί στο «ψηφίο» του αριθμού n N, δηλαδή n φορές {}}{ n = 0. Επίσης Θα γράφουμε για χάριν απλότητας x 2 > x 1 αντί για y((x 1 y x 2 ) (y 0)). Ορίζουμε το σύνολο των τύπων της Γ θα 1 Σ = PEANO {x > n n N} όπου PEANO είναι το σύνολο των αξιωμάτων του Peano. Θα δείξουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα της συμπάγειας ότι το Σ είναι ικανοποιήσιμο. Προς τούτο αρκεί να δείξουμε ότι κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι ικανοποιήσιμο: Έστω Σ π ένα τυχαίο πεπερασμένο υποσύνολο του Σ. Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός m έτσι ώστε το Σ π PEANO {x > 0,..., x > m}. Το Σ π είναι ικανοποιήσιμο από την standard δομή N, καθώς N PEANO (άσκηση) και αν v είναι η αποτίμηση με v(x) = m + 1 N, τότε N x > 0[v],..., N x > m[v]. Έστω ότι η ερμηνεία N = N, 0, +,, και η αποτίμηση v με v(x) = M N ικανοποιούν το Σ. Αφού όλα τα στοιχεία του Σ ικανοποιούνται από την N και την v θα ισχύει ότι M > n για κάθε n N 11, δηλαδή στο N θα υπάρχει ένα «άπειρο» στοιχείο. Επίσης η N ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano, συνεπώς ισχύει οτιδήποτε αποδεικνύεται από τα αξιώματα του Peano, δηλαδή ότι ισχύει στους φυσικούς αριθμούς. 11 Με > και n συμβολίζουμε τις ερμηνείες στην N, των συντομεύσεων που ορίσαμε παραπάνω. 24 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 3.5 Ασκήσεις Άσκηση 3.5.1. Δείξτε ότι A (φ ψ)[v] ανν A φ[v] είτε A ψ[v]. Άσκηση 3.5.2. Βρείτε τον τύπο της Γ θσ 1 με προτιθέμενη ερμηνεία την ακόλουθη: Κάθε σύνολο είναι στοιχείο ενός συνόλου. Άσκηση 3.5.3. Βρείτε τον τύπο της Γ θα 1 με προτιθέμενη ερμηνεία την ακόλουθη: Υπάρχει φυσικός αριθμός που δεν είναι επόμενος κανενός. Άσκηση 3.5.4. Εξετάστε αν στην Γ θσ 1 με την μη προτιθέμενη (non-standard) ερμηνεία N σ = N, 0, < δηλαδή με σύμπαν τους φυσικούς αριθμούς, ερμηνεία της σταθεράς το μηδέν των φυσικών, και ερμηνεία του την σχέση του γνήσια μικρότερου στους φυσικούς, ικανοποιούνται οι τύποι 1. x 1 x 2 x 1 x 3 2. x 4 (x 4 / x 1 x 4 / x 3 ) για την αποτίμηση v με v(x 1 ) = 2, v(x 2 ) = 4, v(x 3 ) = 7. Άσκηση 3.5.5. Έστω τύπος φ. Δείξετε ότι zφ y z yφ, αν y αντικαταστάσιμη από τη z στον φ. Άσκηση 3.5.6. Έστω πρωτοβάθμια γλώσσα με μόνο ένα n θέσιο συναρτησιακό σύμβολο f. Να δείξετε ότι x 1 x n y(f(x 1,..., x n ) y). Άσκηση 3.5.7. Αποδείξετε τις ιδιότητες της ισότητας (δηλαδή δείξετε την αυτοπάθεια, την συμμετρικότητα και την μεταβατικότητα). Άσκηση 3.5.8. Δείξτε ότι το T είναι αντιφατικό αν και μόνο αν T ψ για κάθε τύπο ψ. Άσκηση 3.5.9. Αποδείξτε το Θεώρημα Συμπάγειας. Άσκηση 3.5.10. Κατασκευάστε προτάσεις φ n και ψ n της Γ 1 με τις ιδιότητες: (i) Κάθε μοντέλο της φ n έχει τουλάχιστον n στοιχεία στο σύμπαν του. (ii) Κάθε μοντέλο της ψ n έχει ακριβώς n στοιχεία στο σύμπαν του. Άσκηση 3.5.11. Έστω Π σύνολο προτάσεων της Γ 1. Αν για κάθε n N υπάρχει m N, m > n, τέτοιο ώστε το Π να έχει ένα μοντέλο με m στοιχεία, τότε το Π έχει ένα άπειρο μοντέλο. Άσκηση 3.5.12. Δεν υπάρχει σύνολο προτάσεων Π, τέτοιο ώστε μία δομή να είναι μοντέλο του Π ανν είναι πεπερασμένη. Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13. 25

3.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 26 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.

Κεφάλαιο 4 Μη-συμβατική ανάλυση Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε μη-συμβατικό μοντέλο για τους πραγματικούς που θα περιέχει εκτός από άπειρους αριθμούς (όπως το μη συμβατικό μοντέλο της αριθμητικής που είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο), και ένα σύνολο από αριθμούς, για κάθε πραγματικό αριθμό r, που θα βρίσκονται «απείρως κοντά» στον r. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς, που θα τους ονομάσουμε «απειροστά», θα ορίσουμε την έννοια του ορίου και πολλές άλλες έννοιες από την πραγματική ανάλυση. Θα ξεκινήσουμε δίνοντας κάποια στοιχεία από την θεωρία μοντέλων. 4.1 Στοιχεία θεωρίας μοντέλων Ορισμός 4.1.1. Έστω A, B δύο ερμηνείες μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας. Μια απεικόνιση h : A B καλείται μορφισμός (ή ομομορφισμός) αν διατηρεί τα κατηγορήματα, της συναρτήσεις και τις σταθερές, δηλαδή: 1. Για κάθε n-μελές κατηγορηματικό σύμβολο R της γλώσσας, και για κάθε a 1,..., a n A ισχύει R A (a 1,..., a n ) ανν ισχύει R B (h(a 1 ),..., h(a n )). 2. Για κάθε n-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο f της γλώσσας, και για κάθε a 1,..., a n A ισχύει h(f A (a 1,..., a n )) = f B (h(a 1 ),..., h(a n )). 3. Για κάθε σύμβολο σταθεράς c ισχύει h(c A ) = c B. Αν επιπλέον η h είναι 1-1 θα ονομάζεται μονομορφισμός (ή ισομορφισμός εντός), και αν είναι 1-1 και επί θα ονομάζεται ισομορφισμός (ή ισομορφισμός επί). Θεώρημα 4.1.1. Έστω ομομορφισμός h : A B, v αποτίμηση στην A και t όρος της γλώσσας. Τότε η h v είναι μια αποτίμηση 1 στην B. Δείξτε ότι: (α) h(v(t)) = h v(t) (β) Αν ο φ είναι ατομικός τύπος που δεν περιέχει το σύμβολο, τότε A φ[v] ανν B φ[h v]. (γ) Αν η h είναι 1-1, τότε A t 1 t 2 [v] ανν B t 1 t 2 [h v]. 1 Γιατί; 27

4.1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ (δ) Αν ο φ είναι τύπος χωρίς ποσοδείκτες και η h είναι 1-1, τότε A φ[v] ανν B φ[h v]. (ε) Αν η h είναι 1-1 και επί, τότε A φ[v] ανν B φ[h v]. Απόδειξη. (α) Με επαγωγή στον όρο t: Για τη βάση της επαγωγής, έστω t = x όπου x μεταβλητή, τότε Έστω t = c, όπου c σταθερά. Τότε h(v(x)) = (h v)(x) = h v(x) h(v(c)) = h(c A ) = c B = h v(c) Για το επαγωγικό βήμα, έστω ότι t = f(t 1,..., t n ) όπου για τα t i ισχύει η υπόθεση. Τότε: h(v(f(t 1,..., t n ))) = h(f A (v(t 1 ),..., v(t n ))) = f B (h(v(t 1 )),..., h(v(t n ))) Ε.Υ = f B (h v(t 1 ),..., h v(t n )) = h v(f(t 1,..., t n )) (β) Έστω ότι φ = R(t 1,..., t n ). Τότε A R(t 1,..., t n )[v] ανν (ορισμός Tarski ) R A (v(t 1 )..., v(t n )), ανν R B (h(v(t 1 )),..., h(v(t n ))), από το ερώτημα (α) αυτό ισχύει ανν R B (h v(t 1 ),..., h v(t n )), δηλαδή ανν (ορισμός Tarski ) B φ[h v]. (γ) A t 1 t 2 [v] ανν (ορισμός Tarski ) v(t 1 ) = v(t 2 ) Αφού η h είναι 1-1 ισχύει ότι h(v(t 1 )) = h(v(t 2 )). Από το (α) προκύπτει ότι h v(t 1 ) = h v(t 2 ), που ισχύει ανν (ορισμός Tarski ) B t 1 t 2 [h v]. (δ) Με επαγωγή στον τύπο φ: Για τη βάση της επαγωγής αν φ είναι ατομικός τύπος, τότε έχουμε το αποτέλεσμα από τα ερωτήματα (β) και (γ). Για το επαγωγικό βήμα, έστω φ = χ ψ, όπου για τους χ, ψ ισχύει η πρόταση. Τότε A χ ψ[v] ανν (ορ. Tarski ) A χ[v] A ψ[v] ανν (Επαγωγική υπόθεση) B χ[h v] B ψ[h v] ανν (ορισμός Tarski ) B χ ψ[h v]. Η περίπτωση φ = χ αφήνεται ως άσκηση. (ε) Με επαγωγή στον φ: Η μόνη περίπτωση που πρέπει να συμπληρωθεί στην απόδειξη του (δ) είναι φ = ψ. Τότε A xψ[v] ανν (ορισμός Tarski ) για κάθε a A ισχύει ότι A ψ[v(x a)], ανν (Επαγωγική υπόθεση) για κάθε a A ισχύει ότι B ψ[(h v)(x h(a))] 2, και αφού η h είναι επί, το τελευταίο ισχύει ανν για κάθε b B ισχύει ότι B ψ[(h v)(x b)], δηλαδή ανν (ορισμός Tarski ) B xψ[h v]. Ορισμός 4.1.2. Θεωρία μιας ερμηνείας A καλούμε το σύνολο T ha = {φ φ πρόταση και A φ}. Ορισμός 4.1.3. Μία ερμηνεία A είναι στοιχειωδώς ισοδύναμη (elementary equivalent) με μία ερμηνεία B (συμβολισμός A B) ανν T ha = T hb. 2 Σκεφτείτε γιατί η αποτίμηση h (v(x a)) είναι ίση με την (h v)(x h(a)). 28 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.