2η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209). Άσκηση 7, σελ. 8 "Mathematica & Εφαρµογές" Στ. Τραχανά ü Ποιοτική µελέτη δυναµικού συστήµατος. Περίπτωση της "επικράτησης του ισχυρότερου". Να γίνει ποιοτική µελέτη του δυναµικού συστήµατος x = J- x-ynx 2 y = J6- y-xny 2 (Κρίσιµα σηµεία, ευστάθεια, ενδεικτικές τροχιές, πεδίο κατευθύνσεων) α =, b =, c = και α 2 = 6, b 2 = 2 2 οπότε =b b 2 - c c 2 = - = - 3 < 0 c 2 = ü Βήµα : Εντοπισµός των κρίσιµων σηµείων επιλύοντας τις εξισώσεις x = y = 0 FAx_, y_e:= - 2 x-y x G@x_, y_d := 6-2 y- x y H επίλυση του µη γραµµικού συστήµατος χρησιµοποιώντας Solve ή NSolve L point= SolveA8F@x, yd ä0, G@x, yd 0=, 8x, y<e np = Length@pointD; H καταµέτρηση των κρίσιµων σηµείων L Print@"Πλήθος κρίσιµων σηµείων: ", npd 88x Ø 0, y Ø 0<, 8x Ø 0, y Ø 32<, 8x Ø 2, y Ø 8<, 8x Ø 28, y Ø 0<< Πλήθος κρίσιµων σηµείων:
2 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb ü Βήµα 2: Χαρακτηρισµός των κρίσιµων σηµείων- Ανάλυση ευστάθειας H Προσδιορισµός της Ιακωβιανής µήτρας L JacAx_, y_e:= xf@x, yd y F@x, yd x G@x, yd y G@x, yd H Υπολογισµός της Ιακωβιανής µήτρας σε κάθε κρίσιµο σηµείο L J =Jac@x, yd ê.point@@dd; J2 =Jac@x, yd ê.point@@2dd; J3 =Jac@x, yd ê.point@@3dd; J =Jac@x, yd ê.point@@dd; H ορισµός συνάρτησης για χαρακτηρισµό των κρίσιµων σηµείων L characterizeaλ_, λ2_, p_e:= H H η Περίπτωση L If@Re@λD <0&&Re@λ2D <0, Print@"Το σηµείο ", p, " είναι ευσταθές"d D H 2 η Περίπτωση L If@Re@λD >0»»Re@λ2D >0, Print@"Το σηµείο ", p, " είναι ασταθές"d D H 3 η Περίπτωση L If@Re@λD ==0&&Re@λ2D ==0, Print@"Το σηµείο ", p, " είναι ασυµπτωτικά ευσταθές"d D L; ο κρίσιµο σηµείο, εύρεση ιδιοτιµών - ιδιοδιανυσµάτων
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 3 p = 8x, y< ê.point@@dd J êê MatrixForm eigs = Eigensystem@JD H βρες ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα L l = eigs@@, DD H θέσε την πρώτη ιδιοτιµή L l2 = eigs@@, 2DD H θέσε την δεύτερη ιδιοτιµή L v =eigs@@2, DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ L v2 =eigs@@2, 2DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ 2 L H χαρακτηρισµός κρίσιµου σηµείου L characterize@l, l2, pd 80, 0< 0 0 6 6 80, < 8, 0< 6 80, < 8, 0< Το σηµείο 80, 0< είναι ασταθές Null 3 ηλ. Α(0,0)= 0 0 6 fi {λ =6, λ 2 =}, {V = 0, V 2 = 0 } fi V(t)=k 0 e6 t +k 2 0 e t To (0,0) είναι ένα ασταθές σηµείο(και µάλιστα ασταθής κόµβος) από το οποίο η εκροή τροχιών θα γίνεται εφαπτοµενικά προς τη διεύθυνση (0,) που αντιστοιχεί στη µεγαλύτερη ιδιοτιµή µε εξαίρεση τη διεύθυνση (,0) της µικρότερης ιδιοτιµής. 2 ο κρίσιµο σηµείο, εύρεση ιδιοτιµών - ιδιοδιανυσµάτων
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb p2 = 8x, y< ê.point@@2dd J2 êê MatrixForm eigs = Eigensystem@J2D H βρες ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα L l = eigs@@, DD H θέσε την πρώτη ιδιοτιµή L l2 = eigs@@, 2DD H θέσε την δεύτερη ιδιοτιµή L v =eigs@@2, DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ L v2 =eigs@@2, 2DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ 2 L H χαρακτηρισµός κρίσιµου σηµείου L characterize@l, l2, p2d 80, 32< -8 0-32 -6-8 -6 8, 6< 80, < -8-6 8, 6< 80, < Το σηµείο 80, 32< είναι ευσταθές Null 3 Α(0,32)= -8 0-32 -6 fi {λ =-8, λ 2 =-6}, {V = 6, V 2 = 0 V(t)=k 6 e-8 t +k 2 0 e-6 t,} fi Το σηµείο (0,32) όπως το περιµέναµε,(αφού <0) είναι σηµείο ευσταθούς ισορροπίας µε κύρια διεύθυνση εισροής την 0 που αντιστοιχεί στη λιγότερο αρνητική ιδιοτιµή Hλ 2 = -6). 3 ο κρίσιµο σηµείο, εύρεση ιδιοτιµών - ιδιοδιανυσµάτων
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 5 p3 = 8x, y< ê.point@@3dd J3 êê MatrixForm eigs = Eigensystem@J3D H βρες ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα L l = eigs@@, DD H θέσε την πρώτη ιδιοτιµή L l2 = eigs@@, 2DD H θέσε την δεύτερη ιδιοτιµή L v =eigs@@2, DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ L v2 =eigs@@2, 2DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ 2 L H χαρακτηρισµός κρίσιµου σηµείου L characterize@l, l2, p3d 82, 8< -6-2 -8 - -5-97 -5 + 97 :- + J5+ 97 N, > :- + J5-97 N, > 2 8 2 8-5 - 97 97-5 : 8 K5 + 97 O- 2, > : 8 K5-97 O- 2, > Το σηµείο 82, 8< είναι ασταθές Null 3 Α(2,8)= -6-2 -8 - fi {λ =-5-97 < 0, λ 2 =-5+ 97 >0 }, {V = - + J5+ 97 N 2 8,
6 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb V 2 = - + J5-97 N 2 8 } fi V(t)=k - + J5+ 97 N 2 8 e J-5-97 N t +k 2 - + J5-97 N 2 8 J-5+ 97 N t e Το (2,8) -το σηµείο ειρηνικής συνύπαρξης- είναι ένα ασταθές σηµείο του - σαγµατικού τύπου, µε άξονα ευστάθειας τον + J5+ 97 N 2 8 και άξονα αστάθειας τον - + J5-97 N 2 8 περιρρέουσες γραµµές ροής. προς τον οποίο πλησιάζουν ασυµπτωτικά και οι ο κρίσιµο σηµείο, εύρεση ιδιοτιµών - ιδιοδιανυσµάτων p = 8x, y< ê.point@@dd J êê MatrixForm eigs = Eigensystem@JD H βρες ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα L l = eigs@@, DD H θέσε την πρώτη ιδιοτιµή L l2 = eigs@@, 2DD H θέσε την δεύτερη ιδιοτιµή L v =eigs@@2, DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ L v2 =eigs@@2, 2DD H το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ 2 L H χαρακτηρισµός κρίσιµου σηµείου L characterize@l, l2, pd 828, 0< - -28 0-2 - -2 8, 0< 8-, < - -2 8, 0< 8-, < Το σηµείο 828, 0< είναι ευσταθές Null 3
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 7 Α(28,0)= V(t)=k - -28 0-2 0 e- t +k 2 fi {λ =-, λ 2 =-2}, {V = 0, V 2 = - - e -2 t } fi Το σηµείο (28,0) είναι πάλι σηµείο ευσταθούς ισορροπίας µε κύρια διεύθυνση εισροής - που αντιστοιχεί στη λιγότερο αρνητική ιδιοτιµή Hλ 2 = -2L, η οποία σβήνει τελευταία και άρα καθορίζει την τοπική ροή για µεγάλα t. ü Βήµα 3: Λύση του συστήµατος µε χρήση της NDSolve "Πειραµατική µελέτη του προβλήµατος" Φτιάχνουµε ένα Module µέσα στο οποίο ορίζουµε τις εξισώσεις, καλούµε την NDSolve και την ParametricPlot solsaa_, b_e:= ModuleB8solt, x, y, t<, H ορίζουµε τις local variables L eq =x'@td 2 eq2 = y'@td 6 2 x@td y@td x@td; y@td x@td y@td; solt =NDSolveA9eq, eq2, x@0d ==a, y@0d b=, 8x, y<, 8t, 0, 2<E; ParametricPlot@8x@tD, y@td< ê. solt, 8t, 0, 2<, PlotRange 880, 29<, 80, 33<<, DisplayFunction IdentityD F H Τέλος του Module L Κάνουµε testing για να δούµε αν δουλεύει... καλώντας για διάφορες αρχικές τιµές
8 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb sols@5, D 30 25 20 5 0 5 0 0 5 0 5 20 25 Show@GraphicsArray@8sols@, 2D, sols@2, D, sols@, 3D<DD 30 25 20 5 0 5 0 0 5 0 5 20 25 30 25 20 5 0 5 0 0 5 0 5 20 25 30 25 20 5 0 5 0 0 5 0 5 20 25 ü Βήµα : Απεικόνιση της λύσης γραφικά Φτιάχνουµε ένα Table µε τα γραφήµατα που προκύπτουν για διάφορες αρχικές τιµές Απεικονίζουµε τα κρίσιµα σηµεία µε χρήση της εντολής ListPlot
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 9 p = 8x, y< ê.point@@dd; p2 = 8x, y< ê.point@@2dd; p3 = 8x, y< ê.point@@3dd; p = 8x, y< ê.point@@dd; unstable = 8p, p3<; stable = 8p2, p<; g = ListPlot@8unstable, stable<, PlotStyle 88PointSize@0.0D, Blue<, Orange<D 30 25 20 5 0 5 5 0 5 20 25 faa_, b_, T_E:=NDSolveB:x'@tD 2 x@td y@td x@td, y'@td 6 2 y@td x@td y@td, x@0d a, y@0d b>, 8x, y<, 8t, 0, T<F Εκτελούµε και σχεδιάζουµε µαζί τα αποτελέσµατα των ακόλουθων πειραµάτων: s =f@25, 0, 2D; s2 =f@2,, 2D; s3 =f@2, 20, 2D; s =f@, 3, 2D; Το φασικό διάγραµµα του συστήµατος που οδηγεί στην επικράτηση του ενός ή του άλλου από τα δύο είδη.
0 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb g2 = ParametricPlot@88x@tD, y@td< ê. s, 8x@tD, y@td< ê.s2, 8x@tD, y@td< ê.s3, 8x@tD, y@td< ê.s<, 8t, 0, 2<, PlotRange 880, 29<, 80, 33<<D 30 25 20 5 0 5 0 0 5 0 5 20 25 Φτιάχνουµε το πεδίο κατευθύνσεων g3 =StreamPlot@8F@x, yd, G@x, yd<, 8x, 0, 29<, 8y, 0, 33<D 30 25 20 5 0 5 0 0 5 0 5 20 25 30 και παρουσιάζουµε όλα τα γραφήµατα µαζί σε µια εικόνα
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb Show@8g, g2, g3<, PlotRange 88, 29<, 8, 33<<, AxesLabel 8"x", "y"<, Axes True, AspectRatio D y 30 25 20 5 0 5 5 0 5 20 25 x 2. Άσκηση, σελ. 92 "Mathematica & Εφαρµογές" Στ. Τραχανά ü Στο µοντέλο θηρευτή - θηράµατος γνωστές ως εξισώσεις Lotka - Volterra x =(a-py)x, (για το θήραµα) y =-(b-qx)y, (για τοθηρευτή) µε παραµέτρους a=, p=3, b=,q= - ο αρχικός πληθυσµός του θηράµατος είναι 000 άτοµα και του θηρευτή 500. (µονάδα πληθυσµού η χιλιάδα και µονάδα χρόνου οι εκατό ηµέρες) ã α)σχεδιάστε σε ένα κοινό διάγραµµα τους πληθυσµούς των δύο ειδών συναρτήσει του χρόνου και κατόπιν την τροχιά του συστήµατος στο επίπεδο x-y eq =x'@td x@td H 3y@tDL; eq2 =y'@td y@td Hx@tD L; faa_, b_, T_E:= NDSolve@8eq, eq2, x@0d a, y@0d b<, 8x, y<, 8t, 0, T<D s =f@, 0.5, 0D;
2 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb Plot@8x@tD ê.s, y@td ê.s<, 8t, 0, 0<, PlotLabel "Μπλε: θήραµα, µωβ: θηρευτής", PlotRange 80, <D Μπλε:θήραµα, µωβ:θηρευτής 3 2 0 2 6 8 0 ParametricPlot@8x@tD, y@td< ê. s, 8t, 0, 0<, PlotRange 880, <, 80, 3<<, AxesLabel 8"x", "y"<, Axes True, AspectRatio D y 3.0 2.5 2.0.5.0 0.5 0.0 0 2 3 x
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 3 ã β)βάσει των παραπάνω γραφικών παραστάσεων εκτιµήστε: i) Τον µέγιστο και τον ελάχιστο πληθυσµό των δύο ειδών καθώς και τους χρόνους στους οποίους συµβαίνουν για πρώτη φορά. ii) Την περίοδο του "φαινοµένου", αν είναι όντως περιοδικό. i) Για το θήραµα παρατηρούµε ότι γίνεται µέγιστος περίπου στην τιµή 3.8 δηλαδή 3800 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 75 ηµέρες περίπου και ς ελάχιστος κάτω από το περίπου 00 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 200 ηµέρες. Για το θερευτή παρατηρούµε ότι γίνεται µέγιστος περίπου στην τιµή 2.8 δηλαδή 2800 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 25 ηµέρες και ελάχιστος περίπου στο 0.6 δηλαδή 600 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 380 ηµέρες. ii) Από το πρώτο γράφηµα επιβεβαιώνεται η περιοδικότητα των µεταβολών των δύο πληθυσµών κάτι που φανερώνει και η ύπαρξη κλειστής τροχιάς στο δεύτερο γράφηµα, µε περίοδο Τº3: T = 2 Pi π ã γ) ώστε τις ακριβείς τιµές των παραπάνω µεγίστων και ελαχίστων και των χρόνων στους οποίους συµβαίνουν. Για το θήραµα έχουµε: FindMinimum@x@tD ê. s, 8t, <D 80.0977256, 8t Ø 2.20877<< FindMinimum@ x@td ê. s, 8t, 2<D 83.7328, 8-Ht Ø 0.70838L<< Για το θηρευτή έχουµε: FindMinimum@y@tD ê. s, 8t, <D 80.5, 8t Ø 3.62062<< FindMinimum@ y@td ê. s, 8t, 2<D 82.793, 8-Ht Ø.993L<< -Εποµένως για το θήραµα, ο µέγιστος πληθυσµός είναι 373 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 70 ηµέρες, ενώ ο ελάχιστος είναι 97 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 220 ηµέρες. -Εποµένως για το θηρευτή, ο µέγιστος πληθυσµός είναι 279 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 9 ηµέρες, ενώ ο ελάχιστος είναι 500 και συµβαίνει για πρώτη φορά µετά από 362 ηµέρες.
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 3. Άσκηση, σελ. 263 "Mathematica & Εφαρµογές" Στ. Τραχανά ü (α) Αριθµητική επίλυση της εξίσωσης: y' = sin(xy), y(0)= ã α' τρόπος, µε χρήση του γενικού προγράµµατος P[q,h,N] Εισάγουµε το γενικότερο πρόγραµµα για την κοινή µέθοδο Euler και για την βελτιωµένη µέθοδο: Clear@"Global` "D PAq_, h_, N_E:= Hu@0D =;Do@u@n +D =u@nd +h f@n h + Hh qê2l, u@nd + Hh qê2l f@n h, u@nddd, 8n, 0, N<DL H Ορίζουµε τη συνάρτηση της δ.ε. HαL που θέλουµε να λύσουµε L fax_, y_e =Sin@xyD; Ζητάµε την εκτέλεση των προγραµµάτων για q=0 (κοινή µέθοδο Euler ) αρχικά και στη συνέχεια για q= (βελτιωµένη µέθοδο Euler). Σε πρώτη φάση, προκειµένου να συγκρίνουµε τις αριθµητικές λύσεις µε την ακριβή, αλλά και µεταξύ τους, ζητάµε την τιµή στο τελικό σηµείο όπου και αναµένεται να είναι µέγιστο το συσσωρευµένο αριθµητικό µας σφάλµα. Έτσι θα έχουµε: P@0, 0.0, 000DH κοινή Euler L u@000d 0.37397 P@, 0.0, 000D H Βελτιωµένη Euler L u@000d 0.370 Clear@yD H ακριβής λύση µε χρήση της NDSolve L exact =NDSolve@8y'@xD Sin@xy@xDD, y@0d <, y, 8x, 0, 0<D; y@0d ê. exact 80.370< Από τη σύγκριση είναι σαφές ότι η λύση της βελτιωµένης µεθόδου συµφωνεί µε το ακριβές αποτέλεσµα.
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 5 H Η συνάρτηση παρεµβολής για τη λύση µε τη µεγαλύτερη ακρίβεια L y = Interpolation@Table@80.0 n, u@nd<, 8n, 0, 000<DD; H καθώς και η γραφική της παράσταση LPlot@y@xD, 8x, 0, 0<D.5.0 2 6 8 0 για περαιτέρω µελέτη δίνονται ο πίνακας µε δέκα χαρακτηριστικές τιµές της y(x) - για x=,2,...,5- της αριθµητικής λύσης, για να τις συγκρίνουµε µε τις αντίστοιχες από την NDSolve. Table@y@nD, 8n,, 0<D 8.53,.822,.23338, 0.8502, 0.6575, 0.53960, 0.58596, 0.3995, 0.35357, 0.370< Clear@yD s =NDSolve@8y'@xD Sin@xy@xDD, y@0d <, y, 8x, 0, 0<D; p =Table@y@nD ê.s, 8n,, 0< D; TableForm@p, TableDirections RowD.53.822.23338 0.8507 0.657539 0.53960 0.58595 0.3995 0.35357 0.370 Η σύγκριση είναι εντυπωσιακή! Οι διαφορές µε τα δικά µας αποτελέσµατα είναι ελάχιστες, µόνο στο 5 σηµαντικό ψηφίο και αυτό σε κάποιες µόνο τιµές. ã β' τρόπος, µε χρήση της While Μέθοδος Euler y n+ = y n + hy n ', n=0,, 2,... όπου y n ' = fhx n, y n L Clear@"Global` "D
6 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb H Ορίζουµε τη συνάρτηση της δ.ε. HαL που θέλουµε να λύσουµε L fax_, y_e =Sin@xyD; H αρχικές συνθήκες και βήµα L x =0.0; y =.0; h =0.; L =0;H 0 x L L sol = 88x, y<<; H πίνακας επανάληψης HιστορικόL L While@x <L, k =f@x, yd; y =y+h k; x =x+h; AppendTo@sol, 8x, y<d D H εµφάνιση του γραφήµατος της λύσης L p = ListPlot@sol, PlotStyle Red, Joined TrueD.5.0 0.5 2 6 8 0 Βελτιωµένη µέθοδος Euler y n+ = y n + h fj x n + h 2, y n + h 2 y n 'N, n = 0,, 2,... όπου y n ' = fhx n, y n L Clear@x, y, h, sol2, p2d
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 7 H Ορίζουµε τη συνάρτηση της δ.ε. HαL που θέλουµε να λύσουµε L fax_, y_e =Sin@xyD; H αρχικές συνθήκες και βήµα L x =0.0; y =.0; h =0.; L =5;H 0 x L L sol2 = 88x, y<<; H πίνακας επανάληψης HιστορικόL L WhileBx <L, F k =f@x, yd; k =fbx + h 2, y + h 2 kf; y =y+h k; x =x+h; AppendTo@sol2, 8x, y<d H εµφάνιση του γραφήµατος της λύσης L p2 = ListPlot@sol2, Joined TrueD.5.0 0.5 2 6 8 0 2 Η µέθοδος Euler συναντά την βελτιώµενη Μέθοδο Euler (γραφήµατα λύσεων)
8 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb H Σχεδίαση συνδιασµένων δεδοµένων L H γράφηµα µε EulerHκόκκινοL & γράφηµα µε βελτιωµένη Euler HµπλεL LShow@p, p2d.5.0 0.5 2 6 8 0 2 H Μεταξύ τους σύγκριση: L x =sol@@, DD; error = Abs@sol@@, 2DD sol2@@, 2DDD; errortable = 88x, error<<; n =Length@solD; i =2; While@i n, x =sol@@i, DD; error = Abs@sol@@i, 2DD sol2@@i, 2DDD; AppendTo@errorTable, 8x, error<d i++ H ή i=i+ L D; ListPlot@errorTable, Filling AxisD
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 9 Λύση της εξισώσης µε χρήση NDSolve Clear@x, y, p3d exact =NDSolve@8y'@xD Sin@xy@xDD, y@0d <, y, 8x, 0, L<D; yax_e = y@xd ê. exact@@dd; p3 = Plot@y@xD, 8x, 0,,.2<, PlotStyle 8Green, Dashed<D; Show@p, p2, p3d.5.0 0.5 2 6 8 0 2 H σύγκριση της λύσης µε NDSolve µε τη λύση της Βελτιωµένης Euler L x =sol2@@dd; error = Abs@y@xD sol2@@, 2DDD; errortable = 88x, error<<; n =Length@solD; i =2; While@i n, x =sol@@i, DD; error = Abs@y@xD sol2@@i, 2DDD; AppendTo@errorTable, 8x, error<d i++ D
20 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb ListPlot@errorTable, Filling AxisD ü (β)αριθµητική επίλυση της εξίσωσης: y' = x 2 - y 2, y(0)=- Εισάγουµε το γενικότερο πρόγραµµα για την κοινή µέθοδο Euler και για την βελτιωµένη µέθοδο: Clear@"Global` "D PAq_, h_, N_E:= Hu@0D =;Do@u@n +D =u@nd +h f@n h + Hh qê2l, u@nd + Hh qê2l f@n h, u@nddd, 8n, 0, N<DL H Ορίζουµε τη συνάρτηση της δ.ε. HαL που θέλουµε να λύσουµε L fax_, y_e =x 2 y 2 ; Ζητάµε την εκτέλεση των προγραµµάτων για q=0 (κοινή µέθοδο Euler ) αρχικά και στη συνέχεια για q= (βελτιωµένη µέθοδο Euler). Σε πρώτη φάση, προκειµένου να συγκρίνουµε τις αριθµητικές λύσεις µε την ακριβή, αλλά και µεταξύ τους, ζητάµε την τιµή στο τελικό σηµείο όπου και αναµένεται να είναι µέγιστο το συσσωρευµένο αριθµητικό µας σφάλµα. Έτσι θα έχουµε: P@0, 0., 50DH κοινή Euler L u@50d.89678 P@, 0., 50DH Βελτιωµένη Euler L u@50d.8967 Clear@yD exact =NDSolveA9y'@xD x 2 y@xd^2, y@0d =, y, 8x, 0, 5<E;
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 2 y@5d ê. exact 8.89672< Από τη σύγκριση είναι σαφές ότι η λύση της βελτιωµένης µεθόδου συµφωνεί περισσότερο αποτέλεσµα. µε το ακριβές H Η συνάρτηση παρεµβολής για τη λύση µε τη µεγαλύτερη ακρίβεια L y = Interpolation@Table@80. n, u@nd<, 8n, 0, 50<DD; H καθώς και η γραφική της παράσταση LPlot@y@xD, 8x, 0, 5<D 3 2 2 3 5. Άσκηση.9, σελ. 57 "Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά" David Logan 5. Άσκηση 5. και 5.5, σελ. 99 "Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά" David Logan ü 5. Βρείτε έναν τύπο για την προσέγγιση WKB του προβλήµατος συνοριακών τιµών ε 2 y'' -q(x)y=0, () µε συνοριακές συνθήκες: y(0)=0, y'(0)=, όπου q(x)>0. Να εκφραστεί µέσω της υπεβολικής συνάρτησης sinh. Επειδή q(x)<0 θεωρούµε ότι qhxl=-k HxL 2, όπου k(x)>0. Τότε η εξίσωση γίνεται: ε 2 y ''-khxl 2 y=0, y(0)=0, y'(0)= (2) Η προσέγγιση WKB για την περίπτωση που δεν έχουµε ταλαντώσεις είναι: y WKB (x) = c khxl e ε Ÿ x a khξl ξ + c 2 khxl e - ε Ÿ ax khξl ξ. (3) Με τη βοήθεια τώρα της Mathematica θα έχουµε
22 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb Clear@"Global` "D; H ορίζουµε πρώτα τις συναρτήσεις L kax_e = q@xd ;H q<0, άρα q>0, οπότε από khxl 2 = qhxl L yax_e = c k@xd x ExpB ε k@ξd ξf + 0 c 2 k@xd ExpB ε k@ξd ξf 0 x x Ÿ 0 qhξl ξ c e qhxl x + c 2 - Ÿ 0 qhξl ξ e qhxl hax_e =D@y@xD, xd H ορίζουµε ως hhxl την y'hxl και την υπολογίζουµε L x Ÿ - c q 0 qhξl ξ x HxL e c 2 q HxL -Ÿ 0 qhξl ξ e c - + qhxl 5ê qhxl 5ê qhxl e x Ÿ 0 qhξl ξ e - c 2 qhxl x -Ÿ 0 qhξl ξ e e S =Solve@8y@0D 0, h@0d <, 8c, c 2 <D H λύνουµε το σύστηµα των Σ.Σ. L ::c Ø e 2 qh0l, c 2 Ø - e 2 qh0l >> yax_e = y@xd ê. S H Αντικατάσταση των παραπάνω στην yhxl L : x Ÿ 0 qhξl ξ e e 2 qh0l qhxl - x e -Ÿ 0 qhξl ξ e 2 qh0l qhxl > y wkb Ax_E =FullSimplify@y@xDDH Έκφραση µέσω της sinh L : e sinh Ÿ x 0 qh0l qhξl ξ e qhxl >
Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb 23 ü 5.5 Η εξίσωση του ταλαντωτή µε βραδεία µεταβολή είναι η y'' (x)+qhεxl 2 y(x)=0, () όπου ε<< και q(x)>0. Βρείτε µια προσσεγγιστική λύση της. Γιατί η εξίσωση λέγεται " βραδείας µαταβολής"; Θέτουµε w=εx, οπότε x = w ε. Τώρα θα έχουµε: dy = dy dw dx dw dx = ε dy dw και 2 y x = x ( y x ) = x (ε y w ) = ε 2 y w dw dx = ε 2 2 y w. Με αντικατάσταση στην () θα έχουµε: ε 2 y "HwL+qHwL 2 y(w) = 0, (2) όπου q(w)>0. Οπότε για q(w)=k(w) είναι η περίπτωση κατά την οποία έχουµε ταλαντώσεις και η προσέγγιση WKB δίνεται από τη σχέση: Clear@"Global' "D kaw_e = q@wd; yaw_e = c k@wd ε Ÿ w a k@ξd ξ + c 2 k@wd ε Ÿ w a k@ξd ξ w Ÿ a qhξl ξ c ε qhwl w + c 2 - Ÿ a qhξl ξ ε qhwl Η εξίσωση λέγεται βραδείας µεταβολής επειδή για κάθε µεταβολή του χρόνου x έχουµε w=εx όπου το ε<< είναι πάρα πολύ µικρό. Αυτό θα έχει σαν συνέπεια το w να µεταβάλεται πολύ αργά. Αναφορές Πηγές è Σ. Τραχανάς, "Mathematica και εφαρµογές", ΠΕΚ,200 è David Logan, " Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά", ΠΕΚ,2005
2 Manaras_Nikolaos_ergasia2a.nb Υπεύθυνη ήλωση Βεβαιώνω ότι είµαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιµασία της είναι πλήρως αναγνωρισµένη και αναφέρεται στην εργασία στην ενότητα Αναφορές/Πηγές. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδοµένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασµένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιµάστηκε από εµένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριµένη Θεµατική Ενότητα ΜΣΜ6 «Υπολογιστικές Μέθοδοι και Λογισµικό στα Μαθηµατικά». Ηµεροµηνία υποβολής: 9/2/200 Τόπος:Θεσσαλονίκη Ο ηλών Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209.)